初中数学知识点总结

一、基本知识

（一）、数与代数

1、有理数：正整数、0、负整数、分数、画一条水平直线，在直线上取一点表示0（原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴。任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另外一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点距离相等。数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。正数大于0，负数小于0，正数大于负数。

绝对值：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。正数的绝对值是他的本身、负数的绝对值是他的相反数、0的绝对值是0。两个负数比较大小，绝对值大的反而小。

2无理数：无限不循环小数叫无理数

平方根：如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根。如果一个数x的平方等于a，那么这个数x就叫做a的平方根。一个正数有2个平方根，0的平方根为0，负数没有平方根。求一个数a的平方根运算，叫做开平方，其中a叫做被开方数。

立方根：

如果一个数x的立方等于a，那么这个数x就叫做a的立方根。

正数的立方根是正数、0的立方根是0、负数的立方根是负数。

求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数。

实数：实数分有理数和无理数。

在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义和有理数范围内的相反数，倒数，绝对值的意义完全一样。每一个实数都可以在数轴上的一个点来表示。

（二）函数

1、概念

在一个变化过程中，发生变化的量叫变量（数学中，常常为x，而y则随x值的变化而变化），有些数值是不随变量而改变的，我们称它们为常量。

自变量（函数）：一个与它量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在它量中找到对应的固定值。

因变量（函数）：随着自变量的变化而变化，且自变量取唯一值时，因变量（函数）有且只有唯一值与其相对应。

函数值：在y是x的函数中，x确定一个值，y就随之确定一个值，当x取a时，y就随之确定为b，b就叫做a的函数值

2、解析式法

用含有数学关系的等式来表示两个变量之间的函数关系的方法叫做解析式法。这种方法的优点是能简明、准确、清楚地表示出函数与自变量之间的数量关系

3、图像法

把一个函数的自变量x与对应的因变量y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。这种表示函数关系的方法叫做图象法

4、一次函数

在某一个变化过程中，设有两个变量x和y，如果可以写成y=kx+b(k<0,k>0)（k为一次项系数，b为常数），那么我们就说y是x的一次函数，其中x是自变量，y是因变量。特别的，当b=0时称y是x的正比例函数

基本性质：

1、在正比例函数时，x与y的商一定（x≠0）

2、当x=0时，b为一次函数图像与y轴交点的纵坐标，该点的坐标为（0，b）；当y=0时，一次函数图像与x轴相交于（﹣b/k）

k>0时，图象从左到右上升，y随x的增大而增大。

k<0，b>0：经过第一、二、四象限

k<0，b<0：经过第二、三、四象限

k<0，b=0：经过第二、四象限（经过原点）

函数的解析式

像y=50-0.1x这样,用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系,描述函数的常用方法,这种式子叫做函数的解析式

函数的图象

一般地,对于一个函数,如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横纵

坐标,那么坐标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的图象.提示

并不是所有的函数都能同时用三种表示方法表示哦

(比如气温与时间的关系)

一、正比例函数

一般地，两个变量x、y之间的关系式可以表示成形如y=kx的函数（k为常数，x的次数为1，且k≠0），那么y就叫做x的正比例函数。正比例函数是一次函数的特殊形式，即一次函数

y=kx+b

中，若b=0，即所谓“y轴上的截距”为零，则为正比例函数。

1.正比例函数的关系式表示为：y=kx（k为比例系数）

当K>0时（一三象限），K的绝对值越大，图像与y轴的距离越近。函数值y随着自变量x的增大而增大．

2.当K<0时（二四象限），k的绝对值越小，图像与y轴的距离越远。自变量x的值增大时，y的值则逐渐减小。

特点1：单调性

特点2：对称性

特点3：正比例特点4：奇函数

图像：

正比例函数的图像是经过坐标原点(0，0)和定点(1，k)两点的一条直线，它的斜率是k，横、纵截距都为0。正比例函数的图像是一条过原点的直线。

正比例函数y=kx(k≠0)，当k的绝对值越大，直线越“陡”;当k的绝对值越小，直线越“平”。

求正比例函数解析式：

正比例函数求法设该正比例函数的解析式为y=kx(k≠0)，将已知点的坐标代入上式得到k，即可求出正比例函数的解析式。另外，若求正比例函数与其它函数的交点坐标，则将两个已知的函数解析式联立成方程组，求出其x，y值即可。

正比例函数图像的作法

1.在x允许的范围内取一个值，根据解析式求出y的值;

2.根据第一步求的x、y的值描出点;

3.作出第二步描出的点和原点的直线(因为两点确定一直线)。

温馨提示：正比例函数属于一次函数，但一次函数却不一定是正比例函数。

一次函数

知识点总结

一、基本概念：

1.变量：在一个变化过程中数值发生变化的量。常量：在一个变化过程中数值始终不变的量。

2.函数定义：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。

3、定义域：一般的，一个函数的自变量x允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。

4、确定函数定义域的方法：（即:自变量取值范围）

（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；

（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；

（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；

（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；

（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。

5、函数解析式

用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。

（或：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间关系的式子叫做函数的解析式。）

使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。

6、函数图像的性质：

一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图像。

7、函数的三种表示法及其优缺点

（1）解析法：

两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。

（2）列表法：把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。

（3）图像法：用图像表示函数关系的方法叫做图像法。

8、由函数解析式画其图像的一般步骤：

（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值

（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点

（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。

9、正比例函数和一次函数：所有一次函数或者正比例函数的图像都是一条直线。

（1）正比例函数定义：

一般地，形如

y=kx（k为常数，k≠0）y叫x的正比例函数）。k叫做比例系数。

当b=0时，一次函数y=kx+b

变为y=kx。正比例函数是一种特殊的一次函数。

(3)

正比例函数的图像：y=kx（k≠0）是经过点（0，0）和（1，k）的一条直线。一次函数的图象：y=kx+b（k≠0）是经过点（0，b）和的一条直线。

一次函数y=kx＋b的图象的画法.（5）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b(k≠0)。

一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像都是过原点。

（6）根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可

.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：（0，b），.即横坐标或纵坐标为0的点。

（7）函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。

（8）直线y=kx＋b和直线y=kx的图象和性质与k、b的关系如下表所示：

（9）

b>0

b<0

b=0

k>0

经过第一、二、三象限

经过第一、三、四象限

经过第一、三象限

图象从左到右上升，y随x的增大而增大

k<0

经过第一、二、四象限

经过第二、三、四象限

经过第二、四象限

图象从左到右下降，y随x的增大而减小

总结如下：

（1）k>0时，y随x增大而增大，必过一、三象限。

（2）k>0，b>0时,函数的图象经过一、二、三象限；（一次函数）

（3）k>0，b<0时,函数的图象经过一、三、四象限；（一次函数）

（4）k>0，b=0时,函数的图象经过一、三象限。

（正比例函数）

（5）k<0时,y随x增大而减小，必过二、四象限。

（6）k<0，b>0时，函数的图象经过一、二、四象限；（一次函数）

（7）k<0，b<0时，函数的图象经过二、三、四象限；（一次函数）

（8）k<0，b=0时，函数的图象经过二、四象限。

（正比例函数）

11、直线y1=kx＋b与y2=kx图象的位置关系

0，b）,(a，0)）

扩展：1.求函数图像的k值：(1)当b>0时，将y2=kx图象向x轴上方平移b个单位，就得到y1=kx＋b的图象．

(2)当b<0时，将y2=kx图象向x轴下方平移－b个单位，就得到了y1=kx＋b的图象．

11.在两个一次函数表达式中：

直线l1：y1=k1x＋b1与l2：y2=k2x＋b2

k相同，b也相同时，两一次函数图像重合；

k相同，b不相同时，两一次函数图像平行；

k不相同，b不相同时，两一次函数图像相交；

k不相同，b相同时，两一次函数图像交于y轴上的同一点（0，b）。

12、特殊位置关系：直线l1：y1=k1x＋b1与l2：y2=k2x＋b2

两直线平行，其函数解析式中K值（即一次项系数）相等。

两直线垂直，其函数解析式中K值互为负倒数（即两个K值的乘积为-1）。即:

13、直线平移规律：上加下减（y），左加右减（x）

1.向右平移n个单位y=k（x-n）+b

2.向左平移n个单位y=k（x+n）+b

3.向上平移n个单位y

=kx+b+n

4.向下平移n个单位y

=kx+b-n14、待定系数法：先设待求函数的关系式（其中含未知系数），再根据条件列出方程或方程组，求出未知系数，从而得到所求结果的方法。

待定系数法求函数解析式步骤：

（1）根据已知条件写出含有待定系数的解析式y=kx或者y=kx+b；

（2）将x、y的几对值或图象上几个点的坐标代入上述解析式，得到待定系数为未知数的方程或方程组。

（3）解方程（组）得到待定系数的值。

（4）将求出的待定系数代回所求的函数解析式，得到所求函数的解析式。

如何设一次函数解析式：

点斜式y-y1=k(x-x1)（k为直线斜率,(x1,y1)为该直线所过的一个点）

两点式(y-y1)

/

(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)（已知直线上（x1,y1）与（x2,y2）两点）

截距式（y=-b/ax+b

a、b分别为直线在x、y轴上的截距,已知（0，b）,(a,0)

(三)确定位置

1.平面内确定一个物体的位置需要2个数据。

2.平面内确定位置的几种方法:

（1）行列定位法：在这种方法中常把平面分成若干行、列，然后利用行号和列号表示平面上点的位置，在此方法中，要牢记某点的位置需要两个互相独立的数据，两者缺一不可。

（2）方位角距离定位法：方位角和距离。

（3）经纬定位法：需要两个数据：经度和纬度。

（4）区域定位法：只描述某点所在的大致位置。

平面直角坐标系

1.平面直角坐标系定义

在平面内，两条互相（垂直）且具有公共（焦点）的数轴组成平面直角坐标系。其中水平方向的数轴叫（X轴）或（横轴），向（右）为正方向；竖直方向的数轴叫（Y轴）或（纵轴），向（上）为正方向；两条数轴交点叫平面直角坐标系的（原点）。

2.平面内点的坐标

对于平面内任意一点P，过P分别向x轴、y

轴作垂线，x轴上的垂足对应的数a叫P的（横）坐标，y轴上的垂足对应的数b叫P的（纵）坐标。有序数对(a,b)，叫点P的坐标。

若P的坐标为(a,b)，则P到x轴距离为(|b|)，到y轴距离为（|a|)

注意：平面内点的坐标是有序实数对，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标.3.平面直角坐标系内点的坐标特征:

(2)坐标轴上的点不属于任何象限，它们的坐标特征

①在x轴上的点

(纵）坐标为0;

②在y轴上的点（横）坐标为0;

(3)P(a,b)关于x轴、y轴、原点的对称点坐标特征

①点P(a,b)关于x轴对称点P1（a,-b);

②点

P(a,b)关于y轴对称点P2

(-a,b);

③点P(a,b)关于原点对称点P3

(-a,-b);

④若点P(a,b)关于一三象限角平分线对称点P4

(b,a);

⑤若点P(a,b)关于二四象限角平分线对称点P5

(-b,a);

4.平行于x轴的直线上的点(纵）坐标相同；平行于y轴的直线上的点（横）坐标相同。

轴对称与坐标变化

（1）若两个图形关于x轴对称，则对应各点横坐标不变，纵坐标互为相反数。

（2）若两个图形关于y轴对称，则对应各点纵坐标不变，横坐标互为相反数。

（3）若两个图形关于一三象限角平分线对称，则对应横坐标为原坐标的纵坐标，纵坐标为原坐标的横坐标。

（4）若两个图形关于二四象限角平分线对称，则对应横坐标为原坐标纵坐标的相反数，纵坐标为原坐标的横坐标。

（5）将一个图形向上（或向下）平移n(n>0)个单位，则图形上各点横坐标不变，纵坐标加上（或减去）n个单位。

（6）将一个图形向右（或向左）平移n(n>O)个单位，则图形上各点纵坐标不变，横坐标加上（或减去）n个单位。

（7）纵坐标不变，横坐标分别变为原来的a倍，则图形为原来横向伸长的a倍（a>1）或图形横向缩短为原来的a倍（0

（8）横坐标不变，纵坐标分别变为原来的a倍，则图形为原来纵向伸长的a倍（a>1）或图形纵向缩短为原来的a倍（0

（9）横坐标与纵坐标同时变为原来的a倍，则图形被放大，形状不变（a>1）。