第六章

一元一次方程

一、基本概念

（一）方程的变形法则

法则1：方程两边都

或

同一个数或同一个，方程的解不变。

例如：在方程7-3x=4左右两边都减去7，得到新方程：-3x+3=4-7。

在方程6x=-2x-6左右两边都加上4x，得到新方程：8x=-6。

移项：将方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移动到另一边，这样的变形叫做移项，注意移项要变号。

例如：(1)将方程x－5＝7移项得：x＝7+5

即

x＝12

(2)将方程4x＝3x－4移项得：4x－3x＝－4即

x＝－4

法则2：方程两边都除以或

同一个的数，方程的解不变。

例如：

(1)将方程－5x＝2两边都除以-5得：x=-

(2)将方程x＝两边都乘以得：x=

这里的变形通常称为“将未知数的系数化为1”。

注意：

（1）如遇未知数的系数为整数，“系数化为1”时，就要除以这个整数；如遇到未知数的系数为分数，“系数化为1”时，就要乘以这个分数的倒数。

（2）不论上一乘以或除以数时，都要注意结果的符号。

方程的解的概念：能够使方程左右两边都相等的未知数的值，叫做方程的解。

求不方程的解的过程，叫做解方程。

（二）一元一次方程的概念及其解法

1．定义：只含有一个未知数，并且含有未知数的式子都是，未知数的次数是，这样的方程叫做一元一次方程。

例如：方程7-3x=4、6x=-2x-6都是一元一次方程。

而这些方程5x2－3x+1＝0、2x+y＝l－3y、＝5就不是一元一次方程。

2．一元一次方程的一般式为：ax+b=0（其中a、b为常数，且a≠0）

一元一次方程的一般式为：ax=b（其中a、b为常数，且a≠0）

3．解一元一次方程的一般步骤

步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，未知数的系数化为1。

注意：（1）方程中有多重括号时，一般应按先去小括号，再去中括号，最后去大括号的方法去括号，每去一层括号合并同类项一次，以简便运算。

（2）“去分母”指去掉方程两边各项系数的分母；去分母时，要求各分母的最小公倍数，去掉分母后，注意添括号。去分母时，不要忘记不等式两边的每一项都乘以最小公倍数（即公分母）

（三）一元一次方程的应用

1．纯数学上的应用：（1）一元一次方程定义的应用；（2）方程解的概念的应用；（3）代数中的应用；（4）公式变形等。

2．实际生活上的应用：（1）调配问题；（2）行程问题；（3）工程问题；（4）利息问题；（5）面积问题等。

3．探索性应用：这类问题与上面的几类问题有联系，但也有区别，有时是一种没有结论的问题，需要你给出结论并解答。

二、练习

1．下列各式哪些是一元一次方程。

(1)

+1=3x—4

(2)

=

(3)—x=o

(4)

一2x=0

(5)3x一y=l十2y

((1)、(2)、(3)都是一元一次方程，(4)、(5)不是一元一次方程)

2．解下列方程。

(1)(x一3)＝2一(x一3)

(2)

[(x一3)－]=1－x

注意认真审题，方程的结构特点。选用简便方法。

第(1)小题，可以先去括号，也可以先去分母，还可以把x一3看成一个整体，解关于x一3的方程。

方法—：去括号，得

x—=2—x+

移项，得

x+x=2＋＋

合并同类项，得

x=5

方法二：去分母，得

x一3＝4一x+3

(强调等号右边的“2”也要乘以2，而且不要弄错符号)

移项，得

x+x＝4+3十3

合并同类项，得

2x＝10

系数化为1，得

x=5

方法三：移项

(x一3)+(x一3)＝2

即

x一3=

∴

x＝5

第(2)小题有双重括号，一般情况是先去小括号，再去中括号，但本题结构特殊，应先去中括号简便，注意去中括号时，要把小括号看作一个整体，中括号里先看成2项。

解：去中括号，得(x一3)一×＝1一x

即

x一3一＝1一x

移项，得

x+x＝1+3+

合并同类项，得x＝

系数化为1，得

x=

也可以让学生先去小括号，让他们对两种解法进行比较。

3．解方程。

(l)

—=l+

(2)—x=+l

解：(1)去分母，得

3x一(5x十11)＝6+2(2x一4)

去括号，得

31—5x—11＝6+4x一8

移项，得

3x一5x—4x＝6—8十1l

合并同类项，得

一6x＝9

系数化为l，得

x＝一

点拨：去分母时注意事项，右边的“1”别忘了乘以6，分数线有两层含义，去掉分数线时，要添上括号。

(2)先利用分数的基本性质，将分母化为整数。

原方程化为

一x＝x十l

去分母，得

2(10—5x)一4x＝90x+6

去括号，得

20一l0x一4x=90x+6

移项，得

一l0x一4x一90x＝6—20

合并同类项，得

一104x=一14

系数化为1，得

x＝

点拨：“将分母化为整数”与“去分母”的区别。本题去分母之前，也可以先将方程右边的约分后再去分母。

4．解方程。

(1)｜5x一2｜＝3

(2)｜｜=1

分析：(1)把5x一2看作一个数a，那么方程可看作｜a｜＝3，根据绝对值的意义得a＝3或a＝一3

(2)把看作一个数，或把｜｜化成｜｜

解：(1)根据绝对值的意义，原方程化为：

5x一2＝3

或5x一2＝一3

解方程

5x一2＝3

得

x=l

解方程

5x一2=一3

得

x=－

所以原方程解为：x＝1或x＝－

(2)根据绝对值的意义，原方程可化为

=1或

=－1

解方程=1

得x=一1

解方程＝－1

得x＝2

所以原方程的解为x＝一1或x=2

5．已知，｜a一3｜+(b十1)2

=o，代数式的值比b一a十m多1，求m的值。

解：因为｜a一3｜≥0

(b+1)2≥0

又｜a一3｜+(b十1)2

=0

∴｜a一3｜＝0

且(b+1)2

=0

∴

a－3=0

b十l=0

即a＝3

b=

－1

把a=3，b=一1分别代人代数式,b－a+m

得=

×(一1)一3+m=一3+m

根据题意，得

一(－3十m)＝l

去括号

得

+3一m＝1

即

一＋－m＝l

∴

-十l＝1

∴

-=0

∴

m＝0

6．m为何值时，关于x的方程4x一2m＝3x+1的解是x＝2x一

3m的2倍。

解：关于；的方程4x一2m＝3x+1，得x＝2m+1

解关于x的方程

x＝2x一3m

得x＝3m

∵根据题意，得

2m+l=2×3m

解之，得

m＝

7．为了准备小勇6年后上大学的学费5000元，他的父母现在就参加了教育储蓄，下面有两种储蓄方式。

(1)直接存一个6年期，年利率是2.88％；

(2)先存一个3年期的，3年后将本利和自动转存一个3年期。3年期的年利率是2.7％。

你认为哪种储蓄方式开始存人的本金比较少?

分析：要解决“哪种储蓄方式开始存入的本金较少”，只要分别求出这两种储蓄方式开始存人多少元，然后再比较。

设开始存入x元。．

如果按照第一种储蓄方式，那么列方程：

x×(1十2.88％×6)＝5000

解得

x≈4263(元)

如果按照第二种蓄储方式，可鼓励学生自己填上表，适当时对学生加以引导，对有困难的学生复习：本利和＝本金十利息

利息：本金X利率X期数

等量关系是：第二个3午后本利和＝5000

所以列方程

1.081x·(1十2.7％×3)＝5000

解得

x≈4279

这就是说，大约4280元，3年期满后将本利和再存一个3年期，6年后本利和达到5000元。

因此第一种储蓄方式<即直接存一个6年期)开始存人的本金少。

8．解答下列各问题：

(1)据《北京日报》202_年5月16日报道：北京市人均水资源占有300立方米，仅是全国人均占有量的，世界人均占有量的，问全国人均水资源占有量是多少立方米?世界人均水资源占有量是多少立方米?

(2)北京市一年漏掉的水相当于新建一个自来水厂，据不完全统计，全市至少有6×l05个水龙头，2×l05个抽水马桶漏水，如果一个关不紧的水龙头，一个月能漏掉a立方米水，一个漏水马桶，一个月漏掉

b立方米水，那么一个月造成的水流失量至少有多少立方米?(用含a、b的代数式表示)

(3)水源透支令人担忧，节约用水迫在眉睫，针对居民用水浪费现象，北京市将制定居民用水标准，规定三口之家楼房每月标准用水量，超标部分加价收费，假设不超标部分每立方米水费1.3元，超标部分每立方米水费2.9元，某住楼房的三口之家某月用水12立方米，交水费

22元，请你通过列方程求出北京市规定三口之家楼房每月标准用水量是多少立方米?

10．爸爸为小明存了一个3年期的教育储蓄(3年期的年利率为2.7％)，3年后能取5405元，他开始存入了多少元?

11．一收割机收割一块麦田，上午收了麦田的25％，下午收割了剩下麦田的20％，结果还剩6公顷麦田未收割，这块麦田一共有多少公顷?

12．儿子今年13岁，父亲今年40岁，父亲的年龄可能是儿子年龄的4倍吗?

第七章　二元一次方程组

一、基本概念

（一）二元一次方程组的有关概念

1．二元一次方程的定义：都含有

个未知数，并且的次数都是1，像这样的整式方程，叫做二元一次方程。

一般形式为：ax+by=c（a、b、c为常数，且a、b均不为0）

结合一元一次方程，二元一次方程对“元”和“次”作进一步的理解；“元”与“未知数”相通，几个元是指几个未知数，“次”指未知数的最高次数。

例如：方程7y-3x=4、-3a+3=4-7b、2m+3n=0、1-s+t=2s等都是二元一次方程。

而6x2=-2y-6、4x+8y=-6z、=n等都不是二元一次方程。

2．二元一次方程组的定义：把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。

例如：、、、等都是二元一次方程组。

而、、等都不是二元一次方程组。

注意：（1）只要两个方程一共含有两个未知数，也是二元一次方程组。如：、也是二元一次方程组。

3．二元一次方程和二元一次方程组的解

（1）二元一次方程的解：能够使二元一次方程的左右两边都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。

（2）二元一次方程组的解：使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。（即是两个方程的公共解）

注意：写二元一次方程或二元一次方程组的解时要用“联立”符号“”把方程中两个未知数的值连接起来写。

二元方程解的写法的标准形式是：，（其中a、b为常数）

（二）二元一次方程组的解法

1．解二元一次方程组的基本思想：“消元”，化二元一次方程组为一元一次方程来解。

2．二元一次方程组的基本解法

（1）代入消元法（代入法）

定义：通过“代人”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程来解的这种解法叫做代人消元法，简称代入法。

步骤：①选取一个方程，将它写成用一个未知数表示另一个未知数，记作方程③。

②把③代人另一个方程，得一元一次方程。

③解这个一元一次方程，得一个未知数的值。

④把这个未知数的值代人③，求出另一个未知数值，从而得到方程组的解。

（2）加减消元法（加减法）

定义：通过将两个方程相加(或相减)，消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程来解，这种解法叫加减消元法，简称加减法。

步骤：①把两个方程同一个未知数的系数乘以适当的倍数，使得这两个未知数的绝对值相同。

②把未知数的绝对值相同的两个方程相加或相减，得一元一次方程。

③解这个一元一次方程，得一个未知数的值。

④把这个未知数的值代人原方程组中系数叫简单的一个方程，求出另一个未知数值，从而得到方程组的解。

注意：正确选用两种基本解二元一次方程组

（1）若二元一次方程组中有一个未知数系数的绝对值为1，适宜用“代入法”。

（2）用加减法解二元一次方程组，两方程中若有一个未知数系数的绝对值相等，可直接加减消元；若同一未知数的系数绝对值不等，则应选一个或两个方程变形，使一个未知数的系数的绝对值相等，然后再直接用加减法求解；若方程组比较复杂，应先化简整理。

（三）二元一次方程组的应用

1．纯数学上的应用：（1）二元一次方程定义的应用；（2）方程解的概念的应用；（3）代数中的应用；（4）公式变形等。

2．实际生活上的应用：（1）调配问题；（2）行程问题；（3）工程问题；（4）利息问题；（5）面积问题等。

3．探索性应用：这类问题与上面的几类问题有联系，但也有区别，有时是一种没有结论的问题，需要你给出结论并解答。

注意事项：

(1)在实际问题中，常会遇到有多个未知量的问题，和一元一次方程一样，二元一次方程组也是反映现实世界数量之间相等关系的数学模型之一，要学会将实际问题转化为二元一次方程组，从而解决一些简单的实际问题。

(2)二元一次方程组的解法很多，但它的基本思想都是通过消元，转化为一元一次方程来解的，最常见的消元方法有代人法和加减法。一个方程组用什么方程来逐步消元，转化应根据它的特点灵活选定。

(3)通过列方程组来解某些实际问题，应注意检验和正确作答，检验不仅要检查求得的解是否适合方程组的每一个方程，更重要的是要考察所得的解答是否符合实际问题的要求。

二、练习

1．求二元一次方程3x+y＝10的正整数解。

分析：求二元一次方程的解的方法是用一个未知数表示另一个未知数，如y＝10-3x，给定x一个值，求出y的一个对应值，就可得到二元一次方程的一个解，而此题是对未知数x、y作了限制必须是正整数，也就是说对于给定的x可能是1、2、3、4…但是当x＝4时，y＝

10-3×4=-2，y却不是正整数，因此x只能取正整数的一部分，即x=

1，x=2，x=3。

2．已知

x=1

2xn－m=5

y=2

是方程组

mx－ny=5的解，求m和n的值。

分析：因为，x=1，y＝2是方程组的解。

根据方程组解的定义和x=1，y＝2既满足方程①又满足方程②于是有：

2n-2m=5

③

m+2n＝3

④

解这个方程组即可。

3.A、B两地相距150千米，甲、乙两车分别从A、月两地同时出发，同向而行，甲车3小时可追上乙车；相向而行，两车1.5小时相遇，求甲、乙两车的速度。

分析：这里有两个未知数:甲、乙两车的速度；有两个相等关系：

(1)同向而行：甲3小时的行程＝乙3小时行程十150千米

(2)相向而行：甲1.5小时行程+乙1.5小时行程＝150千米

解设甲车的速度为x千米/时，乙车的速度为y千米/时。

根据题意，得

3x=3y+150

1.5x+1.5y=150

解这个方程组即可。

4.一个三位数，各数位上的数字之和为13，十位上的数字比个位上的数字大2，如果把百位上的数字与个位上的数字对调，那么所得新数比原来的三位数大99，求这个三位数。

分析：怎样设未知数?直接设可以吗?

这里有三个未知数——个位上的数字，百位上的数字及十位上数字，若用二元一次方程组求解，该怎样设未知数?

由“十位上数字比个位上的数字大2”，可设原三位数的个位上的数字为x，则十位上数字为x+2，另设百位上数字为y.如何表示原三位数和新三位数?

100y+10(x+2)+x，l00x+l0(x+2)+y

2个等量关系是什么?

(1)百位上数字十十位上数字十个位上数字＝13

(2)新三位数一原三位数=99

根据题意，得

x+(x+2)+y=13

[100x+10(x+2)+y]-[100y+10(x+2)+x]=99

解这个方程组即可。

5．某旅行团从甲地到乙地游览。甲、乙两地相距100公里，团中的一部分人乘车先行，余下的人步行，先坐车的人到途中某处下车步行，汽车返回接先步行的那部分人，已知步行时速是8公里，汽车时速是40公里，问要使大家在下午4:00同时到达乙地，必须在什么时候出发?

分析：这个问题实质上求的是如果按题设的行走方式，至少需要多少个小时?

本题比较复杂，引导学生用线段图帮助分析。

X公里

A　　　　　　D

y公里

B

C

甲　　　　　上车点　下车点　　　　　　乙

(1)汽车从A→B→D所需的时间与先步行的一部分人从A到D所需的时间相等。

(2)汽车从B→D→C所需的时间与后步行的一部分人从B到C所需要的时间相等。

因此可设先坐车的一部人下车地点距甲地x公里，这一部分人下车地点距另一部分人的上车地点相距y公里，如图所示。

由以上两个等量关系，得：

=

=

解方程组即可得到方程组的解。

例2：方程组　　ax+by=62的解应为

x＝8

mx-20y=-224　　　　　　　　y＝10

但是由于看错了系数m，而得到的解为，求a+b+m的值；

第8章　　　一元一次不等式

一、基本概念

（一）不等式的有关概念和性质

1．不等式的定义：用

表示不等关系的式子叫做不等式。

常见不等号：＞、＜、≥、≤、≠。

注：“>”、“<”不仅表示左右两边不等关系，还明确表示左右两边的大小；“≤”、“≥”也表示不等，前者表示“不大于”(小于或等于)，后者表示“不小于”(大于或等于)，“≠”表示左右两边不相等

例如：方程7y-3x＞4、-3a+3≤4-7a、2m+3n≠0等都是不等式。

而-2y-6、4x+8y=-6z等都不是不等式。

2．不等式解的定义：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

例如：不等式120<5x中x＝25，26，27，…等都是120<5x的解，而x＝24，23，22，21则都不是不等式的解。

3．不等式的解集

（1）定义：一个不等式的所有解，组成这个不等式解的集合，简称为这个不等式的解集。

（2）求不等式的解集的过程，叫做解不等式。

（3）在数轴上表示不等式的解集：

没有等号画空心圆圈，有等号画实心圆点。“大于”向右画，“小于”向左画。

4．不等式的基本性质

不等式的基本性1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数(或式子)，不等号的方向。

即：如果a＞b，那么a+c＞b+c，a-c＞b-c；

如果a＜b，那么a+c＜b+c，a-c＜b-c.不等式的基本性2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个，不等号的方向不变。

即：如果a＜b，c>0，那么ac＜bc，a/c＜b/c

不等式的基本性3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的。

即：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc，a/c＜b/c

（二）解一元一次不等式

1．一元一次不等式的定义：只含有一个未知数，且含未知数的式子是整式，未知数的次数是1，像这样的不等式叫做一元一次不等式。

例如：方程7-3x＞4、6x≤-2x-6、3x≠-2x+150都是一元一次不等式。

而这些方程5x2－3x+1≥0、2x+y＜l－3y、≠5就不是一元一次不等式。

2．一元一次不等式的解法

解一元一次不等式的一般步骤

步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，未知数的系数化为1。

注意：（1）不等式中有多重括号时，一般应按先去小括号，再去中括号，最后去大括号的方法去括号，每去一层括号合并同类项一次，以简便运算。

（2）“去分母”指去掉不等式两边各项系数的分母；去分母时，要求各分母的最小公倍数，去掉分母后，注意添括号。去分母时，不要忘记不等式两边的每一项都乘以最小公倍数（即公分母）。

不等式的解法与解一元一次方程类似，完全可以把解一元一次方程的思想照搬过来。

（三）一元一次不等式组

1．一元一次不等式组的定义：几个一元一次不等式合起来就组成一元一次不等式组

与二元一次方程组不同的是，这里的“几个”可以两个，也可以三个，或更多个。

2．一元一次不等式组的解集：不等式组中几个不等式的解集的公共部分，叫做这个不等式组的解集。

3．一元一次不等式组的解集的确定规律

同“大”取大，同“小”取小，“大”小“小”大中间找，“大”大“小”小无解了

4．一元一次不等式组的解法

求不等式组的解集的过程,叫做解不等式组。

一般步骤：

（1）分别解不等式组中的每个不等式；

（2）把每个不等式组的解集在数轴上表示出来；

（3）找出各个不等式解集的公共部分；

（4）再结合不等式组解集的确定规律，写出不等式组的解集。

（四）一元一次不等式（组）的应用

1．纯数学上的应用：（1）一元一次不等式定义的应用；（2）不等式解集的概念的应用；（3）代数中的应用；

2．实际生活上的应用：（1）调配问题；（2）行程问题；（3）工程问题；（4）利息问题；（5）决策问题等。

3．探索性应用：这类问题与上面的几类问题有联系，但也有区别，有时是一种没有结论的问题，需要你给出结论并解答。

二、练习

（一）选择题：

1、若a>b则（）2、D

A、a－2

B、2a<2b

C、D、a+5>b+52、不等式x>－3的解集是（）3、A

A、x>－6

B、x>

C、x<

D、x<－63、下列结论中，正确的是（）4、A

A、x<0的解集是x<0

B、的解集是x<

C、3x<－5的解集是x>

D、的解集是x≥04、若代数式3x+4的值不大于0，则x的取值范围是（）6、B

{

2x>5

－x≥－4

A、B、C、D、5、不等组的整数解是（）7、C

A、－4

B、2、3、4

C、3、4

D、46、如果不等式（a－1）x>（a－1）的解集是x<1，那么a的取值范围是（）9、C

A、a≤1

B、a>1

C、a<1

D、a<0

（二）填空题：

1、用不等表示：x的3倍大于511、3x>5。

2、不等式2x－1>0的解集是

12、x>1/2；

不等式－2x<10的解集是

x>-5。

3、x－1<2的正整数解是13、1,2。

4、在－2（x+2）<2的两边都除以

14、-2

时，x+1>－1的依据是

不等性质3。

5、由xay，a应满足的条件是

15、a<0。

（三）解答题

1、解不等式并把它的解集在数轴上表示出来

5x－1>8x+3.1、解：

5x－1>8x+3.5x-8x>1+3

-3x>4

x<-4/32、已知y=5－3x

试求：当x取何值时，y＞o。

2、解：y>0，即

5-3x>0

-3x>-5

x<5/33、解不等式

3、解：2(x-1)-3(x+4)>-12

2x-2-3x-12>-12

-x>2

x<-2

{

4、5x+4<3(x+1)

4、解：不等式①

5x+4<3x+3

2x<-1

x<

不等式②

5x+5≥x-2

4x≥-7

x≥

{

∴不等式组的解集为：≤x<（数轴略）

5、x+2>0

x－3>0

x－6≤0

解：不等式①

x>-2

不等式②

x>3

不等式③

x≤6

∴不等式组的解集为3

（五）应用题

1、如果关于的不等式正整数解为1,2,3,正整数应取怎样的值?

2、某旅游团有48人到某宾馆住宿,若全安排住宾馆的底层,每间住4人,房间不够;每间住5人,有一个房间没有住满5人.问该宾馆底层有客房多少间?

2、设该宾馆有x间宿舍；则x取10或11.第九章　多边形

一、基本概念

（一）三角形有关概念

1．三角形定义：三角形是由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形，这三条线段就是三角形的边。

三角形专用符号：“△”

A（顶点）

2．三角形的顶点、边

B

C

组成三角形的线段如图中的AB、BC、AC是这个三角形的三边，两边的公共点叫三角形的顶点。(如点A等)三角形顶点只能用大写字

母表示，整个三角形表示为△ABC。

3．三角形的内角，外角的概念：

（1）内角：每两条边所组成的角叫做三角形的内角，如∠BAC等。每个三角形有三个内角，（2）外角：三角形中内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角

叫做三角形的外角，如下图中∠ACD是∠ABC的一个外角，A

它与内角∠ACB相邻。

外角

例如右图中∠ACD是∠ABC的一个外角，它与内角∠ACB相邻。

B

C

D

与△ABC的内角∠ACB相邻的外角有几个?它们之间有什么关系?

一个三角形共有几个外角？

4．三角形的分类

（1）三角形按角分类可分为：

各类三角形的定义

锐角三角形：所有内角都是锐角的三角形叫锐角三角形；

直角三角形：有一个内角是直角的三角形叫直角三角形；

钝角三角形：有一个内角是钝角的三角形叫钝角三角形。

（2）三角形按边分类可分为：

各类三角形的定义

不等边三角形：三边互不相等的三角形叫做不等边三角形；

等腰三角形：有两条边相等的三角形叫等腰三角形。相等的两边叫做等腰三角形的腰。

等边三角形；三条边都相等的三角形叫等边三角形(或正三角形)。

5．三角形的中线、角平分线、高（记住这重要的三线）

三角形的中线：三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线。

三角形的角平分线：三角形内角的平分线与对边的交点和这个内角顶点之间的线段叫三角形的角平分线。

三角形的高：过三角形顶点作对边的垂线，垂足与顶点间的线段叫三角形的高。

注意：

(1)一个三角形中三条中线(高、角平分线)之间的位置关系怎样?

[三条中线交于一点，三条角平分线交于一点，三条高所在的直线交于一点]

(2)一个三角形的三条中线(角平分线)的交点与三角形有怎样的位置关系?

[三条中线(角平分线)相交于一点，这一点在三角形内部]

(3)直角三角形的三条高，它们有怎样的位置关系?钝角三角形呢?

[直角三角形有一条高在三角形内部，另外两条就是直角三角形的两条直角边，三条高的交点就是直角三角形的直角顶点，钝角三角形有一条高在形内，两条高在形外，三条高所在的直线的交点在形外。]

(4)以上三线都是线段。

（二）三角形外角的性质以及其外角的和

1．三角形外角的性质：

(1)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；

(2)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

A

如图：

D是△ABC边BC上一点，则有∠ADC＝∠DAB+∠ABD；

∠ADC>∠DAB，∠ADC>∠ABD

B

D

C

问：∠ADB＝∠()+∠()

2．三角形外角的和。

三角形的外角与和它相邻内角有什么关系?(互补)

（1）三角形外角和的定义：与三角形的每个内角相邻的外角分别有两个，这两个外角是对顶角，从与每个内角相等的两个外角中分别取一个相加，得到的和称为三角形的外角和。

（2）三角形外角和定理：三角形的外角和是360°

（三）三角形的三边关系

1．三角形三边不等关系定理：三角形的任何两边的和大于第三边。

三角形的任何两边的差小于第三边。

即三角形第三边的取值范围是：

|任何两边的差|＜第三边＜任何两边的和

以上定理主要用语判断给出一定长度的线段能否构成三角形和求第三边的取值范围。

2．三角形具有稳定性

这就是说三角形的三条边固定，那么三角形的形状和大小就完全确定了。三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。四边形就不具有这个性质。

（四）多边形的内角和与外角和

1．多边形及其相关概念

定义：由n条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形，记为n边形，又称多边形。

一个n边形有n个内角，有2n个外角。

如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，则称为正多边形，如正三角形、正四边形(正方形)、正五边形等等。

对角线：连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。

从n边形的一个顶点引对角线，可以引(n-3)条，这(n-3)条对角线把n边形分成（n-2）个三角形。

从n边形的所有顶点引对角线的总条数为：条。

2．多边形的内角和公式

n边形的内角和＝(n-2)·180°

3．多边形的外角和。

（1）多边形的外角和定义：从与每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加，得到的和称为多边形的外角和。

（2）多边形的外角和定理：多边形的外角和等于360°。

多边形的外角和与多边形的边数无关。

（五）用正多边形拼地板

1．用相同的正多边形拼地板：能拼成既不留空隙，又不重叠的平面图形的关键是围绕一点拼在一起的几个多边形的内角相加恰好等于360°。

在正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边形中能够拼出完整地面是

这就是说，当(360°÷)为正整数时

即为正整数时，用这样的正n边形就可以铺满地面。

设正多边形的个数为n，每个内角为α，则要铺满地面，它们满足下列关系：αn=360°

2．用多种正多边形拼地板

铺垫满地面的标志：满足围绕一点的这几个正多边形的一个内角的和等于360°

设正多边形甲的个数为n，每个内角为α，正多边形乙的个数为m，每个内角为β，则它们满足下列关系：αn+βm=360°

二、练习

1．下列各组中的数分别表示三条线段的长度，试判断以这些线段为边是否能组成三角形。

(1)3，5，2

(2)a，b，a+b

(a>0，b>0)

(3)3，4，5

(4)m+1，2m，m+l(m>0)

(5)a+1，2，a+5(a>0)

2．如图(1)，∠BAC＝90°，∠1＝∠2，AM⊥BC，AD⊥BE，那么∠2＝∠3＝∠4，你知道这是为什么?

3．如图(2)，DC平分△ABC的外角，与

BA的延长线于D，那么∠BAC＞∠B，为什么?

4．在下列四组线段中，可以组成三角形的是（）

①1，2，3

②4，5，6③1，,④15，72，90

A．1组

B．2组

C

3组

D．4组

5．下列四种说法正确的个数是（）

①一个三角形的三个内角中至多有一个钝角

②一个三角形的三个内角中至少有2个锐角

③一个三角形的三个内角中至少有一个直角

④一个三角形的三个外角中至少有两个钝角

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

6．△ABC中，三边长为6、7、x，则x的取值范围是（）

A．2

B．1

C．6

D．无法确定

7．等腰三角形两边长分别是5和7，则该三角形周长为（）

A．17

B．19

C17或19

D．无法确定

8．△ABC的三边a、b、c都是正整数，且满足0≤a≤b≤c，如果b＝4，问这样的三角形有多少个?

9．如图(1)依图填空：

（1）在△ABC中，BC边上的高是

（）

（2）在△AEC中，AE边上的高是

（）

（3）在△FEC中，EC边上的高是

（）

（4）AB＝CD＝2cm，AE＝3cm，则△AEC的面积S=（），CE＝（）

分析：在非标准位置的三角形中，运用定义识别直角三角形、钝角三角形的高，利用三角形面积公式S△AEC＝×AE×CD＝CE×AB可求得CE。

10．如图(2)，在△ABC中，D是BC上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝63°，求∠DAC的数。

分析：∠DAC是△DAC的内角，可先求出∠4或∠3，∠4既是△ADC的内角，又是△ABD的外角，所以可利用三角形内角和与外角性质，可建立∠4和∠2(或∠1)的关系式，进而可求出∠DAC。

11．如图(3)，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于0，那么∠BDC＝90°+

∠A，你会说明这个结论正确?

分析：因为∠BDC是△BDC的内角，所以根据三角形内角和的定理，∠BDC=180°－∠l－∠2

12．已知多边形的一个内角的外角与其它各内角和为600°，求边数及相应的外角的度数。

分析：根据多边形的内角和公式，已知内角和可求边数,由于内角和中的一个内角换成了一个外角,所以设辅助未知数x,根据其外角小于

180°，列方程。

第十章　轴对称、平移与旋转

一、基本概念

（一）轴对称图形的有关概念

1．轴对称图形定义：把一个图形沿着某条直线对折，对折的两部分是完全重合的，这样的图形称为轴对称图形，这条直线叫做这个图形的对称轴。

常见的基本轴对称图形：线段、直线、角、等腰三角形、正三角形、长方形、正方形、等腰梯形、菱形、圆等。

注意：轴对称图形是一个图形所具有的特性，不是“两个”图形的位置。

2．轴对称（即关于某条直线成轴对称）的定义：把一个图形沿着某一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形成轴对称，这条直线就是它们的对称轴，两个图形中的对应点(即两图形重合时互相重合的点)叫做对称点。

注意：轴对称是两个图形的空间位置，不是“一个”图形的特性。

3．轴对称

(或关于某条直线成对称的两个图形)的性质：

（1）轴对称图形(或关于某条直线成对称的两个图形)沿对称轴对折后的两部分完全重合，所以它的对应线段(对折后重合的线段)相等，对应角(对折后重合的角)相等。

（2）关于某直线成轴对称的两个图形的大小和形状完全相同。

（3）对称轴垂直平分对称点的连线。

4．轴对称图形与两个图形成轴对称的区别与联系：

如图(1)，如果沿着虚线对折，直线两旁的部分会完全重合，那么这个图形就是轴对称图形。

如图(2)，如果沿着虚线折叠，右边的图形会与左边的图形完全重合，那么就说这两个图形关于虚线这条直线成轴对称。

5．如何画图形的对称轴？

（1）画轴对称图形的对称轴

任意找一对对称点，连接这对对称点，画出所连线段的垂直平分线。这条垂直平分线就是该轴对称图形的对称轴。

（2）画成轴对称两个图形的对称轴：

任意找一对对称点，连接这对对称点，画出所连线段的垂直平分线。这条垂直平分线就是该轴对称图形的对称轴。

6．画轴对称图形

有一个图形、一条直线，那么如何画出这个图形关于这条直线的对称图形呢?

（1）基本思想：如果图形是由直线、线段或射线组成时，那么画出图形的各点的关于这条直线成轴对称的对称点。然后连结对称点，就可以画出关于这条直线的对称图形。

（2）基本画法规律：“作垂线”，“顺延长”，“取相等”，最后连接对称点。

（二）线段的垂直平分线相关概念和性质

1．线段是轴对称图形，线段的垂直平分线就是它的对称轴。

2．线段垂直平分线的定义：垂直并且平分一条线段的直线称为这条线段的垂直平分线，或中垂线。

3．线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。（这是点到点的距离，即两点间的距离）

（注意结合对称性来理解这个性质）

（三）角平分线的性质

1．角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴。

2．角平分线的性质：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。（这是点到直线的距离）

（四）设计轴对称图案

5个步骤一起来画。

(1)在正方形纸片上画出四条对称轴。

(2)在其中一个三角形中，如图，画出图形形状的基本线条。(注意：不同的线条最终会得到不同的图案，你可以自己设计线条，而不必和书上一样。)

(3)按照其中一条斜的对称轴画出(2)中图形的对称图形。

(4)按照另一条斜的对称轴画出(3)中图形的对称图形。

(5)按照水平(或垂直)对称画出(4)中图形的对称图形，即得到图(3)中的图。

二、练习

一、填空与选择:

1.轴对称图形是指_________,其对称轴是___________.2.轴对称所具有的性质是________.3.在照镜子时,小明发现其上衣右上部有一个口袋,则小明上衣上的口袋应在_________.4.等腰三角形_______轴对称图形,它的对称轴是________.5.角和线段均是轴对称图形,其中角有_____条对称轴,其对称轴是_____.6.在△ABC中,AB=AC,∠A=50°,则∠B=_______.7.在∠AOB中,OP是其角平分线,且PE⊥OA于E,PF⊥OB于F,则PE与PF的关系是_________.8.如图,DE是线段BC垂直平分线上两点,连DB、DC、EB、EC,则∠DBC

与∠DCB的关系是________,∠DBE与∠DCE的关系是_________.9.下列图案中,是轴对称图形的是（）

10.下列图案中,是轴对称,且对称轴有且只有两条的是（）

11.如图,L1、L2、L3表示三条公路相互交叉,现要建一个货物

中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选的地方有几处（）

A.1

B.2

C.3

D.4

二、解答题

12.如图,两个班的学生分别在M、N处参加植树劳动,现在要在道路AB、AC的交叉处设一个茶水供应站,使点P到AB、AC的距离相等,且P到M处,P到N处的距离也相等,一个同学说:“只要作出角的平分线,线段MN的垂直平分线,它们的交点处设茶水供应站就可以.”你认为他的做法对吗?如果对,请画出P点位置,如果不对,请说明理由.(10分)

13．请用笔尖在一张对折的纸上扎出一个你喜欢的图案,将纸打开,贴在下面空白处,观察你的图案,你发现了什么?请说出来.(10分)

14．以虚线为对称轴画出图的另一半.(10分)

15．在健美操训练房的墙壁上有一面大镜,小明、小颖、珍珍三人正在训练,从镜中看,小明在小颖的右后方,而珍珍在小颖的左前方,小明、小颖、珍珍上衣上的代码依次可见为Q、M,你能说出他们实际所站的方位吗?并请说出他们上衣上的数字或字母各是多少?(10分)

答案：

1.略

2.略

3.左上部

4.是,底边上的高线所在直线

5.1,角平分线所在的直线

6.65°

7.相等

8.相等,相等

9.B

10.C

11.D

12.对

13.略

14略

15.珍珍在小颖的右前方,小明在小颖的左后方,9,M,F