【椭圆】

一、椭圆的定义

1、椭圆的第一定义：平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数，这个动点的轨迹叫椭圆。这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距。

注意：若，则动点的轨迹为线段；

若，则动点的轨迹无图形。

二、椭圆的方程

1、椭圆的标准方程（端点为a、b，焦点为c）

（1）当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；

（2）当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；

2、两种标准方程可用一般形式表示：

或者

mx2+ny2=1

三、椭圆的性质（以为例）

1、对称性：

对于椭圆标准方程：是以轴、轴为对称轴的轴对称图形；并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。

2、范围：

椭圆上所有的点都位于直线和所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足。

3、顶点：

①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。

②椭圆与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为，。

③线段，分别叫做椭圆的长轴和短轴。和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

4、离心率：

①

椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用表示，记作。

②

因为，所以的取值范围是。越接近1，则就越接近，从而越小，因此椭圆越扁；反之，越接近于0，就越接近0，从而越接近于，这时椭圆就越接近于圆。

当且仅当时，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为。

③

离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关。

注意：椭圆的图像中线段的几何特征（如下图）：

5、椭圆的第二定义：

平面内与一个定点（焦点）和一条定直线（准线）的距离的比为常数e，（0＜e＜1）的点的轨迹为椭圆（）。

即：到焦点的距离与到准线的距离的比为离心率的点所构成的图形，也即上图中有。

①焦点在x轴上：（a＞b＞0）准线方程：

②焦点在y轴上：（a＞b＞0）准线方程：

6、椭圆的内外部

（1）点在椭圆的内部

（2）点在椭圆的外部

四、椭圆的两个标准方程的区别和联系

标准方程

图形

性质

焦点，焦距

范围，对称性

关于轴、轴和原点对称

顶点，轴长

长轴长=，短轴长=

离心率

准线方程

焦半径，五、其他结论

1、若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是

2、若在椭圆外，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是

3、椭圆

(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F

2，点P为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点角形的面积为

4、椭圆（a＞b＞0）的焦半径公式：,(,)

5、设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交

P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP

和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF。

6、过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF。

7、AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，即。

8、若在椭圆内，则被Po所平分的中点弦的方程是

9、若在椭圆内，则过Po的弦中点的轨迹方程是

10、点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角

11、PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点

12、以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离

13、以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切