第一篇：第5课时数列的综合应用

课题：数列的综合应用

教学目标：熟练掌握等差（比）数列的基本公式和一些重要性质，并能灵活运用性质解决有关的问题，培养对知识的转化和应用能力．

教学重点：等差（比）数列的性质的应用．

（一）主要知识：

1.等差数列的概念、性质及基本公式。2.等比数列的概念、性质及基本公式。

（二）主要方法：

1.解决等差数列和等比数列的问题时，通常考虑两类方法：①基本量法：即运用条件转化为关于a1和d(q)的方程；②巧妙运用等差数列和等比数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．

2.深刻领会两类数列的性质，弄清通项和前n项和公式的内在联系是解题的关键． 3.解题时，还要注重数学思想方法的应用，如“函数与方程”、“数形结合”、“分类讨论”、“化归转化”.（三）典例分析：

问题1．1若互不相等的实数a、b、c成等差数列，c、a、b成等比数列，且a3bc10，则aA.4B.2C.2D.

42设等差数列an的公差d不为0，a19d．若ak是a1与a2k的等比中项，则k

A.2B.4C.6D.8

(ab)

2则3已知x0，y0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，cd的最小值是A.0B.1C.2D.4

aaa4已知等差数列{an}的公差d0，且a1,a3,a9成等比数列，则139a2a4a10

5(07全国Ⅰ)等比数列an的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则an的公比为问题2．设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1b11，a3b521，a5b31

3an求，的通项公式；求数列{b}{a}21的前n项和Sn． nnbn

问题3．（05全国Ⅲ）在等差数列an中，公差d0，a2是a1与a4的等比中项，已知数列a1、a3、ak1、ak2...、akn、...成等比数列，求数列an的通项kn

问题4．（08届东北师大附中高三月考）数列{an}的前n项和记作Sn，满足Sn2an3n12，(nN*)．

1证明数列{an3}为等比数列；并求出数列{an}的通项公式．

2记bnnan，数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn．

问题5.已知数列{an}（n为正整数）是首项是a1，公比为q的等比数列.01201231求和：a1C2a2C2a3C2,a1C3a2C3a3C3a4C3;

2由1的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论，并加以证明.（四）巩固练习：

1.在等差数列an中，若a100，则有不等式a1a2an

a1a2a19nn19,nN*成立，相应地：在等比数列bn，若b91，则有不等式成立.2.定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.已知数列{an}是等和数列，且a12，公和为5，那么a18的值为_____，这个数列的前n项和Sn的计算公式为________

3.设an是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和，若Sn是等差数列，则q4.有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．

（五）课后作业：

5.若Sn是公差不为0的等差数列an的前n项和，且S1,S2,S4成等比数列.1求数列S1,S2,S4的公比;2若S24，求an的通项公式.6.已知{an}是公比为q的等比数列，且a1,a3,a2成等差数列.1求q的值；2设{bn}是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为Sn，当n≥2时，比较Sn与bn的大小，并说明理由.（六）走向高考：

7.（07陕西）已知各项全不为零的数列{an}的前k项和为Sk，且

1Skakak1(kN*)，其中a11．1求数列{an}的通项公式；2对任意给定的正2

bkn，2，n1）整数n(n≥2)，数列{bn}满足k1（k1，b11，求bkak1

b1b2bn．

8.设数列{an}的前n项和为Sn2n2，{bn}为等比数列，且a1b1，b2(a2a1)b1，1求数列{an}和{bn}的通项公式；

2设cn

数列an的通项公式； an，求数列{cn}的前n项和Tnbn9.已知实数列an是等比数列，其中a71，且a4，a51，a6成等差数列．（Ⅰ）求，2，3，)．（Ⅱ）数列an的前n项和记为Sn，证明：Sn128(n1

*2210.（07湖南）设Sn是数列{an}（nN）的前n项和，a1a，且Sn3n2anSn1，3，4，． an0，n2，（Ⅰ）证明：数列{an2an}（n≥2）是常数数列；

*（Ⅱ）试找出一个奇数a，使以18为首项，7为公比的等比数列{bn}（nN）中的所有项都是数列{an}中的项，并指出bn是数列{an}中的第几项．

11.(202_山东)在等差数列{an}中，a3a4a584,a973，1）求数列{an}的通项公式 2）任意的正整数m,数列{an}中落入（9m,92m)内的项的个数记为bm,求数列{bm}的前n项和

12.（07上海）如果有穷数列a1,a2,a3,,am（m为正整数）满足条件a1am，2，m），我们称其为“对称数列”．a2am1，…，ama1，即aiami1（i1，2521与数列8，，，42248都是“对称数列”例如，数列1，，．，其中b1,b2,b3,b4是等差数列，且b12，b411．依1设bn是7项的“对称数列”

次写出bn的每一项；，其中c25,c26,c27,,c49是首项为1，公比为2的等2设cn是49项的“对称数列”

比数列，求cn各项的和S；，其中d51,d52,,d100是首项为2，公差为3的等差3设dn是100项的“对称数列”

2，100)．数列．求dn前n项的和Sn(n1，

第二篇：(教案)数列综合应用

专题三：数列的综合应用

备课人：陈燕东 时间： 备课组长

[考点分析]

高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面；

（1）数列本身的有关知识，其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式。（2）数列与其它知识的结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合。（3）数列的应用问题，其中主要是以增长率问题为主。

试题的难度有三个层次，小题大都以基础题为主，解答题大都以基础题和中档题为主，只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度较大。

【例题精讲】

【题型1】求和，求通项

例1．设数列an的前n项和Sn=2n+1-2，数列bn满足bn（1）求数列an的通项公式；（2）求数列bn的前n项和Tn．

1．(n1)log2an变式训练1：已知数列an是公差不为0的等差数列，a12，且a2，a3，a41成等比数列．（1）求数列an的通项公式；（2）设bn

2，求数列bn的前n项和Sn．

nan2变式训练2．已知数列{an}的各项均为正数，Sn是数列{an}的前n项和，且4Snan2an3．（1）求数列{an}的通项公式；

（2）已知bn2n,求Tna1b1a2b2anbn的值．

2备选例题1．已知数列an的前n项和为Sn，且2Snnn.2（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn12an1,(nN*)求数列{bn}的前n项和Sn.anan

1备选例题2．已知数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项和错误！未找到引用源。，数列错误！未找到引用源。满足错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。．（1）求数列错误！未找到引用源。的通项错误！未找到引用源。；（2）求数列错误！未找到引用源。的通项错误！未找到引用源。；

（3）若错误！未找到引用源。，求数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项和错误！未找到引用源。．

【题型2】证明题

例2.已知数列an的前n项和为Sn，a11，an0，anan1Sn1，其中为常数，（I）证明：an2an；

（II）是否存在，使得an为等差数列？并说明理由.变式训练．已知函数fx123xx，数列an的前n项和为Sn，点n,SnnN均在函数22yfx的图象上.（1）求数列an的通项公式an；（2）令cn

【题型3】创新题型

例

3、设正项等比数列an的首项a11anan1，证明：2nc1c2cn2n.2an1an1，前n项和为Sn，且210S30(2101)S20S100。2（Ⅰ）求an的通项；（Ⅱ）求nSn的前n项和Tn。

备选例题： 1.在等差数列{an}中，公差d0,a2是a1与a4的等比中项.已知数列a1,a3,ak1,ak2,,akn,成等比数列，求数列{kn}的通项kn.【题型4】数列与不等式的综合题

例

4、已知有穷数列{an}共有2k项（整数k≥2），首项a1＝2．设该数列的前n项和为Sn，且an1＝，其中常数a＞1．(a1)Sn＋2（n＝1，2，┅，2k－1）（1）求证：数列{an}是等比数列；（2）若a＝22，┅，2k），求数列{bn}的通项公式；（3）若（2）中的数列{bn}满足不等式|b1－

【题型5】数列与函数的综合题

例

5、设数列{an}的前n项和为Sn，点(n,Sn)(nN)均在函数y＝3x－2的图像上。（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn有nN都成立的最小正整数m。

本小题主要是考查等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力。22k1，数列{bn}满足bn＝

1log2(a1a2an)（n＝1，n3333|＋|b2－|＋┅＋|b2k1－|＋|b2k－|≤4，求k的值． 2222m3，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn对所

20anan1

第三篇：数列综合应用作业

数列求和及数列的综合应用课时作业

一、选择题

1．数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，则a6＝()A．3×44B．3×44＋1C．44

D．44＋1

2．(202_·昆明模拟)已知数列{a2ann为正奇数，n}满足a1＝1，an＋1＝则其前an

＋1n为正偶数，6项之和是

()

A．16B．20C．33

D．120

3．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln1＋1

n，则an＝()A．2＋ln nB．2＋(n－1)ln nC．2＋nln n

D．1＋n＋ln n

4．若数列{a满足1

a1

n}＝d(n∈N*，d为常数)，则称数列{an＋1an

n}为“调和数列”．已知正项数

列{1

b为“调和数列”，且b1＋b2＋„＋b9＝90，则b4·b6的最大值是()n

A．10B．100C．200

D．400

5．(202_·青岛模拟)已知函数f(n)＝n2cos(nπ)，且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋„＋a100＝()

A．0B．－100C．100D．10 200

二、填空题

6．(202_·泉州模拟)数列{an}满足a1＝1，log2an＋1＝log2an＋1(n∈N*)，它的前n项和为Sn，则满足Sn>1 025的最小n值为________．

7．(202_·吉林模拟)已知正项等比数列{an}中，a1＝3，a3＝243，若数列{bn}满足bn＝log3an，则数列1b的前n项和Snbn＋1

n＝________.8．(202_·课标全国卷Ⅱ)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10＝0，S15＝25，则nSn的最小值为________．

三、解答题

9．(202_·江西高考)正项数列{an}的前n项和Sn满足：S2n－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0.(1)求数列{an}的通项公式an；

(2)令bn＋1n＝n＋2a{bn}的前n项和为Tn，证明：对于任意的n∈N*，都有T5nn<64.10．(202_·湛江模拟)设数列{an}满足：a1＝5，an＋1＋4an＝5(n∈N*)，(1)是否存在实数t，使{an＋t}是等比数列？(2)设数列bn＝|an|，求{bn}的前2 013项和S2 013.11．设数列{a3

n}的前n项和为Sn，点(an，Sn)在直线y2x－1上．

(1)求数列{an}的通项公式．

(2)在a1

n与an＋1之间插入n个数，使这n＋2个数组成公差为dn的等差数列，求数列dn的前n

项和Tn.

第四篇：数列综合

1．等比数列{an}中，a2＝9，a5＝243，则{an}的前4项和为().A．81B．120C．168D．19

22．设Sn是等差数列an的前n项和，若S735，则a4（D）

A．8B．7C．6D．

53．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若

A．1B．－1S5a5＝，则9＝()． S5a39C．2D．1 2

4.设an是公差为正数的等差数列，若a1a2a315，a1a2a380，则a11a12a13（）

A．120B．105C．90D．75

5.有两个等差数列{an}，{bn}，其前n项和分别为Sn，Tn，若

()

6512

721

3变式练习：37894Sn7n＋2a5＝，则＝Tnb5n＋3

a9＋a1011.等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，a3,2a2成等差数列，则的值为2a7＋a8

()

A．1＋2B．12

C．3＋22D．3－22

2.已知数列{an}，{bn}满足a1＝1，且an，an＋1是函数f(x)＝x2－bnx＋2n的两个零点，则b10等于

A．24B．32C．48D．6

43.已知数列an满足3an1an0,a2

-10A．-61-3 4,则an的前10项和等于（）3B．11-3-10 9-10C．31-3 -10D．31+3 

4.已知Sn是等比数列{an}的前n项和,S4,S2,S3成等差数列,且a2a3a418.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;

6.若数列{an}是等差数列，首项a1＞0，a2 003＋a2 004＞0，a2 003·a2 004＜0，则使前n项和Sn最大的自然数n是

7.在数列{an}中，an

1nn1，且Sn9，则n8.如果等差数列an的前4项的和是2，前9项的和是-6，其前n项和9.若数列an满足：a11,an12an.n1，2，3….则a1a2an.10已知数列an的通项公式an=3n－50，则当n=___时，Sn的值最小，Sn的最小值是_______

11.数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝

是等比数列

12.已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列,求{an}的通项公式

13.已知单调递增的等比数列{an}满足：a2＋a3＋a4＝28，且a3＋2是a2，a4的等差中项．

求数列{an}的通项公式；

14.设等差数列an的前n项和公式是Sn5n23n，求它的前3项，并求它的通项公式

等差数列{an}的前n项和记为Sn.已知a10＝30，a20＝50，(1)求通项an；

(2)若Sn＝242，求n.31115.已知数列{an}中，a1＝an＝2－(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn(n∈N*)． 5an－1an－1n2SSn(n＝1，2，3…)求证：数列{n}nn

(1)求证：数列{bn}是等差数列；

(2)求数列{an}中的最大值和最小值，并说明理由．

16.已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n项和为Sn.(1)求an及Sn；

1(2)令bn＝(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.an－1

17.已知正项等比数列{an}中，a1a5＋2a2a6＋a3a7＝100，a2a4－2a3a5＋a4a6＝36，求数列{an}的通项an和前n项和Sn.18.已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列．

(1)求数列{an}的通项；

(2)求数列{2an}的前n项和Sn.19.已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d>0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{bn}的第2项、第3项、第4项．求数列{an}与{bn}的通项公式；

20.设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.(1)设bn＝an＋1－2an，证明数列{bn}是等比数列；

(2)求数列{an}的通项公式．

21.设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和．已知S3＝7，且a1＋3,3a2，a3＋4构成等差数列．

(1)求数列{an}的通项；

(2)令bn＝ln a3n＋1，n＝1,2，…，求数列{bn}的前n项和Tn.22.已知等差数列{an}的公差d1,前n项和为Sn.(1)若1,a1,a3成等比数列,求a1;

(2)若S5a1a9,求a1的取值范围.23.设数列an满足:a11,an13an,nN.(Ⅰ)求an的通项公式及前n项和Sn;

(Ⅱ)已知bn是等差数列,Tn为前n项和,且b1a2,b3a1a2a3,求T20

第五篇：放缩法(不等式、数列综合应用)

“放缩法”证明不等式的基本策略

近年来在高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，而不等式的证明是高中数学中的一个难点，它可以考察学生逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力。特别值得一提的是，高考中可以用“放缩法”证明不等式的频率很高，它是思考不等关系的朴素思想和基本出发点, 有极大的迁移性, 对它的运用往往能体现出创造性。“放缩法”它可以和很多知识内容结合，对应变能力有较高的要求。因为放缩必须有目标，而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考察，放缩时要注意适度，否则就不能同向传递。下面结合一些高考试题，例谈“放缩”的基本策略。

1、添加或舍弃一些正项（或负项）

例

1、已知an2n1(nN*).求证：an1a1a2...n(nN*).23a2a3an

1ak2k11111111证明： k1.,k1,2,...,n, ak12122(2k11)23.2k2k2232k

aa1a2n1111n11n1...n(2...n)(1n), a2a3an1232222322

3an1aan12...n(nN*).23a2a3an1

2若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的值变小。由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到.2、先放缩再求和（或先求和再放缩）

例

2、函数f（x）=4x

14xk，求证：f（1）+f（2）+…+f（n）>n+

12n11(nN*).2证明：由f(n)= 4n14n=1-111 14n22n

22

11得f（1）+f（2）+…+f（n）>1112221122n 11111n(1n1)nn1(nN*).424222

此题不等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征, 先将分子变为常数，再对分母进行放缩，从而对左边可以进行求和.若分子, 分母如果同时存在变量时, 要设法使其中之一变为常量，分式的放缩对于分子分母均取正值的分式。如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩小或分母放大即可。

3、先放缩，后裂项（或先裂项再放缩）

k

例

3、已知an=n，求证：∑＜3．

k=1ak

n

证明：∑

k=

1n

n

2ak

∑

k=

1n

＜1＋∑

k=

2n

(k－1)k(k＋1)

=1k2n

＜１＋∑

k=2

(k－1)(k＋1)（k＋1 ＋k

－1)=1＋ ∑（k=2

n

－)

(k－1)

(k＋1)

=1＋1＋＜2＋＜3．

(n＋1)2

2本题先采用减小分母的两次放缩，再裂项，最后又放缩，有的放矢，直达目标.4、放大或缩小“因式”；

n

1例

4、已知数列{an}满足an1a,0a1,求证：(akak1)ak2.232k

1n

证明 0a1

n

11112,an1an,a2a12,a3.当k1时,0ak2a3, 241616

(akak1)ak

2k1

1n11(akak1)(a1an1).16k11632

本题通过对因式ak2放大，而得到一个容易求和的式子

5、逐项放大或缩小

(a

k

1n

k

ak1)，最终得出证明.n(n1)(n1)

2an例

5、设an22334n(n1)求证： 22122n1

2证明：∵ n(n1)nnn(n1)(n)

2n

1∴ nn(n1)

13(2n1)n(n1)(n1)2

an∴ 123nan，∴

222

2n1

本题利用n，对an中每项都进行了放缩，从而得到可以求和的数列，达到化简的目的。

6、固定一部分项，放缩另外的项；

例

6、求证：

11117 122232n2

4证明：

1

n2n(n1)n1n



11111111151171()().122232n22223n1n42n4

此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根据具体题型分

别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰倒好处。

7、利用基本不等式放缩

例

7、已知an5n

41对任何正整数m，n都成立.1，只要证

5amn1aman.因为 amn5mn4，aman(5m4)(5n4)25mn20(mn)16，故只要证

5(5mn4)125mn20(mn)16 即只要证

20m20n37

因为aman5m5n85m5n8(15m15n29)20m20n37，所以命题得证.本题通过化简整理之后，再利用基本不等式由aman放大即可.8、先适当组合, 排序, 再逐项比较或放缩 例

8、.已知i，m、n是正整数，且1＜i≤m＜n.(1)证明：nAim＜mAin；(2)证明：(1+m)＞(1+n)

i

i

n

m

证明：(1)对于1＜i≤m，且Aim =m·…·(m－i+1)，Aimmm1Aimnn1mi1ni

1,同理，mmmnnnmini

由于m＜n，对于整数k=1，2，…，i－1，有

nkmk，

nm

AinAim

所以ii,即miAinniAim

nm

(2)由二项式定理有：

22nn

(1+m)n=1+C1nm+Cnm+…+Cnm，22mm(1+n)m=1+C1mn+Cmn+…+Cmn，由(1)知

mAin

i

＞nAim

i

(1＜i≤m＜n)，而

Cim

AimiAin,Cn= i!i!

∴miCin＞niCim(1＜m＜n)

00222211

∴m0C0n=nCn=1，mCn=nCm=m·n，mCn＞nCm，…，mmm+1m1mmCmCn＞0，…，mnCnn＞nCm，mn＞0，2222nn1mm∴1+C1nm+Cnm+…+Cnm＞1+Cmn+Cmn+…+Cmn，即(1+m)n＞(1+n)m成立.以上介绍了用“放缩法”证明不等式的几种常用策略，解题的关键在于根据问题的特征选择恰当的方法，有时还需要几种方法融为一体。在证明过程中，适当地进行放缩，可以化繁为简、化难为易，达到事半功倍的效果。但放缩的范围较难把握，常常出现放缩后得不出结论或得到相反的现象。因此，使用放缩法时，如何确定放缩目标尤为重要。要想正确确定放缩目标，就必须根据欲证结论，抓住题目的特点。掌握放缩技巧，真正做到弄懂弄通，并且还要根据不同题目的类型，采用恰到好处的放缩方法，才能把题解活，从而培养和提高自己的思维和逻辑推理能力，分析问题和解决问题的能力。希望大家能够进一步的了解放缩法的作用，掌握基本的放缩方法和放缩调整手段.