第一篇：华南理工大学高等数学教学课件7

第三节

函数的极限

一、自变量趋于无穷大时函数的极限

定义 ：设函数fx当x大于某一个正数时有定义，如果对于任意给定的0（任意小）总存在正数X，当xX时，一定有

fxA

那么常数A称为函数fx当x时的极限，记为limxfxAfxAx。

6x51例1 ：证明 1）limxx6 ； 2）limxax10a1 证明：1）对于任给的（任意小）0，6x555x6xx 取X5，当xX时有

6x5x6 所以lim6x5xx6。（如图6）注 1：直线y6称为函数y6x5x的水平渐近线。2）对于任给的（任意小）0，111要使ax1，即1ax1aloga1axaloga1

当0a1时，指数函数是递减的，所以

loga11xloga1 令Mmax1,1loglog，则当Mxx0时有

a1a1，或loga111loga1 xM当xMx0时有

loga111loga1 Mx即当xM时总有

loga11x1loga1 xa1

1xa10a1。所以limx注2:x有两个方向，一个方向越来越大，一个方向越来越小。有些函数当自变量向不同的方向变化时，函数越来越接近的数可能不相同。我们来考虑函数fxarctanx（如图7）。因此有时我们需要考虑某一个方向的极限，即所谓的单侧极限。

注 3：当x0时，且x无限增大。即x。则定义中的xX改为xXfxA。，极限记为xlim当x0时，且x无限增大。即x。则定义中的xX改为xX，fxA。极限记为xlim例2：证明：xlimsinx0 x证明：对于任给的（任意小）0，sinxsinx10 xxx取X，当xX时有

sinx0 x1所以xlimsinx0。x

二、自变量趋于有限值时函数的极限

1）、函数极限的定义

定义 ：设函数fx在点x0的某一去心邻域内有定义。如果对于任意给定的正数（任意小），总存在正数，使得对于适合不等式0xx0的一切x，对应的函数值fx都满足不等式

fxA

fxA，或那么常数A就叫做函数fx当xx0的极限。记为xlimx0fxA,xx0。

x212例3 ：证明 lim。x12x2x13证明：对于任给的（任意小）0，x1x12x12x11x1 x2122x2x132x1x132x1332x16x3令x1，则有1xx1x

x21211x1x1x1 26x32xx136x3取min,，当0x1时有

13131323x212 22xx13x212所以lim。x12x2x132例4：证明lim1x21x0。

xx0证明：对于任给的（任意小）0，1x1x2202x2x01x1x220xx01x20xx0

令xx01，则有xx0xx01x1x0

21x21x0xx01x20xx012x01x20xx0

21x0取min1,，当0xx0时有

12x021x21x0

2所以lim1x21x0。

xx0cosxcosx0。例5：证明xlimx0证明：证明：对于任给的（任意小）0，cosxcosx02sinxx0xx0xx0sin2sinxx0（注解）222取，当0xx0时有

cosxcosx0

cosxcosx0。所以xlimx0注4：函数极限的几何意义（如图9）。前面我们考虑的自变量趋于有限值时函数的极限是同时考虑从左右两边趋近于这个有限数。有时我们也选考虑从一边趋近于这个有限数，即所谓单侧极限。如函数2x1fx2x3x0x0当x0时，此函数从左右两边越来越接近的数是不一样的。（如图10）

注5：当x从右边趋近于x0时，即xx0,xx0，我们记作xx0，只需把上面定义中的0xx0（去心邻域）改为x0xx0（右

fxA或fxA,xx0改为limfxA或半邻域）；把xlimx0xx0； fxA,xx0 当x从左边趋近于x0时，即xx0,xx0，我们记作xx0，只需把上面定义中的0xx0（去心邻域）改为x0xx0（左半邻fxA或fxA,xx0改为limfxA或域）；把xlimx0xx0。fxA,xx0例6：证明：limx2x24x4x424

证明：对于任给的（任意小）0，x24x4x424x24x2（注意x2）

取，当2x2时有

x24x4x424

所以limx2x24x4x424。

2）、函数极限的性质

性质1 ：（唯一性）如果数A,B是函数fx当xx0时的极限，则一定有AB。

证明 ：假设AB。无妨设AB，取所以存在正数1，当xx01时有

fxAAB 2ABfxA。因为xlimx02fxB，因此存在正数2，当xx02时有 又因为xlimx0fxBAB 2取max1,2，当xx0时有

ABfxBfxAfxBfxAAB

这是一个矛盾，从而证明AB成立。

fxA，则存在正数,M，当性质2 ：（局部有界性）如果xlimx00xx0时，一定有fxM。

fxA，取1，则存在正数，当0xx0证明 ：因为xlimx0时有

fxA1

即有

fxAfxA1fx1A

取

M1A

则得所证结论。

fxA而且A0（或A0）那么就性质3：（局部保号性）如果xlimx0存在着点x0的某一去心邻域当x在该邻域内时就有fx0（或。fx0）证明 ：如果A0，我们取存在正数当0xx0时有

fxAA 2AfxA，所以一定，因为xlimx02即有fxAAA0。22性质4：如果在x0的某个去心邻域内有fx0（或fx0）,而且xx0limfxA，那么A0（或A0）。证明 ：设当0xx0时有fx0。用反证法，假设这时有A0，根据性质A0。▍ 3，存在的一个去心邻域有，这与当时有矛盾。所以作业：1题1、4小题、2题1、2小题、5题、7题。

思考题：你认为用极限的定义去证明极限的存在，最难处理的是哪个步骤？处理这个步骤你有何经验？

第二篇：华南理工大学高等数学教学课件2

第二节

数列极限

一、整标函数与数列 ①

积分学的基本思想

高等数学的主要内容就是微积分学。积分学和微分学原是数学领域两个不同的分支。积分学的起源要早于微分学，它起源于计算几何形体的长度、面积、体积等等。下面我们用计算面积的情形了解一下积分学的基本思想。怎样计算抛物线y积？

我们主要分四步处理

1）化整为零（分割）把所处理图形剪成很多小片； 2）近似代替（作乘积）把每一小片近似看着长方形； 3）积零为整（求和）把所有小片的近似面积加起来；

4）无限趋近（取极限）当分割越来越细时，寻找和式越来越接近的数。（如图5）

131310.1481480.0348639,130.11458313,130.093333，,13130.0787037,13130.0680272,x2和直线y0,x1所围成的平面图形的面,,0.01898420.0137603,,0.0099333,11,232n6n1容易看出，当n越来越大时，所求的近似面积会越来越接近（数

3列极限），所以我们所求平面图形的面积为。

31②

数列的概念

以上我们得到的这一列数就称为数列。下面我们再看几个数列的例子：

11，,,

2482111n（等比数列）

n1,1,1,1,1,,1,

ln1,ln2,ln3,ln4,,lnn,

数列我们通常记作an，其中an称为通项。如上面所提到的数列可分别记为

111232n6nn1,2,1n,lnn

其实数列还是一个以自然数为定义域的函数。例如对于数列an对任意的自然数n有唯一的数an与之对应。所以数列有时也可以记作fn。当把数列看着一个函数时，我们称此函数为整标函数。

二、极限的定义

对于数列an，我们称常数A是它的极限，是指当n越来越大时，对应的an越来越接近A。

这种说法很形象，但不够精确。当我们需要严格论证与极限有关的一些问题时，它的弊端就显露出来。例如要证明数列极限的唯一性这样一个简单命题都不太好说。

随着问题的深入，我们迫切需要一个精确的（量化的）数列极限的定义。这个定义最终由德国数学家魏尔斯特拉斯给出。

定义 ：如果数列an与A常数有下列关系，对任意给的正数（任意小），总存在正数N，当nN时，不等式

anA成立，则称常数A是数列an的极限，或者称数列an收敛于A。记为

limanA 或 anAn

n注1 ：定义中的正数N是与任意给定的正数有关的，对任意给定的存在相应的N。

注2 ：对给定的对应的正整数N不唯一。注3 ：数列的有限项的变化对其极限没影响。例1 ：证明：lim3nn2n122n32。

0证明：对于任给(任意小)的3nn2n122

2n322n13225n2n252n

取N52，当nN时，有

3nn2n12232

所以limn3nn2n12232。

n1n0。

2例2 ：证明：limn证明：对于任给(任意小)的20

1n1n2n1n01212n

取N，当nN时，有

n1n02 所以limnn1n0。2

例3 ：设0a1，证明：limann0。

1）证明：对于任给(任意小)的0n（无妨设na0a

取Nloga，当nN时，有

a0n

na所以limn0。

注意：当0a1时，函数logax是递减函数。

三、数列极限的性质

性质1 ：（极限的唯一性）如果数A定有AB,B是数列an的极限，则一。

B证明 ：假设A。无妨设AN1时有

B，取AB2an。因为limnA，所以存在正数N1，当nanAAB2

an又因为limnB，因此存在正数N2，当nN2时有

anBAB2

取NmaxN1,N2，当nN时有

ABanBanAanBanAAB这是一个矛盾，从而证明AB成立。

如果对于数列an，存在一正数M，对任意的n都有

anM 则称数列an有界。否则称数列an无界。

性质2 ：（收敛数列的有界性）如果数列an收敛，那么数列an一定有界。

证明 ：设limannA，取1，则存在正数N，当nN时有

anA1

即有

anAanA1an1A

取

Mmaxa1,a2,,aN,1an

则对任意的n都有anM，即数列an有界。

性质3：（极限的保号性）如果数列性质an的极限为A，且A0，则存在正数N，当nN时，有an与A同号。

A2证明：无妨设A0，取当nNan，因为limnA，所以存在正数N，时有

anAA2

即有

A2anAA2anA20

N

性质4：如果数列性质an的极限为A。如存在一正数N，当n时，an0，则A0；如存在一正数N，当nN时，an0，则A0。

此命题是性质3的逆否命题。思考题：性质4中的“

四、数列子列 ,”能否换成“,”。在数列中任意抽取无限项并保持这些项在原数列中的先后次序所得的新数列叫原数列的子数列。

定理：（收敛数列与子数列之间的关系）数列an收敛于A的充分必要条件是它的任一子数列都收敛于A。

作业：习题1—2：2题1、2小题、4题、6题、7题。

第三篇：华南理工大学高等数学教学课件8

第八节

连续函数

一、函数连续的定义。

定义1：如果函数fx在x0的一个邻域内有定义。当自变量的增量x趋近零时，函数增量y也趋近于零。即

x0limylimfx0xfx00

x0则称函数fx在x0处连续。

因为xxx0，当x0时，有xx0。因此我们有：

x0limylimfx0xfx0limfxfx00

x0xx0xx0limfxlimfxfx0fx0fx0

xx0fxfx0。则有： 反之，如果有xlimx0x0limylimfx0xfx0limfxfx00

x0xx0因此对于函数的连续性还有以下定义：

定义2：如果函数fx在x0的一个邻域内有定义。当x趋近x0时，fxfx0。函数fx的极限为fx0。即xlim则称函数fx在点x0连续。x0我们还可以用“”语言来定义连续。

定义3：如果函数fx在x0的一个邻域内有定义。对于任给的0，一定存在0。当时xx0有

fxfx0

则称函数fx在点x0处连续。

定义4：如果函数fx在开区间I内每一点处都连续，则称函数是开区间I上的连续函数，并称开区间I是fx的连续区间。如果函数fx在一闭区间a,b上有定义，因此函数fx在a和b处分别只可能存在右极限和左极限。此时如果

falimfxfafblimfxfb 或xaxb则分别称函数fx在a或b处连续。

定义5：（左连续和右连续）如果函数fx在x0的一个左半邻域内（右半邻域内）有定义。如果

fx0limfxfx0（或fx0limfxfx0 xx0xx0则称函数fx在点x0左连续（或右连续）。

注：函数在一点连续的充分必要条件为在此点左连续且右连续。

例1 ：证明 函数fxsinx在其定义域,内是连续的。证明 ：因为

ysinxxsinx2sinxxcosx 220y2sinxxxcosx2sinx 222limy0。即函数fxsinx在其定义域利用夹逼准则有，x0,内是连续的。

x1axb例2 ：fx2，问a,b取何值时，fx在x1和x2x2x1x1处连续。

解：要使fx在x1和x1处连续，则要有

limfxf1ab，limfxf1ab

x1x1利用连续与左连续、右连续的关系

limfxlimfxlimfxab x1x1x1x1limfxlimfxlimfxab

x1x1得方程组

1ab 3ab解得a2,b1。

二、连续函数运算性质

定理1：

1）有限个在某点连续的函数的和是一个在该点连续的函数。2）有限个在某点连续的函数的乘积是一个在该点连续的函数。3）两个在某点连续的函数的商是一个在该点连续的函数，只要分母在该点不为零。我们证明3）。

fxfx0,limgxgx00，证明 ：已知xlim则milxxx00xx0fxfx0。gxgx0利用极限的除法运算法则得

limfxfxfxxx00 limxx0gxlimgxgx0xx0注：正切和余切函数在其定于域上是连续的。

定理2：如果函数x在x0处连续，且x0u0，函数fu在u0处连续，则复合函数fx在x0处连续。

fufu0,limxx0，利用复合函数求极限证明：因为ulimuxx00法则

limfxflimxfx0 xx0xx0

定理3：（反函数的连续性）设yfx在a,b上连续，且严格单调增（或减），记faA,fbB。则

1）yfx在区间A,B（或B,A）上存在反函数xgy； 2）xgy在区间A,B（或B,A）上严格单调增（或减）； 3）xgy在区间A,B（或B,A）上连续。

证明：1）要说明对每一个yA,B（或yB,A）都有唯一的（这样用到闭区间上连续函数的性质，以后xa,b，使得fxy。再证明）

2）若y1,y2B,A，且y1y2。如果x1gy1x2gy2 由于yfx严格单调减y1fx1y2fx2，这与已知矛盾。所以x1gy1x2gy2，即xgy在B,A上严格单调减。

gygy0 3）对任给的y0B,A，我们要证明ylimy0对任给的0，要使xx0当充分小时，去掉绝对值后有

ax0xx0b

设y1fx0,y2fx0，由单调性（严格单调减）有

y2yy1

y2y0yy0y1y0

因为x0x0x0，由单调性（严格单调减）有y2y0y1 所以y2y00,y1y00。取miny0y2,y1y0，当yy0时有

y2y0yy0y1y0

y2yy1 由xgy的单调性（严格单调减）有

x0xx0

xx0

gygy0。所以ylimy0在端点处只需考虑半个邻域，证明类似。这里从略。注：反三角函数在其定义域上是连续的。定理4：初等函数在其定义区间上是连续的。

三、函数的间断点

函数fx在x0的某去心邻域有定义，但在x0点不连续。主要有下面三种情况： 1）2）3）函数fx在x0点处无定义。

fx不存在。函数fx在x0点处有定义，但xlimx0fx存在，但limfx不等函数fx在x0点处有定义，且xlimxxx00于fx0。

例3 ：考虑函数fxx0x0在x0处的连续性。x0解：fx在x0处无定义。所以不连续。（如图17）

1例4 ：考虑符号函数sgnx01x0x0在x0处的连续性。x0sgnx不存在。所以不连续。解：lim（如图18）x0x例5 ：考虑函数fx3x0在x0处的连续性。x0fx0f03。所以不连续。解：因为lim（如图19）x0以上所给的例子函数虽在x0处不连续，但在x0处的左极限和右极限都存在。这类不连续点称为第一类间断点。其他情况称为第二类间断点。

例6 ：因为limtanx,所以xx22是函数ytanx的间断点。（无穷间断点）（如图20）

sin，所以x0是函数ysin的间断点。例7 ：因为lim（振荡间x01x1x断点）（如图21）

四、闭区间上连续函数的性质

1、最大值何最小值定理。

定义1：函数fx在开区间I上有定义，如果存在x0I使得对一切xI都有

fxfx0

（或fxfx0）

则称fx0是函数fx在开区间I上的最大值（或最小值）。

定理1：（最大值与最小值定理）如果函数fx在闭区间a,b上连续，则存在x1,x2a,b使得对任意的xa,b都有fx1fxfx2。

证明 ：略。

定理2：若函数fx在闭区间a,b上连续，则函数fx在闭区间a,b上必有界。

证明 ：因为函数fx在闭区间a,b上连续，由定理1，存在x1,x2a,b使得对任意的xa,b都有fx1fxfx2，即fx在a ,b上既有上界又有下界，所以函数fx在闭区间a,b上必有界。

2、介值定理

定理3：（零点定理）若函数fx在闭区间a,b上连续，且fafb0，则在开区间a,b内至少存在一点使得f0。

证明 ：略。

例8：证明方程exx有小于1的正实跟。

证明：在闭区间0,1考虑函数fxexx，fxexx是初等函数且在0,1有定义，因此fxexx在闭区间0,1连续。

又因为f010,f110，由零点定理，方程exx有小于1的正实跟。

1e定理4：（介值定理）设函数fx在闭区间a,b上连续，又faA，fbB，且AB。若C是A,B之间任一实数，则在开区间a,b至少存在一点，使得

fCab

证明：考察函数xfxC，显然函数x在闭区间a,b上连续，且a0,b0；根据零值定理，在开区间a,b至少存在一点使得0即有

fCab

推论：设函数fx在闭区间a,b上连续，M,m分别为函数fx在闭区间a,b上的最大值与最小值，则对于M,m之间的任意实数u，在开区间a,b至少存在一点使得fuab。

证明：设fx1M,fx2m，无妨设x1x2，则有x1,x2a,b 因此fx在x1,x2是连续的。由介值定理，对于M,m之间的任意实数u，至少存在一点

x1,x2a,b

使得fu。

注：如果yfx在a,b上连续，且严格单调增（或减），记faA,fbB。则A,B就是最大值和最小值，因此A,B之间的任何数y，都存在xa,b有fxy。由单调性可得唯一性。

fx存在，例9：若fx在区间[a,)上连续，且xlim试证明fx是区间 [a,)上的有界函数。

例10：证明：证明：方程xasinxba0,b0至少有一个正根，并且不超过ab。

例11：若函数fx在闭区间a,b上连续，acdb，kfcfd，证明存在一个a,b，使得k2f。

作业1：习题1-8：1题：

2、3小题；2题：3、4、6小题；3题：3小题

作业2：4题：1、4、6小题；12题；13题。

第四篇：华南理工大学期末考试 高等数学（下）A

华南理工大学期末考试

高等数学（下）A

一、单项选择题（本大题共15分，每小题3分）

1.若在点处可微，则下列结论错误的是

（B）

(A）在点处连续；

(B)

在点处连续；

(C)

在点处存在；

(D)

曲面在点处有切平面

.2.二重极限值为（D）

(A）；

(B)；

(C)；

(D)不存在.3..已知曲面，则（B）

(A）；

(B)；

(C)；

(D)

4.已知直线和平面，则（B）

(A）在内；

(B)

与平行，但不在内；

(C)

与垂直；

(D)

与不垂直，与不平行（斜交）

.5、用待定系数法求微分方程的一个特解时，应设特解的形式

（B）

(A)

；（B）；（C）；（D）

二、填空题

（本大题共15分，每小题3本分）

１.，则

２.曲线L为从原点到点的直线段，则曲线积分的值等于

３.交换积分次序后，４.函数在点沿方向的方向导数为

5.曲面在点处的法线方程是

三、（本题7分）计算二重积分，其中是由抛物线及直线所围成的闭区域

解：

四、（本题7分）计算三重积分，其中是由柱面及平面所围成的闭区域

解：

五、（本题7分）计算，其中为旋转抛物面的上侧

解：

六、（本题7分）计算，其中为从点沿椭圆到点的一段曲线

解：

七、（本题6分）设函数，证明：1、在点处偏导数存在，2、在点处不可微

解：,极限不存在故不可微

八、（本题7分）设具有连续二阶偏导数，求

解：

九、（本题7分）设是微分方程的一个解，求此微分方程的通解

解：，求得

从而通解为

十、（本题8分）在第一卦限内作椭球面的切平面，使该切平面与三个坐标平面围成的四面体的体积最小，求切点的坐标

解：设切点，切平面方程为，四面体体积为

令

十一、（非化工类做，本题7分）求幂级数的收敛域及其和函数

解：收敛域上

十二、（非化工类做，本题7分）设函数以为周期，它在上的表达式为求的Fourier级数及其和函数在处的值

解：的Fourier级数为

和函数在处的值为0

十一、（化工类做，本题7分）已知直线和

证明：，并求由和所确定的平面方程

证：，故

由这两条直线所确定的平面方程为

十二、（化工类做，本题7分）设曲线积分与路径无关，其中连续可导，且，计算

解：

第五篇：高等数学课件 积分学

第三讲

积分学

一、不定积分

1）原函数与不定积分的概念

2）不定积分计算方法：积分的基本公式及性质、分项积分法、两类换元法、分部积分法、几类特殊函数的积分法（有理函数、三角有理函数、简单无理函数）

例1：计算。

解：原式

注：不定积分是导数的逆运算，要充分利用导数计算找原函数。

例2：证明：若，则

其中为待定系数，是方程不相等的实根。

证明：因为

设

（1）

则有，当取

时，（1）式恒成立，因此有

二、定积分

1）定积分的概念和性质

2）微积分基本公式：，其中

3）定积分计算方法：利用定义计算、利用微积分基本公式、分项积分法、换元法、分部积分法、一些间接计算公式。1、2、3、如果关于直线对称，则有

4、如果关于点对称，则有5、6、7、例3：计算阿桑积分，其中。

解：因为，所以是连续函数，即

一定存在。

（1）当时，（2）当时。

注：这里利用了复数开方公式得：

4）反常积分（广义积分）

反常函数审敛法：（1）设在区间上连续，且，如果函数是在区间上的有界函数，则收敛；

（2）设在区间上连续，且，则有，收敛可得收敛；发散可得发散。

（3）设在区间上连续，则有

如果，则有和同敛散；

如果，则有收敛可得收敛；

如果，则有发散可得发散。

（4）如果收敛，则收敛（绝对收敛）。

例4：判别下列反常积分敛散性

（1）

（2）

解：（1）

因为收敛，所以。

（2）因为，发散，所以发散。

5）定积分的应用：计算平面图形面积、计算立体体积、计算弧长、计算连续函数平均值公式。

三、重积分（二重积分、三重积分）

1）重积分的概念和性质

2）重积分的计算方法：

二重积分：直角坐标系下计算法、极坐标计算法、换元法

注意对称性的运用；

三重积分：投影法、切片法、球面坐标计算法、柱面坐标计算法、换元法

注意对称性的运用。

3）重积分的应用

曲面的面积为、物体质心、转动惯量、引力。

四、两类曲线积分

1）曲线积分的概念和性质

2）曲线积分的计算法：注意对称性的运用。

3）格林公式：设在上有连续偏导数，则有

4）第二型曲线积分与路径无关

五、两类曲面积分

1）两类曲面积分的概念和性质

2）两类曲面积分计算法：注意曲面在对应坐标面的投影，及两类曲面的联系。

3）高斯公式和斯托克斯公式

例5：证明：若在区间上有连续二阶导数，则

证明：因为在区间上连续，由最大值最小值定理，存在是在区间上的最大值。利用泰勒公式有

其中在之间，因此我们有

又因为

所以有

由于

因此我们有

例6：证明：若函数在区间上单调，且存在，则有

证明：无妨设单调递增，取则有

因为存在，所以。

当时有

当时有

由夹逼准则可得。

例7：已知空间中的点，线段绕轴旋转为，求与平面所围成立体的体积。

解：线段的方程为，曲面的方程为。

例8：设函数在区域内有二阶连续偏导数，且，证明：

证明：利用极坐标可得

改变积分次序后可得

设是圆并取正方向，是围成的圆盘，由关于坐标的基本计算方法和格林公式可得

所以我们有

例9：计算，其中是上半球面与柱面的交线，的方向从轴正方向向负方向看是逆时针方向。

解：设上半球面在圆柱面内的部分，并区上侧，利用斯托克斯定理可得

因为对应的单位法向量为，所以。

例10：计算，其中为下半球面的上侧，为大于零的常数。

解：

取为圆盘的下侧，则有

六、练习题

1）计算

2）设是上的连续函数，证明：

3）设连续，且，其中为，求。

4）设函数具有二阶连续的导数，且，试确定函数，使，其中是任意一条不与相交的简单正向闭曲线。

5）计算，其中为曲面的外侧。

七、