线性代数在日常生活中的应用——城市人们出行的应用

孙瑞201905280230

线性代数在生活中得到广泛运用,在大自然中许多现象恰好是线性变化的,研究的是单个变量之间的关系。例如我们高中学过的物理学科中,物理可以分为机械运动、电运动、还有量子力学的运动。而比较重要的机械运动的基本方程是牛顿第二定律,即物体的加速度同它所受到的力成正比,其实这又恰恰符合基本的线性微分方程。再如电运动的基本方程是麦克思韦方程组,这个方程组表明电场强度与磁场的变化率成正比,而磁场的强度又与电场强度的变化率成正比,因此麦克思韦方程组也正好是线性方程组。之后随着科学的发展,我们不仅要研究单个变量之间的关系,还要进一步研究多个变量之间的关系,因为各种实际问题在大多数情况下可以线性化,而且由于计算机的发展,线性化了的问题又可以计算出来,所以,线性代数因这方面的成为了解决这些问题的有力工具具而被广泛应用。

某城市有两组单行道,构成了一个包含四个节点 A,B，C,D的十字路口如图所示。在交通繁忙时段的汽车从外部进出此十字路口的流量(每小时的车流数)标于图上。现要求计算每两个节点之间路段上的交通流量x1,x2,x3,x4。

解:在每个节点上,进入和离开的车数应该相等,这就决定了四个流通的方程:

节点A：x1+450=x2+610

节点B：x2+520=x3+480

节点C：x3+390=x4+600

节点D：x4+640=x2+310

将这组方程进行整理，写成矩阵的形式：

用消元法求其行列式，或者直接调用U0=rref（[A，b]）,可以得到它的精简行列式为

注意这个系数矩阵所代表的意义,它的左边四列从左至右依次为变量x1,x2,x3,x4的系数,第五列则是在等式右边的常数项。把第四列移到等式右边,可以按行列写恢复为方程,其结果为:x1=x4+330,x2=x4+170,4x3=x4+210,0=0

由于最后一行变为全零,这个精简行阶梯形式只有三行有效,也就是说四个方程中有一个是相依的,实际上只有三个有效方程。方程数比未知数的数目少,即没有给出足够的信息来唯一地确定x1,x2,x3,和x4。其原因也不难从物理上想象,题目给出的只是进入和离开这个十字路区的流量,如果有些车沿着这四方的单行道绕圈,那是不会影响总的输入输出流量的,但可以全面增加四条路上的流量。所以x4被称为自由变量,实际上它的取值也不能完全自由,因为规定了这些路段都是单行道,x1,x2,x3,和x4。都不能取负值。

所以要准确了解这里的交通流情况,还应该在x1,x2,x3,和x4中,再检测一个变量。

线性代数有很多在现实生活中的应用,我们要会运用线性代数来解决现实生活中的一些事或麻烦。我们的生活中到处都存在着数学,所以用心它的魅力吧。