《19.1多边形内角和》教学设计

教学目标

1、知识与技能:

①了解并掌握多边形的相关概念。

②探索并了解多边形的内角和公式。

③能对多边形的内角和公式进行应用,解决实际问题。

2、过程与方法:

①经历探索多边形内角和定理的过程,进一步发展学生的合情推理意识和主动探究习惯,进一步体会数学与现实生活的紧密联系。

②通过学生自己动手操作,积极参加合作探究的过程,让学生亲身体验数学发现,增强动手能力。

③在对多边形的内角和公式进行应用,解决实际问题过程中,培养学生“用数学”的能力。

3、情感态度与价值观:

①通过师生共同活动,培养学生创新精神,增强学生对数学的好奇心与求知欲。

②向学生渗透类比、转化、分类的数学思想,并使学生学会与他人合作。

学情分析

1、学生早在小学就学习了部分四边形的相关知识,初中又学习了平行线和三角形等知识,证明得出了三角形的内角和为180°。这一切为四边形的学习不仅做了知识上的良好铺垫,而且奠定了思想方法、逻辑推理等方面的知识。

2、在本节内容的学习过程中,就是把多边形的问题转化为三角形问题来解决,所以熟练掌握三角形的相关知识是学生学好本课时知识的前提和保障。

3、如何去探究多边形的内角和定理是学生的学习障碍，所以本节课以研究对角线的基础上，研究“过一个顶点的对角线把这个n边形分成了几个三角形”，再以三角形内角和知识为基础,通过组织学生观察、类比、推理等数学活动,引导学生探索多边形的内角和公式.通过多种转化方法的探究让学生深刻体验化归思想,从特殊到一般的认识问题的方法,发展学生合情推理能力和语言表达能力。

重点难点

重点:多边形内角和定理的探索，应用其解决相关问题

难点:推导和应用多边形内角和定理，渗透数学转化思想

教学过程

一、创设情境，导入新课

活动一：探索多边形定义和相关元素及其分类

问题1：从这些图形你能抽象出什么平面图形?

问题2：由三角形的定义，你能试着说出四边形，多边形的定义吗？

问题3：外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角

内角：多边形相邻两边组成的角

你知道五边形过一点能有几条对角线？五边形有多少条对角线？你能告诉我十边形过一点能有几条对角线？十边形有多少条对角线？十二边形呢？n边形呢？探究n边形共有多少对角线。

问题4：将一个多边形一边双向延长，观察其他各边有什么特点？是不是都在这条直线的同一旁？今后如果不作说明，我们说的多边形都是凸多边形.【设计意图】

通过现实情境的展示,调动学生的情绪,激发进一步学习的兴趣。培养学生的动手能力。对于边角这些能在图形中识别而又不要求学生掌握的描述性定义,采取学生类比三角形的表示方法来归纳,渗透类比的数学思想。借助于自制的直观教具来说明多边形定义中“在平面内”这一条件,“首位顺次连接”等这些概念中的关键词,易于学生理解,也达到了化解难点的目的。同时,也利用两张图片,自然引出凹凸多边形的概念及如何区分的方法,也进一步规范认识:今后如教材中没有特殊说明的话,所指多边形都是凸多边形。把学生的注意力自然引入本课研究方向,为探索多边形的内角和作铺垫。

二、动手操作，探索新知

活动二：探索四边形内角和

问题1:对于在我们生活中经常所能够看到的最常见的多边形又是几边形呢?

问题2:有哪位同学能够举出一些我们周围的例子,哪些物体给我们以四边形的形象呢?

问题3:你有什么办法可以验证任意四边形内角和吗?测量有限个四边形还不足以说明所有的四边形都有同样的结论(一般性),测量存在误差,还需要进行严格的论证。

【设计意图】四边形是多边形(边数大于三)中的简单图形,因此,从四边形入手,有利于学生探索它与三角形的关系,从而有利于发现转化的思想方法,同时渗透“特殊”不代表“一般”的数学思想。鼓励学生寻找多种分割形式,深入领会转化的本质——将四边形问题转化为三角形问题来解决。

问题4:将一个任意四边形问题转化为三角形问题还有其它方法吗?你能用算式表示出来吗?

请同学们分小组交流与探究,进一步来论证自己的猜想。

学生亲自动手在几何图纸上操作,小组内交流,教师深入小组指导,倾听学生交流.引导学生利用添加辅助线的方法把四边形转化为三角形.请学生上台用投影仪汇报小组探究成果,教师用几何画板现在演示同学的方法。小组交流讨论后在投影仪上给全班同学讲解自己组探究出来的方法。并用算式写在黑板上。

【设计意图】鼓励学生积极参与,合作交流,用语言表达解决问题的方法,发展学生的语言表达能力与推理能力。通过动手操作寻找结论,让他们积极参加数学活动、主动思考、合作交流,体验解决问题策略的多样性.通过寻求多种方法解决问题,训练学生发散思维能力、培养创新意识。通过观察辅助线交点的位置,在顶点、在边上、在四边形内、在四边形外,培养学生数学的分类思想。

活动小结：思考几种推导四边形内角和的方法有什么共性?把求四边形的内角和转化为熟悉的三角形的内角和,这种把未知转化为已知的思想方法,在今后的数学学习中将经常会遇到。

【设计意图】把知识提升到思想方法,把未知转化为已知思想方法。

活动三：用不同方法探索五边形、六边形内角和

问题1:请每一组的同学用你们小组所用的方法,推导出五边形和六边形的内角和,可以吗?在几何图纸上完成后请学生上黑板投影展示。

教师总结：共同点就是找一个点，将五边形内角和转化为多个三角形的内角和。

【设计意图】通过增加图形的复杂性,再一次经历转化的过程,加深对转化思想的理解。通过猜想、归纳、推导让学生体会从特殊到一般的思想,通过公式的归纳过程,体会数形之间的联系。

问题2:几种推导四边形内角和的方法中,你认为哪种方法最好?为什么?

(从一个顶点出发做对角线分割成三角形最好，因为减少了减去一个角的这种计算过程。这就是最优化的思想，选择好最优最适合自己的方法再行动。)

【设计意图】最优化思想,数学来源于生活,为生活服务。

活动四：探索n边形内角和

问题1:以从顶点出发作对角线这种方法来探究n边形内角和为多少？以小组为单位进行探讨。

多边形的内角和定理:边形的内角和等于(n-2)·180°(n≥3的整数)。【设计意图】通过增加图形的复杂性,再一次经历转化的过程,加深对转化思想的理解。通过猜想、归纳、推导让学生体会从特殊到一般的思想,通过公式的归纳过程,体会数形之间的联系。

三、初步应用，感悟新知

例:已知一个多边形的内角和是180°,求它的边数。

解:设边数为n,有

180°(n-2)=1800°

解得:n=12

答:它的边数为12。

四、巩固练习

变式练习1：已知一个多边形的内角和是2160°，求它的边数。

解

：

设这个多边形有n条边.由多边形内角和定理知：

(n-2)

×180°=2160°

得

n

=14，即这个多边形有14条边。

变式练习2：有一张长方形的桌面，现在锯掉它的一个角，剩下的桌面是一个几边形？它的内角和是多少？

五、课堂小结

问题1:你都学习到了哪些探究多边形内角和的方法?

请学生回答说一说。

问题2:体会到了数学当中的什么数学思想方法？

教师总结：

1、我们认识了多边形及相关的元素.2、通过探索多边形的内角和定理，我们尝试了从不同的角度寻求解决问题的方法，并且能有效地运用定理解决问题.3、我们学会了许多解决数学问题的思想方法，如将多边形问题转化为三角形问题，以及类比法、归纳法、转化、分类的思想方法等.【设计意图】鼓励学生畅所欲言总结对本节课的收获和体会,有利于培养归纳、总结的习惯和能力,让学生自主建构知识体系。

七、布置作业，巩固提高

1、课本P74习题19.1

题1、5、72、思考题:把一个n边形切掉一个角后的内角和为1620°,n是多少呢？

【设计意图】适当的对作业进行分层设计,让学有余力的学生得到拓展。