2021年高中数学人教A版（新教材）选择性必修第二册4.3.2　第1课时　等比数列前n项和公式

一、选择题

1．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3，S4＝15，则S6＝()

A．31

B．32

C．63

D．64

2．已知{an}是等比数列，a3＝1，a6＝，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1等于()

A．16(1－4－n)

B．16(1－2－n)

C．(1－4－n)

D．(1－2－n)

3．设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则a1＝()

A．－2

B．－1

C．

D．

4．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是其前n项和，且9S3＝S6，则数列的前5项和等于()

A．或5

B．或5

C．

D．

5．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯()

A．1盏

B．3盏

C．5盏

D．9盏

6．(多选题)设等比数列的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并且满足条件a1>1，a7a8>1，<0.则下列结论正确的是()

A．0

B．a7a9<1

C．Tn的最大值为T7

D．Sn的最大值为S7

7．(多选题)如图所示，作边长为3的正△ABC的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后，再作新三角形的内切圆．如此下去．则下列说法正确的是()

A．△ABC为第一个正三角形，那么第三个正三角形面积为

B．△ABC为第一个正三角形，那么第三个正三角形面积为

C．n个内切圆的面积和为π

D．n个内切圆的面积和为3π

二、填空题

8．在等比数列{an}中，若a1＝，a4＝－4，则|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝________.9．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝________.10．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N*)等于________．

11．设数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，则a1＝________，S5＝________.12．(一题两空)在《九章算术》中有一个古典名题“两鼠穿墙”问题：今有垣厚五尺，两鼠对穿．大鼠日一尺，小鼠也日一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？大意是有厚墙五尺，两只老鼠从墙的两边分别打洞穿墙．大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半．问________天后两鼠相遇？如果墙足够厚，Sn为前n天两只老鼠打的洞长度之和，则Sn＝________尺．

三、解答题

13．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列．

(1)求{an}的公比q；

(2)若a1－a3＝3，求Sn.14．已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝12，且2a1，a2，a3＋1成等比数列．

(1)求{an}的通项公式；

(2)记bn＝的前n项和为Tn，求Tn.15．已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1＋x2＝3，x3－x2＝2.(1)求数列{xn}的通项公式；

(2)如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1(x1，1)，P2(x2，2)，…，Pn＋1(xn＋1，n＋1)得到折线P1P2…Pn＋1，求由该折线与直线y＝0，x＝x1，x＝xn＋1所围成的区域的面积Tn.参考答案

一、选择题

1．答案：C

解析

：在等比数列{an}中，S2、S4－S2、S6－S4也成等比数列，故(S4－S2)2＝S2(S6－S4)，则(15－3)2＝3(S6－15)，解得S6＝63.2．

答案：C

解析：∵a3＝1，a6＝，∴q＝，∴a1＝4，∴a1a2＝8，∵

＝q2＝，∴数列{anan+1}是以8为首项，为公比的等比数列．

∴a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝(1－4－n)．

3．答案：B

解析：由S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2得a3＋a4＝3a4－3a2，即q＋q2＝3q2－3，解得q＝－1(舍)或q＝，将q＝代入S2＝3a2＋2中得a1＋a1＝3×a1＋2，解得a1＝－1.故选B.4．

答案：C

解析：设数列{an}的公比为q，显然q≠1，由已知得＝，解得q＝2(q＝1舍去)，∴数列是以1为首项，为公比的等比数列，前5项和为＝.5．

答案：B

解析：设塔的顶层的灯数为a1，七层塔的总灯数为S7，公比为q，则由题意知S7＝381，q＝2，∴S7＝＝＝381，解得a1＝3.故选B.6．

答案：ABC

解析：∵a1>1，a7a8>1，<0，∴a7>1，0

又a7a9＝a<1，故B正确；C中T7是数列{Tn}中的最大项，故C正确．

D中因为a7>1，0

7．答案：BC

解析：S△ABC＝×32＝，因为下一个三角形面积依次为上一个正三角形面积的倍，所以第三个正三角形的面积为×＝.故A错误，B正确．又根据条件，第一个内切圆的半径为×3＝，面积为π，第二个内切圆的半径为，面积为π，…，这些内切圆的面积组成一个等比数列，首项为π，公比为，故面积之和为＝π，则C正确，D错误．故选BC.二、填空题

8．答案：2n－1－

解析：由a4＝a1q3得q＝－2，∴an＝(－2)n－1，∴|an|＝2n－2.∴|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝＝2n－1－.]

9.答案：6

解析：∵a1＝2，an＋1＝2an，∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，又∵Sn＝126，∴＝126，∴n＝6.]

10．答案：6

解析：由题意知，第n天植树2n棵，则前n天共植树2＋22＋…＋2n＝(2n＋1－2)棵，令2n＋1－2≥100，则2n＋1≥102，又26＝64，27＝128，且{2n＋1}单调递增，所以n≥6，即n的最小值为6.11．

答案：1　121

解析：由于解得

由an＋1＝Sn＋1－Sn＝2Sn＋1得Sn＋1＝3Sn＋1，所以Sn＋1＋＝3，所以是以为首项，3为公比的等比数列，所以Sn＋＝×3n－1，即Sn＝，所以S5＝121.12．

答案：2　2n－＋1

解析：由题意先估计：两天不够，三天又多，设需要x天，则可得1＋2＋4(x－2)＋1＋＋(x－2)＝5，解得x＝2，即2天两只老鼠相遇．

由题意可知，大老鼠前n天打洞长度为＝2n－1，小老鼠前n天打洞长度为＝2－，所以Sn＝2n－1＋2－＝2n－＋1.三、解答题

13．解：(1)依题意有a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q＋a1q2)，由于a1≠0，故2q2＋q＝0.又q≠0，从而q＝－.(2)由已知可得a1－a1＝3，故a1＝4.从而Sn＝＝.14．解：(1)设正项等差数列{an}的公差为d，则d＞0.∵S3＝12，即a1＋a2＋a3＝12，∴3a2＝12，∴a2＝4.又2a1，a2，a3＋1成等比数列，∴a＝2a1·(a3＋1)，即42＝2(4－d)·(4＋d＋1)，解得d＝3或d＝－4(舍去)，∴a1＝a2－d＝1，故an＝3n－2.(2)bn＝＝＝(3n－2)×，∴Tn＝1×＋4×＋7×＋…＋(3n－2)×.①

①×得Tn＝1×＋4×＋7×＋…＋(3n－5)×＋(3n－2)×.②

①－②得，Tn＝＋3×＋3×＋3×＋…＋3×－(3n－2)×

＝＋3×－(3n－2)×＝－×－(3n－2)×，∴Tn＝－×－×＝－×.15．解：(1)设数列{xn}的公比为q，由已知可得q＞0.由题意得消去x1得3q2－5q－2＝0.因为q＞0，所以q＝2，x1＝1，因此数列{xn}的通项公式为xn＝2n－1.(2)过P1，P2，…，Pn＋1向x轴作垂线，垂足分别为Q1，Q2，…，Qn＋1(图略)．

由(1)得xn＋1－xn＝2n－2n－1＝2n－1，记梯形PnPn＋1Qn＋1Qn的面积为bn，由题意得bn＝×2n－1＝(2n＋1)×2n－2，所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn

＝3×2－1＋5×20＋7×21＋…＋(2n－1)×2n－3＋(2n＋1)×2n－2.①

又2Tn＝3×20＋5×21＋7×22＋…＋(2n－1)×2n－2＋(2n＋1)×2n－1.②

①－②得，－Tn＝3×2－1＋(2＋22＋…＋2n－1)－(2n＋1)×2n－1

＝＋－(2n＋1)×2n－1.所以Tn＝.