第五部分　特征值与特征向量

本章讨论方阵的特征值和特征向量，进而讨论方阵能与对角阵相似的充分必要条件以及实对称阵与对角阵相似的问题。

5.1　特征值与特征向量

5.1.1　特征值与特征向量的定义

定义5.1.1　设A是一个n阶方阵，λ是一个数。如果存在一个非零的n维列向量p，使得Ap=λp。

则称λ为方阵A的一个特征值，称p为A的属于特征值λ的特征向量。

由以上定义容易看出，p为A的属于特征值λ的特征向量p是齐次方程组（λE-A）=0的非零解。

由此可见，λ为方阵A的一个特征值

定义5.1.2　称带参数λ的方阵λE-A为方阵A的特征方阵，称为A的特征多项式，称为A的特征方程。

为什么称为A的特征多项式？看

为二次多项式。对n阶方阵

是一个n次多项式。

所以n阶方阵A的特征方程是一元n次方程，容易知道，n阶方阵A在复数范围内，有n个根（重根按重数进行计算）。

所以n阶方阵A在复数范围内必有n个特征值（重根按重数计算）。

而当λ是A的特征值时，齐次方程组（λE-A）X

=0的所有非零解都是A的属于特征值λ的特征向量。

例1　求n阶的所有特征值和所有特征向量。

【答疑编号12050101】

解

这说明，n阶O矩阵的n个特征值都是0。

对于任给的n维非零向量p，都有Ap=0=0p，所以p都是O矩阵的属于特征值0的特征向量。

例2　当时，2是A的特征值。当时，λ=　　　是A的特征值。

【答疑编号12050102】

例3　设A是一个n阶方阵，且满足证明：-1是矩阵A的特征值。

【答疑编号12050103】

例4　设A是一个n阶方阵，且A≠E。如果证明：-1是矩阵A的特征值。

【答疑编号12050104】

5.1.2　关于特征值和特征向量的若干结论

命题1　方阵的特征值未必是实数。

例5　设

显然，即特征值都是复数。

命题2　三角形矩阵的特征值就是它主对角线上的所有元素。

命题3　设是矩阵A的一个特征值，是矩阵A属于特征值的特征向量，是两个任意数，则当时，也是矩阵A属于特征值的特征向量。

定理5.1.1　n阶方阵A与它的转置有相同的特征值。

这只要看

值得注意的是与A未必有相同的特征向量。

例6

解　显然，λ=1是A的特征值，故属于特征值λ=1的特征向量。

但

所以不是的特征向量。（此题给出了判断向量是否是A的特征向量的方法）。

【答疑编号12050105】

定理5.1.2　设是n阶方阵的全体特征值。则

定理5.1.3

设A为n阶方阵，为对应的方阵多项式。如果非零向量p满足Ap=λp，则f(A)p=f(λ)p。

这表明，如果λ是A的特征值，则f(λ)就是方阵f(A)的特征值，且如果p是方阵A属于特征值λ的特征向量，则p也是方阵f(A)属于特征值f(λ)的特征向量。

例7

设的所有特征值。

【答疑编号12050201】

例8

已知n阶方阵求A的所有特征值。

【答疑编号12050202】

定理5.1.4

设A是可逆方阵，λ是A的一个特征值，p是方阵A属于特征值λ的特征向量，则λ≠0，且p是方阵属于特征值的特征向量。

定理5.1.5

设是矩阵A的k个两两不相同的特征值，且分别是关于的特征向量。则线性无关。

5.1.3　关于求特征值和特征向量的一般方法

例9

求出的特征值和线性无关的特征向量。

【答疑编号12050203】

解

（1）写出特征多项式

得为的全部特征值。

下面求A的特征向量。

当时,A的属于该特征值的线性无关的特征向量就是齐次方程组的基础解系。

对

取为自由未知数，得A的属于特征值2的线性无关的特征向量

当时，则A的属于特征值的线性无关的特征向量就是齐次方程组的基础解系。而

取自由未知数，得的属于特征值的线性无关的特征向量为

所以是矩阵A的三个线性无关的特征向量。

例10

求矩阵的特征值和特征向量。

【答疑编号12050204】

小结：

（1）求特征值特征向量的方法步骤。

（2）对于A的二重特征值，可能有两个线性无关的特征向量，也可能只有一个线性无关的特征向量。一般，若λ=a是A的k重特征值，A至多有k个属于λ=a的线性无关的特征向量。(可能少于k个!)

例11

设n阶方阵的每一行中元素之和同为a，证明：a是矩阵的特征值，并求出它属于该特征值的一个特征向量。

【答疑编号12050205】

例12

求出k的值，使得的逆矩阵的特征向量。

【答疑编号12050206】

小结

1.特征值和特征向量的定义；

2.λ是n阶矩阵A的特征值的充分必要条件是，而齐次方程组的所有非零解都是A属于特征值λ的特征向量；

3.关于特征值和特征向量的若干重要结论；如

A属于不同特征值的特征向量线性无关等

4.求矩阵的特征值和特征向量的方法。

作业p135

习题5.1

2，3，4，5，6，7，8，9，10，11

5.2　方阵的相似变换

对于方阵A，要求一般来说，这是一个十分困难的问题。

有两种情况我们会处理。

而对一般的方阵A，要求十分困难。于是思考能否把求的问题转化为求一个对角阵的k次幂的问题呢？这首先希望找到A与对角阵的联系。

这一节就讨论这个问题。

5.2.1　相似矩阵的概念

一、定义

定义5.2.1　设A，B都是n阶方阵。如果存在一个可逆矩阵P，使得

则称A与B相似，记为A～B。

例1　取

故A与B相似。

【答疑编号12050301】

例2　设A，B都是n阶方阵。

A可逆，则AB与BA相似。

【答疑编号12050302】

证　因为故AB与BA相似。

例3　设B是n阶方阵，若n阶单位阵与B相似，则

【答疑编号12050303】

二、相似矩阵的性质：

（1）反身性；（2）对称性；（3）传递性。

定理5.2.1　设n阶方阵A与B相似，则A与B的特征多项式相同，从而特征值完全相同。从而有和

需注意的是A与B不一定有相同的特征向量。

只要看例1中，取

故的一个属于特征值0的特征向量，但

所以不是矩阵属于特征值0的特征向量。

推论　若n阶方阵A与三角阵相似，则该三角阵的主对角元素就是A的所有特征值。

例4　设且A与B相似。求参数x，y。

【答疑编号12050304】

例5　设n阶方阵A与B相似，证明：方阵多项式f（A）与f（B）相似，其中

【答疑编号12050305】

5.2.2　方阵与对角阵相似

设三阶方阵A与对角阵相似存在可逆阵，使得

即

即

即是矩阵A的三个特征值，依次为矩阵A属于特征值的特征向量。

注意可逆的充分必要条件是线性无关。上面的讨论对n阶方阵可类似的进行。于是有下面的重要定理

定理5.2.2n阶方阵A与对角阵相似的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。设

是A的n个特征值，依次是A属于特征值的线性无关的特征向量，则令

有

推论

设n阶方阵A有n个不同的特征值（即特征方程无重根），则A必能和对角阵相似。（这是充分条件，不是必要条件）

分析矩阵不能与对角阵相似的原因。

例6

不能与对角阵相似。

【答疑编号12050401】

例7

判断能否与对角阵相似？若能，求出变换矩阵P。

【答疑编号12050402】

在上一节例9已求出A的全部特征值

当时，A有两个线性无关的特征向量:对，A有一个线性无关的特征向量

所以是矩阵A的三个线性无关的特征向量。

故A能与对角阵相似，取变换矩阵

必有

例8

判断矩阵

能否与对角阵相似，若相似，求出变换矩阵。

【答疑编号12050403】

解

在上一节例10

已求出A的全部特征值

得A的全部特征值为

对

A只有一个属于特征值的线性无关的特征向量

所以A没有三个线性无关的特征向量，故A不能与对角阵相似。

例9

设

问A是否相似于对角阵？若是，则求出其相似标准形。

【答疑编号12050404】

例10

已知三阶方阵A的三个特征值为

与它们对应的特征向量分别为：

求矩阵A。

【答疑编号12050405】

例11

设，求。

【答疑编号12050406】

小结

主要概念:

1.相似的定义和性质。

2.n阶方阵能与对角阵相似的充分必要条件；及充分条件（特征方程无重根）。

主要习题类型:

1.判断n阶方阵能否与角阵相似，相似时，求出变换矩阵。

2.已知方阵的全部特征值和n个线性无关的特征向量，求矩阵A

3.利用相似矩阵的性质求矩阵中的未知参数。

作业

p144

习题5.2

1.（1），（2），（5），2，3，4（2），5

5.3　向量内积和正交矩阵

5.3.1　向量的内积

一、定义

定义5.3.1设都是n维实向量。

定义为α与β的内积。

显然，α与β的内积的内积是一个实数，所以内积也称数量积。

例1

设求它们的内积。

【答疑编号12050501】

解

二、性质

（1）交换律（α,β）=（β,α）

（1）线性性质

正定性

对任意的α，总有（α,α）≥0，且（α,α）=0的充分必要条件是α=0。

只要看

（4）许瓦兹不等式（*）

而且式

（*）中等式成立的充分必要条件是α与β线性相关。（证明从略）

三、向量的长度

定义5.3.2

设为向量α的长度。

当时，称向量α为单位向量。

显然，α为单位向量

向量长度的性质：

（1）非负性：

（2）齐次性：

只要看

（3）三角形不等式

可见，n维向量长度的性质与三维向量长度的性质相同。

显然，基本单位向量为单位向量。

对于任意的非零向量为单位向量，称它为α的单位化向量。

因为

容易看出，当k≠0时，kα的单位化向量与α的单位化向量相同。

例2

对于α=（1,2,3）。求它的单位化向量。

【答疑编号12050502】

解，所以，它的单位化向量为

请自已读例3（p147），目的搞清楚每个式子是否有意义。

四、向量的正交与正交向量组

定义5.3.3

若（α,β）=0，则称向量α与β正交。显然零向量与任何向量都正交。

定义5.3.4

如果一个同维向量组不含零向量，且其中任意两个向量都正交（两两正交），则称该向量组为正交向量组。

例3

在中，一个正交向量组。且为一个标准正交向量组。（还是一个标准正交基）。

【答疑编号12050503】

例4

求一个单位向量x,使得

即垂直于α=（1,1,1）又垂直于β=（1.-2,1）。

【答疑编号12050504】

定理5.3.1

正交向量组必线性无关。

5.3.2　施密特正交化手续

能否根据给定的一个线性无关向量组，构造出与它等价的正交向量组。

例5

将标准正交化。

【答疑编号12050505】

5.3.3　正交矩阵

一、定义

定义5.3.5

如果n阶实方阵A满足，则称A为正交矩阵。

例6

证明下列矩阵为正交矩阵

（1）因为　所以为正交阵。

【答疑编号12050601】

（2）

【答疑编号12050602】

（3）

【答疑编号12050603】

二、正交矩阵的性质

1.如果A是正交阵，则

2.如果A是正交阵，则A必可逆，且；

3.正交阵的逆，转置和伴随阵都是正交阵；

4.设A，B都是正交阵，则它们的乘积仍为正交阵；

5.设A是n阶正交阵，α,β都是n维向量，则。

特别，时。

定理5.3.2

n阶方阵是正交阵的充分必要条件是它的行（列）向量组是标准正交向量组。

例7

判断下列矩阵是否为正交阵

（1）

【答疑编号12050604】

（2）

【答疑编号12050605】

例8

设x为n维单位列向量。证明:是对称正交阵。且有Hx=-x

【答疑编号12050606】

例9

设A是n阶正交阵。λ是A的一个特征值。证明λ≠0，且也是A的一个特征值。

【答疑编号12050607】

小结

1.向量α与β内积的定义与性质；

2.向量长度的定义，如何将向量单位化；

3.两向量正交与正交向量组的定义，正交向量组必线性无关；

4.施密特正交化手续；

5.正交矩阵的定义和性质。

作业

p153

习题5。3

1，5（1），6，7，8

5.4　实对称矩阵的相似标准形

5.4.1　实对称矩阵的性质

定理5.4.1

实对称矩阵的特征值必为实数。

定理5.4.2

实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量相互正交。

定义5.4.1

设A，B都是n阶方阵，若存在正交阵P使得，则称A与B正交相似。

定理5.4.3

(实对称矩阵的基本定理)设A为n阶实对称阵，则A必能与对角阵正交相似，即存在正交阵P，使得

其中，是方阵A的n个特征值。反之，凡是正交相似于对角阵的实方阵一定是实对称阵。

我们证明定理的后半部分。

设A是n阶方阵，存在正交阵P使得

则，即A为对称阵。

5.4.2　求正交阵，使实对称阵正交相似于对角形

设A是实对称阵。要求正交阵P,使得为对角形。

下面看例题。

例1

设,求正交阵

和对角阵，使得。

【答疑编号12050701】

解

(1)求A的特征值

故

（2）求特征向量

当时,得矩阵A的属于特征值的特征向量；

当时,，得矩阵A的属于特征值的特征向量；

当时，得矩阵A的属于特征值的特征向量；

(3)将特征向量单位化

因为三个特征值都是单根，故它们对应的特征向量两两正交.故只需单位化。

得。

于是得正交阵。

则

例2

设，求正交阵P和对角阵，使得。

【答疑编号12050702】

解

（1）求A的特征值

得特征值。

（2）求特征向量，得矩阵A的属于特征值的特征向量；

当时，得矩阵A的属于特征值的特征向量；

（3）将正交化

注意，但相互不正交，故需正交化。

取

（4）将特征向量单位化。

于是得正交阵

则

例3

设三阶实对称矩阵A的特征值为。已知A的属于的特征向量为，求出矩阵A属于特征值的特征向量，并求出矩阵A。

【答疑编号12050703】

小结

1.实对称阵的性质；

2.正交相似的定义；

3.用正交变换将实对称矩阵化为对角阵的方法。

作业

p160

习题5.4

1,2,4(2),6,7

第五章总结

1方阵特征值和特征向量的定义和求法；

2.关于特征值特征向量的若干重要结论；

3.矩阵相似的定义和性质；

4.n阶方阵能与对角阵相似的充分必要条件；

5.向量内积的定义和性质；

6.向量长度的定义，单位向量，向量的单位化；

7.正交与正交向量组的概念和性质；施密特正交化手续；

8.实对称矩阵的性质，如何用正交变换将实对称阵化成对角形。