第一篇：证明一、证明二、证明三_解直角三角形小结

北师大版证明一，证明二，证明三，解直角三角形知识点总结

证明

（一）1、本套教材选用如下命题作为公理：

（1）、两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。（2）、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。（3）、两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。（4）、两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。（5）、三边对应相等的两个三角形全等。（6）、全等三角形的对应边相等、对应角相等。

此外，等式的有关性质和不等式的有关性质都可以看做公理。

2、平行线的判定定理

公理两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。简单说成：同位角相等，两直线平行。

定理两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。简单说成：同旁内角互补，两直线平行。

定理两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。简单说成：内错角相等，两直线平行。

3、平行线的性质定理

公理两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。

简单说成：两直线平行，同位角相等。定理两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。

简单说成：两直线平行，内错角相等。定理两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。

简单说成：两直线平行，同旁内角互补。如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

4、三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180。

5、三角形内角和定理的推论

三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

证明

（二）一、公理（1）三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。

（2）两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）。（3）两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）。（4）全等三角形的对应边相等、对应角相等。推论：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）。

二、等腰三角形

1、等腰三角形的性质

（1）等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）

（2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）。等腰三角形的其他性质：

①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°

②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。③等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则

b

2

180A22、等腰三角形的判定方法

(1)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。(2)有两条边相等的三角形是等腰三角形.三、等边三角形

性质：（1）等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°。（2）三线合一 判定方法：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形（2）三个角都相等的三角形是等边三角形

（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

四、直角三角形

（一）、直角三角形的性质

1、直角三角形的两个锐角互余

2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

3、在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°

4、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

5、勾股定理：直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a

2b2

c2

其它性质：

1、直角三角形斜边上的高线将直角三角形分成的两个三角形和原三角形相似。

2、常用关系式：由三角形面积公式可得：

两直角边的积=斜边与斜边上的高的积（等面积法）

（二）、直角三角形的判定

1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。

2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长a，b，c有关系a

2b2

c2，那么这个三角形是直角三角形。

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（三）直角三角形全等的判定：

对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）

五、角的平分线及其性质与判定

1、角的平分线：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。

2、角的平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。定理：三角形的三条角平分线相交于一点（三角形的内心），并且这一点到三条边的距离相等。

3、角的平分线的判定定理：

在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。

六、线段垂直平分线的性质与判定

1、线段的垂直平分线：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。

线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点（三角形的外心），并且这一点到三个顶点的距离相等。

线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

七、反证法

八、互逆命题、互逆定理

1、在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。

2、如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理。

证明

（三）一、平行四边形

1、平行四边形的定义

两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

2、平行四边形的性质

（1）平行四边形的对边平行且相等。（2）平行四边形相邻的角互补，对角相等（3）平行四边形的对角线互相平分。

（4）平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。常用点：（1）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段的中点是对角线的交点，并且这条直线二等分此平行四边形的面积。

（2）推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。

3、平行四边形的判定

（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形（2）定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形（3）定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形（4）定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形（5）定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

4、平行四边形的面积 S平行四边形=底边长×高=ah

二、矩形

1、矩形的定义

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

2、矩形的性质

（1）矩形的对边平行且相等（2）矩形的四个角都是直角

（3）矩形的对角线相等且互相平分

（4）矩形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点（对称中心到矩形四个顶点的距离相等）；对称轴有两条，是对边中点连线所在的直线。

3、矩形的判定

（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（2）定理1：有三个角是直角的四边形是矩形（3）定理2：对角线相等的平行四边形是矩形

4、矩形的面积 S矩形=长×宽=ab

三、菱形

1、菱形的定义

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形

2、菱形的性质

（1）菱形的四条边相等，对边平行（2）菱形的相邻的角互补，对角相等

（3）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角

（4）菱形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点（对称中心到菱形四条边的距离相等）；对称轴有两条，是对角线所在的直线。

3、菱形的判定

（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形

（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形

4、菱形的面积

北师大版证明一，证明二，证明三，解直角三角形知识点总结

S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半

四、正方形（3~10分）

1、正方形的定义

有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

2、正方形的性质

（1）正方形四条边都相等，对边平行（2）正方形的四个角都是直角

（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角

（4）正方形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点；对称轴有四条，是对角线所在的直线和对边中点连线所在的直线。

3、正方形的判定

判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种： 先证它是矩形，再证它是菱形。先证它是菱形，再证它是矩形。

4、正方形的面积

设正方形边长为a，对角线长为b

Sb

2正方形=a2

2

五、等腰梯形

1、等腰梯形的定义

两腰相等的梯形叫做等腰梯形。

2、等腰梯形的性质

（1）等腰梯形的两腰相等，两底平行。

（2）等腰梯形同一底上的两个角相等，同一腰上的两个角互补。（3）等腰梯形的对角线相等。

（4）等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，即两底的垂直平分线。

3、等腰梯形的判定

（1）定义：两腰相等的梯形是等腰梯形

（2）定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形（3）对角线相等的梯形是等腰梯形。（选择题和填空题可直接用）六、三角形中的中位线

1、三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

2、三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

3、常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：

结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。

结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。

结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。

结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。

七、有关四边形四边中点问题的知识点：

（1）顺次连接任意四边形的四边中点所得的四边形是平行四边形；（2）顺次连接矩形的四边中点所得的四边形是菱形；（3）顺次连接菱形的四边中点所得的四边形是矩形；

（4）顺次连接等腰梯形的四边中点所得的四边形是菱形；

（5）顺次连接对角线相等的四边形四边中点所得的四边形是菱形；（6）顺次连接对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是矩形；

（7）顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形四边中点所得的四边形是正方形；

解直角三角形 知识点总结

考点

一、直角三角形的性质（3~5分）

1、直角三角形的两个锐角互余

可表示如下：∠C=90°∠A+∠B=90°

2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。∠A=30°可表示如下：

BC=

2AB∠C=90°

3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半∠ACB=90°可表示如下：CD=

1AB=BD=ADD为AB的中点

4、勾股定理

直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a

2b2

c25、摄影定理

在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项

∠ACB=90CD2ADBD

AC2ADAB

CD⊥BC2BDAB

6、常用关系式

由三角形面积公式可得： ABCD=ACBC

北师大版证明一，证明二，证明三，解直角三角形知识点总结

考点

二、直角三角形的判定（3~5分）

1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。

2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长a，b，c有关系a

2b2

c2，那么这个三角形是直角三角形。考点

三、锐角三角函数的概念（3~8分）

1、如图，在△ABC中，∠C=90°

①锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记为sinA，即

sinA

A的对边斜边a

c

②锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记为cosA，即

cosA

A的邻边斜边b

c

③锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记为tanA，即tanA

A的对边A的邻边a

b2、锐角三角函数的概念

锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数

4、各锐角三角函数之间的关系（1）互余关系 sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A)（2）平方关系

sin2Acos2A

1（3）倒数关系 tanAtan(90°—A)=1（4）弦切关系 tanA=

sinA

cosA5、锐角三角函数的增减性

当角度在0°~90°之间变化时，（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）（3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）考点

四、解直角三角形（3~5）

1、解直角三角形的概念

在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。

2、解直角三角形的理论依据

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c（1）三边之间的关系：a2

b2

c2

（勾股定理）（2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90°（3）边角之间的关系：

sinA

ac,cosAbc,tanAab,sinBbabc,cosBc,tanBa

第二篇：证明三：平行四边形(一、二)

平行四边形

（一）教师：张贤班级：九（5）、（10）

执行时间：202_年10月9日

一、温故知新

1、平行四边形的概念

2、平行四边形的性质

①边②角③对角线④对称性⑤面积

二、合作探究

1、证明：平行四边形的对边相等

已知：

求证：

证明：

2、平行四边形的对角相等

已知：

求证：

证明：

3、等腰梯形同一底上上的两底角相等

已知：

求证：

证明：

三、练一练：同一底上两个底角相等的梯形是等腰梯形

四、小结：通过这节课的学习，同学们有什么收获？

五、当堂检测

1、等腰梯形的腰与上底相等且等于下底的一半，则该梯形的腰与下底的夹角为.2、梯形ABCD中，AD∥BC,BD平分∠ABC,∠C=60°,当AB=CD=4时，梯形ABCD的周长

3．如图在中，AE平分∠BAD交DC于点E，AD=5cm，AB=8cm，求EC的长．（6分）

4．如图.在中，AD⊥DB，AC与BD相交于点O，OD=1，∠CAD=30°，求AC和DC的长．（8分）

平行四边形

（二）教师：张贤班级：九（5）、（10）

执行时间：202_年10月10日

一、温故知新：

（一）平行四边形的判别条件1、2、3、4、二、合作交流

1、证明：两组对边分别相等的四边形是平行四边形

已知：

求证：

证明：

2、证明：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

已知：

求证：

证明：

三、练一练

证明;对角线互相平分的四边形是平行四边形

四：课堂小结：通过这节课的学习，同学们有什么收获？

五、达标检测

1、下面给出的条件中，能判定一个四边形是平行四边形的是（）

Ａ．一组对边平行，另一组对边相等Ｂ．一组对边平行，一组对角互补

Ｃ．一组对角相等，一组邻角互补Ｄ．一组对角相等，另一组对角互补

2、在下面给出的条件中，能判定四边形ＡＢＣＤ是平行四边形的是（）

Ａ．ＡＢ＝ＢＣ，ＡＤ＝ＣＤＢ．ＡＢ∥ＣＤ，ＡＤ＝ＢＣ

Ｃ．ＡＢ∥ＣＤ，∠Ｂ=∠ＤＤ．∠Ａ＝∠Ｂ，∠Ｃ＝∠Ｄ

3、如图，在平行四边形ＡＢＣＤ中，ＥＦ∥ＡＤ，ＭＮ∥ＡＢ，ＥＦ，ＭＮ相交于点Ｐ，则除平行四边形ＡＢＣＤ外，图中共有平行四边形（）

Ａ．４个Ｂ．６个Ｃ．８个Ｄ．１０个

4、用两个全等的三角形按不同的方法拼成四边形，在这些拼出的四边形中，平行四边形最多有（）Ａ．１个Ｂ．２个Ｃ．３个Ｄ．４个

5、在下列条件中，能判定四边形ＡＢＣＤ为平行四边形的是（）

Ａ．ＡＢ＝ＡＤ，ＣＢ＝ＣＤＢ．ＡＢ∥ＣＤ，ＡＤ＝ＢＣ

Ｃ．ＡＢ＝ＣＤ，ＡＤ＝ＢＣＤ．∠Ａ＝∠Ｂ，∠Ｃ＝∠Ｄ

6．已知：如图在中，AC，BD交于点O，EF过点O，分别交CB，AD•的延长线于点E，F，求证：AE=CF．（10分）

6、已知：如图，在平行四边形ＡＢＣＤ中，点Ｇ，Ｈ分别是ＡＢ，ＣＤ的中点，点Ｅ，Ｆ在ＡＣ上，且ＡＥ＝ＣＦ．

求证：四边形ＥＧＦＨ是平四边形．（10分）

C

第三篇：等腰直角三角形的证明范文

已知,在△ABC中,CA=CB,已知O是CA、CB的垂直平分线的交点，M、N分别在直线AC、BC上，∠MOC=∠A=45°

202_-10-13 09:32 雨妕 | 分类：数学 | 浏览438次

1.若点M、N分别在边AC、BC上，求证：CN+MN=AM 2.若点M在边AC上，点N在BC边的延长线上，∠MNO=30°，MN=4.求AM的长

向左转|向右转

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202_-10-13 09:33 提问者采纳

上题一般会问的是：求证：CN+MN=AM或CN、MN、AM之间的关系。求证方法：连接OC，在AM上截取AQ=CN，连接OQ，∵O为CA、CB的垂直平分线的交点，∴OC=OA=OB，∵AC=BC，∴OC⊥AB，CO平分∠ACB，∴∠A=∠B=45°，即∠ACB=90°，∴∠OCN=45°，即∠OCN=∠A=45°，在△AOQ和△CON中，AQ=CN，∠A=∠OCN，OA=OC，∴△AOQ≌△CON，∴OQ=ON，∠AOQ=CON，∵OC⊥AB，∴∠AOC=∠AOQ+∠COQ=90°，∴∠CON+∠COQ=90°，即∠QON=90°，又∠MON=45°，∴∠QOM=45°，在△QOM和△NOM中，OQ=ON，∠MON=∠QOM，OM=OM，∴△QOM≌△NOM，∴QM=NM，则AM=AQ+QM=CN+MN；

希望可以帮到你，望采纳。。

追问

第二问呢？

提问者评价

谢谢！

第四篇：证明(一)(二)(三)知识点总结

证明

（一）1交流必须对某些名称和术语有共同的认识才能进行，为此，就要对名称和术语的含义加以描述，做出明确的规定，也就是给出它们的定义。

2判断一件事情的句子，叫做命题。如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就不是命题。

3每个命题都是由条件和结论两部分组成，条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项，一般地，命题都可以写成“如果„„那么„..”的形式，其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论。4正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题。

5要说明一个命题是假命题，通常可以举出一个例子，使之具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例。

6公认的真命题称为公理。除了公理外，其他真命题的正确性都通过真理的方法证实，推理的过程称为证明，经过证明的真命题称为定理，而证明所需的定义，公理和其他定理都编写在要证明的这个定理的前面。

两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。三边对应相等的两个三角形全等。

全等三角形的对应边相等，对应角相等。

公理 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。定理 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。定理 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.公理 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。定理 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。

证明定理：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。这一定理可以简单说成：两直线平行，同旁内角互补。

三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180度。

三角形的一个外角等于和它相邻的两个内角的和。三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

证明

（二）公理 三边对应相等的两个三角形全等（SSS）公理 两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。（SAS）公理 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。(ASA)公理 全等三角形的对应边相等、对应角相等。

推论 两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。(AAS)定理 等腰三角形的两个底角相等。

推论 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形。

先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。这种证明方法称为反证法。

定理 有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形。

定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。.定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。

定理 如果三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

一个命题是真命题，它的逆命题却不一定是真命题，如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理。

定理 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

定理 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。定理 三角形三条边的垂直平分线相交于一点并且这一点到三个顶点的距离相等。

定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

定理 在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。定理 三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。

证明

（三）定理平行四边形的对边相等。定理平行四边形的对角相等。

定理 同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。定理 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。定理 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

定理 三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。定理 矩形的四个角都是直角。定理 矩形的对角线相等。

推论 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。定理 菱形的四条边都相等。

定理 菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角。定理 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

第五篇：如何证明一加一等于二？

如何证明一加一等于二？

有这个必要吗？

如果你期待这里有哥德巴赫猜想的完整证明，我只能说哥们儿你失望了。我说的 1 和 2 可都是纯粹的自然数。你开始不屑一顾了吧：1 ＋ 1 ＝ 2 不是显然的吗？可是你是否考虑过，以前学几何的时候，我们总是从一些公理开始，逐渐推出需要的结论。然而，代数的学习却不是这样。我们有的是加法表和乘法表，而这些表早已成为计算的直觉刻在脑子里。一个靠直觉构建起来的体系似乎不太让人觉得可信。如果连 1 + 1 = 2 这样简单的算式都无法证明，那么所有经由此类运算得到的结果都是不可信的，至少是不科学的。看来，我们需要挖掘一些比 1 + 1 = 2 更基本的东西。

什么是 1，什么是 2？

在证明之前，首先我们要明白什么是自然数，什么是加法。类似于几何的公理化理论体系，我们需要提出几个公理，然后据此定义自然数，进而定义加法。先来定义自然数。根据自然数的意义（也就是人类平时数数时对自然数的运用方法），它应该是从一个数开始，一直往上数，而且想数几个就可以数几个（也就是自然数有无限个）。据此我们得到以下公理：

公理 1.0 是一个自然数。

公理 2.如果 n 是自然数，则 S(n)也是自然数。

在这里，S(n)就代表 n 的“后继”，也就是 n 往上再数一个。没错，我们平时所说的 0, 1, 2, 3, ⋯⋯，无非就是表示上述这种叫做“自然数”的数学对象的符号而已。我们用符号“0”来表示最初的那个自然数，用“1”来表示 0 的后继 S(0)，而 1 的后继 S(1)则用符号“2”来表示，等等。

可是仅有这两个公理还不够完整地描述自然数，因为满足这两条的有可能不是自然数系统。比如考虑由 0, 1, 2, 3 构成的数字系统，其中 S(3)= 0（即 3 的后一个数变回 0）。这不符合我们对于自然数系统的期望，因为它只包含有限个数。因此，我们要对自然数结构再做一下限制：

公理 3.0 不是任何一个数的后继。

但这里面的漏洞防不胜防，此时仍不能排除如下的反例：数字系统 0, 1, 2, 3，其中 S(3)= 3。看来，我们设置的公理还不够严密。我们还得再加一条： 公理 4.若 n 与 m 均为自然数且 n ≠ m，则 S(n)≠ S(m)。

也就是说，互不相同的两个自然数，它们各自的后继也是两个不同的数。这样一来，上面说到的反例就可以排除了，因为 3 不可能既是 2 的后继，也是 3 的后继。

最后，为了排除一些自然数中不应存在的数（如 0.5），同时也为了满足一会儿制定运算规则的需要，我们加上最后一条公理。

公理 5.（数学归纳法）设 P(n)为关于自然数 n 的一个性质。如果 P(0)正确，且假设 P(n)正确，则 P(S(n))亦真实。那么 P(n)对一切自然数 n 都正确。

有了这以上的努力，我们就可以这样定义自然数系了：存在一个自然数系 N，称其元素为自然数，当且仅当这些元素满足公理 15 便是著名的皮亚诺公理，它是意大利数学家皮亚诺在 1889 年发表的。虽然描述这套公理体系的数学语言发生过不少变化，但这套体系本身一直延用至今。根据这个建立在公理基础之上的自然数体系，通过引入减法可以得到整数系，再引入除法得到有理数体系。随后，通过计算有理数序列的极限（由数学家康托提出）或者对有理数系进行分割（由戴德金提出）得到实数系 [2]。这一套公理化实数体系连同同时期魏尔斯特拉斯在微积分分析化过程中的贡献（例如极限定义中的 ε-δ 语言）一道，使得早已被人类应用两百多年的微积分学能建立在一个坚实的基础上 [3]。

参考文献

[1] Analysis [M].Terence Tao

[2] 数学史概论（第二版）[M].李文林

[3] A History of Mathematics, an Introduction(Second Edition)[M].Victor J.Katz