第一篇：数学基础版曲线与方程教案

课题：8.3.1 直线的点向式方程.教学目标：1．理解直线的点向式方程的推导过程，掌握直线的点向式方程.2．会运用直线的点向式方程.3．培养学生数形结合的思想和转化的思想和能力.4．培养学生分析问题，解决问题的能力.教学重点：直线的点向式方程.教学难点：直线的点向式方程的推导.教学方法：讲授法.教学过程：

一、导入新课

我们学习过一次函数，谁能告诉我，一次函数的一般解析表达式？学生回答：

＝

＋，其中，＝

＋看成是常数，≠0(若学生回答不全，教师修正).它的图象是什么？一条直线.我们可以把字母系数的关于，的二元一次方程，那么它就是函数

＝

＋，的图象，即直线的方程.今天我们专门研究直线的方程，首先来学习直线的点向式方程.二、讲授新课

我们知道，两点确定一条直线，也就是说，已知直线通过的两点，这条直线就确定了.由此，我们也可以说，已知直线经过的一点，并且和一个非零向量平行也能确定一条直线，下面给予证明.设一个点为坐标为(，(，)，向量为＝(，)，我们以为起点，作向量，设点的)，由向量平行和相等的充要条件代入坐标可得，(－，－)＝(，)，即

解得 由，、，为确定的数，所以，也是确定的数，即点是确定的，由于点，是确定的，所以条直线.这条直线也是确定的，因此，已知直线过一个一点且和一个非零向量平行，可以确定这 在直角坐标系中，已知点＝(，)(图9－1)，我们来求过点，并且与非零向量平行的直线的方程.其中叫做直线的方向向量.设(，)是一动点，点∈的充分必要条件是与平行，即

将(1)换用坐标表示，得

(－，＝，∈，(1)

－)＝(，)，即 消去参数，得

在方程(2)中，如果≠0，(－)－

（(2)

－)＝0.(3)

≠0可得到

方程(3)和(4)都叫做通过 特别地，当＝0(此时

(，.(4)，)的直线的点向式方程.)，方向向量为＝（≠0，否则为零向量)时，则由(3)式得到方程

＝，它表示通过 当(，)，且平行于轴的直线(图9–2(1)).＝0(此时≠0，)则由(3)式得到方程

＝，它表示通过(，)，且平行轴的直线(图9–2(2)).有了直线的点向式方程，只要知道直线上一点的坐标和一个方向向量，就可以直接根据直线的点向式方程求出直线的点向式方程.例1 求通过点(－2，1)，且平行于方向向量＝(3，－1)的直线方程.解：依直线的点向式方程，得

整理，得所求直线的方程

＋3 例2 求下列过点(1)

.－1＝0.，且一个方向向量为的直线方程：

(3，－1)，＝(2，0).(2，－1)，＝(0，3)；(2)分析：这是已知直线上一点和它的一个方向向量求其直线方程的题，其中方向向量的坐标有一个是零，所以此时的直线是特殊的.＝(0，3)平行 解：(1)由于直线的方向向量平行

轴，＝(2，0)平行轴，轴，所以通过点(2，－1)的直线方程为

＝2；(2)由于直线的方向向量平行于轴，所以通过点(3，1)，的直线方程为

例3 求过点(－1，2)和点

＝－1.(2，4)的直线方程.分析：已知条件给的是直线过的两点，若用直线的点向式方程缺少方向向量，可先由已知的两点求该直线的一个方向向量.解：直线的方向向量可取为＝(3，2)，又直线过点(－1，2)，依直线的点向式方程，得

整理，得所求直线方程

2－3

三、课堂练习

.＋8＝0.第3页 练习A.第1(1)、(2)、(5)、(6)题、第2(1)、(3)题，第3(1)题.四、课堂小结

通过今天的教学，大家应该: 1．知道除了两点可以确定一条直线外，一个点和一个非零向量也能确定一条直线.2．掌握直线的点向式方程.(1)记住并理解方程中各字母的含义；(2)注意平行于轴和平行于轴的直线方程；

(3)会用它求直线的点向式方程.五、课外作业

1．复习作业：复习第7～8页8.3.1的课文.2．书面作业：第8页练习1-3题，3．预习作业：预习课文8.3.1直线的斜率.课题：9.1.2(1)直线的斜率

教学目标：1．理解直线的倾斜角、斜率的概念.2．了解直线的斜率和该直线方向向量的关系.3．掌握求斜率公式.4．培养学生数形结合、转化的思想和逻辑思维能力.教学重点：直线的斜率.教学难点：直线的斜率.教学方法：启发式讲授法.教学过程：

一、复习提问

1．应用直线的点向式方程来求某直线方程需要有什么条件？

2．已知直线过点

二、引入新课

我们学过一次函数(，)、(，)，求直线的一个方向向量.＝＋，是常数，知道它的图象是一条直线.我们把＝

＝＋看成二元一次方程，那它就是函数斜率.三、讲授新课 1．倾斜角的定义

＋的图象即直线的方程.这里叫斜率，我们今天就来学习直线的 一条直线向上的方向与轴正方向所成的最小正角行或重合时，规定它的倾斜角

等于0.，叫做这条直线的倾斜角，当直线与轴平(语言叙述的同时，借助于图示，指出向上的方向的含义.)由倾斜角的定义知，倾斜角的取值范围是0≤ 2．斜率的定义.＜π.当时，直线的倾斜角的正切，叫做直线的斜率，通常用表示.即 ＝tan().当时，直线没有斜率.3．直线的方向向量与直线斜率之间的关系.设直线的一个方向向量＝(时，由三角函数的定义知，)，直线的倾斜角为，斜率为(图9－3)，这时∥，当

≠0

.如果在直线上已知两点(，)，(，)(图9-4)，则直线的一个方向向量可取为，则直线的斜率

这就是已知直线上两点的坐标，求斜率的公式.(－≠０).如果已知直线的斜率为，也可求出该直线的方向向量.设＝(，)(≠0)是直线的方向向量，则向量与平行，即(1，)也是直线的一个方向向量，于是得到向量(1，)也是该直线的一个方向向量.4．例题

例4 已知直线的一个方向向量＝(－2，3)，求直线的斜率.解：直线的斜率

例5 已知直线的倾斜角是120°，求这直线的斜率和一个方向向量.解：的斜率.的一个方向向量 例6 求经过(－2，0)，.(－5，3)两点的直线的斜率和倾斜角

.解：由斜率公式，得

＝－1，又0≤

＜π，根据斜率的定义，有tan

所以

四、课堂练习

.第5页练习A第1(2)、(4)，2(2)、(4)，3(1)、(3)、(5)、(7)，4(1)、(3)题.五、课堂小结

小结时向学生说明；

1．斜率和倾斜角都是用来表示直线方向的，斜率是实数，可以用直线上任意两点的坐标来表示，而不需要求出直线的倾斜角.2．直线的斜率与上的两点的位置、顺序无关.3．当倾斜角＝90°，直线没有斜率，但不是没有倾斜角.4．由斜率求倾斜角时，要注意倾斜角的取值范围.六、课外作业

1．复习课文第4页9.1.2(1)直线的斜率.2．书面作业：第5页练习A第1(1)、(3)，2(2)、(4)，3(2)、(4)、(6)，4(2)、(4)题，练习B第1题.课题：9.1.2(2)直线的点斜式方程.教学目标：1．理解直线的点斜式方程的推导过程.2．掌握直线的点斜式方程和斜截式方程，理解斜截式直线方程中的意义.3．培养学生数形结合和转化的思想方法，培养逻辑思维能力.教学重点：直线的点斜式方程.教学难点：理解直线的点斜式方程的推导过程.教学方法:启发式讲授法.教学过程：

一、复习提问 1．叙述直线倾斜角的定义.2．直线的斜率是怎样定义的？

3．求斜率公式的内容是什么？各字母的含义分别是什么？

二、导入和讲授新课 1．直线的点斜式方程.上节课我们学习了直线的斜率的定义和求斜率公式，今天我们来研究，已知过点为(图9－5)的直线的方程.(，)，斜率

设点(，)为直线上不同于(，)的一动点，由的斜率为，所以它的一个方向向量为(1，)，依直线的点向式方程，得

(－ 整理，得)－（－)＝0.这个方程是由直线上一点式方程.特别地，当＝0时，直线方程变为

这时直线平行轴或在轴上.2．直线的斜截式方程.＝

.(，)和斜率所确定的直线方程，我们把这个方程叫做直线的点斜 在直线的点斜式方程中，如果的点斜式方程为

＝0，＝，即直线通过点(0，)，且斜率为(图9－6)，则直线

整理，得

－＝(－0).轴交点的纵坐标 这种形式的方程，是我们熟知的一次函数的解析式，其中为直线的斜率，直线与叫做该直线在轴上的截距，这个方程叫做直线的斜截式方程.另外直线与轴交点(，0)的横坐标叫做该直线在轴上的截距.3．例题

例7 求下列直线的方程：(1)直线：过点(2，5)，倾斜角为135°；

(2)直线：过点(2，1)和点(3，4).分析：(1)知倾斜角为135°，可求出斜率＝tan 135°，用直线的点斜式方程.(2)先由直线经过的两点的坐标，用斜率公式先求出斜率，用直线的点斜式方程；如果用两点求出方向向量，则可用点向式方程求解.解：(1)直线过点(2，5)，斜率＝tan 135°＝－1，由直线的点斜式方程，得 整理，得的方程为

＋

－7＝0.－5＝－1(－2).(2)(用点斜式方程求解)直线的斜率

直线过点(2，1)，由直线的点斜式方程，得

整理，得的方程为

3－，－1＝3(－2).－5＝0.(用点向式方程求解)直线的方向向量为(3―2，4―1)＝(1，3)，直线过点(2，1)，由直线的点向式方程，得

3(－2)(整理，得的方程为

3－

－5＝0.－1)＝0.例8 求过点(0，1)，斜率为 的直线方程.轴上，分析：此题可直接用直线的点斜式方程求出该直线的方程，但考虑到直线经过的点(0，1)在表明直线在轴上的截距为1，所以用直线的斜截式方程.解：直线过点(0，1)，表明直线在求直线方程为

轴上的截距为1，又直线斜率为，由直线的斜截式方程得所

例9 已知直线经过 分析：点

.(3，0)，斜率为－2，求它的方程.(3，0)在轴上，不能用直线的斜截式方程，用点斜式方程.解：由直线的点斜式方程，得所求直线方程为

整理，得所求直线方程为

＝―2(―3).2＋ 例10 已知直线经过(，0)，－6＝0.(0，)，(≠0，≠0)，求该直线的方程.解：由直线过点过直线的点斜式方程，得(，0)，(0，)，可求出该直线的斜率为，又直线过点(，0)，由

整理，得所求直线的方程为

三、课堂练习

＋

－

.＝0.第7页练习A第1(2)、(4)、(6)，2，3(1)、(3)、(5)、(7)、(8)题.四、课堂小结

引导学生和教师一起将本节的内容总结成下表：

五、课外作业

1．复习课文9.1.2 直线的点斜式方程.2．书面作业：第7页第3(2)、(4)、(6)、(9)题，第8页练习B第1题，第24页习题9－1A第1(3)、(4)、(5)、(6)题，第26页习题9－1B第4题.3．预习作业：预习9.1.3直线的点法式方程.课题：9.1.3直线的点法式方程.教学目标：1．理解直线点法式方程的推导过程，了解直线的法向量与方向向量的关系.2．掌握直线的点法式方程，并能解决有关问题.3．培养学生数形结合，转化的数学思想.4．培养学生事物是相互联系，相互转化的辩证唯物主义观点，培养逻辑思维能力.教学重点：直线点法式的方程.教学难点：直线的法向量的理解及其应用.教学方法：讲授法.课堂类型：新授课.教学过程：

一、复习导入

1．复习提问学生回答，教师板书.(1)已知直线过(，)，一个方向向量为＝(，)，它的点向式方程是什么样的？

(2)说出下列直线的点向式方程：

①直线过(1，2)，一个方向向量为＝(3，4)；

②直线过原点，一个方同向量为＝(3，4)；(3)已知直线的方程为3(－1)－2(2．导入新课

在1(1)题中，我们把题目所求改成求过点求这个方程？

教师口述，提出问题，引导学生思考，若有学生能说出用向量内积求方程的思路，则教师按学生思路求出方程；若没有，教师给出点法式推导过程.下面我们介绍直线方程的另一种形式，直线的点法式方程.，且与向量＝(，)垂直的直线的方程，那么如何

＋1)＝0，说出它的一个方向向量.教师口述，并板书课题.二、课授新课

1．概念

如图(出示小黑板)(9－7)已知点且与向量垂直的直线的方程，设

(，)，＝()是一动点，)，且是非零向量，求过点(，)，(，∈的充分必要条件是(教师口述)或(教师板书).换用坐标表示，上述充要条件可写为(教师口述).(－)＋(－)＝0(5)(教师板书).这个方程叫做直线的点法式方程，叫做直线的法向量.(教师口述.)2．例题

例9(出示小黑板)求过点 启发学生回答教师板书.解：由直线的点法式方程，得

3(－3)＋(－4)(整理，得

3－4

三、课堂练习

1．第9页练习A第1题.－1＝0.－2)＝0.(3，2)，且与向量＝(3，－4)垂直的直线方程.出示小黑板逐步出示各题，组织学生口答或抢答，教师板书.2．求通过点(1)(2)(3)(4)，且垂直于向量的直线方程：

(1，2)，＝(3，－4)；(－1，2)，＝(3，4)；(3，－2)，＝(－3，－4)；(3，－2)，＝(－2，5)；，(－5，6)，(－1，－4)，(3，2)求

三条高线所在的直线方程.3．已知 出示小黑板引导学生画出图来，标出三条高线.四、课堂小结

投影小结内容，教师口述.注 直线方程都可以化为

＋

＋

＝0的形式.1．复习教材第8～9页，9.1.3直线的点法式方程.2．书面作业第9页练习A第2题，练习B第3题，第24页习题9－1A，第5，9题.课题：9.1.3 直线的点法式方程.教学目标：

1．理解直线的法向量.2．理解直线的点法式方程的推导过程；掌握直线的点法式方程.3．进行数形结合思想的教育，培养逻辑思维能力.教学重点：直线的点法式方程.教学难点：对直线的法向量的理解.教学方法：启发式讲授法.教学过程：

一、复习提问

1．什么样的向量叫直线的方向向量？

2．用直线的点向式方程求直线的方程需要什么条件？用直线的点斜式方程呢？

二、导入新课

我们知道，直线的方向向量是与它平行的非零向量，那么与直线垂直的非零向量叫什么呢？叫法向量.由直线的法向量和直线经过一点，也能求出直线方程，今天我们就来学习9.1.3直线的点法式方程.三、讲授新课

想一想：过平面内一点，并且和一个非零向量垂直的直线有几条？(给学生一定的思考、议论时间)教师分析，在平面几何中学过，过直线外一点，向这直线引垂线，只能引一条，所以在平面内过一点，并且与一个非零向量垂直的直线有且只有一条.这就是说，过一点并且与一个非零向量垂直确定一条直线.我们把与一条直线垂直的非零向量叫做这条直线的法向量.显然，一条直线的法向量不唯一，它们都是相互平行(共线)的.现在我们用直线的法向量来推导直线的方程.已知直线过点 设(，(，)(图9-7)，的一个法向量为＝（的充分必要条件是，)，求直线的方程.)是一动点，换用坐标表示，上述充要条件可写为

(－)＋

（－

.)＝0.(5)

方程(5)是由直线上一点线的点法式方程.2．直线的法向量与方向向量的关系.直线(5)的法向量为＝(设，＝(，－×)，＋×(－)＝0.，－)就是直线的一个方向，)，(，)和的一个法向量＝(，)确定的，因此这个方程叫做直 则有·＝ 所以⊥.这就是说，如果是直线的一个法向量，则向量＝(向量.3．例题

例1 已知直线的一个方向向量，求它的一个法向量.(1)；(2)＝(0，1)；(3)＝(1，0).解：由直线的方向向量和其法向量的垂直关系，用向量的内积定义可得

(1)例2 求过点 ；(2)＝(1，0)；(3)＝(0，1).(1，2)，且与向量＝(3，－4)垂直的直线方程.解：由直线方程的点法式，得

3(－1)＋(－4)(整理，得所求直线方程为

3－4

四、课堂练习

第9页 练习A 第1，2(1)、(3)题，练习B 第3题.五、课堂小结

－2)＝0.＋5＝0.1．过一点(，)且与一个非零向量＝（(－)＋，（）垂直确定一条直线，这条直线的点法式方程为 －)＝0.＝(，)叫这条直线的法向量.直线的法向量不唯一.(－)－

（－)＝0，其中＝(，)2．注意点法式方程的特点与直线的点向式方程为方向向量之间的区别.3．直线的法向量和直线的方向向量有互相垂直的关系可以利用.六、课外作业

1．复习作业：阅读9.1.3课文

2．书面作业：第9页练习A 第2(2)、(4)题，练习B第2题.3．预习作业：预习9.1.4直线的一般式方程.课题：9.1.4 直线的一般式方程.教学目标：1．理解直线与二元一次方程的关系，掌握直线的一般式方程及其系数的几何意义.2．培养学生数形结合的思想方法，培养逻辑思维能力.3．对学生进行事物是相互联系，变化的，对立统一的辩证唯物主义观点教育.教学重点：直线与二元一次方程的对应关系.教学难点：对二元一次方程系数的几何意义的理解.教学方法：启发式讲授法.课堂类型：新授课.教学过程：

一、直观导入

1．提出问题：前面我们学过的任一条直线都可写出它的点向式方程，而直线的点向式方程都是二元一次方程，这就是说每一条直线方程都是关于，的图象都是直线呢？(教师口述.)2．直观导入：下面我们看计算机，决定二元一次方程的值.下面我们任意给一次方程2－3象.(计算机演示)从以上计算机演示我们可以看出，二元一次方程的图象都是直线.这就是今天我们所要学习的直线的一般式方程.(教师口述，并板书课题.)

二、讲授新知

1．下面我们从理论上对上述结论给予证明.(教师口述.)定理：每一个二元一次方程的图象都是直线.(教师板书.)证明：任给一个二元一次方程

设(，)是方程的一个解，得

(1)－(2)得

建立直角坐标系述：

因为每一个二元一次方程的图象都是一条直线，所以我们常说，直线

＋

＋

＝0.(－

（）＋，（－)＝0.(3)(教师板书.)，)，方程(3)就是通过点，且垂直于

＋

＋

＝0.(2)(教师板书.)

＋

＋

＝0，(1)(教师板书.)，赋予三个值，即

＝2，，＋

＋

0图象的是三个系数，的二元一次方程.反过来，是否每一个二元一次方程

＝－3，4，输入计算机，即得到二元＋4＝0的图象，以此类推，连续给赋值，就会得到不同二元一次方程的图，取点)，向量＝(向量的直线方程，这就证明了每一个二元一次方程的图象都是一条直线.(教师口述.)出示投影教师口 这个方程又常说成直线的一般式.2．二元一次方程中系数的几何意义(教师板书).由直线 ＝(，＋＋＝0中，＋的系数＋，所确定的向量＝(，)与这条直线垂直.)叫做直线＝0的垂直向量.)垂直，所以向量(－，)与直线

＋

＋

＝0 因为向量(－平行.(－，)与向量＝(，)为直线＋＋，＝0的方向向量.)为直线

＋

＋

＝0的一个法向量；向量(－，)于是我们得到，向量＝(为直线＋＋＝0的一个方向向量.，)都与直线

＋

＋

＝0垂直，(－，)都与直线

＋ 换句话说，向量＝(＋＝0平行.三、例题分析

例1(出示小黑板)求通过(－2，5)且与直线：4－

3＋9＝0垂直的直线方程.(由已知条件，根据推论启发学生，回答所求直线的法向量或方向向量.)解：

或 3(＋2)＋4(即 3＋－5)＝0，－14＝0.(教师板书以上三式.)

＋9＝0平行的直线方程.例2(出示小黑板)求过点(3，－4)，且与直线：3＋7(启发学生回答出所求直线的法向量或方向向量，然后写出直线的点法式方程或点向式方程.)解： 3(－3)＋7[

－(－4)]＝0 或 即 3＋7

.＋19＝0.(教师板书以上三式)

四、课堂练习

1．第11页练习A第1(1)、(3)、(4)，2(1)、(4)，3题 2．补充题：

已知(－1，－2)，(2，1)，(0，4)，求

三条高所在直线的方程.出示投影，要求学生画出图表示三条高线同的学生，到黑板前板书.五、课堂小结

用投影出示小结内容教师口述.，，然后巡视，发现不同解法，找三位解法不

注在本节正式提出直线方程的一般式，直线方程的这几种形式是可以相互转化的，但最后一般都化为一般式.要注意这一点.六、布置作业

1．看书9～11页，9.1.4直线的一般式方程.2．书面作业：第11页练习A第1(2)，2(2)、(3)题，第24页习题9－1A第5题.课题：9.1.4 直线的一般式方程.教学目标：1．理解直线与二元一次方程的关系，掌握直线的一般式方程及其系数的几何意义.2．培养学生数形结合的思想方法，培养逻辑思维能力.3．对学生进行事物是相互联系，变化的，对立统一的辩证唯物主义的观点教育.教学重点：直线与二元一次方程的对应关系.教学难点：对二元一次方程系数的几何意义的理解.教学方法：讲授法.课堂类型：新授课.教学过程：

一、复习导入

1．复习提问.(1)什么是直线的点法式方程？(学生回答，教师板书.)(2)直线的方程都是几元几次方程？(学生回答.)2．导入新课：前面我们学习了求直线的方程，通过求直线的方程我们知道，直线的方程都是二元一次方程；反过来，是否每一个二元一次方程的图象都是直线呢？这就是我们今天所要研究的问题.(教师口述这些导入语，并板书课题，导入新课.)

二、讲授新知

1．下面我们看定理：

定理(教师板书)每一个二元一次方程的图象都是直线.证明：任给一个二元一次方程

设(，)是方程的一个解，得

(1)－(2)得

(－)＋

（－)＝0.(3)(教师边分析，边板书.)＋

＋

＝0.(2)

＋

＋

＝0，(1)建立直角坐标系，取(，)，＝(，)，方程(3)就是通过点，且垂直于向量的直线方程，这就证明了每一个二元一次方程的图象都是一条直线.(教师口述.)(教师口述并板书)因为每一个二元一次方程的图象都是一条直线，所以我们常说，直线＝0，这个方程又口述常说成直线的一般式.2．二元一次方程中系数的几何意义.由直线 ＝(，＋＋＝0中的，＋

＋，的系数，所确定的向量＝(，)与这条直线垂直.＋

＋)是直线，＝0的法向量.)垂直，所以向量(－，)与直线

＋

＋

＝0平行.因为向量(－ ＝(－，)与向量（＋，)为直线＋)为直线

＝0的方向向量.＋

＋

0的一个法向量；向量(－，)为直 由此我们得到，向量(线＋＋＝0的一个方向向量.，)都与直线垂直，(－，)都与直线

＋

＋

＝0平行.(教 换句话说，向量＝(师用幻灯打出内容.)对任意非零实数，(＋ ＋，)是直线＋＋＝0的法向量；向量(－，)是直线＝0的方向向量。

三、例题分析

例1(出示小黑板)求通过(－2，5)且与直线：4－

3＋9＝0垂直的直线方程.解：(教师板书)因为向量(4，－3)与直线垂直，所以向量(4，－3)与所求的直线平行.由点向式方程，可得直线方程为

即 3＋

4－14＝0.，例2(出示小黑板)求过点(3，－4)，且与直线l：3＋7＋9＝0平行的直线方程.解：(教师板书)因为所求直线与已知直线平行，所以直线的法向量与所求直线垂直，由直线方程的点法式，可得所求直线方程为

3(－3)＋7[

－(－4)]＝0，＋19＝0.即 3＋7

四、课堂练习

1．第11页练习A第1题.2．(先让学生看书审题，然后教师提问，学生口答)已知直线：)、(－，)、(，－)与直线的关系.＋

＋

＝0分别说出向量(、3．求过点(1)(2)，且平行于直线的直线方程：(用幻灯投影，找一位学生黑板前板书)

＋1＝0； ＝0.(5，2)，：3－(－3，－4)，：＋(用投影，让学生审题后，找一位学生口答所得方程，先求点法式，然后再转化为一般式.)4．求过点和一般式求解.)(1)(2)(－2，1)，：3＋(2，0)，：－

3－3＝0； －4＝0.，且垂直于直线的直线方程：(出示投影后，将学生分成三组，分别用点向式、点法式(找学生口答所求方程.)

五、课堂小结

用投影出示小结内容，教师口述分析.注 在本节正式提出直线的一般式方程后，求直线方程不管用什么式，最后一般都要化成一般式，这一点要注意.六、布置作业

1．看书第9～11页，9.1.4直线的一般式方程.2．书面作业：第11页练习A第2题，第3题，第24页习题9－1A第5题.课题：9.1.4 直线的一般式方程.教学目标：1．理解直线与二元一次方程的关系

2．理解直线的一般式方程，能由直线的一般式方程的系数直接写出的它的一个方向向量和一个法向量，反之，已知方向向量或法向量，也能直接写出直线方程中和的系数.3．会由直线的一般式方程，求出该直线的斜率和在两坐标轴上的截距.4．培养学生数形结合和转化的思想，培养学生逻辑思维能力.5．渗透辩证唯物主义思想教育.教学重点：直线与二元一次方程的关系和直线的一般式方程.教学难点：直线与二元一次方程的关系

教学方法：启发式讲授法.教学过程：

一、复习提问

1．什么叫直线的法向量？ 2．已知直线过点

二、导入新课

前几节我们学习了直线的点向式方程，点斜式方程，点法式方程，大家还记得吗，我们用这些不同的方程求出直线的方程后，都可整理成一个统一的形式，即

＋

＋

＝0(其中，为常数，不全为零).(，)，又知它的一个法向量为＝(，)，那么它的点法式方程是什么？

这样形式的直线方程就是我们今天所研究的：直线的一般式方程(板书课题9.1.4直线的一般式方程)

三、讲授新课

1．直线与二元一次方程的关系，直线的一般式方程.大家知道，任何一条直线都可以由其上不同的两点所确定.我们取其上一个点，及其上两个不同的点所确定的一个向量为方向向量，就可以写出它的点向式方程.我们知道直线的点向式方程是一个二元一次方程.因此可以说，每一条直线方程都是一个关于，的二元一次方程.(这个结论要重点板书在黑板上.)反过来，我们要问，是否每一个二元一次方程的图象都是直线呢？下面我们来研究这个问题.关于，的二元一次方程的一般形式为

设(，＋

＋

＝0(，不全为零).(1))是方程的一个解，得

＋

＋

＝0.(2)(1)－(2)得

建立直角坐标系

(－

()＋，（－)＝0.(3)，)，方程(3)就是通过点，并与向(图9－8)，作)，＝(量垂直的直线方程.又因方程(1)和(3)是同解方程，因此，我们得到结论：

关于，的二元一次方程 的图象是一条直线.我们把这个方程叫做直线的一般式方程.＋

＋

＝0(，不全为零)因为每个二元一次方程的图象都是一条直线，所以把直线的方程就叫做直线 2．由上述结论的证明过程，还可以得到：(1)向量＝(条直线的方向向量.(2)由关于，的二元一次方程

＋

＋

＝0(，不全为零)，)为直线

＋

＋

＝0的法向量，向量＝(，－

＋＋＝0.)或(－，)为这的图象是一条直线和前面所得的结论：每一条直线的方程都是一个关于，为研究二元一次方程的代数问题.3．例题

例10写出下列直线的一个法向量和一个方向向量：(1)3－4－1＝0；(2)2－3＝0；(3)

3＋1＝0.的二元一次方程，表明了在平面直角坐标系中，二元一次方程与直线的一一对应关系.这样，我们就可以把研究直线的几何问题转化 解：(1)直线的一个法向量为(3，－4)，一个方向向量为(－4，3)；(2)直线的一个法向量为(2，0)，一个方向向量为(0，2)；(3)直线的一个法向量为(0，3)，一个方向向量为(3，0).(此例的教法为用投影仪打出，或用小黑板把题目和解都写出，让学生看.)总结：

给直线方程的一般式，要求它的法向量和方向向量，一般先写出直线的法向量，然后由垂直向量坐标之间的关系，只要保证内积为零而写出一个方向向量就行了.例13 求通过点(－2，5)，且与直线：4－3

＋9＝0垂直的直线方程.分析：与直线垂直，即与的法向量平行，即的法向量，可作为所求直线的方向向量，于是可用直线的点向式方程；如果求出的一个方向向量，则这个方向向量可作为所求直线的法向量，所以此题也可用直线的点法式方程来作.重点在引导学生来分析，解法可以很快的写出来.解：因为向量(4，－3)与直线垂直，所以向量(4，－3)与所求的直线平行.由点向式方程，可得直线方程为

整理，得直线方程

3＋4 例14 求过点

.－14＝0.(1，－4)，并且与向量＝(3，2)垂直的直线方程.(1，－4)，分析：所求直线与向量＝(3，2)垂直，所以＝(3，2)是它的一个法向量，又知它过点显然可以直接用直线的点法式方程作.但若用待定系数法作，此题可以用条件与向量＝(3，2)垂直，即是它的一个法向量再由直线的一般式方程中用直线过点将求出.此题也可以由过点，的几何意义而设所求直线方程为3＋

2＋

＝0，再

(1，－4)用点斜式方程，将斜率作为待定系数把方程设出来，主要考虑结合本节知识内容.然后再用直线与向量垂直，把斜率求出来.教材中用的是待定 解：因为向量＝(3，2)与所求直线垂直，所以是所求直线的一个法向量.因此，可设所求直线的一般式方程为

3＋2其中待求.(1，－4)，代入方程(1)，解得

＝5.＋

＝0，又直线过点 所以所求直线方程为

3＋2

四、课堂练习

＋5＝0.第11页 练习A第1(2)、(3)，3(1)题，练习B第2题.五、课堂小结

用投影仪打出小结内容.1．直线的一般式方程量＝(，－)或(－，)为这条直线的方向向量.＋

＋

＝0，则说＋

＋

＝0(，不全为零)，向量＝(，)是它的法向量，向 2．在平面直角坐标系中，二元一次方程与直线一一对应.若直线的方程是直线＋＋＝0.六、课外作业

1．复习课文9.1.4直线的一般式方程.2．书面作业：第24页习题9－1A第21题，第11页练习A第1(1)、(4)，2，3(2)题.3．预习作业：预习9.2.1两条直线平行或重合的条件.注视学生的实际情况，本教案也可调整为两课时，第一课时重点讲授概念，第二课时重点解决例题，这样的话，教材中例11也可安排进来，不过例12最好放到9.2.4两条直线交点一节中去.实质上，直线在，轴上的截距就是求它与两坐标轴(直线

＝0和直线＝0)交点的问题.另外第二课时也可以多安排练习题，有利于培养学生的能力.

第二篇：高中数学曲线和方程教案(改)

各位老师，大家好！

我叫韩杨，今天我说课的课题是《曲线和方程》的第一课时。下面我将从教材分析、教学目标、教学重难点、教法和学法、教学过程和教学效果等六个方面加以分析和说明。

一、教材分析

《曲线和方程》是人教版高中数学第二册上册第七章第五小节的内容。本节课的主要内容是了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系，学会求解曲线的方程，因为学生已有了用方程表示曲线的感性认识，特别是二元一次方程表示直线，现在要进一步研究平面内的曲线和含有两个变量的方程之间的关系，是由直观表象上升到抽象概念的过程。它既是对前一节线性规划知识的延伸和发展，也为下一节圆的方程打下了基础，起到了承上启下的作用。

二、教学目标

根据教学大纲的要求和高中学生的认知规律，以及新课标对教育目标的定位，我将本节课的教育目标确定为以下三点：

►知识与技能目标：初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念；学会根据已有的情景资料找规律，培养学生分析、判断、归纳的逻辑思维能力与抽象思维能力，同时强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法。►过程与方法目标

（1）通过直线方程的复习引入，加强学生对方程的解和曲线上的点的一一对应关系的直观认识；

（2）在形成曲线和方程概念的过程中，学生经历观察，分析，讨论等数学活动过程，探索出结论并能有条理的阐述自己的观点；

（3）能用所学知识理解新的概念，并能运用概念解决实际问题，从中体会转化化归的思想方法，提高思维品质，发展应用意识。

►情感态度与价值观目标；课堂中，通过对问题的自主探究，培养学生的独立意识和独立思考能力；在问题逐步深入的研究中唤起学生追求真理，乐于创新的情感需求，引发学生强烈的求知欲。

三、教学的重难点

根据数学新课标标准，我确定本节课的重点是“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念。为强化其认识，决定用集合相等的概念来解释曲线和方程的对应关系，并以此为工具来分析实例，这将有助于学生的理解，有助于学生通其法、知其理。

教学难点是怎样利用定义验证曲线是方程的曲线、方程是曲线的方程。因为学生在作 业中容易犯想当然的错误，通常在已知曲线建立方程的时候，不验证方程的解为坐标的点在曲线上，就断然得出所求的是曲线的方程。为了突破难点，本节课将通过例题让学生体会“二者”缺一不可的性质。四：教法和学法分析

数学是一门培养和发展人的思维的重要学科。因此，在教学中，不仅要让学生“知其然”，还要“知其所以然”，这也是我小学数学老师经常给我们说的一句话。新课标指出，学生是教学的主体，教师的教应从学生的认知规律出发，以学生活动为主线，在原有知识的基础上，构建新的知识体系。学是中心，会学是目的。本节课主要板书的形式，教给学生“动手画、动脑想、善分析、善总结”的研讨式学习方法，教给学生主动思考问题、主动解决问题的方法，这样才能使学生产生一种成就感，从而提高学习数学的兴趣。五：教学过程

对于45分钟的课堂，我做了以下时间安排: 课题引入约5分钟，讲授新课约20分钟，练习巩固约13分钟，课堂小结约5分钟，作业布置约2分钟。

因为还没有正式的成为老师，没有教学经验，对课堂的时间把握不是很准确，所以拟定了时间安排，希望对教学过程有所帮助，做到合理安排时间，下面我从六个方面介绍一下我的教学过程。

1、设置情境——提出课题

在本节课之前，学生已经学习过直线的各种方程，建立了二元一次方程与直线的对应关系。所以这节课首先让学生先画出方程xy0表示的直线，借助图形让学生再一次从直观上深刻体会方程的解与直线上的点一一对应关系。在巩固已有知识的前提下再提出：对任意曲线和二元方程是否都能建立这种等价关系呢？从而引出本节课的内容：曲线和方程。通过提问的方式有助于吸引学生的注意力，激发他们强烈的好奇心和求知欲，给学生搭建起一个探究和实践的平台． 2.讲授新课

通过前面已经学过的圆、抛物线、再推广到任意曲线，借助图形让学生体会到对任意曲线的解和方程的解都能建立一一对应关系，从而得出“曲线的方程”和“方程的曲线”的定义。

问题2：如果概念中的两点少一点，是否也满足曲线上的点与方程的解的一一对应关系呢？

通过提问，引导学生对得到的结论要给予更多的思考，帮助他们提高认识，这也是概念 教学中学生理解概念的要点，给学生较多的时间互相探究问题和讨论解决问题。

找一下不同时满足两个条件的反例，通过反例的讲解，让学生自己总结得出: 要想满足曲线上的点与方程的解的一一对应关系，概念中的两点缺一不可。在概念教学中，通过反例的反衬，常常起着帮助学生理解概念的作用。

3、练习巩固

找一些典型例题让学生进行练习，做题过程中，要求学生独立思考，抽点几位学生到黑板上写出自己的答题过程，其他学生也独立完成，完成后，再抽点几个同学上台进行检查，错误的地方加以修改。这样既能让学生积极参与，增强学生的注意力，也能对解答中容易出错的地方加深印象。

4、课堂小结

本节课通过对实例的研究，掌握了“曲线的方程”、“方程的曲线”的定义，在领会定义时，要牢记定义中（1）、（2）两点缺一不可，它们都是“曲线的方程”和“方程的曲线”的必要条件，两者都满足了，“曲线的方程”和“方程的曲线”才具备充分性。小结时才提出“必要性”与“充分性”的问题，使学生的认识再上一个台阶，另一点意在建立“解析几何”的基本思想，使之逐步转变为学生的思想。5.布置作业

书本习题7.5第2题、第3题、第5题、第6题。

作业要求：允许学生对不会做的题目可以不做，但要分析出不会做的症结所在，这样做的目的在于既可以避免抄袭现象的产生，也可以让学生自己分析出知识的薄弱点，由被动学习变成主动学习，增强学习兴趣。

6、板书设计

力求简明清楚，重点突出，加深学生对重点知识的理解和掌握，有利于提高教学效果。

曲线与方程

公式推导 例题 练习六．教学效果分析

本节课在引导学生探究的过程中，关注学生的认知心理过程，重视学生学习过程中的参与度、自信心以及独立思考能力。教学过程中注重层次性，对基础薄弱的学生多给他们创造机会，力争每一个层次的学生都能有机会得到积极的评价，因为这是让他们保持自信，爱好数学的最佳培养时机。

以上是我的教学设计，肯定存在很多不足的地方，但是我一定会积极改进，请各位老师批评指正！谢谢！

第三篇：曲线和方程 说课教案

曲线和方程

各位评委：大家好。

我叫xx，来自川师成都学院，今天我说课的题目是《曲线和方程》第一课时，我将通过教材分析、教学目标分析、教学重难点、教法与学法、课堂设计五方面来逐一加以分析和说明。

一、教材分析

《曲线和方程》是人教版高中数学第二册（上册）第七章第六节的内容。这节教材揭示了几何中的形与代数中的数相统一的关系，为“作形判数”与“就数论形”的相互转化开辟了途径，这正体现了解析几何的基本思想，对解析几何教学有着深远的影响。从知识上说，曲线与方程的概念是对后面所学的求出曲线的方程的准确性来说是很关键的，它在下节课中起到基础性的作用，不仅是本节的重点概念，也是高中学生较难以理解的一个概念。通过本节的学习，提高学生对概念的理解能力，也为以后进一步学习奠定了基础，对培养学生观察问题、分析问题、解决问题的能力有重要作用，是培养高二学生的观察分析能力和逻辑思维能力的重要训练内容。

二、教学目标 ◆知识目标：

1、理解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系；

2、初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念；

3、学会根据已有的资料找规律，进而分析、判断、归纳结论；

4、强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法。◆能力目标：

1、通过直线方程的引入，加强学生对方程的解和曲线上的点的一一对应关系的认识；

2、在形成曲线和方程的概念的教学中，学生经历观察、分析、讨论等数学活动过程，探索出结论，并能有条理的阐述自己的观点；

3、在构建曲线和方程概念的过程中，培养学生分析、判断、归纳的逻辑思维能力、知识迁移能力、合情推理能力，同时强化“形”与“数”结合并相互转化的思想方法。◆情感目标：

1、通过概念的引入，让学生感受从特殊到一般的认知规律；

2、通过反例辨析和问题解决，培养合作交流、独立思考等良好的个性品质，以及勇于批判、敢于创新的科学精神。

三、教学重难点 本节重点：“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念 本节难点：“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念并利用定义验证曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程

重难点突破分析：“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念是本节的重点，本节课是由几个特例上升到抽象概念的过程，学生容易对定义中为什么要规定两个关系产生困惑，原因是不理解两者缺一都将扩大概念的外延，也就是曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系的理解透彻问题。由于学生已经具备了用方程表示直线、圆、抛物线等实际模型，积累了感性认识的基础，所以可用举反例的方法来解决困惑，通过反例揭示“两者缺一”与直觉的矛盾，从而又促使学生对概念表述的严密性进行探索，加强认识曲线和方程的对应关系，使学生通其法，知其理。

怎样利用定义验证曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程是本节的一个难点。通常在由已知曲线建立方程的时候，不验证方程的解为坐标的点在曲线上，就断然得出所求的是曲线方程。这种现象在高考中也屡见不鲜。为了突破难点，本节课通过一个实例来展示，由于课标只作为了解，在本节课不要求学生必须掌握。

四、教法与学法

教法：探究式教学是适应新课程体系的一种全新教学模式，因此在我的教学中，主要采用探究式教学方法。从实例、到类比归纳、到推广的问题探究方式，它对激发学生学习兴趣，培养学习能力都十分有利。启发引导学生得出概念，深化概念，并应用它所解决问题去讨论、去研究。用举反例的方法来突破难点，引导学生对概念表述的严密性进行探索的探究教学法。在师生互动中解决问题，为提高学生分析问题、解决问题的能力打下了基础。同时结合多媒体辅助教学，节省了板书时间，增大了信息量，增强了直观形象性。

学法：问题探究和启发引导式相结合。本节属于概念教学，可采用以语言传递信息、分析概念的讲授法。引导学生主动参与，亲身实践，独立思考，合作探究，发展学生搜集处理信息的能力，获取新知识的能力，分析和解决问题的能力，以及交流合作的能力，基于此，本节课从实例引入→类比→推广→得概念→概念挖掘深化→具体应用→作业中的研究性问题的思考，始终让学生主动参与，亲身实践，独立思考，与合作探究相结合，在生生合作，师生互动中，使学生真正成为知识的发现者和知识的研究者。

五、教学过程

（一）提出课题

师：在本节课之前，我们研究过直线的各种方程，建立了二元一次方程与直线的对应关系：在平面直角坐标系中，任何一条直线都可以用一个二元一次方程表示，同时任何一个二元一次方程也表示着一条直线。让学生画出方程xy0表示的直线 ◆思考直线上所有点的集合与方程的解的集合之间的对应关系是怎样的？（出示幻灯片）

1、直线上的点的坐标都是方程的解；

2、以这个方程的解为坐标的点都在直线上。

即：直线上所有点的集合与方程的解的集合之间建立了一一对应关系。

我们就可以说方程x-y=0是表示直线l的方程，直线l是表示方程x-y=0的直线 ◆（引导学生思考）我们已经学过的还有一些曲线和方程，是否有类似的对应关系？（出示幻灯片，引导学生类比、推广并思考相关问题）类比：（引导和启发学生说出曲线上的点与方程的解之间是否也是一一对应关系，注意引导学生类似上面的表达方式。）

1、圆上的点的坐标都是方程的解；

2、以这个方程的解为坐标的点都在圆上。

即：圆上所有点的集合与方程的解的集合之间建立了一一对应关系。我们就可以说方程(xa)2(yb)2r2是表示此圆的方程，圆是表示方程222(xa)(yb)r的圆。

类似的让学生表述出以下的对应关系：

◆推广：任意的曲线和二元方程是否都能建立这种对应关系呢？ 也即：方程f(x,y)0的解与曲线C上的点的坐标具备怎样的关系就能用方程f(x,y)0表示曲线C，同时曲线C也表示着方程f(x,y)0？

设计目的：运用学生熟知的旧知识引入，再类比和推广，由特殊到一般地提出了课题，又为形成“曲线和方程”的概念提供了实际模型。学生是学习的主体，所学的知识只有通过学生的再创造活动，才能纳入其认知结构中。通过对以前所学的知识进行有意识的引导探究活动，得出所要学的知识，并且学会类似的表达，使学生感受发现知识过程和容易接受所要学的知识，同时也提高学生对数学知识的表达能力和观察能力。

（二）通过合情推理，概括形成定义

引导学生根据前面分析曲线上的点与方程的解之间是否是一一对应关系，模仿前面的结论对“曲线的方程”和“方程的曲线”下这样的定义：

一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x,y)0的实数解建立了如下的关系：

⑴曲线上的点的坐标都是这个方程的解；

⑵以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。

（三）讨论归纳给出定义——运用反例揭示概念内涵

我们在给曲线方程下定义时，语言表述概念不失概念的严谨性，表述是否正确呢？如果概念中的两点少一点，是否也满足曲线上的点坐标与方程的解之间的一一对应关系呢？

设计目的：引导学生对得到的结论要给予更多的思考，帮助他们提高认识，更加深入探索是概念表述的实质内涵是什么。这也是概念教学中学生理解概念的要点，突出本节课的教学重点，给学生较多的时间互相探究问题和讨论解决问题，让学生对概念的丰富内涵有更深的认识。

（出示幻灯片，引导学生探究和思考相关问题）

◆请同学们探究下列两个图上曲线上的点与方程的解之间的对应问题：

如图1：（1）直线上的点的坐标是否都满足方程x-y=0解？

（2）以方程x-y=0解为点的坐标是都否直线上？

曲线上的点的坐标与方程的解之间是否满足一一对应关系？

图1 让学生探究得出结论是不符合的是关系（1）

如图2：（1）射线上的点的坐标是否都满足方程x-y=0解？

（2）以方程x-y=0解为点的坐标是都否射线上？

曲线上的点的坐标与方程的解之间是否满足一一对应关系？ 图让学生探究得出结论是不符合的是关系（2）

最后总结：对“曲线的方程”和“方程的曲线”下的定义两点关系的理解是： 关系（1）说的是曲线上的点的坐标与这个方程的解都对应。

关系（2）说的是以这个方程的解为坐标的点都与曲线上的点对应。

两点合来才说明是曲线上的点与方程的解之间是一一对应关系，二者缺一不可。设计目的：让学生通过探究以上来两个反例对“曲线上的点与方程的解之间是否满足一一对应关系”，从得出曲线上的点与方程的解之间不满足一一对应关系。使学生在探究的过程中提高对概念的理解。

（四）通过练习应用和强化概念的理解（出示幻灯片，给学生足够时间练习）

1.下列各题中，图所示的的曲线C的方程为所列方程，对吗？如果不对，是不符合关系（1）还是关系（2）？

2.解答下列问题，并说出各依据了“曲线的方程”和“方程的曲线”定义中的哪一个关系？

⑴点A（3，－4）、B（25，2）是否在方程x2y225的圆上？ ⑵已知方程为x2y225的圆过点C（7，m），求m的值。

设计目的：对曲线与方程的概念的准确理解是对今后求出准确的曲线方程有重要作用。因此通过练习加强学生应用和强化概念的理解，同时也让学生主动参与课堂教学，通过师生互动得到答案，了解学生理解概念的情况 用概念证明的例题讲解P35

例1：证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k0)的轨迹方程是xyk。

设计目的：这为下节课打下基础，证明对学生来说是一个难度较大的，也是个难点，课标不作为必须掌握的，本节课只是让学生初步了解，提高对概念的应用能力 分析：引导学生思考从概念的两点出发去找证明思路：（1）证明轨迹上的点的坐标都是方程的解；（2）证明方程的解为坐标的点都在曲线上。证明：（1）设M(x0,y0)是轨迹上的任意一点，则M与x轴的距离是y0，与y轴的距离是而x0，x0y0k 即(x0,y0)是方程xykk的解。

k（2）设点M1的坐标(x1,y1)是方程xyx1的解，则x1y1，即

x1y1k，y1分别是点M1与y轴的距离和x轴的距离，所以点M1到这两坐标轴的距离的积是常数k，点M1是曲线上的点。由（1）（2）可知，xyk是与两条坐标轴的距离的积是常数k(k0)的轨迹方程。

（五）小结归纳

本节课我们通过对实例的探究，理解了“曲线的方程”和“方程的曲线”的定义，探究定义时，要记住关系⑴、⑵两者缺一不可，其实质是曲线上的点的坐标与方程的解之间是一一对应关系。它们都是“曲线的方程”和“方程的曲线”的必要条件，两者都满足了“曲线的方程”和“方程的曲线”才具备充分性。曲线和方程之间一一对应关系的确立，把曲线与方程统一了起来，在此基础上，我们就可以更多地用代数的方法研究几何问题。让学生从知识内容和数学思想方法两个方面进行小结，使学生对本节课的知识有一个清晰的认识，对所用到的数学方法和涉及的数学思想也有体会，使学生能力得到培养。

（六）布置作业： 作业P37练习1,2 习题2.1 1

（七）板书设计

（有的借助多媒体显示）

2.1曲线与方程

1．曲线与方程的定义： 例1：

证明： 2.对关系（1）的理解

对关系（2）的理解

第四篇：2.1曲线与方程 教学设计 教案

教学准备

1.教学目标

[1]了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系 [2]初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的涵义 [3]强化“形”与“数”一致并相互转化的思想

2.教学重点/难点

教学重点：理解“曲线的方程”与“方程的曲线”的涵义 教学难点：利用定义验证曲线是方程的曲线，方程式曲线的方程

3.教学用具

多媒体设备

4.标签

教学过程

教学过程设计

复习引入

【师】在本节课之前，我们研究过直线的各种方程，建立了二元一次方程与直线的对应关系：在平面直角坐标系中，任何一条直线都可以用一个二元一次方程表示，同时任何一个二元一次方程也表示着一条直线，请思考下面问题： 【板演/PPT】

思考1 直线y＝x上任一点M到两坐标轴距离相等吗？

思考2 到两坐标轴距离相等的点都在直线y＝x上，对吗？

思考3 到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是什么？为什么？ 【生】学生思考交流 2 新知介绍

[1]结合具体实例，引入曲线方程和方程曲线概念 【师】：引导学生发言总结 【板演/PPT】 答 y＝±x.理由：在直角坐标系中，到两坐标轴距离相等的点M的坐标(x0，y0)满足y0＝x0或y0＝－x0，即(x0，y0)是方程y＝±x的解；

反之，如果(x0，y0)是方程y＝x或y＝－x的解，那么以(x0，y0)为坐标的点到两坐标轴距离相等． 【师】思考下面问题：

思考4 曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解，能否说f(x，y)＝0是曲线C的方程？

思考5 判断下列命题是否正确．

(1)以坐标原点为圆心，半径为r的圆的方程是y＝(2)过点A(2,0)平行于y轴的直线l的方程为|x|＝2.【生】思考总结 【板演/PPT】

解(1)不正确．设(x0，y0)是方程y＝x02＋y02＝r2.两边开平方取算术平方根，得的解，则y0＝，即

；

＝r即点(x0，y0)到原点的距离等于r，点(x0，y0)是这个圆上的点．因此满足以方程的解为坐标的点都是曲线上的点．但是，以原点为圆心、半径为r的圆上的一点如点在圆上，却不是y＝的解，这就不满足曲线上的点的坐标都，是方程的解．所以，以原点为圆心，半径为r的圆的方程不是y＝而应是y＝±

.(2)①、直线上的点的坐标都满足方程︱x︱=2

②、满足方程︱x︱=2的点不一定在直线上 结论：过A（2，0）平行于y轴的直线的方程不是︱x︱=2 【师】引导学生交流思想总结曲线方程的概念 【板演/PPT】

曲线的方程、方程的曲线

一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；

(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．

那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线． 【师】 引导学生深入理解定义，从充要条件来理解这个定义 【板演/PPT】

定义中的两个条件是判定一个方程是否为所定曲线的方程，一条曲线是否为所定方程的曲线的依据，缺一不可． 从逻辑知识来看：

第一个条件表示f(x，y)＝0是曲线C的方程的必要条件，第二个条件表示f(x，y)＝0是曲线C的方程的充分条件．因此，在判断或证明f(x，y)＝0为曲线C的方程时，必须注意两个条件同时成立． 【板演/PPT】 从集合角度理解为：

定义的实质是平面曲线的点集{M|p(M)}和方程f(x，y)＝0的解集{(x，y)|f(x，y)＝0}之间的一一对应关系．

由曲线和方程的这一对应关系，既可以通过方程研究曲线的性质，又可以求曲线的方程 [2]概念应用

【师】下面我们看屏幕上的例题 【板演/PPT】 例1：若命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是正确的，则下列命题为真命题的是()．

A．不是曲线C上的点的坐标，一定不满足方程f(x，y)＝0 B．坐标满足方程f(x，y)＝0的点均在曲线C上 C．曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线

D．不是方程f(x，y)＝0的解，一定不是曲线C上的点.【师】从定义入手，考虑充要条件 【生】思考回答 【板书/PPT】

解析 ∵题设命题只说明“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”，并未指出“以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都是曲线C上的点”，∴A，B，C都是假命题，如曲线C：平面直角坐标系一、三象限角平分线上的点，与方程f(x，y)＝x2－y2＝0，满足题设条件，但却不满足选项A，B，C的结论，根据逆否命题是原命题的等价命题知，D是正确的． 【师】规律方法

(1)判断方程是否是曲线的方程，要从两个方面着手，一是检验点的坐标是否适合方程，二是检验以方程的解为坐标的点是否在曲线上．从而建立方程的解与曲线上点的坐标的一一对应关系．

(2)定义中的两个条件是判定一个方程是否为指定曲线的方程，一条曲线是否为所给定方程的曲线的准则，缺一不可．因此，在证明f(x，y)＝0为曲线C的方程时，必须证明两个条件同时成立．

【师】为了深刻的理解方程与曲线，我们来看下列一个问题 【板书/PPT】

[例2] 下列方程表示如图所示的直线，对吗？为什么？不对请改正．

【生】分析各个方程所表示的曲线是否与图中图象符合 【板书/PPT】 解：不对，应为y=x 【师】引导学生反思总结 【板书/PPT】 反思与感悟

判断方程表示什么曲线，必要时要对方程适当变形，变形过程中一定要注意与原方程等价，否则变形后的方程表示的曲线就不是原方程的曲线． 【板书/PPT】

【师】引导学生思考 【板书/PPT】

方法点拨(1)判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是否是方程的解，是否适合方程．若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上．

解：带入验证知P点在此方程所表示的曲线上，Q点不在。【板书/PPT】(2)若点在此方程表示的曲线上，求m的值． 解：将点带入方程后解方程得：

迁移训练（12分）若曲线y2＝xy＋2x＋k通过点(a，－a)，a∈R，求k的取值范围．

【师】引导学生思考

【板书/PPT】

[3] 新知应用

【师】为了深刻的理解本节内容，我们来看下列一个问题 【板书/PPT】

1.曲线C的方程为y＝x(1≤x≤5)，则下列四点中在曲线C上的是（）

A.(0,0)B.(1,5)

C.(4,4)

C.(4,2)2.已知坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上，那么（）A.曲线C上的点的坐标都适合方程f(x，y)＝0 B.凡坐标不适合f(x，y)＝0的点都不在C上 C.不在C上的点的坐标必不适合f(x，y)＝0 D.不在C上的点的坐标有些适合f(x，y)＝0，有些不适合f(x，y)＝0 3.下列四个图形中，图形下面的方程是图形中曲线的方程的是

【师】 能否根据引例中的检验方式进行相关分析 4.方程y＝3x－2(x≥1)表示的曲线为（）

A.一条直线

B.一条射线

C.一条线段

D.不能确定 5.方程x2＋xy＝x表示的曲线是（）

A.一个点

B.一条直线 C.两条直线

D.一个点和一条直线 6.“点M在曲线y2＝4x上”是“点M的坐标满足方程y＝－2

”的（）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 7.请说出下列方程表示什么曲线？

答案：CCDBCB

课堂小结

1.曲线的方程和方程的曲线必须满足两个条件： ①曲线上点的坐标都是方程的解，②以方程的解为坐标的点都在曲线上． 2.点(x0，y0)在曲线C上的充要条件是点(x0，y0)适合曲线C的方程． 3.曲线和方程质检一一对应的确立，进一步把“曲

线”与“方程”统一了起来，在此基础

上，我们就可以更多地用代数的方法研究几何问题.板书

第五篇：“曲线与方程”教学设计

“曲线与方程”教学设计

深圳中学 郭慧清

一、教学内容与内容解析 1．内容：

（1）曲线的方程与方程的曲线的概念；（2）求曲线的方程；（3）坐标法的基本思想与简单应用.2．内容解析：

“曲线与方程”是《普通高中数学课程标准》规定的教学内容．在教学时，不少人认为只是为后面学习椭圆、双曲线、抛物线做准备．尽管学习这一内容是学生体会并理解圆锥曲线与其方程的基础，但人们将碰得的曲线远非这些．因此，教学时不仅要让学生学习如何求曲线的方程，而且要通过这一内容培养学生的坐标法思想，使学生明白求出曲线方程的真正意义在于利用曲线的方程去研究曲线.研究曲线与方程的目的是把曲线的几何特征转化为数量关系，并通过代数运算等方便手段，处理已得到的数量关系,进而得出曲线的几何性质，并达到利用曲线为人们服务的目的．因此，学习这一部分内容可以加深学生对数学中的代数方法的认识，也能够让学生更好地体会数学的本质．

在平面直角坐标系建立以后，任何曲线都有唯一的方程，任何方程也都有唯一确定的曲线(或点集)．因此，曲线的方程是曲线的唯一表示．这种表示，为人们表达自己的思想认识提供了一种规范，这是人们应该具备的基本素养．

二、教学目标与目标解析 1．目标：

（1）通过实例理解曲线的方程与方程的曲线的概念，能判断已经学习过的特殊的曲线与方程之间是否具有互为表示的关系；

（2）通过实例体会求曲线的方程的基本步骤，能求出给定了几何特征的曲线的方程；

（3）通过实例体会不同的平面直角坐标系对同一曲线方程的影响，体会如何“恰当”地建立平面直角坐标系.（4）通过一些简单曲线的方程及其研究，体会坐标法的基本思想及简单应用． 2．目标解析：

教学目标（1）和（2）是本节课的教学重点，教学时落实好目标（1）、（2）和（3）是实现教学目标（4）的前提与保证.学生通过函数y =f(x)及其图象、直线的方程与圆的方程的学习，对曲线的方程与方程的曲线这些概念有了初步认识，但这只是一种意会，我们现在的任务是要建立曲线与方程之间的一般性的概念，让学生能从“定义”的角度去理解这些概念.教学目标（3）是学生初学时不易达到的目标，教学时要提供学生熟悉的曲线（比如直线，圆等）在不同坐标系中的方程的简洁程度，让学生体会建立坐标系时应该关注的要点．

对许多与曲线有关的具体问题而言，原本是没有坐标系的．因此，通过这样的问题，可以使学生体会如何建立坐标系，求出问题中曲线的方程，并通过曲线的方程帮助解决问题，这应该是实现教学目标（4）的一种较好的方法．

三、教学问题诊断分析 1．如何理解曲线与其方程之间的关系？学生可以很流利地背出曲线与其方程应该满足的两条，但是如何证明“一条曲线与一个方程之间具有互为表示的关系”，这是学生学习时可能遇到的第一个教学问题.这个问题可以结合“直线与其方程”、“圆与其方程”进行说明．

2．在求曲线的方程时，如何建立平面直角坐标系？这是学生会遇上的第二个教学问题，也是本节课的教学难点之一．教学时，应通过实例，帮助学生总结出建立坐标系的基本要点，并用具体问题让学生练习进行体会．

3．在将曲线上的点应该满足的几何特征转化为点的坐标应满足的等式后，常常遇上“将所得等式化简得到所求方程”的问题．对于有些复杂的等式，化简是一个学生不易把握的问题，学生在此极易出错，这是第三个教学问题.教学时不能因为这个问题而使教学偏离重点，因而宜使用信息技术工具解决这个问题.4．学生学习时，可能会因更多地关注代数运算而忽略数学思想的提炼，这个教学问题的解决，需要教师有目的地进行引领.四、教学支持条件

1．在进行本节课的教学时，学生已经在数学必修1中学习了函数y =f(x)及其图象，在数学必修2中学习了直线的方程与圆的方程，这些内容是学生理解曲线与方程概念的重要基础，因此教学时应充分注意这一教学条件，引导学生多进行归纳与概括.2．曲线与方程是数形结合的典范，教学这一内容时会涉及大量图形的绘制与方程的简化等代数运算，因此，TI图形计算器或几何画板是重要的支持条件，教学中充分利用这一条件，不仅可以节省大量时间用于学生思考，而且可以对实际问题中的数据不加“修饰”地进行分析.五、教学过程设计

引子：如果你邀请朋友在你所在城市的某餐馆聚会，你会怎样告诉他（她）聚会地点？例如，如果聚会地点在“深圳市笋岗路南，宝安路东的澳葡街”（如图一），你会怎样说？

（图一）

（图二）

意图：通过建立平面直角坐标系，用坐标来刻画点的位置，为后面用点与坐标的对应关系来研究曲线与方程的关系作准备，同时让学生体会坐标法思想。

师生活动：教师提出问题让学生思考，然后通过建立平面直角坐标系，给出聚会地点的坐标（如图二）。[问题1] 一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径长为30 km的圆形区域．已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线（航行方向与东向西方向的夹角的正切值为4/7），那么它是否会受到台风的影响？

这是同学们在学习数学必修2时曾经研究过的问题，你能说说你现在会怎样解决这个问题？ 意图：体会坐标法的思想，强调研究曲线与方程的概念的必要性，让学生体会数学方法的好处.师生活动：教师提出问题后让学生交流并回答他们的想法，在此基础上，教师归纳并演示过程：如图建立直角坐标系，得出船的航线的方程为4x+7y-28=0，圆形区域的边界圆的方程为x+y=9.联解上面两个方程所成的方程组有一定的困难，可以通过TI图形计算器求解，如下列图示：

2由此可见让船按原定航线航行不会出现危险．

进一步问学生：如果没有坐标法，没有直线的方程与圆的方程，但要确定能否让船按原定航线航行，你会怎样做？

[问题2]我们知道，在平面直角坐标系中，经过点(x0,y0)，且方向向量为确定的，你能求出这条直线的方程吗？怎么说明你所求得的方程就是这条直线的方程呢？

意图：为引出曲线的方程与方程的曲线的概念做铺垫.师生活动：让学生尝试求直线的方程，在得出直线的方程后，教师介绍怎样说明所得的方程就是直线的方程．

[问题3] 你能说明中心在(a,b)，半径为的圆的方程是(x-a)+(y-b)=r吗？

2的直线是唯一意图：让学生体会教师在[问题2]中介绍的“说明所得方程是直线的方程”的方法，为介绍曲线的方程与方程的曲线的概念再做准备.师生活动：让学生先思考，然后教师引领学生完成说明过程.[问题4] 对一般的曲线与方程，你能给出方程是曲线的方程，曲线是方程的曲线的概念吗？ 意图：给出曲线的方程与方程的曲线的概念.师生活动：让学生先思考，然后教师引领学生阅读教材上的“定义”，给出曲线的方程与方程的曲线的概念.最后问学生：

[问题5] 给定命题A：“方程f(x,y)=0是曲线曲线”，请问命题A与命题B是否互为充要条件？

意图：加深对曲线的方程与方程的曲线的概念的认识.师生活动：学生回答，教师评析．学生完成教材P37练习第1题，并将题中的“中线AO（O为原点）所在直线的方程”修改为“中线AO（O为原点）的方程”后，提问学生结论有无改变？学生完成P37练习第2题． 的方程”；命题B：“曲线C是方程f(x,y)=0的 [问题6] 你能画出函数的图象吗？图象C上的点相应于坐标轴的距离而言具有怎样的几何特征？是否具有这些几何特征的点都在图象C上？

意图：理解用解析式表示的函数与其图象之间的关系，巩固曲线的方程与方程的曲线的概念.师生活动：（1）师生画出函数的图象C（可以利用信息技术工具）；（2）学生思考“图象C上的点相应于坐标轴的距离而言具有怎样的几何特征”，利用信息技术工具探究，可能归纳出的几何特征是“图象C上的点到两坐标轴的距离的乘积是常数k”；（3）学生思考“到两坐标轴的距离的乘积是常数的点都在图象C上”吗？；（4）师生得出“到两坐标轴的距离的乘积是常数k的点的轨迹方程是”；（5）证明所得结论，完成教材P35例1．

[问题7] 阅读教材P35“2．1．2求曲线的方程”的第一段内容，你能得出什么结论？ 意图：明确解析几何研究的基本内容.师生活动：学生阅读教材并提炼回答内容，请学生回答，教师点评．

[问题8]已知平面上的线段BC的长为所张的角恒为，动点A位于线段BC所在直线的同一侧，且向线段BC，动点A的轨迹是否有有限长度？若有，你能求出其长度吗？

意图：归纳求曲线的方程的步骤，体会坐标法的基本思想． 师生活动：

（1）教师讲解：以BC所在的直线为x轴，以线段BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，则，．设点A在x轴的上方，坐标为(x,y)(y>0)，则点A的集合为

．

由于

因为所以

所以，点A的坐标满足方程x+(y-1)= 4 ① ；

反过来，由于上述的步骤均可逆，所以方程①的解作为坐标的点都在集合P中．

所以，点A的轨迹方程是①，点A的轨迹是一段以2为半径的圆弧，它的长度是整个圆的．因此，动点A的轨迹的长度为

（2）教师根据上述过程总结求曲线的方程的步骤（见教材P36）.（3）提问学生，有无其它建立坐标系的方法使点A的轨迹方程更简单，更简单的原因是什么？教师归纳总结建立坐标系的一般要点．

（4）提问学生思考：为什么不能把x+(y-1)= 4作为点A的轨迹方程？（5）学生练习教材P37练习第3题．

[问题9] 已知一条直线和一个点F，点F到l的距离是2．一条曲线上面的点到F的距离减去到l的距离所得的差都是2．你能建立适当的坐标系，求出这条曲线的方程吗？

意图：帮助学生熟悉和巩固求曲线的方程的步骤.师生活动：（1）师生一起讨论如何画出图形，如何建立坐标系．

（2）让学生按步骤求出曲线的方程．

（3）师生一起讨论如何避免轨迹中出现多余的点或方程中出现多余的解．（4）简化求解步骤．

[问题10]建立坐标系后，是否存在一条曲线有两个不同的方程？你能以[问题1]和[问题8]为例，归纳一下你本节课学得的东西吗？

意图：归纳总结本节内容.师生活动：学生思考交流，教师帮助总结.五、目标检测设计

1．教材P37，习题2.1：A组第3、4题；B组第1题．

2．已知平面上的线段BC的长为的轨迹的长度吗？ 202_-03-25 人教网，动点A向线段BC所张的角恒为，你能求出动点A运动