第一篇：复数复习

1．若复数(a2－4a＋3)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值是．

2．已知M＝{1,2，(a－1)＋(b－5)i}，N＝{－1,3}，M∩N＝{3}，实数a与b的值分别是．

z2－2z3．已知复数z＝1－i． z－

14．已知结论：“在正三角形ABC中，若D是边BC的中点，G是三角形ABC

AG的重心，则＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的GD

四面体ABCD中，若△BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面

AO的距离都相等”，则＝． OM

5．给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：

①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”类比推出“若a，b∈C，则a－b＝0⇒a＝b”；

②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi＝c＋di⇒a＝c，b＝d”类比推出“若a，b，c，d∈Q，则a＋2＝c＋d2⇒a＝c，b＝d”；

③“若a，b∈R，则a－b＞0”类比推出“若a，b∈C，则a－b＞0⇒a＞b”． 其中类比得到的结论正确的序号为．

6．已知复数z1＝4＋2i，z2＝k＋i，且z1·z2是实数，则实数k＝________．

7．＝6

8．复数z1＝

数a的值．

119．在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若＋a＋bb＋c

＝3，试问A、B、C是否成等差数列，若不成等差数列，请说明理由．若a＋b＋c32(10－a2)i，z2＝＋(2a－5)i，若z1＋z2是实数，求实a＋51－a2＋23，33＋＝84＋4815，…，若156＋b(a，b均为实数)，则猜测a＝________，b＝________． b

成等差数列，请给出证明．

解答：

1．a＝

3a＝42． b＝5

z2－2z－222i3．＝＝2i z－1－ii－

14．①②

6，此时易知3

13点O即为正四面体内切球的球心，设其半径为r，利用等积法有r3

41366666＝⇒r＝，故AO＝AM－MO＝－＝，故AO∶OM＝343123124

＝3.4125．【解析】 如图设正四面体的棱长为1，则易知其高AM

6．k＝

27． 6 3

58．【解析】 z1＋z2＝32＋(a2－10)i＋＋(2a－5)i a＋51－a

32＝a＋51－a＋[(a2－10)＋(2a－5)]i 

＝a－13(a2＋2a－15)i.(a＋5)(a－1)

∵z1＋z2是实数，∴a2＋2a－15＝0.解得a＝－5或a＝3.∵分母a＋5≠0，∴a≠－5，故a＝3.9．【证明】 A、B、C成等差数列，下面用综合法给出证明：

113∵＝ a＋bb＋ca＋b＋c

a＋b＋ca＋b＋c∴3，a＋bb＋c

ca∴＝1，a＋bb＋c

∴c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，∴b2＝a2＋c2－ac.在△ABC中，由余弦定理，得

a2＋c2－b2ac1cos B＝，2ac2ac

2∵0°＜B＜180° ∴B＝60°.∴A＋C＝2B＝120°，∴A、B、C成等差数列．

第二篇：复数

1)单数名词加2)以s、x、sh、ch结尾的名词加3)以辅音字母加y结尾的名词，变y为i加

4)以f或fe结尾的名词，多数变f为v加es: wives, knives.但有些词只加s: roofs, proof s, 5)以o结尾的名词，有些加es: Negroes, heroes, tomatoes, potatoes.其它加s: radio s, zoos，6)不规则名词：foot→feet, goose→geese, tooth→teeth, child→children, man→me n, woman→women, sheep→sheep, deer→deer, mouse→mice.7)某些外来词变复数：datum→data, medium→media, bacterium→bacteria, curriculum→curricula, criterion→criteria, phenomenon→phenomena.8)复合名词变复数：以不可数名词结尾的复合名词无复数形式，如：以man或woman为前缀的复合名词变复数，前后两个名词都变复数，如：manservant→menservants, 其它复合名词变复数：

9)复合形容词做定语时，其中的名词保持单数：book

名词复数：）~~

英语中名词可分为可数名词和不可数名词。可数名词在应用时有单数和复数形式。表示一个用单数，表示两个或两个以上用复数。复数名词的构成分为规则变化和不规则变化。

1.规则变化：

1)一般在名词词尾加s，① map—maps地图，bird—birds鸟，orange—oranges 桔子，bike—bikes自行车；

2)以s, x, ch, sh结尾的名词加es，① box—boxes盒子，class—classes班级，watch—watches手表，dish-dishes盘，碟子，餐具；

3)以O结尾的名词后面加s或es

① photo—photos相片 radio—radios收音机 zoo—zoos动物园

tomato—tomatoes西红柿 potato—potatoes土豆

4)以辅音字母加y结尾的名词，变y为i+es ① baby—babies婴儿 family—families家庭；

以元音字母加y结尾的名词直接加s ① boy—boys男孩 toy—toys 玩具；

5)以fe或f结尾的名词，把fe或f变为ves ① knife—knives小刀

wife—wives妻子

leaf—leaves树叶。，二：名词复数的不规则变化

1）child---children foot---feet tooth---teeth mouse---mice man---men woman---women

注意：与 man 和 woman构成的合成词，其复数形式也是-men 和-women。

如： an Englishman，two Englishmen.但German不是合成词，故复数形式为Germans；Bowman是姓，其复数是the Bowmans。

2）单复同形 如：

deer，sheep，fish，Chinese，Japanese li，jin，yuan，two li，three mu，four jin

但除人民币元、角、分外，美元、英镑、法郎等都有复数形式。如: a dollar, two dollars;a meter, two meters 3）集体名词，以单数形式出现，但实为复数。

如： people police cattle 等本身就是复数，不能说 a people，a police，a cattle，但可以说

a person，a policeman，a head of cattle,the English，the British，the French，the Chinese，the Japanese，the Swiss 等名词，表示国民总称时，作复数用。

如： The Chinese are industries and brave.中国人民是勤劳勇敢的。

4）以s结尾，仍为单数的名词，如：

a.maths，politics，physics等学科名词，为不可数名词，是单数。

b.news 是不可数名词。

c.the United States，the United Nations 应视为单数。

The United Nations was organized in 1945.联合国是1945年组建起来的。

d.以复数形式出现的书名，剧名，报纸，杂志名，也可视为单数。

“The Arabian Nights” is a very interesting story-book.<<一千零一夜>>是一本非常有趣的故事书。

5)表示由两部分构成的东西，如：glasses(眼镜)trousers, clothes

若表达具体数目，要借助数量词 pair(对，双);suit(套);a pair of glasses;two pairs of trousers

6）另外还有一些名词，其复数形式有时可表示特别意思，如：goods货物，waters水域，fishes（各种）鱼

一、绝大多数的可数名词的复数形式，是在该词末尾加上后辍-s。

读音变化：结尾是清辅音读[s]，结尾是浊辅音或元音读[z]。例：friend→friends;cat→cats;style→styles;sport→sports;piece→pieces

二、凡是以s、z、x、ch、sh结尾的词，在该词末尾加上后辍-es构成复数。读音变化：统一加读[iz]。例：bus→buses;quiz→quizzes;fox→foxes;match→matches;flash→flashes

三、以辅音字母+y结尾的名词，将y改变为i，再加-es。读音变化：加读[z]。例：candy→candies;daisy→daisies;fairy→fairies;lady→ladies;story→stories

四、以-o结尾的名词，如果不是外来词或缩写，就加-es，否则加-s构成复数。读音变化：加读[z]。例：tomato→tomatoes;potato→potatoes;torpedo→torpedoes;bingo→bingoes 反例：silo→silos;piano→pianos（外来词）;photo→photos;macro→macros（缩写词）

五、以-f或-fe结尾的名词，多为将-f或-fe改变为-ves，但有例外。读音变化：尾音[f]改读[vz]。例：knife→knives;life→lives;leaf→leaves;staff→staves;scarf→scarves 反例：roof→roofs

六、以-us结尾的名词（多为外来词），通常将-us改变为-i构成复数。读音变化：尾音[Es]改读[ai]，其中[kEs]要改读为[sai]，[gEs]要改读为[dVai]。例：fungus→fungi;abacus→abaci;focus→foci;cactus→cacti;cestus→cesti

七、以-is结尾的名词，通常将-is改变为-es。读音变化：尾音[is]改读。例：axis→axes;basis→bases;naris→nares;hypothesis→hypotheses;restis→restes

八、以-ix结尾的名词，通常将-ix改变为-ices，但有例外。读音变化：尾音[iks]改读[isi:z]。例：matrix→matrices;directrix→directrices;calix→calices;appendix→appendices 反例：affix→affixes

九、以-um结尾的名词，将-um改变为-a。读音变化：去掉鼻尾音[m]。例：forum→fora;stadium→stadia;aquarium→aquaria;datum→data;vacuum→vacua

十、以-a结尾的名词，在该词末尾加上后辍-e。读音变化：尾音[E]改读。例：larva→larvae;formula→formulae;ala→alae;media→mediae;hydra→hydrae

十一、部分单词的复数形式不变。读音变化：保持原音。

例：fish→fish;sheep→sheep;cattle→cattle;deer→deer;salmon→salmon

十二、极少数单词，其复数形式没有任何规律。读音变化：没有规律。例：man→men;woman→women;child→children;person→people;ox→oxen 十三、一些单数词得加en才能变成复数词： 例：ox→oxen;child→children;brother→brethren 十四、一些单数词得改头换面一番,才能变成复数词

例：analysis→analyses分析;basis→bases基础;datum→data数据;foot→feet;formula→formulae/formulas公式;goose→geese;louse→lice虱子;man→men mouse→mice;medium→media/mediums媒介;memorandum→memoranda/memorandums备忘录;parenthesis→parentheses 圆括号;phenomenon→phenomena现象;radius→radii 半径 tooth→teeth;woman→women

十五、有些名词是单数、复数不分的 例：deer;fish;cannon;sheep;salmon 鲑鱼;trout 鳟鱼十六、一些名词虽分单数、复数，但出现次数多的总是单数词

例：abscence;clothing;film;help;furniture家具;machinery机械;news;scenery风景;sugar;traffic交通

十七、另一些名词则以复数词出现的机会较多

例：bellows风箱;clothes;police;shorts短裤;scissors剪刀;spectacles眼镜;shears大剪刀 trousers长裤;wages工资

十八、compound nouns，这类复数词是以主要的名词来表示 例：daughter-in-law→daughters-in-law 媳妇;father-in-law→fathers-in-law岳父 man-of-war→men-of-war兵舰;maid-servant→maid-servants step-son→step-sons晚子;son-in-law→sons-in-law

十九、若表达具体数目，要借助数量词

例：pair(对，双);suit(套);a pair of glasses;two pairs of trousers

二十、另外还有一些名词，其复数形式有时可表示特别意思，例：goods货物，waters水域，fishes（各种）鱼

二十一、除人民币元、角、分外，美元、英镑、法郎等都有复数形式。

例：a dollar, two dollars;a meter, two meters

以O结尾的词，许多加es构成复数，特别是一些常用词如：heroes,potatoes,tomatoes,echoes,tornadoes,torpedoes,dominoes,vetoes,mosquitoes,Negroes,mangoes,buffaloes,volcanoes 但下面几类词只加s：1.以“元音+o”或“oo”结尾的词如:videos,radios,studios,folios,oratorios,embryos,zoos,bamboos,kangaroos,taboos 2.一些外来词，特别是音乐方面的词，如：pianos,solos,concertos,tobaccos,mottos,cellos 3.一些缩写词和专有名词，如：kilos,photos,memos,micros,Eskimos,Filipnos 有个别词加两种词尾都可以，如：archipelago(e)s,halo(e)s,cargoes(英），cargos(美）

名词单数变复数规则

「速记口诀」

单数变复数，规则要记住，一般加s，特殊有几处： /s/结尾，es不离后，末尾字母o，大多加s，两人有两菜，es不离口，词尾f、fe，s前有v和e；

没有规则词，必须单独记。

第三篇：期末复习：推理与证明,复数

高202_级数学（文科）期末复习

期末复习：推理与证明，复数

一、推理

1．归纳推理是由，从的推理。

Ex1:将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，（二）间接证明：反证法

反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结

论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：

(1)反设；(2)归谬；(3)结论。

Ex: 用反证法证明数学命题: 设0a,b,c1，求证：(1a)b,(1b)c,(1c)a,不可能同时大于1

4三、复数

24k4k+14k+24k+

31、虚数单位i，规定：i=；i=；i=；i=；i=（kN*）

2、复数的代数形式是，全体复数所成的集合叫做________集。用字母________来表示。

3.z=a+bi（a、bR），则复数z的实部是；复数z的虚部是。复数z是实数，复数z是虚数，复数z是纯虚数

4、z1=a+bi（a、bR），z2=c+di（c、dR），复数z1=z2；复数z1>z2

5、复数的几何表示：建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做________,x轴叫做________轴，y轴叫做

_______轴.实轴上的点都表示______数；除原点外，虚轴上的点都表示__________数。

6、z=a+bi（a、bR），则|z|=|a+bi|=，|z|的几何意义是

7、z1=a+bi（a、bR），z2=c+di（c、dR），则z1+z2=，对应向量运算；

z1-z2=，对应向量运算

8、z1=a+bi（a、bR），z2=c+di（c、dR），则|z1-z2|=，|z1-z2|的几何意义是

9、z1，z2是两个已知复数，z是满足下列等式的复数，写出z所对应的图形分别是什么？

（1）|z-z1|=a(aR，a>0)

（2）|z-z1|=|z-z2|

（3）||z-z1|+|z-z2||=2a(aR，|z1-z2|<2a)

（4）||z-z1|-|z-z2||=2a(aR，|z1-z2|>2a)

10、复数乘除法：（1）43i54i(2)2i74i11、z=a+bi（a、bR），则复数z的共轭复数为z=，zz=

12、实系数一元二次方程ax+bx+c=0(a、b、cR，且a0)的根的情况

当>0时，方程有根，分别为

当=0时，方程有根，为

当<0时，方程有根，分别为

四、题型分类

(一)i的运算1、1iiii12321232010、1iiii20101232010i3、i2i3i20105、f(n)=iinn2010、1i111i2i3i2010nn(nN*)的值域是1i

6、1i1i1i=

7、n为奇数，=1i1i

(二)复数分类

21、z=(2+i)m-3(1+i)m-2(1-i)(mR)，z是实数，m取值； z是虚数，m取值；z是纯虚数，m取值；

2、z1=a+bi（a、bR），z2=2+ci（cR），则z1> z2的充要条件是

(三)复数的坐标表示、与向量之间的关系1、3+4i的点关于原点对称的点对应的复数为

22、(m+m-2)+(6-m-m2)i对应复平面上的点一定不在第象限

3、平行四边形中，z1=1+2i，z2=-2+i，z3=-1-2i对应复平面上的点为三个顶点，第四个顶点对应的复数

为

4、复数3-4i和5-6i分别对应向量，求向量AB所对应的复数

(四)共轭运算

1、z1z223i，z1=1-5i，则z2=

2、(z+2)(z2)z,则z=

(五)模的运算及几何意义

2(12i)5(34i)

1、=

2、| z1+ z2|| z1|+| z2| 5(2i)

3、若集合M={z| |z+1|=1, zC},集合N={z| |z-2i|=|z|，zC},则MN=

4、复数z满足条件|z|=1，则|z+3-i|的取值范围是

5、复数z=cos+isin,(R)，则|z+1-i|的取值范围是

6、复数z1 z2满足| z1|=3，| z2|=4，| z1+ z2|=5，则|z1 –z2|=

7、|z|+z=8-4i，则z=

8、(1+i)z115i, z2=a-2i , |z1z2||z1|, a的范围(六)函数

1、f(z)=1-z,则z1=2+3i, z2=5-i, 则f(z1z22、f(z)=z-1,则z1=2-3i,f(z1 –z2)=4+4i，求z2=, |z1+z2|=

(七)一元二次方程1、2+ai，b+i（a、bR）是实系数一元二次方程x2pxq0的两根，2、、是方程xxm0（mR）的两个根，且||=2，求m的值

3、复数、是方程xxm0（mR）的两个根，且||||=2，4、方程x+(k-2i)x+4+2i=0有一个根是2，复数另一个根为

五、反思小结

六、巩固练习

1、若zC,且|z-3i|-iz=6-3i,则z=_____.2、若|z1|=|z2|=1,|z1＋z2|=3,则|z1－z2|=________。

第四篇：复数课件

复数

在人的一般印象中，对于数字的概念，一般都是-1-2 0.1.2.3，或者1.1，1.2 再深一点就是√2，√3.诚然，每一种新的数的范围的发现到被人为人接受，熟知，是要经过一段历程，在过去的历史中，它的发展曲折的。

面对复数，人们很难理解，心有不免有疑问，复数到底是什么，复数是怎样产生的?它是不是像有些书上所叙述的那样:在求一元二次方程的过程中，实数集不够用了需要进行扩张,扩张后的数集,使得一元二次方程

有解,从而引入复数

。这一过程表面上看似乎也符合人们的认识，也能为人们，特别是中学生所接受。可是在历史上复数却不是这样产生的,它不是产生干一元二次方程的求解过程.而是首先出现在求解一元三次方程的过程中。

16世纪意大利米兰医生卡当，从一位外号称为“塔尔里塔里”（意大利语为“口吃者”）那里得到一份关于一元三次方程求解方法的手稿，于1545年在他们“大法”一书中首先公布了一元三次方程的求解公式，他认为任何一个一元三次方程卡当在（1）式中，令

当就得到

或

时，就可以满足上述方程，这

都可以化为形如，使（1）式成为

（1）

因此便得到方程的解为

而对于一元三次方程

只要令，用同样的方法可得到

这就是解一元三次方程的卡当公式。

上述解一元三次方程的卡当公式，在数学逻辑推导上是正确无误的，但是这个方程显然有的根，以及另外两个实数根。这就产生了矛盾；在解一元三次方程时，要想得到大家承认的实数根，就必须经过负数开平方这样严峻而又不能邂逅的事实。这与在求解一元二次方程的情况完全不一样了，在一元二次方程的求解过程中，人们不承认负数开平方不会导致任何矛盾。因此虚数产生于求解一元三次方程的过程中也就不难理解了。

虽然卡当当时还不能通过自己的公式将这些实数根求出来，而把这类方程称为“不可约情形”

后来经过达朗贝尔，欧拉，高斯等数学家长期不懈的努力，深刻探讨并发展了复数理论，才使得在数学领域游荡了200年的幽灵——虚数揭去了神秘的面纱，显现出它的本来面目，原来虚数不“虚”。虚数成为了数系大家庭中一员，从而实数集才扩充到了复数集。

接下来正式介绍一下复数 Z=x+yi 其中x称为复数的实部，y为复数的虚部

i为虚数单位.假如两个复数要相等的话，就必须满足实部之间相等，虚部之间同样相等 此外，复数还存在一个共轭复数概念

所谓共轭复数，也是就是两个复数之间的虚部互为相反数，其他相同。如z = 1+i z =1-i 复数的四则运算

第五篇：复数教案

202_年10月16日教案

教学课程

复数的有关概念

教学目标

（1）掌握复数的有关概念，如虚数、纯虚数、复数的实部与虚部、两复数相等、复平面、实轴、虚轴、共轭复数、共轭虚数的概念。

（2）正确对复数进行分类，掌握数集之间的从属关系；

（3）理解复数的几何意义，初步掌握复数集C和复平面内所有的点所成的集合之间的一一对应关系。

（4）培养学生数形结合的数学思想，训练学生条理的逻辑思维能力．

教学内容

1、复数的有关概念，由x^2+1=0，引进概念虚数 正确地对复数进行分类，弄清数集之间的关系

2、分类要求不重复、不遗漏，同一级分类标准要统一。根据上述原则，复数集的分类如下。

3、复数相等的充要条件，对于复数 数 时，一定有，实部是，虚部是 ．注意在说复，否则，不能说实部是，虚部是 ,复数的实部和虚部都是实数。用复数相等的条件要注意：

①化为复数的标准形式

②实部、虚部中的字母为实数，即

4、复数的几何表示，①任何一个复数 都可以由一个有序实数对()唯一确定．这就是说，复数的实质是有序实数对．一些书上就是把实数对（）叫做复数的．

②复数 而不是(用复平面内的点Z()表示．复平面内的点Z的坐标是()，)，也就是说，复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1，而不是 ．由于 =0＋1·，所以用复平面内的点(0，1)表示 时，这点与原点的距离是1，等于纵轴上的单位长度．这就是说，当我们把纵轴上的点(0，1)标上虚数 时，不能以为这一点到原点的距离就是虚数单位，或者 就是纵轴的单位长度．

③当

(时，对任何，时，是纯虚数，所以纵轴上的点())都是表示纯虚数．但当 是实数．所以，纵轴去掉原点后称为虚轴．

复数z=a＋bi中的z，书写时小写，复平面内点Z(a，b)中的Z，书写时大写．

由此可见，复平面(也叫高斯平面)与一般的坐标平面(也叫笛卡儿平面)的区别就是复平面的虚轴不包括原点，而一般坐标平面的原点是横、纵坐标轴的公共点．

5、共轭复数的概念．要学生注意可以提一下当

于实轴本身对称，例如：5和－5也是互为共轭复数．当 轭虚数．可见，共轭虚数是共轭复数的特殊情行． 随即写几个例子

时的特殊情况，即实轴上的点关

时，与

互为共

6、“两个复数，如果不全是实数，就不能比较它们的大小”，要注意： 根据两个复数相等地定义，可知在 两式中，只要有一个不成立，那么

．两个复数，如果不全是实数，只有相等与不等关系，而不能比较它们的大小．

命题中的“不能比较它们的大小”的确切含义是指：“不论怎样定义两个复数间的一个关系‘<’，都不能使这关系同时满足实数集中大小关系地四条性质”：

(i)对于任意两个实数a，b来说，a＜b，a=b，b＜a这三种情形有且仅有一种成立；

(ii)如果a＜b，b＜c，那么a＜c；

(iii)如果a＜b，那么a＋c＜b＋c；

(iv)如果a＜b，c＞0，那么ac＜bc．(不必向学生讲解)

教学重难点

1．要注意知识的连续性：复数因而注意与平面解析几何的联系．

2．注意数形结合的数形思想：由于复数集与复平面上的点的集合建立了一一对应关系，所以用“形”来解决“数”就成为可能，在本节要注意复数的几何意义的讲解，培养学生数形结合的数学思想．

是二维数，其几何意义是一个点，3．注意分层次的教学：教材中最后对于“两个复数，如果不全是实数就不能本节它们的大小”没有证明，如果有学生提出来了，在课堂上不要给全体学生证明，可以在课下给学有余力的学生进行解答．