“一元二次方程〞教学分析与决策

邬云德*作者简介：邬云德〔1956～〕，男，大学本科学历，中学高级教师，浙江省数学特级教师。通讯地址：象山县丹城丹南路；联系方式：

：0574-65767125，：***，E-mail:xsjyswyd@sina

〔浙江省象山县教育局教科研中心

315700〕

陈敏珍〔浙江省象山县新港中学

315731〕

研究背景

“一元二次方程〞是浙教版课标教材八年级下册第二章第一节第一课时的内容。这节课普遍存在的问题是：课堂教学缺乏内涵和思想，且有盲目增补教学内容和随意提高教学要求的现象。从说课活动中发现：教师对数学内容的本质、内容的逻辑结构和思想方法结构、内容蕴涵的科学方法、理性思维过程和价值观资源认识模糊，从而导致说课缺乏内涵和思想。基于这种事实，我们在区域性教研活动中进行了一次以“一元二次方程〞为载体的教学分析与决策的微格教研活动。活动经历了“教学分析→教学决策→实践验证→修改完善〞的过程。笔者认为?“一元二次方程〞教学分析与决策?，不但有助于教师明确“一元二次方程〞的内涵和思想，而且对帮助教师学会科学的教学分析的方法和提高有效的教学决策的能力会产生积极的影响。因此，特将其呈现如下，供读者参考与研究。

教学分析

2.1

内容及其解析

内容：“一元二次方程〞主要讲两方面的内容：一元二次方程的概念，一元二次方程的一般形式。内容的逻辑结构及思想方法结构的概括见图1。

一元二次方程的概念

一元二次方程特点

方程概念

演绎

数学模型

现实问题

数学化

概括

抽象

一元二次方程一般形式

表示

一元一次方程概念

类比

一元一次方程一般形式

类比

图1

解析：“一元二次方程〞是在学生学习了“一元一次方程〞、“二元一次方程〔组〕〞的根底上，为满足解决某些实际问题和进一步学习数学的需要提出来的，是体会方程思想和方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型的继续。一元二次方程概念与方程概念的联系方式是“类属关系〞，一元二次方程概念与一元一次方程和二元一次方程〔组〕概念的联系方式是“并列结合关系〞，一元二次方程概念与有关现实问题的数学模型的联系方式是“总括关系〞。内容的数学本质是：研究现实世界数量的相等关系及研究相等关系的方法和观念。内容的核心目标是：体会方程思想和方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。内容蕴涵的方程思想、类比思想、数学化方法、观察与比拟方法、抽象表示方法等对开展学生的智力会产生积极的影响；内容蕴涵的理性思维过程对开展学生的概括能力和类比能力、丰富学生转化、类比、反思等数学活动经验、形成多边思维碰撞的学习状态等有积极作用；内容能结合现实中的问题，对增强学生的方程意识和懂得数学的价值也有重要作用。

重点：一元二次方程的涵义及表示，特别是体会方程思想和方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。

2.2

教学问题诊断

认知特点：一元二次方程是特殊的方程，如果按这个思路进行教学，概念学习的学习形式类型是下位学习，思维形式是演绎。一元二次方程与一元一次方程、二元一次方程〔组〕既有联系又有区别，如果按这个思路进行教学，概念学习的学习形式类型是并列结合学习，思维形式是类比。一元二次方程是现实问题的数学模型，如果按这个思路进行教学，概念学习的学习形式类型是上位学习，思维形式是归纳。一元二次方程一般形式与一元一次方程一般形式既有联系又有区别，一元二次方程一般形式的学习形式类型是并列结合学习，思维形式是类比。

认知根底：如果采用下位学习的形式，学生需要知道方程概念和具有演绎的能力；如果采用并列结合学习的形式，学生需要知道一元一次方程和二元一次方程的概念，需要具有一定的类比能力；如果采用上位学习的形式，学生需要具有现实问题转化为数学问题的符号化经验和观察、比拟、概括、类比的经验。

认知障碍：用上位学习的形式概括一元二次方程的概念，尽管学生认知结构中有相应的知识与新知识有联系，但需要经历实际问题转化为数学模型的“数学化〞过程，一局部学生“数学化〞能力弱，可能会遇到困难；需要经历特殊到一般的理性思维的过程，一局部学生理性思维能力弱，可能很难渡过“抽象〞这一关。用并列结合学习概括一元二次方程的一般形式，需要经历特殊到特殊的类比推理的过程，一局部学生类比推理能力弱，可能会遇到困难。学生普遍对运算符号和性质符号理解不清，在求二次项系数、一次项系数、常数项时可能会出现错误。

教学难点：设未知数，列方程；一元二次方程和一元二次方程一般形式特点的概括。

2.3

学法指导分析

〔1〕这节课教学的创新点之一是选择适宜的教学结构。根据一元二次方程知识的逻辑结构及隐含在知识背后的思想方法结构，这节课有以下四种教学结构可供选择：

①回忆方程概念→演绎得出一元二次方程特点→类比给出一元二次方程概念→类比给出一元二次方程的一般形式→概念的应用、辨析与建构。这种接受式学习方式为主的呈现方式，符合认知同化理论〔新旧知识的联系方式是“类属关系〞，新知识与学生已有认知结构中的有关知识的联系方式也有“类属关系〞〕，且教学效率较高。但纯数学操作，不利于学生体会方程思想和感受学习一元二次方程的必要性。尽管这种方式有利于开展学生的逻辑推理能力，但不利于开展学生的合情推理能力。目前学生合情推理能力比拟弱，且这节课的数学本质是体会方程思想。因此，这种方式不利于学生和谐开展。

②回忆一元一次方程概念→类比得出一元二次方程特点→类比给出一元二次方程概念→类比给出一元二次方程的一般形式→概念的应用、辨析与建构。这种发现式学习方式为主的呈现方式，符合认知同化理论〔新旧知识的联系方式是“并列结合关系〞，新知识与学生已有认知结构中的有关知识的联系方式也有“并列结合关系〞〕，有利于开展学生的类比推理能力。但纯数学操作，不利于学生体会方程思想和感受学习一元二次方程的必要性。尽管学生的类比推理能力比拟弱，但这节课的数学本质是体会方程思想。因此，这种方式也不利于学生和谐开展。

③呈现假设干实际问题→用方程思想建立数学模型→概括得出一元二次方程特点→类比给出一元二次方程概念→类比给出一元二次方程的一般形式→概念的应用、辨析与建构。这种发现式学习方式为主的呈现方式，符合认知同化理论〔新旧知识的联系方式是“总括关系〞，新知识与学生已有认知结构中的有关知识的联系方式也有“总括关系〞〕，有利于学生体会方程思想和感受学习一元二次方程的必要性，有利于开展学生符号化能力和概括能力，且适宜的情景有利于激发学生的学习情趣。但这种教学方式过程缓慢，会对按时完成教学任务带来挑战。

④呈现有意义的实际问题→用方程思想建立数学模型→用数学方法解决实际问题→反思、提炼数学模型的特点→类比给出一元二次方程概念→类比给出一元二次方程的一般形式→概念的应用、辨析与建构。这种“问题驱动〞的方法，符合认知同化理论〔新旧知识的联系方式是“总括关系〞，新知识与学生已有认知结构中的有关知识的联系方式也有“总括关系〞〕。其优点是：能使学生经历用一元二次方程解决实际问题的全过程，有利于学生体会方程思想和感受学习一元二次方程的必要性，且有能力开展点、个性和创新精神培养点。其缺点是：“一个例子打天下〞缺乏概括根底，同样存在学习过程缓慢的问题。

这就是说，第三种教学方式，不但符合认知同化理论，而且最能反映数学的本质和最有利于学生认知开展。

〔2〕这节课教学的创新点之二是选择适宜的教学内容。①为有利于学生体会方程思想和方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型，课本提供了三个现实问题：第一个是包装盒外表展开图的问题；第二个是把面积为4平方米的一张纸分割成正方形和长方形两个局部的问题；第三个是增长率问题，背景材料是浙江省2001年和2003年生产总值的数据。我觉得第一个问题有能力开展点，应该借用；第二个问题与第一个问题类型相同〔都是用面积或体积关系来列方程〕，可以考虑用其它类型的问题来替换，使问题的类型更和谐；第三个问题的背景不具有时代性，其背景材料可以考虑替换，使物质的景更能激发学生精神的情，如果找不到浙江省近几年生产总值的数据，也可以用其他问题来替换，但替换的问题要与原问题承载的目标保持一致。②从实际问题到数学模型，再从数学模型到一元二次方程的特征，是学生认识一元二次方程概念的第一次飞跃；通过对概念的应用、辨析与建构——沟通知识之间的内在联结与变式活动，使学生多方位丰富完善概念，区分、评价此概念与彼概念，明确概念的本质属性和非本质属性，使概念以一种完整的心理图式储存于大脑当中，是学生认识一元二次方程概念的第二次飞跃。但教材提供的材料不能满足学生多方位丰富完善概念的需要，需要根据教学目标适当增补教学内容。

这就是说，需要教师再次开发教材，使教学内容具有个性化并满足实现教学目标的需要。

〔3〕这节课教学的创新点之三是选择适宜的教学方法。从现实问题到数学模型，需要经历“数学化〞的过程，局部学生“数学化〞能力弱，需要教师在理解数学和了解学生的根底上，根据“最近开展区〞理论提供适宜的感性材料，并用“暗示〞的方法激活学生已有的知识与经验及激发学生的学习情趣。从数学模型到一元二次方程的特点，需要经历反省、内化和概括的过程，局部学生理性思维能力弱，需要教师用适宜的“问题清单〞驱动学生的思维〔翻开学生理性思维的“闸门〞〕，帮助学生渡过“抽象〞难关。从一元二次方程的特点到一元二次方程特点的形式化表达，需要经历用简练的文字形式和符号表示的过程，需要教师用“点拨〞的艺术激活学生数学表示的经验，帮助学生仿效。从一元二次方程特点的形式化表到达一元二次方程概念的建构，需要经历概念的应用、辨析与建构的过程，需要教师提供概念的应用、辨析与建构的适宜的“问题清单〞，并运用“独立学习〞、讨论、积极的认知干预等指导艺术，帮助学生实现概念建构和开展认知。

这就是说，根据学习内容的特点，这节课宜采用发现性学习与有意义的接受性学习相结合的方法。在学习过程中，教师需采用“独立学习〞、讨论、“暗示〞、点拨、积极的认知干预等指导艺术。

教学决策

3.1

教学目标设计

〔1〕借助与一元二次方程有关的适宜的假设干现实问题并通过经历现实问题转化为数学模型的过程，体会方程思想，感受学习一元二次方程的必要性，开展符号化能力和数学化经验；

〔2〕借助现实问题的数学模型并通过经历观察、比拟、概括的过程，明确一元二次方程的特点，开展理性思维能力；

〔3〕借助一元一次方程概念和一元一次方程的一般形式的定义经验并通过类比的过程，会用简练的文字形式和符号表示一元二次方程的特点和一元二次方程的一般形式，理解一元二次方程的概念，了解一元二次方程的一般形式，开展用简练的文字形式和符号表示数学概念的经验及类比能力；

x

x

〔4〕借助适宜的问题或例子并通过概念的应用、辨析与建构的过程，会求二次项系数、一次项系数和常数项，明确一元二次方程概念的本质属性及一元二次方程与一元一次方程、二元一次方程的区别与联系，开展区分能力，感受蕴涵在内容中的理性思维过程。

3.2

教学过程设计

3.2.1

“活动〞——感性探究

活动1：某种包装盒的外表展开图如右图〔单位：cm〕。

假设包装盒的容积为750cm3，那么图中x应满足怎样的方程？

活动2：近年，“象山红〞桔子进入了丰收期，但销售价逐年下降。据调查2006年收购价是4元/斤，2021年收购价是1元/斤。问：单价平均每年下降的百分率是多少？

假设设单价平均每年下降的百分率为x，那么x应满足怎样的方程？

活动3：长5m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端与墙的距离是3m。如果梯子底端向右滑动的距离与梯子顶端向下滑动的距离相等，求梯子滑动的距离。

假设设梯子滑动的距离为x，那么x应满足怎样的方程？

注：“活动〞是学生建构概念的起点，其目的是激发学生学习兴趣和启动学生思维，是为“过程〞阶段提供感性的素材、反省的对象。这个阶段，教师的任务是：在理解数学和了解学生的根底上，根据“最近开展区〞理论提供典型材料；学生的任务是：借助已有的知识与经验进行“活动〞。

3.2.2

“过程〞——理性思维

活动4：你在数学化的过程中，用到了哪些思想方法？碰到了哪些困难？有哪些感触？

活动5：上述给出的三个方程：(15－x)x×15=750、4(1－x)2=1、(3+x)2+(4－x)2=25有何共同特点？

活动6：你是怎样发现这些特点的〔发现的视角与视点〕？

注：从对“活动〞的印象到概括形成“对象〞，是概念认识上的第一次飞跃。概念教学不能抹去感性探究，但也不能放弃对数学“抽象〞之美的追求。这个阶段，教师的任务是：提供“问题清单〞驱动学生思维；学生的任务是：对“活动〞内容进行反思、内化、概括。

3.2.3

“对象〞——概念的表示与应用

活动7：你能用文字形式表示“一元一次方程〞的经验给出用文字形式表示“一元二次方程〞吗？

在此根底上，教师给出一元二次方程的概念：像(15－x)x×15=750，4(1－x)2=1，x2－x=0这样，两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2次的方程叫做一元二次方程。能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解〔或根〕。

活动8：你能用符号表示“一元一次方程〞的经验〔一元一次方程的一般形式〕给出用符号表示“一元二次方程〞〔一元二次方程的一般形式〕吗？

在此根底上教师给出一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a、b、c是常数，a≠0)，及二次项、一次项、常数项和二次项系数、一次项系数的概念。

活动9：关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，a的值是什么？

活动10：以下一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是什么？

〔1〕2x2-3x-1=0；

〔2〕3y2+4=5y；

〔3〕9x2=-4x；

〔4〕10x2=9；

〔5〕3y2=0。

活动11：请你给出三个一元二次方程的一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项分别是什么？

注：“对象〞既是概括的结果，又是性质探求、运算、证明等的依据和工具。这个阶段，教师的任务是：激活学生数学表示的经验，提供概念应用的例子；学生的任务是：仿效已有的经验用简练的文字形式和符号表示一元二次方程的特征，将概念作为一个对象〔工具〕进行演绎。

3.2.4

“图式〞——概念的辨析与建构

活动12：以下方程哪些是一元二次方程？

〔1〕10x2=9；

〔2〕2(x-1)=3x；

〔3〕2x2-3x-1=0；

〔4〕；

〔5〕2xy-7=0；

〔6〕9x2=5-4x；

〔7〕4x2=5x；

〔8〕3y2+4=5y。

活动13：在一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a、b、c是常数，a≠0)中，为什么要规定a≠0？为什么不规定b和c也必须不为零呢？

活动14：一元二次方程、一元一次方程和二元一次方程三者之间的联系与区别是什么？

活动15：你在学习过程中，获得了哪些知识？学会了哪些技能？感受到了哪些思想方法和数学活动经验？有哪些感触？

注：“对象〞到“图式〞是思维的又一次飞跃。“对象〞形成后，有了完整的形式化表述，但与原有的认知结构还可能处于一种别离的状态，认识必须进一步上升到“图式〞阶段。这个阶段，教师的任务是：提供适宜的“问题清单〞；学生的任务是：进行概念的辨析与建构，使概念以一种完整的心理图式储存于大脑当中。

3.2.5

“作业〞——检测评价

1、根底题：完成课本有关作业题。

2、提高题：长5m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端与墙的距离是3m。如果梯子底端向右滑动的距离与梯子顶端向下滑动的距离相等，求梯子滑动的距离。

注：这个阶段，教师的任务是：提供适宜的检测题；学生的任务是：接受测试与评价。设计提高题的目的是：让学生经历用一元二次方程模型解决实际问题的全过程，为用因式分解法解一元二次方程作伏笔。

研究反思

教学分析是准确定位的需要，是确定有效教学策略的需要，是不该被遗忘的教学起点。教学分析有利于明确内容的逻辑结构和思想方法结构，有利于明确内容的背景、新旧知识的联系方式、内容的本质特征、内容蕴涵的科学方法、理性思维过程和价值观资源，从而能使教学“立意〞更高，内在逻辑线索更明显，目标定位更准确；教学分析有利于明确新知识的“生长点〞、学生学习新知识的认知特点、学生学习新知识的主要障碍，从而能选择更适宜的实现目标的策略；教学分析有利于明确实现目标所需要的适宜载体，从而能更好地开发和利用教学资源并处理教学内容，使组织的教学内容更具有针对性，更能激发学生的学习兴趣；教学分析有利于明确内容呈现的各种可行方式，从而能使教学方式经历“多项选择一〞的优化过程，并有可能在优势互补的根底上作出创新，使数学教学更符合数学开展规律和学生学习数学的认知规律；教学分析有利于明确实现目标所需要的学习方法，从而能使学法指导更科学，教学更有效。

参考文献：

[1]全日制义务教育?数学课程标准?〔实验稿〕，北京师范大学出版社2001年版。

[2]义务教育课程标准实验教科书?数学?八年级〔下〕，浙江教育出版社，2004.12。