第一篇：优质论文-高中数学“含参”问题方法小结

高中数学 “含参”问题方法小结

含参数（不）等式“恒、能成立”问题是高中数学教学的一个重点和难点，同时也是高考考查的热点。这类问题可以考查多个知识点，更能从多个角度检查考生的素质和能力，这类问题难度比较大，综合性强，考生不易得分。

解决此类问题有一定的规律性，常见方法有：函数思想、分离参数、变换主元、数形结合等，其中分离参数转换自变量是其常用的方法。一．反参为主（即主元法）

对于给出了参数范围的“恒成立”问题，常把参数视为主元，把主元视为已知函数，即把原题视为参数的函数，从函数角度来解答。

例1.对于任意a∈[-1,1]，函数f(x)=x2+(a-4)x-2a的值恒大于零，求x的取值范围。

解：由题令g(a)=(x-2)a+(x2-4x+4)>0对 a∈[-1,1]恒成立。显然x≠2 ∴g(a)是a的一次函数，要使g(a)<0在a∈[-1,1]上恒成立，2g(1)0(x2)x4x40只需

即 2g(1)0(2x)x4x40解之得：x<1或x>3 点评：此题若按分离法做，分离a得(x2)a4xx2需讨论比较复杂

变式：若例1中改为x∈[-1,1]上f(x)>0恒成立，则此题属于二次函数区间定轴动题目，对称轴xa4a41,令f(-1)>0

分三种情况：①22a41,令<0 ②12a411,令f(1)>0 ③22xa(x∈R)在[-1,1]上是增函数。x221的两根为x1,x2，试问：是否存在实数m，使得不等式x 点评：此题若用分离法不易解答。

例2．已知函数f(x)（1）求实数a的值所组成的集合A（2）设关于x的方程f(x)m2+tm+1≥|x1-x2|对于任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由

2(x22)(2xa)2x2(x2ax2)解：（1）f(x)0对x∈[-1,1]恒成立

(x22)2(x22)2令h(x)xax2则有（2）由f(x)2h(1)01a20即AaR|1a1

h(1)0-1-a+202xa1

得：x2ax20 2x2xx1x2a∵a80

∴

xx2122∴|x1x2|(x1x2)24x1x2a28 ∵-1≤a≤1 ∴1≤|x1x2|≤3 ①

要使m2+tm+1≥|x1-x2|对于任意a∈A及t ∈[-1,1]恒成立, 当且仅当m2+tm+1≥3对于任意t ∈[-1,1]恒成立,即m2+tm+1≥0对于任意t ∈[-1,1]恒成立

g(t)=mt+m2-2, t∈[-1,1]则g(t)≥0对对t ∈[-1,1]恒成立②

2g(1)mm20令解得：m≥2或m≤-2 2g(1)mm20注：本题含a,t,m三个参数，通过①减少为两个参数t，m，要解决②，以t为主元，利用一次函数保号性解决． 二．分离参数和函数思想

通过恒等变形，将参数与主元分离出来，使不等式一边只含参数，另一边是与参数无关的主元问题，只需求出主元函数的最值。求主元函数的最值时，常用到配方法、基本不等式、函数单调性、三角函数值域等知识与方法。

x22xa例1．已知函数f(x)，若对任意x∈[1,+∞）,不等式f(x)>0恒成立，试求实

x数a的范围

x22xa0 解：∵x∈[1,+∞],要使f(x)>0恒成立，即使

x即x+2x+a>0对x∈[1,+∞）恒成立

22分离参数得：a>-(x+2x)=-(x+1)+1

2当x∈[1,+∞）时，g(x)=-(x+1)+1最大值为3。∴实数a取值范围为：a>-3 点评：以上解法为分离参数法，此题若按函数思想，则f(x)x双勾函数，需讨论，比较复杂。

例2．（202_高考新课标Ⅰ21）已知函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)，若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0，2)，且在点P处有相同的切线y＝4x+2（Ⅰ）求a，b，c，d的值

（Ⅱ）若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围。

解：（Ⅰ）因为曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0，2)，所以b=d=2；因为2

a2，则此函数为x，故所以，；

；，故，故；（Ⅱ）法一：函数思想

令令① 若当得，则时，则，从而当，即

在，由题设可得，故，时，上最小值为，此时f(x)≤kg(x)恒成立；

②若，所以f(x)≤kg(x)恒成立

③若，则

.，故f(x)≤kg(x)不恒成立；，故

在上单调递增，因为综上所述k的取值范围为法二：分离参数法

2由题可得x4x2≤2kex(x1)对x ∈【-2,+∞)恒成立 ①当x1时,k∈R

x24x2x24x2②当-2≤x＜-1时,有k≤ ,令h(x)= xx2e(x1)2e(x1)1(2x4)ex(x1)[ex(x1)exx](x24x2)x(x2)2则h(x).=x

2e2x(x1)22e(x1)2'∴当-2≤x＜-1,h(x)单增, hmin(x)h(2)e2 ∴k≤e

2x24x2③当x>-1时,有k≥,同②可得 x2e(x1)当x∈(-1,0),h(x)单增,当x ∈(0,+∞)时，h(x)单减 ∴hmax(x)h(0)1 ∴综合①②③可得1≤k ≤e

变式：（10山东理22）已知函数f(x)lnxax(Ⅰ)当a21a1(aR).x1时，讨论f(x)的单调性； 2（Ⅱ）设g(x)x22bx4.当a1时，若对x1(0,2)，x21,2，使 4f(x1)g(x2)，求实数b取值范围.解：（Ⅰ）因为1a1a1ax2x1a'f(x)lnxax1,f(x)a2x(0,)，2xxxx令 h(x)ax2x1a,x(0,)，①当a单调递减； 1'（0，+）时，x1x2,h(x)≥0恒成立，此时f(x)≤0，函数 f(x)在上2121a1＞0，②当0＜a＜时，1＞' x(0,1)时，h(x)＞0，此时f(x)＜0，函数f(x)单调递减；

x(1,11)时h(x)＜0，此时f'(x)＞0，函数 f(x)单调递增； a' x(1,)时，h(x)＞0，此时f(x)＜0，函数f(x)单调递减； 1a ③当a＜0时，由于

11＜0，a' x(0,1)，h(x)＞0,此时f(x)＜0，函数 f(x)单调递减； ' x(1,)时，h(x)＜0，此时f(x)＞0，函数f(x)单调递增.（Ⅱ）因为a=11(0,)，由（Ⅰ）知，x1=1，x2=3(0,2)，当x(0,1)时，f'(x)420，函数f(x)单调递减；g(x)ming(2)84b0b(2,)117b,,当28x(1,2)时，f'(x)1函数f(x)单调递增，所以f(x)在（0，2）上的最小值为f(1)。0，2由于“对任意x1(0,2)，存在x21,2，使f(x1)g(x2)”等价于 “g(x)在1,2上的最小值不大于f(x)在（0,2）上的最小值又g(x)=(xb)24b2，x11,2，所以 ①当b1”（*）21时，因为g(x)ming(1)52b0，此时与（*）矛盾

②当b1,2时，因为g(x)min4b20，同样与（*）矛盾 ③当b(2,)时，因为g(x)ming(2)84b，解不等式8-4b综上，b的取值范围是117，可得b

8217,。8点评：此题第二问用的是函数思想，若用分离参数法则容易出错

x21,2，f(x1)g(x2)，变式1：②x1(0,2)，求实数b范围.则fmax（x）≥gxma(x)

③x1(0,2)，x21,2，f(x1)g(x2)，求实数b范围.则fmin(x)≥gmax(x)④x1(0,2)，x21,2，f(x1)g(x2)，求实数b范围.则fmax（x）≥gmin(x)⑤若x1,2，f(x)g(x)，求实数b范围.则令h(x)f(x)g(x)，hmin(x)≥0 ⑥若x1,2，f(x)g(x)，求实数b范围.则令h(x)f(x)g(x)，hmax(x)≥0

2x2f(x)x1，g(x)ax52a(a0)． 变式2：设（1）求f(x)在x[0,1]上的值域；

（2）若对于任意x1[0,1]，总存在x0[0,1]，使得g(x0)f(x1)成立，求a的取值范围．

三．数形结合

通过构造图形，从图形上可以直观地看出不等式恒成立和能成立需要的条件 例1.设函数f(x)|x1||2x4|.（1）画出f(x)图像；（2）若关于x的不等式f(x)ax1恒成立，试求实数a的取值范围。

变式：(202_宁夏24）设函数f(x)2x41，（1）画出f(x)图像；

（2）若不等式f(x)≤ax的解集非空，求a的取值范围。

解：

2x5，x2f(x)2x3，x2则函数yf(x)的图像如图（Ⅰ）由于所示。

yax的图像可知，当且仅当（Ⅱ）由函数yf(x)与函数

a12或a2时，函数yf(x)与函数yax的图像有交点。故不等式f(x)ax的解集非空时，的取值范围为

1，2，2。

第二篇：高中数学学习问题及建议论文

摘要：数学是高中课程体系中最基本的科目之一，是其他理科学习与运算的基础学科，因此学好数学具有重要的现实意义。但是许多学生在数学学习过程中存在着一些错误，导致数学成绩得不到提升。本文举例分析了高中数学学习中五种常犯的错误，并针对这些误区提出而一些改进措施。

关键词：高中数学；常犯的错误；学习方法

数学学科对学生的逻辑思维有着较高的要求，使得许多学生在学习中不能得心应手，存在着许多误区。通过分析学生在高中数学学习中出现的问题，能够让学生明确自身的不足，并在后续的学习中有意识地去加以改进，促进数学学习效果的提高。

一、高中数学学习中五种常犯的错误

1）学习理念上的不当。一方面，由于受到传统应试教育模式的影响，许多学生片面地认为学习就是为了取得高分，因此其学习目的带有功利性，仅仅为了在高考中取得较好的成绩而去学习，忽视了自身能力的提高。另一方面，数学学习有一定的难度，其教学内容具有较强的逻辑性，再加上教师所传授的知识有着一定的抽象性，因此对学生的能力要求较高。许多学生很难掌握学习内容，久而久之就产生了厌学的心理，消极地面对学习。[1]2）对基础知识的掌握不够牢固。在学习的过程中，有的学生粗心大意，对于基础知识看似是掌握全面了，但仔细分析却还有着许多不足。有的学生自以为是，对某些原理知识只停留在“知道”、“了解”的层面上，而不肯再多下点功夫去深入钻研。其知道了一种题目的解题思路之后，就想当然地利用这种解题方式去解答看上去相似但本质却不同的题目，因此其学习效果总是不能够提升。此外，部分学生还不能明确什么条件下该使用什么样的公式。其能够记住大部分的公式，但是对于如何去应用却是有些茫然，对公式和其对应的应用条件了解的不够，故而在答题时只能够一个个公式地去试，这样不但浪费时间而且还很难解出正确答案。3）缺乏学习的自主性。在当前素质教育的新形势下，学生的自主学习能力也使综合素质的一个重要体现。但是由于受到传统的“以教师为中心”学习模式的束缚，学生的主动性受到了压制，更多的是依赖于教师、依赖于课堂教学。在学习中，只是跟随教师的思路去机械地做笔记，而很少主动地去发现问题、探究问题，缺乏自主学习的能力。[2]4）审题意识与审题能力较弱。审题是数学学习的关键，数学学科具有较强的逻辑性，因此在题目的设置上也对学生的思维能力有着较高的要求，在解答题目时往往需要学生利用逆向思维、空间思维去从不同的角度来进行解答。

二、改进高中数学学习中存在错误的建议

1）明确学习目的、端正学习态度。素质教育要求培养学生各方面的能力，而不仅仅是追求分数的高低，因此在学习过程中，学生应当转变原有的认知，端正学习态度，消除掉功利心理，注重在学习过程中自身思维能力、创新能力、合作能力的综合提升，以增强学习的动力。2）夯实基础，强化提高。对基础知识掌握牢固与否，是影响学生学习效果的关键，而数学学习的考试也是以基础知识为前提进行延展与深化。因此学生在学习过程中必须夯实基础，了解最基本的概念、公式，并掌握公式的应用范围。在对基础知识有所掌握之后，学生还要通过适当地训练来作进一步的强化提升，以实现数学成绩的提高。3）培养自主学习的能力。首先，在上课之前要自行对将要学到的知识进行预习，在结合旧知识的基础上加深对新知识的认知，并勾画出难以理解的地方，留待课堂上听老师讲授。其次，在课堂上要充分发挥自身的主观能动性，不仅仅要跟着教师的思路走，还要对教学内容进行深入地思考，以加深理解，同时将自己疑惑的地方标记出来。最后，在课堂结束之后要对还存在疑问的地方进行反思，如果自己得不出答案可以去查找资料、询问教师或者与同学讨论，以培养思维能力。与此同时，还要自行地进行解题训练，针对知识构成上的薄弱环节，对于相关的试题进行适当地练习，以形成解题思路，提高学习的效果。[3]4）培养审题意识、提高审题能力。审题是答题的首要步骤，审题时首先要找准题干中的关键要素，并有意识地排除干扰条件。其次要认真分析题干中的各种条件，有图表的再结合图表作深入探讨，并调动所学知识，选取行之有效的解题思路。最后，如果常规方法行不通，不妨试试从另外的角度出发，利用逆向思维的方法推出解题要点，再根据这些要点进行解答。例如概率类的题型中，一般是需要对可能出现的多种情况分开讨论，因此需要读懂题目的关键要素，并根据这些要素去思考可能会出现的情况。

三、结束语

所有的学生在数学学习的过程中不可避免地会出现一些误区，因此需要加强反思，在老师与同学的帮助下认识到这些错误，并采取一些有效的措施来加以改进，这样才能提升学习的效率，同时还有利于综合素养的提升。

参考文献:

[1]竺仕芳.激发兴趣,走出误区——综合高中数学教学探索[J].宁波教育学院学报,202_,04:74-76.[2]徐生海.浅谈高中数学学习过程中的误区及建议[J].教育教学论坛,202_,38:124-125.[3]阳洁.浅议高中数学学习的误区及方法建议[J].新课程(下),202_,01:132.

第三篇：高中数学参考论文[范文]

1许勇;赵峻峰;;小学生数学学习观与学习策略、动机、数学成绩的关系[A];第十一届全国心理学学术会议论文摘要集[C];202_年 2

6艾泽秋;;如何做好初高数学学习的衔接[A];濮阳市首届学术年会论文选编[C];202_年 张晓龙;张日昇;陈英和;;中学生数学焦虑、信念与数学成绩的研究[A];第十届全国心理学学术大会论文摘要集[C];202_年 高秀芝;;高中生数学学习观的结构特点及对数学成绩影响的研究[A];第十二届全国心理学学术大会论文摘要集[C];202_年 武锡环;朱珊珊;;影响学生数学成绩的人格因素[A];全国高师会数学教育研究会202_年学术年会论文集[C];202_年 张晓龙;张日昇;陈英和;;中学生数学焦虑、信念与数学成绩关系的研究[A];第十届全国心理学学术大会论文摘要集[C];202_年 莫超英;;赏识、宽容——让差生也能自信地扬帆起航[A];全国教育科研“十五”成果论文集（第一卷）[C];202_年沈新农;;高中女生数学成绩偏差的原因及对策[A];中国教育学会中小学心理健康教育课题中期研究报告论文集[C];202_年 9 刘北荣，刘让林;给差生七个“优先”──谈提高差生的数学成绩的几个做法[J];广西教育;1996年01期John Hechinger;美国学生数学成绩有所提高[N];国际商报;202_年山东省滕州市滕北中学 初中数学 孙作强;影响数学成绩的原因及解决方法[N];学知

报;202_年项城市红旗学校 陈培领;浅谈数学成绩分化的原因与对策[N];周口日报;202_年河北保定清苑中学 梁春雷;高一学生数学成绩下降的原因及对策[N];学知报;202_年 14 乔福强;数感、数学效能感与数学成绩的关系[D];济南大学;202_年王平;中学生数学性别刻板印象及性别认同水平与数学成绩的关系[D];华东师范大学;202_年侯艳艳;提高高中普通班数学成绩的实践研究[D];辽宁师范大学;202_年刘欣;高中生创造力、自我效能感与数学成绩的相关研究[D];河南大学;202_年王彩霞;情绪对六年级小学生认知灵活性的影响及促进研究[D];辽宁师范大学;202_年李纬经;高一学生数学学科自尊水平、成就目标与学业成绩的关系研究[D];东北师范大学;202_年黄大庆;高中生的数学焦虑与数学自我效能感对数学成绩的影响[D];河北大学;202_年孔令跃;数学焦虑与数学成绩关系的研究[D];首都师范大学;202_年杨旭辉;;老师的眼泪[J];课堂内外(高中版);202_年05期记者王瑟;数理化三门学科有了衔接指导意见[N];光明日报;202_年熊芹;初、高中数学教学的衔接问题研究[D];重庆师范大学;202_年陈燕;初、高中数学教学的衔接问题研究[D];东北师范大学;202_年丁伟;高中新课程函数教学研究[D];重庆师范大学;202_年关于用分数指数幂运算的一个问题[J];数学通报;1980年08期

28陈建玲;郑剑虹;;高一普通班与尖子班学生心理健康调查及教育对策研究[A];第十届全国心理学学术大会论文摘要集[C];202_年颜秀娜;影响高中女生数学成绩的心理因素及对策探讨[D];福建师范大学;202_年 30 王凤葵;中学生数学兴趣、自我效能与数学焦虑的相关研究[D];陕西师范大学;202_年 31 莫秀锋;初中生数学学习策略的发展特点及可控心理影响因素研究[D];西南师范大

学;202_年

周祥顺;普高学生数学学习兴趣培养初探[D];西南师范大学;202_年

张怀德;通渭县中学生数学学习性别差异研究[D];西北师范大学;202_年

孔令跃;数学焦虑与数学成绩关系的研究[D];首都师范大学;202_年

颜俐;数学学习中自我效能感的调查分析与实验研究[D];广西师范大学;202_年

葛凤清;在高中开设数学实验课的研究与实践[D];福建师范大学;202_年

蔡鸿艳;研究性学习与高中数学学科教学整合的研究[D];东北师范大学;202_年

袁伟忠;;重视高中女生数学能力培养的教学举措初探[J];

汪毅;防止初中生数学成绩两级分化[N];黔西南日报;202_年

余元庆;谈谈习题的配备与处理——介绍几本外国中学数学课本中的习题配备[J];数学通

报;1980年03期 41

河南省淅川县第一高级中学 胡浩;影响高中学生数学成绩的原因及解决方法[N];学知报;202_年 四川省青神中学校 周莉;浅谈如何提高高中学生的数学成绩[N];学知报;202_年 江都市国际学校 王克勤;信心源自爱的阳光[N];成才导报.教育周刊;202_年

徐宁;高中数学学习过程中的性别差异性研究[D];上海师范大学;202_年 陈定中;有穷集元素个数的计算公式及其应用[J];数学通报;1980年09期 吕学礼;;努力减少学生数学作业中的错误[J];人民教育;1980年08期 吕思友;从高考试题看数学教学[J];数学通报;1981年04期 黄海耀;;培养逻辑思维能力初探[J];数学教学通讯;1981年05期 李家骧;;从教材看基本数学能力的培养[J];云南教育(基础教育版);1981年08期 郭乃光;只有教得活,才能学得活——也谈数学能力的培养[J];江西教

育;1981年06期

蔡娟;;如何提高高中女生学习数学的能力[J];中国科教创新导刊;202_年03期

程敏;;高中女生怎样学好数学[J];快乐阅读;202_年15期

郭海珍;;为高中女生学好数学支几招[J];新作文(教育教学研究);202_年23期

邢湘贵;;为高中女生学好数学支几招[J];新作文(教育教学研究);202_年09期

沈群瑶;;浅谈高中女生学数学的策略[J];考试(高考理科版);202_年07期

马学龙;;浅谈高中数学之于女生的现实困境和解决之道[J];成才之路;202_年20期

袁伟忠;;重视高中女生数学能力培养的教学举措初探[J];数学通报;202_年10期

王鹏;;重视高中女生数学能力的培养[J];科学咨询(教育科研);202_年12期

朱慧;;重视对高中女生数学学习能力的培养[J];新课程学习(综合);202_年12期

成明,施志社;足球训练对高中女生身体素质影响的实验研究[J];苏州大学学报(自然科学版);202_年02期 61

夏春;;如何激发学生学习数学的兴趣[A];校园文学编辑部写作教学年会论文集[C];202_年 林文填;;如何激发学生学习数学的兴趣[A];中国当代教育理论文献——第四届中国教育家大会成果汇编（[C];202_年 鞠玉洁;;如何培养职校学生学习数学的兴趣[A];中国交通教育研究会202_交通教育科学优秀论文集[C

年

64卢美娥;;如何培养高中女生的数学能力[A];国家教师科研基金十一五阶段性成果集（福建卷）[C];202_年

张英才;韦宇哲;;新课标理念下如何学好高中数学[A];科技创新与节能减排——吉林省第五届科学技术学术年会论文集（上册）[C];202_年 沈新农;;高中女生数学成绩偏差的原因及对策[A];中国教育学会中小学心理健康教育课题中期研究报告论文集[C];202_年 古浪县大靖初级中学 苏万琴;兴趣是最好的老师[N];武威日报;202_年 武都区马营初级中学教师 杨丽霞;如何激发中学生学习数学的兴趣[N];陇南日报;202_年 马边第一初级中学 王聪;如何提高学生学习数学的兴趣[N];乐山日报;202_年 唐河县张店镇 白志景;在生活中学习数学[N];学知报;202_年 河南省济源市克井一中 苗彦;在阅读中体会学习数学的快乐[N];学知报;202_年 河北永年二中 马永强;怎样培养并激发学生学习数学的兴趣和激情[N];学知报;202_年 杜显福 文县白林(东坝)中学教师;怎样激发学生学习数学的兴趣[N];陇南日报;202_年 黄国钦;激发学生学习数学的兴趣[N];钦州日报;202_年 丰县黄楼初级中学 高中文;走进数学实验,快乐学习数学[N];学知报;202_年 山东平邑赛博中学 金永;课堂上如何激发学生学习数学的兴趣[N];学知报;202_年

中国博士学位论文全文数据库

沙里;中国和也门中学数学教师教育能力的比较研究[D];华中师范大学;202_年 徐彦辉;数学理解的理论探讨与实证研究[D];华东师范大学;202_年 康世刚;数学素养生成的教学研究[D];西南大学;202_年 邵光华;数学样例学习的理论与实证研究[D];华东师范大学;202_年 姚静;情境问题教学对学生数学认知的作用研究[D];华东师范大学;202_年

中国硕士学位论文全文数据库

丁钰;数学学习性别差异暨提高高中女生数学思维品质的培养与研究[D];苏州大学;202_年 王玉民;挖掘历史教材中的女性材料培养高中女生女性角色意识[D];东北师范大学;202_年 魏为升;初中生学习数学操作性问题的困难分析[D];东北师范大学;202_年 85王克;关于提高中学数学教学质量的几点措施[J];数学通报;1980年07期

第四篇：高中数学教育方法

数学被誉为科学的皇后，在中考中数学成绩的好坏往往是成功与否的关键因素。

任何事情都有一个由量变到质变的循序渐进的积累过程。

有些学生经常会感到刻苦努力学习了一阵，收效甚微，便垂头丧气，认为自己天生不是学数学的料。

或者由于一次考试的失败，丧失了对数学的信心。或许因为基础不好，导致学习跟不上老师教学进度，上课听不懂。

“题海战术”拿题就做，从不总结，感觉作的越多，成绩越高。

或者学习习惯不好，每次考试粗心马虎大意丢分严重。这些都是初中数学学习的弊端，学数学要有决心，信心，更要有一套适合自己的有效学习方法。

学习数学应该按照五个步骤进行：

一预习，理科学习，预习是必不可少的。我们在预习中,应该把书上的内容看一遍，尽力去理解，对解决不了的问题适当作出标记，请教老师或课上听讲解决，并试着做一做书后的习题检验预习效果。

二听讲，因为老师把知识的精华都浓缩在课堂上，听数学课时应做到抓住老师讲题的思路，方法。有问题记下来，课下整理，解决，数学课上一定要积极思考，跟着老师的思路走。

三复习，体会老师课上的例题，整理思维，想想自己是怎么想的，与老师的思路有何异同，想想每一道题的考点，并试着一题多解，做到举一反三。

四作业，认真完成老师留的习题，适当挑选一些课外习题作为练习，但切忌一味追求偏题，怪题，更不要打“题海战术”。

五总结，这一步是为了更好的掌握所学知识。在学完一段知识或做了一道典型题后可总结：总结专题的数学知识；总结自己卡壳的地方；总结自己是怎么错的，错在哪里，总结题目的“陷阱”设在哪里及总结自己或他人的想法。

第五篇：202_(好)高中数学排列组合问题常用的解题方法

初高中理科专业教学机构

高中数学排列组合问题常用的解题方法

一、相邻问题捆绑法

题目中规定相邻的几个元素并为一个组(当作一个元素)参与排列． 例1 五人并排站成一排，如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法种数有 种。

分析：把甲、乙视为一人，并且乙固定在甲的右边，则本题相当于4人4的全排列，A424种。

二、相离问题插空法

元素相离(即不相邻)问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定相离的几个元素插入上述几个元素间的空位和两端．

例2 七个人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同排法的种数是。

分析：除甲乙外，其余5个排列数为A5种，再用甲乙去插6个空位有A652种，不同的排法种数是A5A63600种。

三、定序问题缩倍法

在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序，可用缩小倍数的方法． 例3 A、B、C、D、E五个人并排站成一排，如果 B必须站A的右边(A、B可不相邻)，那么不同的排法种数有。

分析：B在A的右边与B在A的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元

1560种。素全排列数的一半，即A

52四、标号排位问题分步法

把元素排到指定号码的位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成．

例4 将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有。

分析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法。

五、有序分配问题逐分法

有序分配问题是指把元素按要求分成若干组，可用逐步下量分组法。例5 有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需1人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法总数有。

分析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有211C10C8C72520种。

初高中理科专业教学机构

六、多元问题分类法

元素多，取出的情况也有多种，可按结果要求，分成不相容的几类情况分别计算，最后总计。

例6 由数字 0，1，2，3，4，5组成且没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有 个。

分析：按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，分别有511311311313个，A4A5A3A3,A3A3A3,A2A3A3,A3A3个，合并总计300个。

例7 从1，2，3，„100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法(不计顺序)共有多少种？

分析：被取的两个数中至少有一个能被7整除时，他们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做A7,14,21,98共有14个元素,不能被7整除的数组成的集合记做A1,2,3,4，10086个元素；由此可知，从A中任取2个元素的取法有共有211，从A中任取一个，又从A中任取一个共有C14，两种情形共符合要求的C14C86211取法有C14C14C861295种。

例8 从1，2，„100这100个数中，任取两个数，使其和能被4整除的取法(不计顺序)有多少种？

分析：将I1,2,3,100分成四个不相交的子集，能被4整除的数集

97，能被4除余2的数99，易见这四个集合中A4,8,12,集C2,6,100；能被4除余1的数集B1,5,9，98，能被4除余3的数集D3,7,11,每一个有25个元素；从A中任取两个数符合要；从B,D中各取一个数也符合要求；从C中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求2112的取法共有C25种。C25C25C2

5七、交叉问题集合法

某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式n(AB)n(A)n(B)n(AB。)

例 9 从6名运动员中选出4个参加4×100m接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同参赛方法？

分析：设全集Ⅰ＝｛6人中任取4人参赛的排列｝，A＝｛甲第一棒的排列｝，B＝｛乙跑第四棒的排列｝，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：

初高中理科专业教学机构

n(Ⅰ)－n(A)－ n(B)＋n(A∩B)＝P64P53P53P42＝252(种)．

八、定位问题优先法

某个(或几个)元素要排在指定位置，可先排这个(几个)元素，再排其他元素。

例10 1名老师和4名获奖同学排成一排照像留念，若老师不在两端，则有不同的排法有_______ _种。

41分析：老师在中间三个位置上选一个有A3种，4名同学在其余4个位置上有A414种方法；所以共有A3A472种。

九、多排问题单排法

把元素排成几排的问题，可归结为一排考虑，再分段处理。

例11 6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是。

分析：前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排6成一排，共A6720种。

例12 8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某 1个元素要排在后排，有多少种排法？

2分析：看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，有A4种，某11个元素排在后半段的四个位置中选一个有A4种，其余5个元素任排5个位置上5125有A5种，故共有A4A4A55760种排法。

十、“至少”问题间接法

关于“至少”类型组合问题，用间接法较方便。例13 从4台甲型和5台乙型电视机中任取出3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同取法共有 种。

分析1：逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种

333型号的电视机，故不同的取法共有C9C4C570种。

分析2：至少要甲型和乙 型电视机各一台可分两种情况：甲型1台乙型2台；

2112甲型2台乙型1台；故不同的取法有C5C4C5C470种。

十一、选排问题先取后排法

从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定位置上，可用先取后排法。

例14 四个不同的球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法共有_____ ___种

2分析：先取四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有C4种，再排：在 3

初高中理科专业教学机构

323四个盒中每次排3个有A4种，故共有C4A4144种。

例15 9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同分组法？

22分析：先取男女运动员各2名，有C52C4种，这四名运动员混和双打练习有A2222中排法，故共有C5C4A2120种。

十二、部分合条件问题排除法

在选取总数中，只有一部分合条件，可从总数中减去不合条件数，即为所求。

例16 以一个正方体顶点为顶点的四面体共有 个。分析：正方体8个顶点从中每次取四点，理论上可构成C84四面体，但6个表面和6个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体，所以四面体实际共有C841258个。

例17 四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有 种。

4分析：10个点中任取4个点共有C10种，其中四点共面的有三种情况：①在44四面体的四个面上，每面内四点共面的情况为C6，四个面共有4C6个；②过空间四边形各边中点的平行四边形共3个；③过棱上三点与对棱中点的三角形共6

44个；所以四点不共面的情况的种数是C104C636141种。

十三、复杂排列组合问题构造模型法

例18马路上有编号为1，2，3„9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？

分析：把此问题当作一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮3的灯C5种方法。所以满足条件的关灯方案有10种。

十四、利用对应思想转化法

例19 圆周上有10点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有多少个？ 分析：因为圆的一个内接四边形的两条对角线相交于圆内一点，一个圆的内接四边形就对应着两条弦相交于圆内的一个交点，于是问题就转化为圆周上的410个点可以确定多少个不同的四边形，显然有C10个，所以圆周上有10点，以4这些点为端点的弦相交于圆内的交点有C10个。