第一篇：高中数列经典例集

一、经典例题剖析

考点一：等差、等比数列的概念与性质

例题1.（1）数列{an}和{bn}满足an1(b1b2bn)（n=1，2，3…），n

（1）求证{bn}为等差数列的充要条件是{an}为等差数列。

（2）数列{an}和{cn}满足cnan2an1(nN*)，探究{an}为等差数列的充分必要条例题2.已知数列an的首项

bnann2a12a1an2an1n24n2（a是常数，且a1），（n2），数列bn的首项b1a，（n2）。

（1）证明：bn从第2项起是以2为公比的等比数列；

（2）设Sn为数列bn的前n项和，且Sn是等比数列，求实数a的值；

（3）当a>0时，求数列an的最小项。

例题4.已知数列an满足a1an11(n2,nN)．，ann41an12

（Ⅰ）求数列an的通项公式an；（Ⅱ）设bn1

an2，求数列bn的前n项和Sn；（Ⅲ）设cnansin

(2n1)4，数列cn的前n项和为Tn．求证：对任意的nN，Tn． 72

考点三：数列与不等式的联系

例题5.已知为锐角，且tan21，函数f(x)x2tan2xsin(2)，数列{an}的首项4

a11,an1f(an).2

⑴ 求函数f(x)的表达式；

⑵ 求证：an1an；

⑶ 求证：11112(n2,nN*)1a11a21an

例题6已知数列an满足a11,an12an1nN

（Ⅰ）求数列an的通项公式； 

bn1bnb11b21b314444(a1)（Ⅱ）若数列bn满足，证明：an是等差数列； n

（Ⅲ）证明：1112nN a2a3an13

第二篇：高中数列精选(二)

高中数列精练

（二）例1在数列{an}中，a1=2,an+1=an+ln(1),则an=

A．2+lnnB．2+(n-1)lnnC．2+nlnnD．1+n+lnn 例2在数列{an}中，a1=1,an+1=(1n  n)a

（1）设bn1nan，求数列{an}的通项公式； n1nn12

（2）求数列{an}的前n项和。

例3已知数列{an}，满足a1=1,an=a1+2a2+3a3+…+(n－1)an－1(n≥2)，则{an}的通项an=_____ 例4设数列{an}的前n项的和sn,已知a11,sn14an2

（1）设bnan12an，证明数列{bn}是等比数列；

（2）求数列{an}的通项公式。

例5设数列{an}的前n项的和 s n a n  2 n  1  , n 1 , 2 ,3...求首项a1与通项an。

例6已知数列{an}满足a1=1,a2=3，an23an12an（nN）。

（1）证明：数列an2an是等比数列；

（2）求数列{an}的通项公式； 431323

1例7已知数列{an}的前项和Sn=-an-2n1n+2（n为正整数），令bn=2an，求证数列

{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式

例8 设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=a,an1=Sn+3n（nN）,（Ⅰ）设bn=sn-3n，求数列{bn}的通项公式；

（Ⅱ）若an1≥an（nN），求a的取值范围。

例9.已知数列{an}中，a1=1，点n,2an1an在直线yx上，其中n1,2,3 2

（Ⅰ）令bnan1an3，求证数列{bn}是等比数列；

（Ⅱ）求数列{an}的通项。

例10已知数列{an}的各项都是正数，且满足：a01,an1

求数列的{an}通项公式an 1an(4an),nN.2

例11已知a12，点an,an1在函数fxx2x的图像上，其中n1,2,3证明数2

列lg1an是等比数列

例12已知数列an满足：a1

求数列an的通项公式； 3nan13,且an(n2,nN*)22an1n1

第三篇：高中《数列》专题复习题

《数列》专题复习题

1．等差数列{an}中，a1=1，a3+a5=14，其前n项和Sn=100，则n=（）

(A)9(B)10(C)11(D)1

22．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S22,S410,则S6等于（）

（A）12（B）18（C）24（D）42

3．已知数列的通项an5n2，则其前n项和Sn．

4．数列{an}的前n项和为Sn，若an

56161，则S5等于（）n(n1)1 30A．1B．C．D．

5．设{an}为公比q>1的等比数列，若a2004和a2005是方程4x28x30的两根，则 a2006a2007__________.6．设等差数列an的公差d不为0，a19d．若ak是a1与a2k的等比中项，则k（）

Ａ．2Ｂ．4Ｃ．6Ｄ．8

7.在数列an中，a12，an14an3n1，nN*．（Ⅰ）证明数列ann是等比数列；

（Ⅱ）求数列an的前n项和Sn；

8.已知实数列{an}是等比数列,其中a71,且a4,a51,a6成等差数列.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;

(Ⅱ)数列{an}的前n项和记为Sn,证明: Sn＜128(n1,2,3,…).9．设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和．已知S37，且a13，3a2，a34构成等差数列．

（1）求数列{an}的等差数列．

（2）令bnlna3n1，n1，求数列{bn}的前n项和T． 2，，10．设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1b11，a3b521，a5b31

3（Ⅰ）求{an}，{bn}的通项公式；（Ⅱ）求数列an的前n项和Sbn．

n

11．数列an的前n项和为Sn，a11，an12Sn(nN*)．（Ⅰ）求数列an的通项an；（Ⅱ）求数列nan的前n项和Tn．答案：

B，C，n(5n1)2，B，-18，B

7.（Ⅰ）证明：由题设an14an3n1，得

an1(n1)4(ann)，nN*．

又a111，所以数列ann是首项为1，且公比为4的等比数列．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知a1nn4n，于是数列an的通项公式为

an

1n．所以数列a项和S4n1n

4n的前nn3n(n1)

．（Ⅲ）证明：对任意的nN*，S4n11(n1)(n2)

4n1n(n1)n14Sn32432 1

(3n2n4)≤0．

所以不等式Sn1≤4Sn，对任意nN*皆成立． 8.解：（Ⅰ）设等比数列an的公比为q(qR)，由a647a1q1，得a1q6，从而a4a1q3q3，a5a1qq2，a56a1qq1． 因为a4，a51，a6成等差数列，所以a4a62(a51)，即q3q12(q21)，q1(q21)2(q21)．

1

所以q1．故aa16qn1641n2n1qnq2

．

1n641

（Ⅱ）San1(1q)1q21nn128112

128．

2aa9．

解：（1）由已知得12a37，:(a13)(a34)

解得a22． 2

3a2.设数列{a}的公比为q，由a，可得a2

n221q，a32q．

又S37，可知222q7，即2q25q20，解得q1q12，q22

．

由题意得q1，q2．a11．故数列{an}的通项为an2n1．（2）由于bnlna3n1，n1，2，，由（1）得a3n123nbnnln233nln2又bn1bn3ln2n{bn}是等差数列．Tnb1b2bn



n(b1bn)



n(3ln23ln2)3n(n1)2ln2.故T3n(n1)

n

ln2．

412dq21，10．解：（Ⅰ）设an的公差为d，则依题意有q0且 bn的公比为q，2

14dq13，解得d2，q2．所以a1n1(n1)d2n1，bnqn2n1．（Ⅱ）

anb2n1

n1． nS352n1

2122n32n22n12

n1，① 2S2352n322n1

n2n32

n2，②

②－①得S22222n21

n2222n22

n1，22121121

n122n22n1

1

22n12n12n3112n162n1． 2

11．解：（Ⅰ）aSn1

n12Sn，Sn1Sn2Sn，S3． n

又S1a11，数列Sn是首项为1，公比为3的等比数列，Sn1n3(nN*)．

当n≥2时，an2Sn123n2(n≥2)，a1，n1，n

3n2，n≥2．（Ⅱ）Tna12a23a3nan，当n1时，T11；

当n≥2时，Tn14306312n3n2，…………①

3T1n34316322n3n，………………………②

①②得：2Tn242(31323n2)2n3n1

23(13n22)

2n3n113

1(12n)3n1．

T12n

n1

2

3n1(n≥2)． 又T1a11也满足上式，T1n1

n

2

3n1(nN*2)．

数列单元复习题

（一）答案

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)

1．C2．A3．D4．B5．C6．C7．A8．B9．B10．B

二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)

11．－9

112．－113．－11014．515．616．9

三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）在等差数列{an}中，a1＝－60，a17＝－12.(1)求通项an；(2)求此数列前30项的绝对值的和.考查等差数列的通项及求和.【解】（1）a17＝a1＋16d，即－12＝－60＋16d，∴d＝3 ∴an＝－60＋3(n－1)＝3n－63.(2)由an≤0，则3n－63≤0n≤21，∴|a1|＋|a2|＋…＋|a30|＝－(a1＋a2＋…＋a21)＋(a22＋a23＋…＋a30)

＝(3＋6＋9＋…＋60）＋（3＋6＋…＋27（3＋60）（3＋27）

2×20＋2 ×9＝765.18．（本小题满分14分）在等差数列{an}中，若a1＝25且S9＝S17，求数列前多少项和最大.考查等差数列的前n项和公式的应用.【解】 ∵S＋9×（9－1）17×（17－1）

9＝S17，a1＝25，∴9×252 d＝17×25＋2d

解得d＝－2，∴S25n＋n（n－1）

2(－2)＝－(n－13)2

n＝＋169.由二次函数性质，故前13项和最大.注：本题还有多种解法.这里仅再列一种.由d＝－2，数列an为递减数列.an＝25＋(n－1)(－2)≥0，即n≤13.5 ∴数列前13项和最大.19．（本小题满分14分）数列通项公式为an＝n2－5n＋4，问

（1）数列中有多少项是负数？（2）n为何值时，an有最小值？并求出最小值.考查数列通项及二次函数性质.【解】（1）由an为负数，得n2－5n＋4<0，解得1

5n＝n2－5n＋42)2－4，∴对称轴为n＝2

＝2.5

又∵n∈N*，故当n＝2或n＝3时，an有最小值，最小值为22－5×2＋4＝－2.20．（本小题满分15分）甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第一分钟走2 m，以后每分钟比前1分钟多走1 m,乙每分钟走5 m.(1)甲、乙开始运动后，几分钟相遇；（2）如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m，乙继续每分钟走5 m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？ 考查等差数列求和及分析解决问题的能力.【解】（1）设n分钟后第1次相遇，依题意得2n＋n（n－1）

2＋5n＝70

整理得：n2＋13n－140＝0，解得：n＝7，n＝－20(舍去）∴第1次相遇在开始运动后7分钟.（2）设n分钟后第2次相遇，依题意有：2n＋n（n－1）＋5n＝3×70

整理得：n2

＋13n－6×70＝0，解得：n＝15或n＝－28(舍去）第2次相遇在开始运动后15分钟.21．（本小题满分15分）已知数列{a的前n项和为S1

n}n，且满足an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2)，a1＝2.证：{1

S}是等差数列；（2）求an表达式；

n

（3）若bn＝2(1－n)an(n≥2)，求证：b22＋b32＋…＋bn2<1.考查数列求和及分析解决问题的能力.【解】（1）∵－an＝2SnSn－1，∴－Sn＋Sn－1＝2SnSn－1(n≥2)S1111

n≠0，∴Sn－Sn－1 ＝2，又S1 ＝a1 ＝2

∴{1

Sn }是以2为首项，公差为2的等差数列.（2）由（11S ＝2＋(n－1)2＝2n，∴S1

n＝n2n

当n≥2时，a1

n＝Sn－Sn－1＝－2n(n－1)

1

（n＝n＝1时，a1

21）1＝S1＝2，∴an＝ 

－1 2n(n－1)

（n≥2）(3)由（2）知b＝1

n＝2(1－n)ann

∴b2＋b2

11111123＋…＋bn22 ＋3＋…＋n 1×2 ＋2×3＋…＋(n－1)n

＝(1111111

2)＋2－3)＋…＋(n－1 －n)＝1－n <1.(1)求

第四篇：高中《数列》专题复习题

《数列》专题复习题

1．等差数列{an}中，a1=1，a3+a5=14，其前n项和Sn=100，则n=（）

(A)9(B)10(C)11(D)12

2．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S22,S410,则S6等于（）

（A）12（B）18（C）24（D）42

3．已知数列的通项an5n2，则其前n项和Sn．

4．数列{an}的前n项和为Sn，若an

A．1B．1，则S5等于（）n(n1)56 C．16 D．1 30

5．设{an}为公比q>1的等比数列，若a2004和a2005是方程4x28x30的两根，则a2006a2007__________.6．设等差数列an的公差d不为0，a19d．若ak是a1与a2k的等比中项，则k（）Ａ．2Ｂ．4Ｃ．6Ｄ．8

*7.在数列an中，a12，an14an3n1，nN．

（Ⅰ）证明数列ann是等比数列；

（Ⅱ）求数列an的前n项和Sn；

（Ⅲ）证明不等式Sn1≤4Sn，对任意nN皆成立．

8.已知实数列{an}是等比数列,其中a71,且a4,a51,a6成等差数列.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;

(Ⅱ)数列{an}的前n项和记为Sn,证明: Sn＜128(n1,2,3,…).*

3a2，a34构成等差数列． 9．设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和．已知S37，且a13，（1）求数列{an}的等差数列．，2，，（2）令bnlna3n1，n1求数列{bn}的前n项和T．

10．设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1b11，a3b521，a5b313

（Ⅰ）求{an}，{bn}的通项公式；（Ⅱ）求数列an的前n项和Sn． bn

*11．数列an的前n项和为Sn，a11，an12Sn(nN)．

（Ⅰ）求数列an的通项an；（Ⅱ）求数列nan的前n项和Tn．

第五篇：高中经典数列习题

4.在等比数列{an}中，已知Sn=3n+b，则b的值为_______．

6.数列{an}中，a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1…是首项为

1、公比为1的等比数列，3则an等于。

3.在等比数列{an}中，已知n∈N*，且a1+a2+…+an=2n－1，那么a12+a22+…+an2等于。

8.已知关于x的二次方程anx2an1x10(nN)的两根,满足

6263，且a11

（1）试用an表示an1（2）求证：{an是等比数列

（3）求数列的通项公式an（4）求数列{an}的前n项和Sn

11.已知数列log2xn是公差为1 的等差数列，数列xn的前100项的和等于100，求数列23xn的前200项的和。

12.设数列{an}的前n项和为Sn，其中an0，a1为常数，且a1、Sn、an1成等差数列．

（Ⅰ）求{an}的通项公式；

（Ⅱ）设bn1Sn，问：是否存在a1，使数列{bn}为等比数列？若存在，求出a1的值； 若不存在，请说明理由．

5.已知函数f(x)cosx,x(

2,3)，若方程f(x)a有三个不同的根，且从小到大依次

331,an2an1an(nN*).222成等比数列，则a=。7．数列{an}满足：a11,a2

（1）记dnan1an，求证：{dn}是等比数列；

（2）求数列{an}的通项公式；

（3）令bn3n2，求数列{anbn}的前n项和Sn。