专题十二

推理与证明

第三十二讲

推理与证明

2019年

1.（2019全国II文5）在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．

甲：我的成绩比乙高．

乙：丙的成绩比我和甲的都高．

丙：我的成绩比乙高．

成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为

A．甲、乙、丙

B．乙、甲、丙

C．丙、乙、甲

D．甲、丙、乙

2010-2018年

一、选择题

1．(2018浙江)已知，，成等比数列，且．若，则

A．，B．，C．，D．，2．(2018北京)设集合则

A．对任意实数，B．对任意实数，C．当且仅当时，D．当且仅当时，3．（2017新课标Ⅱ）甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说，你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩，看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则

A．乙可以知道两人的成绩

B．丁可以知道四人的成绩

C．乙、丁可以知道对方的成绩

D．乙、丁可以知道自己的成绩

4．（2016年浙江）如图，点列分别在某锐角的两边上，且，．

(P≠Q表示点P与Q不重合)，若，为的面积，则

A.是等差数列

B.是等差数列

C.是等差数列

D.是等差数列

5．（2014北京）学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”三种．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”，如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两个学生，那么这组学生最多有

A．人

B．人

C．人

D．人

6．（2014山东）用反证法证明命题“设为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是

A．方程没有实根

B．方程至多有一个实根

C．方程至多有两个实根

D．方程恰好有两个实根

7．（2011江西）观察下列各式:，，则的末四位数字为

A．3125

B．5625

C．0625

D．8125

8．（2010山东）观察，，由归纳推理可得：若定义在上的函数满足，记为的导函数，则=

A．

B．

C．

D．

二、填空题

9．(2018江苏)已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前项和，则使得成立的的最小值为

．

10．（2017北京）某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：

（ⅰ）男学生人数多于女学生人数；

（ⅱ）女学生人数多于教师人数；

（ⅲ）教师人数的两倍多于男学生人数．

①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为__________．

②该小组人数的最小值为__________．

11．（2016年山东）观察下列等式：；

；；

；

……

照此规律，_______．

12．（2016年四川）在平面直角坐标系中，当不是原点时，定义的“伴随点”为，当是原点时，定义的“伴随点”为它自身，现有下列命题：

①若点的“伴随点”是点，则点的“伴随点”是点；

②单元圆上的点的“伴随点”仍在单位圆上；

③若两点关于轴对称，则它们的“伴随点”关于轴对称；

④若三点在同一条直线上，则它们的“伴随点”一定共线；

其中的真命题是

．

13．（2016年全国II卷）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________________.14．（2015陕西）观察下列等式：

1－

1－

1－

……

据此规律，第个等式可为______________________．

15．（2014安徽）如图，在等腰直角三角形中，斜边，过点作的垂线，垂足为；过点

作的垂线，垂足为；过点作的垂线，垂足为；…，依此类推，设，，…，则_____．

16．（2014福建）若集合且下列四个关系：①；②；③；④有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组的个数是____．

17．（2014北京）顾客请一位工艺师把、两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：

工序

时间

原料

粗加工

精加工

原料

原料

则最短交货期为

个工作日．

18．（2014陕西）已知，若，则的表达式为________．

19．（2014陕西）观察分析下表中的数据：

多面体

面数（）

顶点数（）

棱数（）

三棱锥

五棱锥

立方体

猜想一般凸多面体中，所满足的等式是_________．

20．（2013陕西）观察下列等式:

…

照此规律,第n个等式可为

．

21．（2013湖北）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数。如三角形数1，3，6，10，…，第个三角形数为。记第个边形数为，以下列出了部分边形数中第个数的表达式：

三角形数

正方形数

五边形数

六边形数

……

可以推测的表达式，由此计算。

22．（2012陕西）观察下列不等式，……

照此规律，第五个不等式为

．

23．（2012湖南）设，将个数依次放入编号为1,2，…，的个位置，得到排列．将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前和后个位置，得到排列，将此操作称为C变换，将分成两段，每段个数，并对每段作C变换，得到；当时，将分成段，每段个数，并对每段C变换，得到，例如，当=8时，此时位于中的第4个位置.（1）当=16时，位于中的第___个位置；

（2）当（）时，位于中的第___个位置.24．（2011陕西）观察下列等式

1=1

2+3+4=9

3+4+5+6+7=25

4+5+6+7+8+9+10=49

……

照此规律，第个等式为

．

25．（2010浙江）设，将的最小值记为，则，其中=_______．

26．（2010福建）观察下列等式：K^S*5U.C#O

①

cos2=21;

②

cos4=88+

1;

③

cos6=3248+

181;

④

cos8=128256+

16032+

1;

⑤

cos10=1280+

1120++1．

可以推测，=

．

三、解答题

27．(2018江苏)设，对1，2，···，n的一个排列，如果当时，有，则称是排列的一个逆序，排列的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序(2，1)，(3，1)，则排列231的逆序数为2．记为1，2，···，n的所有排列中逆序数为的全部排列的个数．

(1)求的值；

(2)求的表达式(用表示)．

28*．（2017江苏）对于给定的正整数，若数列满足

对任意正整数总成立，则称数列是“数列”．

（1）证明：等差数列是“数列”；

（2）若数列既是“数列”，又是“数列”，证明：是等差数列．

29*．（2017浙江）已知数列满足：，．

证明：当时

（Ⅰ）；

（Ⅱ）；

（Ⅲ）．

*根据亲们所在地区选作，新课标地区（文科）不要求．

专题十二

推理与证明

第三十二讲

推理与证明

答案部分

2019年

1.解析：由题意，可把三人的预测简写如下：

甲：甲乙．

乙：丙乙且丙甲．

丙：丙乙．

因为只有一个人预测正确，如果乙预测正确，则丙预测正确，不符合题意．

如果丙预测正确，假设甲、乙预测不正确，则有丙乙，乙甲，因为乙预测不正确，而丙乙正确，所以只有丙甲不正确，所以甲丙，这与丙乙，乙甲矛盾．不符合题意．

所以只有甲预测正确，乙、丙预测不正确，甲乙，乙丙．

故选A．

2010-2018年

1．B【解析】解法一

因为()，所以，所以，又，所以等比数列的公比．

若，则，而，所以，与矛盾，所以，所以，所以，故选B．

解法二

因为，所以，则，又，所以等比数列的公比．

若，则，而，所以

与矛盾，所以，所以，所以，故选B．

2．D【解析】解法一

点在直线上，表示过定点，斜率为的直线，当时，表示过定点，斜率为的直线，不等式表示的区域包含原点，不等式表示的区域不包含原点．直线与直线互相垂直，显然当直线的斜率时，不等式表示的区域不包含点，故排除A；点与点连线的斜率为，当，即时，表示的区域包含点，此时表示的区域也包含点，故排除B；当直线的斜率，即时，表示的区域不包含点，故排除C，故选D．

解法二

若，则，解得，所以当且仅当时，．故选D．

3．D【解析】由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲、丁一人优秀一人良好，乙看到丙的结果则知道自己的结果，丁看到甲的结果则知道自己的结果，故选D．

4．A【解析】表示点到对面直线的距离（设为）乘以长度一半，即，由题目中条件可知的长度为定值，那么我们需要知道的关系式，过作垂直得到初始距离，那么和两个垂足构成了等腰梯形，那么，其中为两条线的夹角，即为定值，那么，作差后：，都为定值，所以为定值．故选A．

5．B【解析】学生甲比学生乙成绩好，即学生甲两门成绩中一门高过学生乙，另一门不低于学生乙，一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且没有相同的成绩，则存在的情况是，最多有3人，其中一个语文最好，数学最差；另一个语文最差，数学最好；第三个人成绩均为中等．故选B．

6．A【解析】“至少有一个实根”的反面为“没有实根”，故选A．

7．D【解析】∵，，，，∴(,且)的末四位数字呈周期性变化，且最小正周期为4，记(,且)的末四位数字为，则，∴与的末位数字相同，均为8

125，选D．

8．D【解析】由给出的例子可以归纳推理得出：若函数是偶函数，则它的导函数是奇函数，因为定义在上的函数满足，即函数是偶函数，所以它的导函数是奇函数，即有=，故选D。

9．27【解析】所有的正奇数和()按照从小到大的顺序排列构成，在数列

中，前面有16个正奇数，即，．当时，不符合题意；当时，不符合题意；当时，不符合题意；当时，不符合题意；……；当时，=

441

+62=

503<，不符合题意；当时，=484

+62=546>=540，符合题意．故使得成立的的最小值为27．

10．6

12【解析】设男生数，女生数，教师数为，则

①，所以，②当时，，，不存在，不符合题意；

当时，，，不存在，不符合题意；

当时，此时，满足题意．

所以．

11．【解析】通过归纳可得结果为．

12．②③【解析】对于①，令，则其“伴随点”为，而的“伴随点”为，而不是，故错误；对于②设是单位圆上的点，其“伴随点”为，则有，所以，所以②正确；对于③设的“伴随点”为，的“伴随点”

为，易知与关于轴对称，所以③正确；对于④，设原直线的解析式为，其中不同时为0，且为该直线上一点，的“伴随点”为，其中都不是原点，且，则，将代入原直线方程，得，则，由于的值不确定，所以“伴随点”不一定共线，所以④错误．

13．1和3【解析】为方便说明，不妨将分别写有1和2，1和3，2和3的卡片记为A，B，C从丙出发，由于丙的卡片上的数字之和不是5，则丙只可能是卡片A或B，无论是哪一张，均含有数字1，再由乙与丙的卡片上相同的数字不是1可知，乙所拿的卡片必然是C，最后由甲与乙的卡片上相同的数字不是2，知甲所拿的卡片为B，此时丙所拿的卡片为A．

14．．

【解析】观察等式知：第n个等式的左边有个数相加减，奇数项为正，偶数项为负，且分子为1，分母是1到的连续正整数，等式的右边是．

15．【解析】解法一

直接递推归纳；等腰直角三角形中，斜边，所以，，．

解法二

求通向：等腰直角三角形中，斜边，所以，，故=

16．6【解析】因为①正确，②也正确，所以只有①正确是不可能的；若只有②正确，①③④都不正确，则符合条件的有序数组为，；若只有③正确，①②④都不正确，则符合条件的有序数组为；若只有④正确，①②③都不正确，则符合条件的有序数组为，．综上符合条件的有序数组的个数是6．

17．42【解析】先由徒弟粗加一工原料，6天后，师傅开始精加工原料，徒弟同时开始粗加工原料，再9天后（15天后），徒弟粗加工原料完成，此时师傅还在精加工原料，27天后，师傅精加工原料完成，然后接着精加工原料，再15天后，师傅精加工原料完成，整个工作完成，一共需要6

+21+15=

42个工作日．

18．【解析】由，得，可得，故可归纳得．

19．【解析】三棱柱中5

+6-9

=2；五棱锥中6+6

=2；立方体中6+8

=2，由此归纳可得．

20．12－22+32－42+…+n2=·（n∈）

【解析】观察上式等号左边的规律发现，左边的项数一次加1，故第个等式左边有

项，每项所含的底数的绝对值也增加1，一次为1，2，3，…，指数都是2，符号成正负交替出现可以用表示，等式的右边数的绝对值是左边项的底数的和，故等式的右边可以表示为·，所以第个式子可为12－22+32－42+…+=·（∈）．

21．1000【解析】观察和前面的系数，可知一个成递增的等差数列另一个成递减的等差数列，故，22．【解析】观察不等式的左边发现，第个不等式的左边=，右边=，所以第五个不等式为

．

23．（1）6；（2）

【解析】（1）当=16时，可设为，即为，即，位于中的第6个位置；

（2）在中位于两段中第一段的第87个位置，位于奇数位置上，此时在中位于四段中第一段的第44个位置上，再作变换得时，位于八段中第二段的第22个位置上，再作变换时，位于十六段中的第四段的第11个位置上．也就是位于中的第个位置上．

24．【解析】把已知等式与行数对应起来，则每一个等式的左边的式子的第一个数是行数，加数的个数是；等式右边都是完全平方数，行数

等号左边的项数

1=1

2+3+4=9

3+4+5+6+7=25

4+5+6+7+8+9+10=49

……

……

……

所以，即

25．【解析】根据合情推理，利用归纳和类比进行简单的推理，可得=

26．962【解析】观察等式可知，的最高次的系数2,8,32,128构成了公比为4的等比数列，故．取，则，代入等式⑤得，即（1）

取，则，代入等式⑤得

即（2）

联立（1）（2）得，所以=．

27．【解析】(1)记为排列的逆序数，对1，2，3的所有排列，有，所以．

对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置．

因此，．

(2)对一般的的情形，逆序数为0的排列只有一个：，所以．

逆序数为1的排列只能是将排列中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以．

为计算，当1，2，…，n的排列及其逆序数确定后，将添加进原排列，在新排列中的位置只能是最后三个位置．

因此，．

当时，因此，时，．

28．【解析】证明:（1）因为是等差数列，设其公差为，则，从而，当时，所以，因此等差数列是“数列”.（2）数列既是“数列”，又是“数列”，因此，当时，①

当时，.②

由①知，③，④

将③④代入②，得，其中，所以是等差数列，设其公差为.在①中，取，则，所以，在①中，取，则，所以，所以数列是等差数列．

29．【解析】（Ⅰ）用数学归纳法证明：

当时，假设时，那么时，若，则，矛盾，故．

因此

所以

因此

（Ⅱ）由得

记函数

函数在上单调递增，所以=0，因此

故

（Ⅲ）因为

所以得

由得

所以

故

综上，．