第八章

平行线的有关证明

一．知识梳理

1.定义与命题；

定义：一般地，能清楚地规定某一名称或术语意义的句子叫做该名称或术语的定义。

命题：一般地，对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题。

命题可看作由条件(或题设)和结论两部分组成.题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事项.这样的命题可以写成“如果„„那么„„”的形式,其中“如果”开始的部分是条件,”那么”后面是结论。

正确的命题称为真命题,不正确的的命题称为假命题

要说明一个命题是假命题,通常可以举出一个例子,使之具备命题的条件,而不具备命题的结论,这种例子称为反例.2.证明的必要性；

通过猜想并验证活动，我们可以体会到：要判断一个命题是不是真命题，仅仅依靠经验、观察、实验和猜想是不够的，必须一步一步、有根据地进行推理．推理的过程就是证明（proof）．

3.基本事实与定理；

1）.基本事实

我们已经认识了可作为证明出发点和依据的基本事实，其中有八条：

1．两点确定一条直线．

2．两点之间线段最短．

3．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．

4．两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．

5．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．

6．两边及其夹角对应相等的两个三角形全等．

7．两角及其夹边对应相等的两个三角形全等．

8．三边对应相等的两个三角形全等．

此八条基本事实前面已详细探索过，不必验证它们的正确性，可以直接用来证明其他命题的正确性，另外还有一条我们将在以后认识它．此外等式和不等式的有关性质也可看作公理．比如：如果a=b，b=c，那么a=c．

4.平行线的判定定理；

（1）

两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行

（2）

两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行

（3）

两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角相等，那么这两条直线平行。

5.平行线的性质定理；

（1）两直线平行,则同位角相等

（2）两直线平行，则内错角相等

（3）两直线平行，则同胖内角互补

6.三角形内角和定理

三角形的内角和为180°

推论1：

直角三角形的两个锐角互余

推论2：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和

推论3：

三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角

三角形的内角和是外角和的二分之一。三角形内角和等于该三角形的三个内角之和。

二．

题型探究

题型一

定义与命题

1.下列描述不属于定义的是（）

A．两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形

B．正三角形是特殊的等腰三角形

C．在同一平面内三条线段首尾顺次连接得到的图形叫做三角形

D．含有未知数的等式叫做方程

2.下列语句不是命题的为（）

A．同角的余角相等

B．作直线AB的垂线

C．若a-c=b-c，则a=b

D．两条直线相交，只有一个交点

3.命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是（）

A．垂直

B．两条直线

C．同一条直线

D．两条直线垂直于同一条直线

4.下列语句中，属于命题的是（）

A．直线AB和CD垂直吗

B．过线段AB的中点C画AB的垂线

C．同旁内角不互补，两直线不平行

D．连结A，B两点

5.已知下列语句：①天是蓝的；②两点之间线段的长度，叫做这两点间的距离；③是无理数；④对角角相等，其中是定义的有（）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

6.已知下列语句：①平角都相等．②画两个相等的角．③两直线平行，同位角相等．④等于同一个角的两个角相等吗？⑤邻补角的平分线互相垂直．⑥等腰三角形的两个底角相等．其中是命题的有（）

A．2个

B．3个

C．

4个

D．5个

7.下列命题中是真命题的是（）

A．若a2=b2,则a=b

B．锐角和钝角互补

C．两直线相交只有一个交点

D．两个负数之差,仍是负数

8.下列命题中的真命题的个数是（）

①经过两点,有且只有一条直线

②经过一点,有且只有一条直线与已知直线垂直

③经过一点,有且只有一条直线与已知直线平行

④如果一条直线和两条直线中的一条垂直,那么这条直线也和另一条直线垂直

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

题型二

证明的必要性

1、下列结论，你能肯定的是（）

A．今天天晴，明天必然还是晴天

B．三个连续整数的积一定能被6整除

C．小明的数学成绩一向很好，因而后天的竞赛考试中他必然能获得一等奖

D．两张照片看起来完全一样，可以知道这两张必然是同一张底片冲洗出来的2、骑自行车的速度是每小时15千米，骑摩托车的速度每小时40千米，则下列结论中你能肯定的是（）

A．从A地到B地，骑摩托车的人比骑自行车的人一定先到达

B．从A地到B地，骑自行车的人比骑摩托车的人后到达

C．从A地到B地，骑自行车和骑摩托车的不可能同时到达

D．从A地到B地，骑自行车的人有可能比骑摩托车的人先到达

3、下列推理正确的是（）

A．弟弟今年13岁，哥哥比弟弟大6岁，到了明年，哥哥比弟弟只大5岁了，因为弟弟的明年比今年长大了1岁

B．如果a＞b，b＞c，则a＞c

C．∠A与∠B相等，原因是它们看起来大小也差不多

D．因为对顶角必然相等，所以相等角也必是对顶角

4、下列说法正确的是（）

A．经验、观察或实验完全可以判断一个数学结论的正确与否

B．推理是科学家的事，与我们没有多大的关系

C．对于自然数n，n2+n+37一定是质数

D．有10个苹果，将它放进9个筐中，则至少有一个筐中的苹果不少于2个

5、如图，∠1＝60º，∠2＝60º，∠3＝57º，则∠4＝57º，下面是A，B，C，D四个同学的推理过程，你认为推理正确的是（）

A．因为∠1＝60º＝∠2，所以a∥b，所以∠4＝∠3＝57º

B．因为∠4＝57º＝∠3，所以a∥b，故∠1＝∠2＝60º

C．因为∠2＝∠5，又∠1＝60º，∠2＝60º，故∠1＝∠5＝60º，所以a∥b，所以∠4＝∠3＝57º

D．因为∠1＝60º，∠2＝60º，∠3＝57º，所以∠1＝∠3＝∠2－∠4＝60º－57º＝3º，故∠4＝57º

6.下列说法正确的是（）

A．一个锐角的余角一定比这个锐角小

B．一个锐角的余角一定比这个锐角大

C．一个锐角的补角一定比这个锐角大

D．一个钝角的补角一定比这个钝角大

题型三

基本事实与定理

1.下面命题中：

（1）旋转不改变图形的形状和大小

（2）作一个图形的轴对称图形不改变原图形的形状和大小

（3）连接两点的所有线中，线段最短（4）三角形的内角和等于180°

属于公理的有（）

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

2.下面关于公理和定理的联系说法不正确的是（）

A.公理和定理都是真命题

B.公理就是定理，定理也是公理

C.公理和定理都可以作为推理论证的依据

D.公理的正确性不需证明，定理的正确性需证明

3.推理：如图∵

∠AOC=∠BOD，∴∠AOC+∠AOB=∠BOD+∠AOB,这个推理的依据是（）

A.等量加等量和相等

B.等量减等量差相等

C.等量代换

D.整体大于部分

4.推理：如图：∵∠A=∠ACD,∠B=∠BCD,（已知）

∴AD=CD,CD=DB（等腰三角形的性质）

∴AD=DB（）

括号里应填的依据是（）

A.旋转不改变图形的大小

B.连接两点的所有线中线段最短

C.等量代换

D.整体大于部分

题型四

平行线的判定定理

1．如图，直线都与直线c相交，给出下列条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠6；③∠4＋∠7＝180°；④∠5＋∠8＝180°．其中能判断a∥b的条件是（）

A．①③

B．②④

C．③④

D．①②③④

2．如图，直线被直线所截，若，则（）

A．

B．

C．

D．

3.如图，∠1＝∠2，则下列结论正确的是（）

A、AD∥BC

B、AB∥CD

C、AD∥EF

D、EF∥BC

（第3题）

（第4题）

4.如图，下列说法错误的是（）

A、∵∠1＝∠2，∴∥

B、∵∠3＝∠4，∴∥

C、∵∠1＝∠3，∴∥

D、∵∠2＝∠3，∴∥

5.如图所示，已知直线BF、CD相交于点O，∠D＝40°，下面判定两条直线平行正确的是（）

A、当∠C＝40°时，AB∥CD

B、当∠A＝40°时，AC∥DE

C、当∠E＝120°时，CD∥EF

D、当∠BOC＝140°时，BF∥DE

（第5题）

题型五

平行线的性质定理

1.下列命题的结论不成立的是（）

A.两直线平行,同位角相等

B.两直线平行,内错角相等

C.两直线平行,同旁内角互补

D.两直线平行,同旁内角相等

2.如图1,直线a∥b,∠1=60°,则∠2=（）

A.60°

B.120°

C.150°

D.100°

(1)

(2)

(3)

(4)

3.如图2,在△ABC中,DE∥BC,∠A=55°,∠B=70°,则∠AED=（）

A.55°

B.70°

C.125°

D.50°

4.如图3,已知AE∥BC,∠1=∠2则下列结论不成立的是（）

A.∠B=∠C

B.∠1+∠2=∠B+∠C；

C.∠1=∠BAC

D.∠1=∠2=∠B=∠C

5.一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角（）

A.相等

B.互补

C.相等或互补

D.不能确定

6.如图4,AB∥CD,∠B=135°,∠D=150°,则∠P=

（）

A.45°

B.30°

C.75°

D.80°

题型六

三角形内角和定理

1．根据下列条件，求中，的大小：

（1）；（2）；

（3）；（4）．

2．（1）一个直角三角形的两个锐角相等，这两个锐角各多少度？

（2）一个直角三角形的两个锐角中，一个角是另一个角的2倍，这两个锐角各多少度？

3．已知：如图，求的度数．

4．已知：如图，AD是的角平分线，求各内角的度数．

5．如图，已知，垂足是D．

（1）有什么关系？

（2）有什么关系？为什么？不是相等？为什么？

6.如图，于D，AE平分，求的度数．

综合训练

1.下列语言是命题的是（）

A.画两条相等的线段

B.等于同一个角的两个角相等吗？

C.延长线段AO到C，使OC=OA

D.两直线平行，内错角相等.图6－80

2.如图6－80，△ABC中，∠B=55°,∠C=63°,DE∥AB,则∠DEC等于（）

A.63°

B.62°

C.55°

D.118°

3.下列语句错误的是（）

A.同角的补角相等

B.同位角相等

C.同垂直于一条直线的两直线平行

D.两条直线相交只有一个交点

4.如图所示，AB//CD，_____________。

5.一个三角形三个内角的比是1：2：3，那么这个三角形是____________三角形。

6.一个三角形的三个外角的度数比为2：3：4，则与此对应的三个内角的比为__________。7.如图所示，在△ABC中，BF平分，CF平分，则_______________。

8.如图所示，AB//CD，___________。

9.如图所示，1=2，AE//BC，求证：△ABC是等腰三角形。

10.如图所示，BF//DE，1=2，求证：GF//BC。