第8章 一元一次不等式

8.1 认识不等式

学习目标：

1.了解不等式及其解集的概念，能用不等式表示一些不等关系；

2.通过独立思考，小组交流，感受不等式在实际生活中的应用，体会数形结合的思想；

3.激情投入，善于发现问题和提出问题，感受学习数学的乐趣.重点：不等式及不等式的解.难点：将自然语言转化为符号语言.自主学习

一、知识链接

1.等式、方程、方程的解的定义是什么？

2.x大于3，a小于5怎么用不等号表示？

二、新知预习

1.什么是不等式？

用不等号表示的不等关系的式子，叫做不等式。

什么是不等式的解？如何判断一些数是不是不等式的解？

3.如何列不等式表示不等关系？

我的疑惑

合作探究

一、要点探究

探究点1：从实际问题到不等式的概念

小丽今年8岁，小雯今年x岁，小雯比小丽小，那么x____8；一本笔记本原价为y元，买两本或两本以上可以享受优惠价，小虎买两个笔记本花了5元钱，那么2y____5．

问题1：上面列的两个式子是等式吗？

问题2：“5＜8”表示什么意思？“x＜8”呢？

问题3：类比等式的概念，回答：什么是不等式？不等式中是否必须含有未知数？

练一练：判断下列式子是否为不等式：

（1）0＞-3；（2）4x+3y＜0；（3）x=3；（4）x2+xy+y2；（5）a≠5；（6）m+2＞n+5．

要点归纳：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式．除了“＜”或“＞”之外，数学里表示不等关系的常用符号还有“≠”“≤”和“≥”．

探究点2：用不等式表示数量关系

典例精析

例1.用不等式表示下列数量关系：

（1）x的5倍大于-7；

（2）a与b的和的一半小于-1；

（3）长、宽分别为x cm，y cm的长方形的面积小于边长为a cm的正方形的面积.例2.已知一支圆珠笔x元，签字笔与圆珠笔相比每支贵y元.小华想要买3支圆珠笔和10支签字笔，若付50元仍找回若干元，则如何用含x，y的不等式来表示小华所需支付的金额与50元之间的关系？

要点归纳：列不等式和列方程的步骤基本相同，只不过这里要找的是不等关系．

探究点3：不等式的解及其判定方法

问题1：你能找出使不等式x+2>4成立的x的值吗？有几个？

问题2：什么是不等式的解？

练一练：判断下列数中哪些是不等式的解：60，73，74.9，75.1，76，79，80，90.你还能找出这个不等式的其他解吗？

二、课堂小结

不等式的概念

不等式的解及其判定方法

当堂检测

1.老师在黑板上写了下列式子：①x-1≥1；②-2＜0；③x≠3；④x+2；⑤x-y=0；⑥x+2y≤0．你认为其中是不等式的有（）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

2.下列哪个不是不等式5x-3<6的解（）

A.1 B.2 C.-1 D.-2

3.用“＞”或“＜”填空：5×（-2）____（-19）÷2，a2+1____0．

4.一瓶饮料净重360g，瓶上标有“蛋白质含量≥0.5%”，设该瓶饮料中蛋白质的含量为x g，则x ____1.8

5.用不等式表示下列数量关系：

（1）a是正数；

（2）x比-3小；

（3）两数m与n的差大于5.参考答案

一、知识链接

1.含有等号的式子叫做等式；

含有未知数的等式叫做方程；

使方程两边左右相等的未知数的值叫做方程的解.2.x＞3 a＜5

二、新知预习

1.用不等号表示的不等关系的式子，叫做不等式.2.能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.将给定的数代入不等式中进行检验，看左右两边是否满足不等关系.3.根据题目中的已知条件，找出隐含的不等关系，用不等号来表示.一、要点探究

探究点1：从实际问题到不等式的概念

＜ ＞

问题1：不是

问题2：

5＜8”表示5比8小，“x＜8”表示未知数x比8小

问题3：

用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式.不是.练一练：

（1）是（2）是（3）不是（4）不是（5）是（6）是

探究点2：用不等式表示数量关系

典例精析

例1.（1）5x＞-7；（2）（a+b）＜-1；（3）xy＜a2

例2.解： 3x+10(x+y)＜50

探究点3：不等式的解及其判定方法

问题1：x可以为3，4,5,6等等，有无数个

问题2：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.练一练：

解： 75.1，76，79，80，90.如92,93,94.........二、课堂小结

不等式的概念

用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式.

不等式的解及其判定方法

能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.

将给定的数代入不等式中进行检验，看左边是否满足不等关系.

当堂检测

C 2.B 3.＜ ＞ 4.≥ 5.（1）a＞0.（2）x＜-3.（3）m-n＞5.第8章 一元一次不等式

8.2 解一元一次不等式

8.2.1 不等式的解集

学习目标：1.理解不等式的解集，感受生活中存在大量的不等关系，提升符号感和数学建模能力；

2.通过独立思考，小组交流，探究用数轴表示不等式解集的方法，体会数形结合的思想；

3.激情投入，善于发现问题和提出问题，感受学习数学的乐趣.重点：不等式的解集及其在数轴上的表示方法.难点：理解不等式的解与解集的区别及解集的数轴表示法.自主学习

一、知识链接

1.什么叫不等式的解？

2.怎样画数轴？数轴与有理数有什么关系？如何用数轴比较两个有理数的大小？

二、新知预习

1.类比解方程，什么叫解不等式？如何用式子表示不等式的解集？

2.如何用数轴表示不等式的解集？需要注意哪些地方？

三、我的疑惑

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

合作探究

一、要点探究

探究点1：不等式的解集和解不等式的定义

问题1：你能找出使不等式x+3>8成立的x的值吗？有几个？

问题2：什么是不等式的解集？它与不等式的解有何区别与联系？

练一练：判断下表中的x值哪些是不等式2x+5＜9的解，是的填“是”，不是填“否”.你还能找出这个不等式的其他解吗？这个不等式一共有多少个解？你能根据表格中的规律写出它的解集吗？

x

2.1

1.9

1.8

2x+5＜9

要点归纳：一个不等式的所有解组成的集合，就是不等式的解集．求不等式的解集的过程，叫做解不等式．

探究点2：在数轴上表示不等式的解集

问题1：如何在数轴上表示大于某数？如x＞2如何表示？

要点归纳：（1）解集的表示方法：①代数法：用最简形式的不等式（如x＞a或x＜a，a为常数）来表示；②几何法：用数轴表示，一般标出数轴上某一区间，其中所包含的所有点对应的数值都是不等式的解；

（2）用数轴表示不等式的解集的步骤：画数轴→定界点→定方向，注意界点要明确标明实心还是空心.典例精析

例3.直接写出x+4≤6的解集，并在数轴上表示出来．

二、课堂小结

不等式的解集的定义

不等式的解集的两种表示法

当堂检测

1.下列关于不等式的解和解集的说法中错误的是（）

A．不等式x＜2有唯一的正整数解 B．不等式2x-1≥0的解集中包含了1

C．不等式的解集是不等式的解的简称 D．不等式x≤1.2的解有无数个

2.在数轴上表示某不等式的的解集x＞，正确的是（）

3.如图所示的解集表示的是（）

A．x＞2 B．x≥2 C．x＜2 D．x≤2

4.在数轴上表示下列不等式：

（1）x＞-3．（2）x≤1.5．

参考答案

自主学习

一、知识链接

1.能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.2.略.二、新知预习

1.求不等式解集的过程叫做解不等式.2先解不等式 ,然后在数轴上找到解出的边界点，如果有等号边界点用实心点，没有等号就用空心点.若是X小于某数字，解集就在点的左侧，用线画出该区域。若是X大于某数字，解集就在点的右侧，这样就表示出来了.一、要点探究

探究点1：

问题1：能，有无数个.问题2：一个不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合,叫做这个不等式的解集.满足不等关系的值都是不等式的解，可能有多个。而不等式的解集是所有这些解的集合.练一练：

x

2.1

1.9

1.8

2x+5＜9

否

否

否

否

否

是

是

是

探究点2：

问题1：先把坐标轴画出来，标好原点,正方向及刻度，在坐标轴上找到对应的数值.例如本题中的数字2，向右画一条线就是我们所要求得的区域.典例精析

例3.解：由题意可知,x≤2.在数轴上表示略.二、课堂小结

不等式的解集的定义

一个不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合,叫做这个不等式的解集.

不等式的解集的两种表示法

代数法

几何法

当堂检测

1.C． 2.A 3.D 4 解：（1）如图所示．

（2）如图所示．

第8章 一元一次不等式

8.2 解一元一次不等式

8.2.2 不等式的简单变形

学习目标：1．熟练掌握不等式的性质1、2、3，并能运用它们来对不等式进行简单的变形．

2．通过独立思考，小组合作以及自己的操作，感受不等式是刻画现实世界的有效模型．

3．激情投入，用心感受生活中无处不在的数学．

重点：不等式的性质1、2、3．

难点：不等式的性质3．

自主学习

一、知识链接

1．等式有哪些基本性质？

什么是不等式？

二、新知预习

1．不等式的性质1：不等式两边都加上（或减去），不等号的方向 ．即：如果a＞b，那么a+c b+c，a-c b-c．

2．不等式的性质2：不等式的两边都乘以（或都除以）同一个，不等号的方向 ．即：如果a＞b，并且c＞0，那么ac bc，．

3．不等式的性质3：不等式的两边都乘以（或都除以）同一个，不等号的方向 ．即：如果a＞b，并且c＜0，那么ac bc，或．

三、自学自测

1．用“＞”或“＜”填空：

（1）已知a＞b，则a+3 b+3，a+x b+x；

（2）已知a＞b，则a-3 b-3，a-x b-x；

（3）已知a＞b，则3a 3b；

（4）已知a＞b，则-3a-3b．

2．已知a＞b，下列各式中，错误的是（）

A．a+6＞b+6 B．2a ＞2b

C．-a＜-b D．5-a＞5-b

四、我的疑惑

_____________________________________________________________________________________________________________________________________

合作探究

一、要点探究

探究点1：不等式的性质1

问题1：比较-3与-5的大小．

问题2：-3+2-5+2；-3-2-5-2．

问题3：由问题2，你能得到什么结论？

问题4：3 5；3+a 5+a；3-a 5-a．

问题5：由问题4，你能得到什么结论？

问题6：根据以上探究，你能得出不等式有什么性质？

典例精析

例1．用“＞”或“＜”填空，并说明是根据不等式的哪一条性质：

（1）若x＋3＞6，则x____3，根据______________；

（2）若a-2＜3，则a____5，根据______________．

探究点2：不等式的性质2、3

问题1：比较-4与6的大小．

-4＜6

问题2：-4×2_____6×2；-4÷2_____6÷2．

问题3：由问题2，你能得到什么结论？

问题4：4-8；4×（-4）-8×（-4）；4÷（-4）-8÷（-4）．

问题5：由问题4，你能得到什么结论？

问题6：如何用符号语言表示问题3和问题5中得到的结论？

典例精析

例2．用“＞”或“＜”填空：

（1）已知 a＞b，则3a 3b；

（2）已知 a＞b，则-a-b；

（3）已知 a＜b，则

例3．如果不等式(a＋1)x＜a＋1可变形为 x＞1，那么a 必须满足________．

方法总结：当不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数时，不等号的方向改变．

针对训练

1．设a＞b，用“＜”或“＞”填空，并写出根据不等式的哪一条性质得到．

（1）a-7____b-7，根据______________；

（2）a÷6__＞__b÷6，根据_____________；

（3）0.1a____0.1b，根据_____________；

（4）-4a____-4b，根据______________________；

（5）2a+3___2b+3，根据______和___________；

（6）(m2+1)a____(m2+1)b（m为常数），根据_________________；

2．已知a＜0，用“＜”或“＞”填空：

（1）a+2 ____2；（2）a-1 ____-1；（3）3a____0；（4）

____0；

（5）a2____0；（6）a3____0；（7）a-1____0；（8）-a___0．

探究点3：利用不等式的性质解简单的不等式

典例精析

例4．解不等式：

（1）x+4＜-5；（2）6x＞5x-6；（3）

x＜2；（4）-4x＜8．

思考：对以上不等式进行变形时，分别用到性质几？要注意什么问题？

二、课堂小结

不等式的性质

性质1

性质2

性质3

利用不等式的性质将不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式（解不等式）

当堂检测

1．已知a＜b，用“＞”或“＜”填空：

（1）a +12 b +12；

（2）b-10 a-10．

2．利用不等式的性质解不等式：

（1）5＞3+x；

3．（2）2x＜x+6．

4．利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示其解集．

（1）x-5＞-1；

（2）-2x＞3；

（3）7x≤6x-6．

参考答案

自主学习

一、知识链接

1.

2.用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式.二、新知预习

1.同一个数或同一个整式 不变 ＞ ＞正数 不变 ＞ ＞

3负数 改变 ＜ ＜

三、自学自测

1．（1）＞ ＞（2）＞ ＞（3）＞（4）＜ 2．D

一、要点探究

探究点1：

问题1： 解：-3＞-5

问题2：＞ ＞

问题3：不等式的两边同时加上或者减去同一个常数，不等号的方向不变.问题4：＞ ＞ ＞

问题5：不等式的两边同时加上或者减去同一个整式，不等号的方向不变.问题6：不等式的两边同时加上或者减去同一个整式，不等号的方向不变.典例精析

（1）＞ 等式的性质1（2）＜ 等式的性质1

探究点2：

问题1：-4＜6

问题2： ＜ ＜

问题3：不等式的两边都乘以或除以同一个正数不等号的方向不变.问题4：＞ ＜ ＜

问题5： 不等式的两边分别都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变.问题6：

不等号的左右两边分别同时乘以或除以同一个正数时，不等号的方向不变；不等号的左右两边分别同时乘以或除以同一个负数时，不等号的方向改变。

典例精析

例2．（1）＞（2）＞（3）＞

例3．a＜-1

针对训练

1．（1）＞ 不等式的性质1（2）＞ 不等式的性质2（3）＞ 不 等式的性质2

（4）＜ 不等式的性质3（5）＞ 不等式的性质1 不等式的性质2（6）＞ 不等式的性质2

2．（1）＜（2）＜（3）＜（4）＞（5）＞（6）＜（7）＜（8）＞

探究点3：

典例精析

例4．（1）解：x＜-9（2）解：x＞-6（3）解： x＜6（4）解： x＞-2

二、课堂小结

不等式的性质

性质1

不等式的两边同时加上或者同时减去同一个数，不等号的方向不变.

性质2

不等式的两边同时乘以或者同时除以同一个不为0的数，不等号的方向不变.

性质3

不等式的两边同时乘以或者同时除以一个负数，不等号的方向改变.

利用不等式的性质将不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式（解不等式）

当堂检测

1．（1）＜（2）＞ 2．（1）解：x＜2.（2）解：x＜6.3,解：（1）x＞4（2）x＜-（3）x≤-6, 在数轴上表示略.第8章 一元一次不等式

8.2 解一元一次不等式

8.2.3 解一元一次不等式

第2课时 一元一次不等式的实际应用

学习目标：1．会用一元一次不等式解决简单的实际问题，提高解决实际问题的能力；

2．通过独立思考及小组合作，感知方程与不等式的内在联系和方程都是刻画现实世界数量关系的重要模型；

3．激情投入，善于发现问题和提出问题，感受学习数学的乐趣．

重点：一元一次不等式在实际问题中的应用．

难点：在实际问题中建立一元一次不等式的数量关系．

自主学习

一、知识链接

1．一元一次不等式是怎样定义的？

2．简述一元一次不等式的解法（步骤）．

3．利用一元一次方程解决实际问题的步骤是什么？

二、新知预习

1．“至少”的意思是什么？用不等号怎样表示？“至多”呢？“不多于”“不少于”“超过”呢？

2．利用一元一次不等式解决实际问题时，题目中一般会出现什么样的字眼？

3．利用一元一次不等式解决实际问题的步骤是怎样的？

三、我的疑惑

________________________________________________________________________________________________________________________________________________

合作探究

一、要点探究

探究点1：一元一次不等式的特殊解

例1 已知方程ax+14=0的解是x=2，求关于x不等式（a+1）x＞－12的解集，并在数轴上表示出来，其中正整数解有哪些？

方法总结：求不等式的特殊解，先要准确求出不等式的解集，然后确定特殊解．在确定特殊解时，一定要注意是否包括端点的值，一般可以结合数轴，形象直观，一目了然．

针对训练：

a≥1的最小正整数解是m，b≤8的最大正整数解是n，求关于x的不等式(m+n)x＞18的解集．

2、若不等式的最大整数解为方程2x-ax=3的解，求a的值．

方法总结：已知解集求字母系数的值，通常是先解含有字母的不等式，再利用解集的唯一性列方程求字母的值．解题过程体现了方程的思想．

探究点2：一元一次不等式的应用

实例 小华打算在星期天与同学去登山，计划上午7点出发，到达山顶后休息2 h，下午4点以前必须回到出发点。如果他们上山的平均速度是3 km/h，下山的平均速度是4 km/h，他们最远能登上哪座山的山顶（图中数字表示出发点到山顶的路程）？

问题1：写出本题中涉及的等量关系是__________________________________________．

问题2：根据不等关系列出的不等式的解集一定是该实际问题的的解吗？

问题3：解决本题的问题．

.典例精析

例2 某童装店按每套90元的价格购进40套童装，应缴纳的税费为销售额的10%．如果要获得不低于900元的纯利润，每套童装的售价至少是多少元？

本题涉及的数量关系是，然后解答．

例3 当一个人坐下时，不宜提举超过4.5 kg的重物，以免受伤．小明坐在书桌前，桌上有两本各重1.2 kg的画册和一批每本重0.4 kg的记事本.如果小明想坐着拿起这两本画册和一些记事本．问他最多只应拿多少本记事本？

针对训练：

1．小明家每月水费都不少于15元，自来水公司的收费标准如下：若每户每月用水不超过5立方米，则每立方米收费1.8元；若每户每月用水超过5立方米，则超出部分每立方米收费2元.小明家每月用水量至少是多少？

2．甲、乙两超市以同样价格出售同样的商品，但是给出了不同的优惠方案：在甲超市累计购物超过100元后，超出100元的部分按90%收费；在乙超市累计购物超过50元后，超出50元的部分按95%收费.顾客到哪家超市购物花费少？

课堂小结

一元一次不等式的应用

步骤：实际问题→

根据题意列不等式→

解一元一次不等式→

根据实际问题找出符合条件的解集或整数解→

得出解决问题的答案

当堂检测

1．当x取什么值时，代数式x+2的值大于或等于0？并求出所有满足条件的正整数．

2．小明家的客厅长5 m，宽4 m．现在想购买边长为60 cm的正方形地板砖把地面铺满，至少需要购买多少块这样的地板砖？

3．一次环保知识竞赛共有25道题，规定答对一道题得4分，答错或不答一道题扣1分．在这次竞赛中，小明被评为优秀（85分或85分以上），小明至少答对了几道题？

4．某市打市内电话的收费标准是：每次3 min以内（含3 min）0.28元，以后每分钟0.11元（不足1 min部分按1 min计）．小琴一天在家里给同学打了一次市内电话，所用电话费没超过0.5元．她最多打了几分钟的电话？

5．某汽车租赁公司要购买轿车和面包车共10辆，其中轿车至少要购买3辆，轿车每辆7万元，面包车每辆4万元，公司可投入的购车款不超过55万元．

(1)符合公司要求的购买方案有哪几种？请说明理由．

(2)如果每辆轿车的日租金为200元，每辆面包车的日租金为110元，假设新购买的这10辆车每日都可租出，要使这10辆车的日租金收入不低于1500元，那么应选择以上哪种购买方案？

参考答案

自主学习

一、知识链接

1.只含有一个未知数,并且含未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1，像这样的不等式叫做一元一次不等式。

2.去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1.3.设未知数 分析题意 列方程 解方程 检验 作答

二、新知预习

1.至少表示最低不能低于某个参照标准，用大于等于表示。至多表示最多不能超过某个标准，用小于等于表示。不多于用小于等于表示，不少于用大于等于表示，超过用大于表示。

至少 至多 不多于 不少于 超过 和一元一次方程一样 设未知数 分析题意 列方程 解方程 检验 作答

一、要点探究

探究点1：

例1 解： 因为x=2是方程ax+14=0的解，所以a=-7，将a=-7代入（a+1）y＞－12中，得y＜2。正数解为1

针对训练：

1.解：由题意可以m=1，n=8，将m=1，n=8代入(m+n)x＞18中，得x＞2.2.【答案】解：解不等式，得x＜2，∴不等式最大整数解为1．把x=1代入方程2x-ax=3得2-a=3，解得a=-1．

探究点2：

问题1：山时间+山顶休息时间+下山时间＜7小时_

问题2：不一定可能只是一个取值范围

问题3：解:设山峰的高度为x m,则有，解得x≤.所以最远能够登上D山顶.典例精析

例2

售价-进价-税费≥ 90

解：设每套童装的售价为x元。则有(x-90)×40-40x×10%≥900 ,解得x≥125.每套童装的售价至少是125元.例3 解：设她最多应搬动x本记事本，则有1.2×2+0.4x≤4.5,解得x≤5.25.因为x为整数，所以x=5.答他最多只应搬动5本记事本。

针对训练：1、解：设小明家每月用水量为x立方米。1.8×5+(x-5)×2≥15,解得x≥8.答小明家每月用水量至少是8立方米。

2．解：设累计购物x元.当x≤50时，两家不享受优惠。当50＜x≤100时，在乙超市享受优惠。当x＞100时，甲超市：100+(x-100)×90%.乙超市：50+（x-50）×95%.当100+(x-100)×90%＞50+（x-50）×95%时，x＜150.当100+(x-100)×90%＜50+（x-50）×95%时，x＞150.当100+(x-100)×90%=50+（x-50）×95%时，x=150.综上所述，当 100 ＜ x＜150时，选择乙超市，当x＜150，选择甲超市。当x=150时，甲.乙两超市均可。

当堂检测

1．解：令x+2≥0，解得x≤6.所以满足条件的正整数有1,2,3,4,5,6.2.解：设至少需要购买这样的地板砖x块.5 m=500 cm,4 m=400 cm.由题意可得，500 ×400≤60×60×x.解得

x≥.答至少需要56块这样的地板砖.3.解：设小明至少答对了x道题。4x-(25-x)≥85,解得x≥22.答小明至少答对了22道题.4.解：设她最多打了x分钟.0.28+（x-3）×0.11≤0.5，解得x≤5,答她最多打了5分钟.5.解：（1）设轿车购买x辆，面包车购买（10-x）辆.则有：7x+4×（10-x）≤55，解得x≤5.又因为x≥3，则

x=3，4,5.所以购车方案共用三种。方案一：轿车3辆，面包车7辆.方案二：轿车4辆，面包车6辆.方案三：轿车5辆，面包车5辆.（2）方案一的日租金：3×200+7×110=1370（元）

方案二的日租金：4×200+6×110=1460（元）

方案三的日租金：5×200+5×110=1550（元）答：为了保证日租金不低于1500元，应选择方案三.第8章 一元一次不等式

8.3 一元一次不等式组

第1课时 一元一次不等式组的相关概念及简单的不等式组的解法

学习目标：1．理解一元一次不等式组的概念，会解两个一元一次不等式组成的简单的不等式组，并会用数轴表示解集，提高归纳推理能力；

2．通过独立思考及小组合作，总结不等式组的解法，进一步体会数形结合思想；

3．激情投入，全力以赴，享受学习成功的快乐．

重点：掌握一元一次不等式组的解法．

难点：借助数轴写一元一次不等式组的解集．

自主学习

一、知识链接

1．什么是一元一次不等式？

2．解一元一次不等式的步骤是怎样的？

3．在数轴上表示一元一次不等式解集的方法是什么？

二、新知预习

1．什么是一元一次不等式组？

2．解一元一次不等式组的步骤是什么？

三、自学自测

下列各选项中是一元一次不等式组的是（）

A． B． C． D．

四、我的疑惑

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

合作探究

一、要点探究

探究点1：一元一次不等式组的概念

情境：一个长方形足球场的宽为70 m，如果它的周长大于350 m，面积小于7630 m2，求这个足球场的长的取值范围，并判断这个足球场是否可以进行国际足球比赛（注：用于国际足球比赛的足球场的长在100至110 m之间，宽在64至75 m之间）．

问题1：如果设足球场的长为x m，那么它的周长就是 m，面积为 m2．根据已知条件，我们知道x的取值范围要使 和 _______ 这两个不等式同时成立．

问题2：将问题1中得到的两个一元一次不等式用“”联立起来，便组成一元一次不等式组 ．

问题3：问题2中的一元一次不等式组的解集与问题1中的两个一元一次不等式的解集有何关系？

要点归纳：不等式组中几个不等式解集的__________叫做这个不等式组的解集．

想一想：判断下列不等式组是否为一元一次不等式组：

探究点2：一元一次不等式组的解集表示

问题1：通常我们运用数轴表示不等式的解集，那么我们能用它直接表示不等式组的解集吗？

试一试：用数轴表示不等式组的解集．

问题2：借助数轴分析：解含两个一元一次不等式的不等式组，在取解集的公共部分时，可能存在哪些不同的情况?

探究点3：简单的一元一次不等式组的解法

典例精析

例1.解不等式组

并借助数轴写出它的解集．

例2．已知不等式组的解集为-1＜x＜2，则(a+1)(b-1)的值为多少?

二、课堂小结

一元一次不等式组

一元一次不等式组的概念

未知数x同时满足两个一元一次不等式，并将这两个一元一次不等式合起来就得到了一个一元一次不等式组.

一元一次不等式组的解集表示

不等式组中几个不等式的解集的公共部分，叫做这个不等式组的解集.

一元一次不等式组的解法

和一元一次方程的解法一样

当堂检测

1．下列选项中是一元一次不等式组的是（）

A．

2．选择下列不等式组的正确解集：

（1）

（2）

（3）

（4）（）A．x＜-1 B．x≥2 C．-1＜x≥2 D．无解

3．解下列不等式组，并在数轴上表示其解集：

（1）（2）（3）（4）

参考答案

自主学习

一、知识链接

1.只含有一个未知数,并且含未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1，像这样的不等式叫做一元一次不等式.2.去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1

3.略.二、新知预习

1.未知量x应同时满足两个一元一次不等式，我们把两个一元一次不等式合在一起，就得到一个一元一次不等式组。

2.解一元一次方程组，通常可以先分别求出不等式组中，每一个不等式的解集，再求出他们的公共部分.三、自学自测

D

合作探究

一、要点探究

探究点1：

问题1 2（70+x）70x 2（70+x）70x

问题2 略.问题3： 问题2中的一元一次不等式组的解集是问题1中的两个一元一次不等式的解集的公共部分.想一想 解：（1）和（3）不是，（2）和（4）是.探究点2：

问题1：解 略.问题2：无解和有解。

探究点3：

典例精析

解：此方程无解.例2

解：此方程组得到x＜a+1和x＞3+2b.根据题意可知，a+1=2，3+2b=-1，解得a=1，b=-2.将a=1，b=-2代入(a+1)(b-1)，得-6.当堂检测

1．D

2．（1）B（2）A（3）C（4）D

解：（1）3＜x＜6（2）x≥4（3）无解（4）x＜-2,在数轴上表示略.第8章 一元一次不等式

8.3 一元一次不等式组

第2课时 较复杂的不等式组的解法

学习目标：1．会解较复杂的一元一次不等式组，并会用数轴表示解集，提高归纳推理能力；

2．通过独立思考及小组合作，总结不等式组的解法，进一步掌握数形结合思想；

3．激情投入，全力以赴，享受学习成功的快乐．

重点：较复杂的一元一次不等式组的解法．

难点：去括号、去分母和系数化为1．

自主学习

一、知识链接

1．不等式的性质是什么？

2．解一元一次不等式组的一般步骤是什么？

怎样用数轴表示一元一次不等式组的解集？

二、新知预习

1．解一元一次不等式组时去括号和去分母要注意什么？

2．一元一次不等式组一定有解吗？请举例说明．

三、自学自测

解不等式组并在数轴上表示其解集．

四、我的疑惑

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

合作探究

一、要点探究

探究点1：解较复杂的一元一次不等式组

典例精析

例1．解不等式组

并在数轴上表示其解集．

例2．解不等式组并在数轴上表示其解集．

方法总结：（1）几个注意点：①去括号时要注意括号外的因数的符号；②去分母时要注意常数不要漏乘各个分母的最小公倍数；③系数化为1时，如果两边同时乘以或除以一个负数，不等号要改变方向；（2）写不等式解集的技巧：借助数轴可以很方便的看出不等式组的解集，也可直接依据口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”写出解集．

探究点2：一元一次不等式组的应用

情境：3个小组计划在10天内生产500件产品（每天生产量相同），按原来的生产速度，不能完成任务；如果每个小组每天比原来多生产1件产品，就能提前完成任务．问每个小组原来每天生产多少件产品？

问题1：本题中给出的是等量关系还是不等关系？有几个？

问题2：设每个小组原来每天生产x件产品，那么你能列出哪些关系式？

问题3：根据你列出的关系式解决本题．

归纳总结：列一元一次不等式组解决实际问题的一般步骤：（1）审题；（2）找不等关系，并设出未知数；（3）根据不等关系列不等式组；（4）解不等式组；（5）检验；（6）作答．

典例精析

用若干辆载重量为8 t的汽车运一批货物，若每辆汽车只装4 t，则剩下20 t货物；若每辆汽车装满8 t，则最后一辆汽车不满也不空．请你算一算：有多少辆汽车运这批货物？

二、课堂小结

一元一次不等式组

解较复杂的一元一次不等式组的注意点

1.去分母时，注意各项都要乘以分母的最小公倍数 ；2.移项时，注意改变被移项的符号；3.不等式两边同除以负数，注意不等号要改变方向；4.用数轴表示不等式的解集，要注意实点还是虚点；5.去括号时，注意观察不等式的特点灵活操作

写不等式的解集的技巧

列一元一次不等式组的解应用题的一般步骤

当堂检测

1．解不等式组：

（1）（2）（3）

2．x取哪些整数值时，不等式2-x≥0与都成立？

3．把一篮苹果分给几个学生，若每人分4个，则剩余3个；若每人分6个，则最后一个学生最多分2个．求学生人数和苹果数分别是多少？

4．某校今年冬季烧煤取暖时间为4个月．如果每月比计划多烧5吨煤，那么取暖用煤量将超过100吨；如果每月比计划少烧5吨煤，那么取暖用煤总量不足68吨．若设该校计划每月烧煤 x吨，求x的取值范围．

【拓展题】已知方程组的解x，y的值都是正数，且x＜y，求 m的取值范围．解得：

参考答案

自主学习

一、知识链接

1．略.2.略.3．略.二、新知预习

1．去括号时，如果括号前面的系数是负数，那么去掉括号后，原来括号里面的数要进行变号.去分母时,要记得将分母的每一项都乘以它的最小公倍数。

2．不一定，比如

画出的两条线没有公共部分；从不等式组的解集的定义上看，根本找不到既

三、自学自测

解：

一、要点探究

探究点1

典例精析

例1．x＜-3.在数轴上画图略.例2．-2< x<6 在数轴上画图略.探究点2

问题1：不等关系，有2个。

问题2：3×10x＜500；3×10(x+1)＞500

问题3：

解得：＜x＜，因为x是整数，所以x=16.

典例精析

解：设有x辆车，则有（4x+20）吨货物．

由题意，得0＜（4x+20）-8（x-1）＜8，解得：5＜x＜7．

因为x为正整数，

所以x=6．

答：有6辆汽车．

当堂检测

1．解：（1）解不等式①得x≥-1，解不等式②得x＜3，所以不等式组的解集为-1≤x＜3．

（2）解不等式①得x≤1，解不等式②得x＜4，所以不等式组的解集为x≤1．

（3）解不等式①得x＞，解不等式②得x≥3，所以原不等式组的解集为x≥3．

2．解：联立方程组，

解得：-3＜x≤2，

所以x的整数解为-2，-1，0，1,2.3．解：设学生有x人，则苹果有（4x+3）个.

依题意得，解得：3.5≤x≤4.5，

因为

【拓展题】解：方程组解得：，根据题意得：且2m-1＜m+8，解得：＜m＜9．