下载文档2021年高中数学人教A版（新教材）选择性必修第二册5.3.2 第2课时 函数的最大(小)值（一）
一、选择题
1．已知函数f
(x)，g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f
′(x)＜g′(x)，则f
(x)－g(x)的最大值为()
A．f
(a)－g(a)
B．f
(b)－g(b)
C．f
(a)－g(b)
D．f
(b)－g(a)
2．已知函数f
(x)＝x3－12x＋8在区间[－3，3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m的值为()
A．16
B．12
C．32
D．6
3．已知f
(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2，2]上有最大值为3，那么此函数在[－2，2]上的最小值为()
A．0
B．－5
C．－10
D．－37
4．函数f
(x)＝x3－3x在区间(－2，m)上有最大值，则m的取值范围是()
A．(－1，＋∞)
B．(－1，1]
C．(－1，2)
D．(－1，2]
5．若函数f
(x)＝2x3－6x2＋3－a对任意的x∈(－2，2)都有f
(x)≤0，则a的取值范围为()
A．(－∞，3)
B．(2，＋∞)
C．[3，＋∞)
D．(0，3)
6．(多选题)若函数f
(x)＝3x－x3在区间(a2－12，a)上有最小值，则实数a的可能取值是()
A．0
B．1
C．2
D．3
7．(多选题)设函数f
(x)＝，则下列说法正确的是()
A．x∈(0，1)时，f
(x)图象位于x轴下方
B．f
(x)存在单调递增区间
C．f
(x)有且仅有两个极值点
D．f
(x)在区间(1，2)上有最大值
二、填空题
8．函数f
(x)＝x－ln
x在区间(0，e]上的最小值为________．
9．若函数f
(x)＝(a＞0)在[1，＋∞)上的最大值为，则a的值为________．
10．已知函数f
(x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是________．
11．已知函数f
(x)＝2x2－ln
x若f
′(x0)＝3，则x0＝________，若在其定义域的一个子区间(k－1，k＋1)内存在最小值，则实数k的取值范围是________．
12．已知函数f
(x)＝x3－x2＋6x＋a，若∃x0∈[－1，4]，使f
(x0)＝2a成立，则实数a的取值范围是________．
三、解答题
13．已知函数f
(x)＝x3－3ax＋2，曲线y＝f
(x)在x＝1处的切线方程为3x＋y＋m＝0.(1)求实数a，m的值；
(2)求f
(x)在区间[1，2]上的最值．
14．已知函数f
(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a.(1)求f
(x)的单调递减区间；
(2)若f
(x)≥2
020对于∀x∈[－2，2]恒成立，求a的取值范围．
15．已知函数f
(x)＝aex－ln
x－1.(1)设x＝2是f
(x)的极值点，求a，并求f
(x)的单调区间；
(2)证明：当a≥时，f
(x)≥0.参考答案
一、选择题
1．答案：A
解析：令F
(x)＝f
(x)－g(x)，则F
′(x)＝f
′(x)－g′(x)，又f
′(x)＜g′(x)，故F
′(x)＜0，∴F
(x)在[a，b]上单调递减，∴F
(x)max≤F
(a)＝f
(a)－g(a)．]
2．答案：C
解析：∵f
′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)，由f
(－3)＝17，f
(3)＝－1，f
(－2)＝24，f
(2)＝－8，可知M－m＝24－(－8)＝32.3．
答案：D
解析：因为f
(x)＝2x3－6x2＋m，所以f
′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，可以得到函数在[－2，0]上是增函数，在[0，2]上是减函数，所以当x＝0时，f
(x)＝m为最大值，所以m＝3，即f
(x)＝2x3－6x2＋3，所以f
(－2)＝2×(－8)－6×4＋3＝－37，f
(2)＝－5，所以最小值是－37，故选D.4．
答案：D
解析：由于f
′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，故函数在(－∞，－1)和(1，＋∞)上递增，在(－1，1)上递减，f
(－1)＝f
(2)＝2，画出函数图象如图所示，由于函数在区间(－2，m)上有最大值，根据图象可知m∈(xB，xA]，即m∈(－1，2]，故选D.5．
解析：C
解析：f
(x)＝2x3－6x2＋3－a，f
′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，令f
′(x)＝0，得x＝0，或x＝2.在(－2，0)上f
′(x)＞0，f
(x)单调递增；在(0，2)上f
′(x)＜0，f
(x)单调递减，所以f
(x)max＝f
(0)＝3－a.因为对任意的x∈(－2，2)都有f
(x)≤0，所以f
(x)max＝3－a≤0，得a≥3.故选C.6．
答案：ABC
解析：由f
′(x)＝3－3x2＝0，得x＝±1.当x变化时，f
′(x)及f
(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1，1)
(1，＋∞)
f
′(x)
－
0
＋
0
－
f
(x)
↘
－2
↗
↘
由此得a2－12＜－1＜a，解得－1＜a＜.又当x∈(1，＋∞)时，f
(x)单调递减，且当x＝2时，f
(x)＝－2，∴a≤2.综上，－1＜a≤2.故选ABC.7．
答案：AB
解析：由f
(x)＝，当x∈(0，1)时，ln
x＜0，∴f
(x)＜0，所以f
(x)在(0，1)上的图象都在x轴的下方，所以A正确；
因为f
′(x)＞0在定义域上有解，所以函数f
(x)存在单调递增区间，所以B是正确的；
由g(x)＝ln
x－，则g′(x)＝＋(x＞0)，所以g′(x)＞0，函数g(x)单调递增，则函数f
′(x)＝0只有一个根x0，使得f
′(x0)＝0，当x∈(0，x0)时，f
′(x)＜0，函数单调递减，当x∈(x0，＋∞)时，函数单调递增，所以函数只有一个极小值，所以C不正确；
由g(x)＝ln
x－，则g′(x)＝＋(x＞0)，所以g′(x)＞0，函数g(x)单调递增，且g(1)＝－1＜0，g(2)＝ln
2－＞0，所以函数在(1，2)先减后增，没有最大值，所以D不正确，故选AB.二、填空题
8．答案：1
解析：f
′(x)＝1－，令f
′(x)＝0，得x＝1.当x∈(0，1)时，f
′(x)＜0；当x∈(1，e]时，f
′(x)＞0，∴当x＝1时，f
(x)有极小值，也是最小值，最小值为f
(1)＝1.9.答案：－1
解析：f
′(x)＝＝，令f
′(x)＝0，得x＝(x＝－舍去)，若x＝时，f
(x)取最大值，则f
(x)max＝＝，＝＜1，不符合题意；
若f
(x)max＝f
(1)＝＝，则a＝－1，符合题意．
10．答案：(－∞，2ln
2－2]
解析：函数f
(x)＝ex－2x＋a有零点，即方程ex－2x＋a＝0有实根，即函数g(x)＝2x－ex，y＝a有交点，而g′(x)＝2－ex，易知函数g(x)＝2x－ex在(－∞，ln
2)上递增，在(ln
2，＋∞)上递减，因而g(x)＝2x－ex的值域为(－∞，2ln
2－2]，所以要使函数g(x)＝2x－ex，y＝a有交点，只需a≤2ln
2－2即可．
11.答案：1
解析：∵函数f
(x)＝2x2－ln
x，x∈(0，＋∞)，∴f
′(x)＝4x－＝，由f
′(x0)＝3，x0＞0，解得x0＝1.令f
′(x)＝0得x＝，当0＜x＜时，f
′(x)＜0，当x＞时，f
′(x)＞0，所以当x＝时，f
(x)取得极小值，由题意可知：解得1≤k＜，∴实数k的取值范围是：1≤k＜，即k∈.12.答案：
解析：∵f
(x0)＝2a，即x－x＋6x0＋a＝2a，可化为x－x＋6x0＝a，设g(x)＝x3－x2＋6x，则g′(x)＝3x2－9x＋6＝3(x－1)(x－2)＝0，得x＝1或x＝2.∴g(1)＝，g(2)＝2，g(－1)＝－，g(4)＝16，由题意，g(x)min≤a≤g(x)max，∴－≤a≤16.三、解答题
13．解：(1)f
′(x)＝3x2－3a，∵曲线f
(x)＝x3－3ax＋2在x＝1处的切线方程为3x＋y＋m＝0，∴解得a＝2，m＝0.(2)由(1)知，f
(x)＝x3－6x＋2，则f
′(x)＝3x2－6，令f
′(x)＝0，解得x＝±，∴f
(x)在[1，)上单调递减，在(，2]上单调递增，又f
(1)＝1－6＋2＝－3，f
(2)＝23－6×2＋2＝－2，f
()＝()3－6×＋2＝2－4，∴f
(x)在区间[1，2]上的最大值为－2，最小值为2－4.14．解：(1)f
′(x)＝－3x2＋6x＋9.由f
′(x)<0，得x<－1或x>3，所以函数f
(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)．
(2)由f
′(x)＝0，－2≤x≤2，得x＝－1.因为f
(－2)＝2＋a，f
(2)＝22＋a，f
(－1)＝－5＋a，故当－2≤x≤2时，f
(x)min＝－5＋a.要使f
(x)≥2
020对于∀x∈[－2，2]恒成立，只需f
(x)min＝－5＋a≥2
020，解得a≥2
025.15．解：(1)f
(x)的定义域为(0，＋∞)，f
′(x)＝aex－.由题设知，f
′(2)＝0，所以a＝.从而f
(x)＝ex－ln
x－1，f
′(x)＝ex－.当0 ′(x)<0；当x>2时，f ′(x)>0.所以f (x)在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增． (2)证明：当a≥时，f (x)≥－ln x－1.设g(x)＝－ln x－1，则g′(x)＝－.当0 故当x>0时，g(x)≥g(1)＝0.因此，当a≥时，f (x)≥0.
