专题六

数列

第十五讲

等差数列

2019年

1.（2019全国Ⅰ文18）记Sn为等差数列的前n项和，已知．

（1）若，求的通项公式；

（2）若，求使得的n的取值范围．

2.（2019全国Ⅲ文14）记Sn为等差数列{an}的前n项和，若，则___________.3.（2019天津文18）设是等差数列，是等比数列，公比大于，已知，.（Ⅰ）求和的通项公式；

（Ⅱ）设数列满足求.4.（2019江苏8）已知数列是等差数列，是其前n项和.若，则的值是

.2010-2018年

一、选择题

1．（2017浙江）已知等差数列的公差为，前项和为，则“”

是“”的A．

充分不必要条件

B．

必要不充分条件

C．

充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

2．（2015新课标2）设是数列的前项和，若，则

A．5

B．7

C．9

D．1

3．（2015新课标1）已知是公差为1的等差数列，为的前项和，若，则

A．

B．

C．

D．

4．（2014辽宁）设等差数列的公差为，若数列为递减数列，则

A．

B．

C．

D．

5．（2014福建）等差数列的前项和，若，则

A．8

B．10

C．12

D．14

6．（2014重庆）在等差数列中，则

A．

B．

C．

D．

7．（2013新课标1）设等差数列的前n项和为，＝－2，＝0，＝3，则＝

A．3

B．4

C．5

D．6

8．（2013辽宁）下面是关于公差的等差数列的四个命题：

其中的真命题为

A．

B．

C．

D．

9．（2012福建）等差数列中，,，则数列的公差为

A．1

B．2

C．3

D．4

10．（2012辽宁）在等差数列中，已知，则该数列前11项和

A．58

B．88

C．143

D．176

11．（2011江西）设为等差数列，公差,为其前n项和，若，则

A．18

B．20

C．22

D．24

12．（2011安徽）若数列的通项公式是

A．15

B．12

C．

D．

13．（2011天津）已知为等差数列，其公差为2，且是与的等比中项，为的前项和，则的值为

A．－110

B．－90

C．90

D．110

14．（2010安徽）设数列的前项和，则的值为

A．15

B．16

C．49

D．64

二、填空题

15．（2015陕西）中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为_____．

16．（2014北京）若等差数列满足，则当____时，的前项和最大．

17．（2014江西）在等差数列中，公差为，前项和为，当且仅当时取最大值，则的取值范围_________．

18．（2013新课标2）等差数列的前项和为，已知，则的最小值为____．

19．（2013广东）在等差数列中,已知,则_____．

20．（2012北京）已知为等差数列，为其前项和．若，则

；=

．

21．（2012江西）设数列都是等差数列，若，则____．

22．（2012广东）已知递增的等差数列满足，则=____．

23．（2011广东）等差数列前9项的和等于前4项的和．若，则=_________．

三、解答题

24．（2018全国卷Ⅱ）记为等差数列的前项和，已知，．

(1)求的通项公式；

(2)求，并求的最小值．

25．（2018北京）设是等差数列，且．

(1)求的通项公式；

(2)求．

26．（2017天津）已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，，．

（Ⅰ）求和的通项公式；

（Ⅱ）求数列的前n项和．

27．（2017江苏）对于给定的正整数，若数列满足

对任意正整数总成立，则称数列是“数列”．

（1）证明：等差数列是“数列”；

（2）若数列既是“数列”，又是“数列”，证明：是等差数列．

28．（2016年北京）已知是等差数列，是等差数列，且，，．

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）设，求数列的前项和．

29．（2016年山东）已知数列的前n项和，是等差数列，且.（I）求数列的通项公式；

（II）令.求数列的前n项和．

30．（2015福建）等差数列中，．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，求的值．

31．（2015山东）已知数列是首项为正数的等差数列，数列的前项和为．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，求数列的前项和．

32．（2015北京）已知等差数列满足，．

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）设等比数列满足，．问：与数列的第几项相等？

33．（2014新课标1）已知是递增的等差数列，是方程的根．

(Ⅰ)求的通项公式；

（Ⅱ）求数列的前项和．

34．(2014新课标1)已知数列{}的前项和为，=1，，其中为常数．

(Ⅰ)证明：；

（Ⅱ）是否存在，使得{}为等差数列？并说明理由．

35．（2014浙江）已知等差数列的公差，设的前n项和为，（Ⅰ）求及；

（Ⅱ）求（）的值，使得．

36．（2013新课标1）已知等差数列的前项和满足，．

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）求数列的前项和．

37．（2013福建）已知等差数列的公差，前项和为．

（Ⅰ）若成等比数列，求；

（Ⅱ）若，求的取值范围．

38．（2013新课标2）已知等差数列的公差不为零，且成等比数列．

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）求．

39．（2013山东）设等差数列的前项和为，且，（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设数列的前项和,且（λ为常数），令（）．求数列的前项和．

40．（2011福建）已知等差数列中，=1，．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）若数列的前项和，求的值．

41．（2010浙江）设，为实数，首项为，公差为的等差数列的前项和为，满足+15=0．

（Ⅰ）若=5，求及；

（Ⅱ）求的取值范围．

专题六

数列

第十五讲

等差数列

答案部分

1.解析（1）设的公差为d．

由得．

由a3=4得．

于是．

因此的通项公式为．

（2）由（1）得，故.由知，故等价于，解得．

所以n的取值范围是．

2.解析

在等差数列中，由，得，所以，则．

3.解析（Ⅰ）设等差数列的公差为，等比数列的公比为依题意，得，解得，故，.所以，的通项公式为，的通项公式

为.（Ⅱ）

.①，②

②-①得，故.所以，.4.解析

设等差数列的首项为，公差为，则，解得．

所以.2010-2018年

1．C【解析】∵，当，可得；

当，可得．所以“”是“”

充分必要条件，选C．

2．A【解析】，．故选A．

3．B【解析】设等差数列的首项为，公差为，由题设知，所以，解得，所以．

4．C【解析】∵数列为递减数列，等式右边为关于的一次函数，∴．

5．C【解析】

设等差数列的公差为，则，所以，解得，所以．

6．B【解析】由等差数列的性质得，因为，所以，选B．

7．C【解析】有题意知==0，∴=－=－（-）=－2，=

-=3，∴公差=-=1，∴3==－，∴=5，故选C．

8．D【解析】设，所以正确；如果则满足已知，但并非递增所以错；如果若，则满足已知，但，是递减数列，所以错；，所以是递增数列，正确．

9．B【解析】由题意有，又∵，∴，∴．

10．B【解析】，而，故选B.11．B【解析】由，得，．

12．A【解析】

．

13．D【解析】因为是与的等比中项，所以，又数列的公差为-2，所以，解得，故，所以．

14．A【解析】．

15．5【解析】设该数列的首项为，由等差数列的性质知，所以．

16．8【解析】∵数列是等差数列，且，．又，∴．当=8时，其前项和最大．

17．【解析】由题意可知，当且仅当时取最大值，可得，解得．

18．－49【解析】设的首项为，公差，由，得，解得，∴，设，当时，当，由，当时，当时，∴时，取得最小值．

19．20【解析】

依题意，所以．

或：

20．1，【解析】设公差为d,则,把代入得，∴，=

21．35【解析】（解法一）因为数列都是等差数列，所以数列也是等差数列．故由等差中项的性质，得，即，解得．

（解法二）设数列的公差分别为,因为

所以.所以.22．【解析】

．

23．10【解析】设的公差为，由及，得，所以．又，所以，即．

24．【解析】(1)设的公差为，由题意得．

由得．

所以的通项公式为．

(2)由(1)得．

所以当时，取得最小值，最小值为−16．

25．【解析】(1)设等差数列的公差为，∵，∴，又，∴．

∴．

(2)由(1)知，∵，∴是以2为首项，2为公比的等比数列．

∴

．

∴．

26．【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差为，等比数列的公比为．

由已知，得，而，所以．

又因为，解得．所以，．

由，可得．由，可得，联立①②，解得，由此可得．

所以，的通项公式为，的通项公式为．

（Ⅱ）解：设数列的前项和为，由，有，上述两式相减，得

．

得．

所以，数列的前项和为．

27．【解析】证明:（1）因为是等差数列，设其公差为，则，从而，当时，所以，因此等差数列是“数列”.（2）数列既是“数列”，又是“数列”，因此，当时，①

当时，.②

由①知，③，④

将③④代入②，得，其中，所以是等差数列，设其公差为.在①中，取，则，所以，在①中，取，则，所以，所以数列是等差数列.28．【解析】（I）等比数列的公比，所以，．

设等差数列的公差为．

因为，所以，即．

所以（，，）．

（II）由（I）知，．

因此．从而数列的前项和

．

29．【解析】（Ⅰ）由题意当时，当时，；所以；设数列的公差为，由，即，解之得，所以．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，又，即，所以，以上两式两边相减得

．

所以．

30．【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差为．

由已知得，解得．

所以．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，所以

（1+2+3+……+10）

．

31．【解析】（Ⅰ）设数列的公差为，令，得，所以．

令，得，所以．

解得，所以．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知所以

所以

两式相减，得

所以

32．【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差为．因为，所以．

又因为，所以，故．

所以．

（Ⅱ）设等比数列的公比为．因为，所以，．所以．

由128=得．所以与数列的第63项相等．

33．【解析】(Ⅰ)方程的两根为2,3，由题意得

设数列的公差为，则故从而

所以的通项公式为．

（Ⅱ）设的前n项和为，由（I）知则

两式相减得

所以．

34．【解析】(Ⅰ)由题设，两式相减得

由于，所以

（Ⅱ）由题设，，可得

由(Ⅰ)知，令，解得

故，由此可得

是首项为1，公差为4的等差数列，；

是首项为3，公差为4的等差数列，.所以，.因此存在，使得数列为等差数列．

35．【解析】（Ⅰ）由题意，将代入上式得或，因为，所以，从而，（）.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以，由知，所以，所以.36．【解析】（Ⅰ）设的公差为，则=。

由已知可得

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

从而数列.37．【解析】（Ⅰ）因为数列的公差，且成等比数列，所以，即，解得或．

（Ⅱ）因为数列的公差，且，所以；

即，解得

38．【解析】（Ⅰ）设的公差为，由题意，即

于是

所以（舍去），故

（Ⅱ）令．

由（Ⅰ）知，所以是首项为25，公差为-6的等差数列，从而

．

39．【解析】（Ⅰ）设等差数列的首项为，公差为，由，得，解得，因此

（Ⅱ）由题意知：

所以时，故，所以，则

两式相减得

整理得

所以数列的前项和

40．【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差为，则

由

解得=－2．

从而，（Ⅱ）由（I）可知，所以

进而由

即，解得

又为所求．

41．【解析】(Ⅰ)由题意知==－3,=－8．

所以解得=7，所以=－3，=7，（Ⅱ）解：因为+15=0，所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0，即2a12+9da1+10d2+1=0．

故(4a1+9d)2=d2－8．所以d2≥8．

故d的取值范围为d≤－2或d≥2．