选修2-2

1.3.1

函数的单调性与导数

一、选择题

1．设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a>0)，则f(x)为R上增函数的充要条件是()

A．b2－4ac>0

B．b>0，c>0

C．b＝0，c>0

D．b2－3ac<0

[答案]　D

[解析]　∵a>0，f(x)为增函数，∴f′(x)＝3ax2＋2bx＋c>0恒成立，∴Δ＝(2b)2－4×3a×c＝4b2－12ac<0，∴b2－3ac<0.2．(202_·广东文，8)函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是()

A．(－∞，2)

B．(0,3)

C．(1,4)

D．(2，＋∞)

[答案]　D

[解析]　考查导数的简单应用．

f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，令f′(x)>0，解得x>2，故选D.3．已知函数y＝f(x)(x∈R)上任一点(x0，f(x0))处的切线斜率k＝(x0－2)(x0＋1)2，则该函数的单调递减区间为()

A．[－1，＋∞)

B．(－∞，2]

C．(－∞，－1)和(1,2)

D．[2，＋∞)

[答案]　B

[解析]　令k≤0得x0≤2，由导数的几何意义可知，函数的单调减区间为(－∞，2]．

4．已知函数y＝xf′(x)的图象如图(1)所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，y＝f(x)的图象大致是()

[答案]　C

[解析]　当0

∴f′(x)<0，故y＝f(x)在(0,1)上为减函数

当x>1时xf′(x)>0，∴f′(x)>0，故y＝f(x)在(1，＋∞)上为增函数，因此否定A、B、D故选C.5．函数y＝xsinx＋cosx，x∈(－π，π)的单调增区间是()

A.和

B.和

C.和

D.和

[答案]　A

[解析]　y′＝xcosx，当－π0，当00，∴y′＝xcosx>0.6．下列命题成立的是()

A．若f(x)在(a，b)内是增函数，则对任何x∈(a，b)，都有f′(x)>0

B．若在(a，b)内对任何x都有f′(x)>0，则f(x)在(a，b)上是增函数

C．若f(x)在(a，b)内是单调函数，则f′(x)必存在D．若f′(x)在(a，b)上都存在，则f(x)必为单调函数

[答案]　B

[解析]　若f(x)在(a，b)内是增函数，则f′(x)≥0，故A错；f(x)在(a，b)内是单调函数与f′(x)是否存在无必然联系，故C错；f(x)＝2在(a，b)上的导数为f′(x)＝0存在，但f(x)无单调性，故D错．

7．(202_·福建理，11)已知对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x>0时，f′(x)>0，g′(x)>0，则x<0时()

A．f′(x)>0，g′(x)>0

B．f′(x)>0，g′(x)<0

C．f′(x)<0，g′(x)>0

D．f′(x)<0，g′(x)<0

[答案]　B

[解析]　f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，奇(偶)函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同(反)，∴x<0时，f′(x)>0，g′(x)<0.8．f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)≤0，对任意正数a、b，若a

A．af(a)≤f(b)

B．bf(b)≤f(a)

C．af(b)≤bf(a)

D．bf(a)≤af(b)

[答案]　C

[解析]　∵xf′(x)＋f(x)≤0，且x>0，f(x)≥0，∴f′(x)≤－，即f(x)在(0，＋∞)上是减函数，又0＜a＜b，∴af(b)≤bf(a)．

9．对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1)f′(x)≥0，则必有()

A．f(0)＋f(2)<2f(1)

B．f(0)＋f(2)≤2f(1)

C．f(0)＋f(2)≥2f(1)

D．f(0)＋f(2)>2f(1)

[答案]　C

[解析]　由(x－1)f′(x)≥0得f(x)在[1，＋∞)上单调递增，在(－∞，1]上单调递减或f(x)恒为常数，故f(0)＋f(2)≥2f(1)．故应选C.10．(202_·江西理，12)如图，一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S(t)(S(0)＝0)，则导函数y＝S′(t)的图像大致为

()

[答案]　A

[解析]　由图象知，五角星露出水面的面积的变化率是增→减→增→减，其中恰露出一个角时变化不连续，故选A.二、填空题

11．已知y＝x3＋bx2＋(b＋2)x＋3在R上不是单调增函数，则b的范围为________．

[答案]　b<－1或b>2

[解析]　若y′＝x2＋2bx＋b＋2≥0恒成立，则Δ＝4b2－4(b＋2)≤0，∴－1≤b≤2，由题意b＜－1或b＞2.12．已知函数f(x)＝ax－lnx，若f(x)＞1在区间(1，＋∞)内恒成立，实数a的取值范围为________．

[答案]　a≥1

[解析]　由已知a＞在区间(1，＋∞)内恒成立．

设g(x)＝，则g′(x)＝－＜0(x＞1)，∴g(x)＝在区间(1，＋∞)内单调递减，∴g(x)＜g(1)，∵g(1)＝1，∴＜1在区间(1，＋∞)内恒成立，∴a≥1.13．函数y＝ln(x2－x－2)的单调递减区间为__________．

[答案](－∞，－1)

[解析]　函数y＝ln(x2－x－2)的定义域为(2，＋∞)∪(－∞，－1)，令f(x)＝x2－x－2，f′(x)＝2x－1<0，得x<，∴函数y＝ln(x2－x－2)的单调减区间为(－∞，－1)．

14．若函数y＝x3－ax2＋4在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围是____________．

[答案]　[3，＋∞)

[解析]　y′＝3x2－2ax，由题意知3x2－2ax<0在区间(0,2)内恒成立，即a>x在区间(0,2)上恒成立，∴a≥3.三、解答题

15．设函数f(x)＝x3－3ax2＋3bx的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)．

(1)求a、b的值；

(2)讨论函数f(x)的单调性．

[解析](1)求导得f′(x)＝3x2－6ax＋3b.由于f(x)的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)，所以f(1)＝－11，f′(1)＝－12，即，解得a＝1，b＝－3.(2)由a＝1，b＝－3得

f′(x)＝3x2－6ax＋3b＝3(x2－2x－3)

＝3(x＋1)(x－3)．

令f′(x)>0，解得x<－1或x>3；又令f′(x)<0，解得－1

当x∈(3，＋∞)时，f(x)也是增函数；

当x∈(－1,3)时，f(x)是减函数．

16．求证：方程x－sinx＝0只有一个根x＝0.[证明]　设f(x)＝x－sinx，x∈(－∞，＋∞)，则f′(x)＝1－cosx＞0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上是单调递增函数．

而当x＝0时，f(x)＝0，∴方程x－sinx＝0有唯一的根x＝0.17．已知函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，试确定函数y＝ax3＋bx2＋5的单调区间．

[分析]　可先由函数y＝ax与y＝－的单调性确定a、b的取值范围，再根据a、b的取值范围去确定y＝ax3＋bx2＋5的单调区间．

[解析]　∵函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，∴a＜0，b＜0.由y＝ax3＋bx2＋5得y′＝3ax2＋2bx.令y′＞0，得3ax2＋2bx＞0，∴－＜x＜0.∴当x∈时，函数为增函数．

令y′＜0，即3ax2＋2bx＜0，∴x＜－，或x＞0.∴在，(0，＋∞)上时，函数为减函数．

18．(202_·新课标全国文，21)设函数f(x)＝x(ex－1)－ax2.(1)若a＝，求f(x)的单调区间；

(2)若当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围．

[解析](1)a＝时，f(x)＝x(ex－1)－x2，f′(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)(x＋1)．

当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0；当x∈(－1,0)时，f′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.故f(x)在(－∞，－1]，[0，＋∞)上单调递增，在[－1,0]上单调递减．

(2)f(x)＝x(ex－1－ax)．

令g(x)＝ex－1－ax，则g′(x)＝ex－a.若a≤1，则当x∈(0，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)为增函数，而g(0)＝0，从而当x≥0时g(x)≥0，即f(x)≥0.当a>1，则当x∈(0，lna)时，g′(x)<0，g(x)为减函数，而g(0)＝0，从而当x∈(0，lna)时g(x)<0，即f(x)<0.综合得a的取值范围为(－∞，1]．