第一篇：弹性力学论文

弹性力学论文

钢2混凝土组合扁梁受力性能的有限

元分析

西安工业大学 建筑工程系 050705124 周博超

钢2混凝土组合扁梁受力性能的有限元分析

周博超

摘要: 钢2混凝土组合扁梁是将钢梁内嵌于混凝土之中的新型组合梁, 它能最大限度地降低结构的高度, 形成类似“无梁楼盖”的结构体系, 已在住宅钢结构中推广应用, 其承载性能和设计方法研究引起了结构工程界的关注.本文采用通用有限元程序AN SYS 研究了组合扁梁的承载力问题, 通过建模计算了简支组合扁梁、悬臂组合扁梁和框架组合扁梁的承载力和变形特征, 得到了相应的荷载2位移过程曲线, 并与组合扁梁的试验结果进行了比较, 验证了计算结果的正确性.关键词: 组合扁梁;极限承载力;有限元在多层钢结构建筑, 特别是住宅钢结构中, 钢2 混凝土组合扁梁楼盖已成为深受欢迎的楼盖体系,实现了“无梁楼盖”建筑效果.组合扁梁是一种新型结构体系, 受力性能比较特殊, 目前尚无成熟的分析和设计方法, 本文采用有限元方法对这种新型组合梁的受力性能和破坏过程进行了模拟, 并与试验结果进行了比较, 得到了对设计和应用组合扁梁具有重要参考意义的结论.1 组合扁梁结构

普通钢2混凝土组合梁充分利用了材料的特性, 混凝土楼板搁置在钢梁的上翼缘, 通过栓钉将钢梁和混凝土楼板连成整体而共同工作, 混凝土受压, 钢梁受拉, 如图1.为了进一步减小梁高, 组合扁梁将混凝土楼板放在了钢梁的下翼缘, 看上去类似“无梁楼盖”, 它充分考虑了楼盖对梁刚度的加强作用, 如图2.组合扁梁楼盖可由钢梁与预制混凝土空心楼板或深肋压型钢板楼板组成, 横向钢筋和钢丝网是为了保证在扁梁达到强度极限状态之前不发生混凝土板纵向剪切破坏, 剪力连接件保证混凝土板与钢梁共同工作[ 1 ].图1 普通组合梁

图2 组合扁梁

与其它组合梁相比, 组合扁梁楼盖的下表面平整, 一般不需要做吊顶, 便于房间的灵活布置及自由分隔, 同时降低了结构高度, 提高了结构的抗火能力.这种新型组合梁在工程上已开始应用, 需要对其分析和设计方法进行深入研究[ 223 ].2 有限元模型和计算参数 2.1 混凝土开裂的模拟

AN SYS 可以处理混凝土结构的配筋、开裂和压溃等复杂问题, 本文分析主要用到AN SYS 提供的线单元和块单元两种类型: L IN K8, SOL ID45和SOL ID65.L IN K8 单元模拟钢筋的受力情况;SOL ID45单元模拟钢梁的受力情况;SOL ID65单元用于模拟混凝土模型.建模时, 忽略钢梁与混凝土之间的滑移, 钢梁与混凝土之间连接采用共用节点以使其变形协调.试验结果也表明对于组合扁梁,钢与混凝土之间的滑移对其刚度和承载力影响很小, 可以忽略[ 4 ].混凝土的抗拉强度低, 在加载初期就要开裂,能否正确地模拟混凝土的开裂是计算结果是否准确的关键.本文采用单元的“死活”概念来模拟混凝土的开裂, 其基本思想是如果混凝土开裂, 假设其对结构的刚度和承载力的贡献可以忽略, 在建模计算时, 将这些单元“杀死”.由于事先不知道哪些单元应该“杀死”, 所以结构分析的有限元模型的单元是不确定的, 是动态的, 随其受力状态而改变.在计算分析中, 根据AN SYS 计算出来的应力和应变, 把满足开裂条件的单元“杀死”, 让其退出工作, 然后按新的模型重新计算, 如此反复迭代, 直到相邻两次迭代结果相差在可接受的范围内即可停止计算.2.2 网格的划分 本模型所有的实体单元均为8节点的长方块,便于分层, 这样模拟混凝土开裂的效果比较自由网格的三角形单元要好的多, 也更接近混凝土开裂的实际情况, 采用“M erge”或“Glue”等命令把模型各部分连成空间的一个整体, 保证单元之间的位移协调.2.3 边界条件的处理

边界条件一般有三种: 简支端、自由端和固支端.简支端约束边界上节点所有的平动自由度;固支端约束住边界上节点所有的平动自由度和转动自由度;对于自由端, 让边界截面上所有节点的变形满足平截面假定, 采用约束方程实现, 这样符合实际情况.2.4 分析中应注意的问题

对于某个节点, 与其连接的所有活单元被“杀死”后, 该节点变成一个漂移的节点, 具有浮动的自由度数值.在一些情况下, 需要约束住这些不被激活的自由度以减少求解方程的数目, 并防止出现位置错误.但是, 在重新激活与其相连的单元时要根据情况删除这些人为施加的约束.另外, 在查看结果时, 尽管其对刚度矩阵的贡献被忽略了, 但由于“杀死”的单元仍在模型中, 在单元显示和其它的后处理操作之前, 需用选择功能排除这些没有被激活的单元以方便查询处理.2.5 计算参数取值

本文采用上述有限元模型分析3个组合扁梁:简支梁BL 1, 框架梁BL 2和悬臂梁BL 3.三根梁的截面尺寸、配筋率、栓钉间距以及混凝土板做法完全相同, 其截面和加载方式见示意图3～ 5, 钢筋、钢材和混凝土的强度指标通过材料试验测得.图3 组合扁梁截面示意图

图4 BL 1梁加载示意图

钢材各向同性, 采用目前非线性分析中常用的Von M ises 等向强化准则, 本构关系为双直线模型, 实测弹性模量189 GPa, 塑性强化段切线模量750M Pa, 钢材屈服强度为397.75M Pa;钢筋取理想弹塑性模型, 初始弹性模量200 GPa, 混凝土的实测压溃强度分别为37.7, 47.2和41.3M Pa[ 3 ].图5 BL 2和BL 3梁加载示意图 2.6 有限元模型

本文对上述3根组合扁梁建立了AN SYS 模型, 进行了计算分析.组合扁梁沿高度方向共分17层, 钢梁上下翼缘各分2层, 长度方向每100 mm 分1段.截面的单元划分见图6.加载采用位移加载方式, 即在加载点施加足够大的位移, 直到构件完全破坏.计算过程中对所施加的外荷载和特征点挠度进行跟踪.图6 截面网格划分 有限元数值模拟结果及与试验结果的对 比分析

为了验证有限元分析结果的正确性, 本文参考3个组合扁梁的试验研究数据[ 4 ] , 与有限元分析结果进行了比较.3.1 扁梁BL1的分析结果

混凝土的抗拉强度很低, 简支组合扁梁全跨承受正弯矩, 在加载初期, 处于中和轴以下的混凝土要开裂, 退出工作, 在进行有限元分析时是将这些不参与工作的混凝土单元“杀死”, 经过反复迭代计算, 最后剩下只有参与工作的混凝土单元(图7).图7 扁梁BL 1开裂后剩余混凝土单元

1)简支组合扁梁跨中弯矩较大, 开裂的混凝土也较多, 跨中等弯矩段的开裂程度是一样的, 随着向支座处弯矩的降低, 开裂的混凝土逐渐减少,开裂后剩余的混凝土呈拱形, 沿__________着梁长度方向中和轴是一条曲线, 而不是一条直线.2)荷载2挠度曲线是最重要的数据, 常常是设计的依据, 扁梁BL 1的荷载2挠度曲线见图8, 为了便于比较, 同时给出了试验的荷载2挠度曲线[ 3 ].图8 扁梁BL 1荷载2挠度曲线比较

3)从图8可见, 整个加载过程, 有限元分析和试验曲线的结果吻合良好, 在弹性阶段, 有限元分析刚度和试验所测的刚度也比较接近.这说明对于简支组合扁梁, 在进行有限元分析时忽略一些次要因素, 如钢梁与混凝土板之间的滑移, 正弯矩区混凝土板中钢筋的作用等, 而只考虑主要因素的影响, 如开裂的混凝土退出工作, 分析结果足够精确.表1列出了有限元计算结果和试验结果的定量比较, 有限元分析的结果与试验结果的误差在6% 以内, 有限元分析方法是可靠的.表1 BL1有限元结果与试验结果的比较

3.2 扁梁BL2的分析结果

两端刚接梁在杆端负弯矩最大, 跨中正弯矩最大, 在整个梁跨度范围内弯矩发生变号.在加载初期, 靠近支座处中和轴以上和跨中处中和轴以上的混凝土都要开裂, 退出工作.AN SYS 模拟的结果与实验现象十分接近[ 4 ] , 多次迭代计算后剩下参与工作的混凝土, 见图9, 从中可清楚的看到反弯点的位置, 但与简支梁一样, 受单元数目的限制, 数值模拟结果在某些区段没有完全反映出弯矩变化的影响, 使得没有退出工作的混凝土单元在轴向没有呈连续的曲线.扁梁BL 2的荷载2挠度曲线比较见图 10.图9 扁梁BL 2没有退出工作的混凝土单元

图10 扁梁BL 2荷载2挠度曲线比较 3.3 扁梁BL3的分析结果

悬臂梁由于单元较少, 共迭代计算5次, 最终剩余的混凝土单元见图11, 荷载2挠度曲线见图12.图11 悬臂梁没有退出工作的混凝土单元 图12 扁梁BL 3荷载2挠度曲线比较 从扁梁BL 3的荷载2挠度曲线可以看出:

1)在加载初期, 试验实测刚度比有限元分析的结果要大, 这是由于混凝土在这时还没有开裂,而有限元计算是按照最终该开裂的混凝土都完全开裂之后计算的刚度, 故偏小.2)在后期, 有限元计算刚度要比试验刚度大,这是由于在试验中, 焊在柱子翼缘板上的钢筋能够与钢梁共同工作, 而焊在肋板上的钢筋由于肋板刚度较小, 并没有与钢梁完全共同工作, 试验时也观察到肋板发生了明显的扭曲, 直接影响组合扁梁的加载后期的刚度值, 但对于扁梁的极限承载力几乎没有影响, 因为这时候扁梁的变形足够大, 使肋板发生了明显的扭曲, 负弯矩区的钢筋仍然屈服了.3)在实际工程设计时, 要想依靠负弯矩钢筋来加强负弯矩区扁梁的刚度则须妥善处理好钢筋与柱子之间的连接问题, 否则是不安全的.另外, 图11也表明并非所有的混凝土都退出工作, 靠近钢梁下翼缘仍有一定量的混凝土参与工作.为了定量比较, 表2列出了有限元计算结果和试验结果, 有限元分析的结果与试验结果的误差在5% 以内.表2 BL3有限元结果与试验结果的比较 主要结论

本文应用有限元分析软件AN SYS, 以3根不同形式的组合扁梁为对象, 对正负弯矩区组合扁梁的受力性能进行了计算和模拟.分析结果表明:

1)有限元计算结果与试验结果吻合较好, 表明数值模型和方法是正确有效的, 为深入研究组合扁梁的受力性能奠定了基础.2)正弯矩区, 受拉区混凝土的开裂、构件的几何尺寸是影响组合扁梁受力的主要因素, 忽略钢梁与混凝土板之间的滑移及混凝土板中的钢筋作用,分析结果误差很小.3)负弯矩区, 混凝土板中钢筋对组合扁梁的弹性刚度和极限承载力有着明显的影响, 钢筋与柱子之间良好的连接是保证其共同作用的关键.而中和轴以下混凝土对组合扁梁受力也有相当的影响,实际工程设计时忽略它是偏于安全的.参考文献: [ 1 ] M ullett D L.Slim floor design and construction [M ].The Steel Construction Institute, 1997.[2 ] 陈 全, 石永久, 王元清, 等.带组合扁梁多层轻型钢框架结构体系分析[J ].建筑结构, 202_, 32(2): 17220.Chen Q , Sh i Y J , W ang Y Q , et al.Structura lanalysis on ligh t steel frame w ith steel2concrete composite slim beam [J ].Building Structures, 202_,32(2): 17220.[ 3 ] 陈 全.组合扁梁受力性能分析[D ].北京: 清华大学 土木工程系, 202_.[ 4 ] Chen Q , Sh i Y J , W ang Y Q , et al.Loading capacity of steel2concrete composite slim beam [ J ].P roc.Of 7th International Symposium on Structural Engineering for Young Experts, 202_, 1(2): 9252929.

第二篇：弹性力学

弹性力学也称弹性理论，主要研究弹性体在外力作用或温度变化等外界因素下所产生的应力、应变和位移，从而解决结构或机械设计中所提出的强度和刚度问题。在研究对象上，弹性力学同材料力学和结构力学之间有一定的分工。材料力学基本上只研究杆状构件；结构力学主要是在材料力学的基础上研究杆状构件所组成的结构，即所谓杆件系统；而弹性力学研究包括杆状构件在内的各种形状的弹性体。弹性力学是固体力学的重要分支，它研究弹性物体在外力和其它外界因素作用下产生的变形和内力，也称为弹性理论。它是材料力学、结构力学、塑性力学和某些交叉学科的基础，广泛应用于建筑、机械、化工、航天等工程领域.弹性力学问题的求解主要是基于以下几个理论基础。1.Newton定律

弹性力学是一门力学，它服从Newton所提出的三大定律，即惯性定律﹑运动定律，以及作用与反作用定律。质点力学和刚体力学是从Newton定律演绎出来的，而弹性力学不同于理论力学，它还有新假设和新定律。2.连续性假设

所谓连续性假设，就是认定弹性体连续分布于三维欧式空间的某个区域之内，与此相伴随的，还认定弹性体中的所有物理量都是连续的。也就是说，我们将假定密度、位移、应变、应力等物理量都是空间点的连续变量，而且也将假定空间的点变形前与变形后应该是一一对应的。

3.广义Hooke定律 所谓广义Hooke定律，就是认为弹性体受外载后其内部所生成的应力和应变具有线性关系。对于大多数真实材料和人造材料，在一定的条件下，都符合这个实验定律。线性关系的Hooke定律是弹性力学特有的规律，是弹性力学区别于连续介质力学其他分支的标识。

Newton定律、连续性假设和广义Hooke定律，这三方面构成了弹性力学的理论基础。

弹性力学作为固体力学学科的一个分支，弹性力学的基本任务是研究弹性体由于外力载荷或者温度改变，物体内部所产生的位移、变形和应力分布等，为解决工程结构的强度，刚度和稳定性问题作准备，但是并不直接作强度和刚度分析。

构件承载能力分析是固体力学的基本任务，但是对于不同的学科分支，研究对象和方法是不同的。弹性力学的研究对象是完全弹性体，包括构件、板和三维弹性体，比材料力学和结构力学的研究范围更为广泛。

弹性是变形固体的基本属性，而“完全弹性”是对弹性体变形的抽象。完全弹性使得物体变形成为一种理想模型，以便作进一步的数学和力学处理。完全弹性是指在一定温度条件下，材料的应力和应变之间具有一一对应的关系。这种关系与时间无关，也与变形历史无关。

材料的应力和应变关系通常称为本构关系，它表达的是材料在外力作用下抵抗变形的物理性能，因此又称为物理关系或者物理方程。本构关系满足完全弹性假设的材料模型包括线性弹性体和非线性弹性体。

线性弹性体是指载荷作用在一定范围内，应力和应变关系可以近似为线性关系的材料，外力卸载后，线性弹性体的变形可以完全恢复。线性弹性材料的本构关系就是物理学的胡克定理。在应力小于弹性极限条件下，低碳钢等金属材料是典型的线弹性材料。

另外，一些有色金属和高分子材料等，材料在载荷作用下的应力应变关系不是线性的，但是卸载后物体的变形可以完全恢复，这种材料性质可以简化为非线性弹性本构关系。

如果从研究内容和基本任务来看，弹性力学与材料力学是基本相同的，研究对象也是近似的，但是二者的研究方法却有比较大的差别。弹性力学和材料力学研究问题的方法都是从静力平衡关系，变形协调和材料的物理性质三方面入手的。但是材料力学的研究对象是杆件，杆件横截面的变形可以根据平面假设确定，因此综合分析的结果，就是问题求解的基本方程是常微分方程。对于常微分方程，数学求解是没有困难的。而弹性力学研究完全弹性体，如板，三维物体等。因此问题分析只能从微分单元体入手，分析单元体的平衡、变形和应力应变关系，因此问题综合分析的结果是满足一定边界条件的偏微分方程。也就是说，问题的基本方程是偏微分方程的边值问题。而偏微分方程边值问题，在数学上求解困难重重，除了少数特殊边界问题，一般弹性体问题很难得到解答。

当然，这里并不是说弹性力学分析不再需要假设，事实上对于任何学科，如果不对研究对象作必要的抽象和简化，研究工作都是寸步难行的。

弹性力学是固体力学学科的理论基础。是学习有限单元法、复合材料力学、断裂力学和疲劳等的基础课程。课程的学习对于培养学生的专业基础，思维方法和独立工作能力有着重要意义。

弹性力学作为一门基础技术学科，是近代工程技术的必要基础之一。在现代工程结构分析，特别是航空、航天、机械、土建和水利工程等大型结构的设计中，广泛应用着弹性力学的基本公式和结论。弹性力学又是一门基础理论学科，它的研究方法被应用于其他学科。近年来，科技界将弹性力学的研究方法用于生物力学和地质力学等边缘学科的研究中。

弹性力学的研究方法决定了它是一门基础理论课程，而且理论直接用于分析工程问题具有很大的困难。原因主要是它的基本方程－偏微分方程边值问题数学上求解的困难。由于经典的解析方法很难用于工程构件分析，因此探讨近似解法是弹性力学发展中的特色。近似求解方法，如差分法和变分法等，特别是随着计算机的广泛应用而发展的有限元素方法，为弹性力学的发展和解决工程实际问题开辟了广阔的前景。

弹性力学课程的主要学习目的是使学生掌握分析弹性体应力和变形的基本方法，为今后进一步的研究实际工程构件和结构的强度、刚度、可靠性、断裂和疲劳等固体力学问题建立必要的理论基础。

弹性力学是固体力学学科的理论基础。是学习有限单元法、复合材料力学、断裂力学和疲劳等的基础课程。课程的学习对于培养学生的专业基础，思维方法和独立工作能力有着重要意义。

弹性力学作为一门基础技术学科，是近代工程技术的必要基础之一。在现代工程结构分析，特别是航空、航天、机械、土建和水利工程等大型结构的设计中，广泛应用着弹性力学的基本公式和结论。弹性力学又是一门基础理论学科，它的研究方法被应用于其他学科。近年来，科技界将弹性力学的研究方法用于生物力学和地质力学等边缘学科的研究中。

弹性力学的研究方法决定了它是一门基础理论课程，而且理论直接用于分析工程问题具有很大的困难。原因主要是它的基本方程－偏微分方程边值问题数学上求解的困难。由于经典的解析方法很难用于工程构件分析，因此探讨近似解法是弹性力学发展中的特色。近似求解方法，如差分法和变分法等，特别是随着计算机的广泛应用而发展的有限元素方法，为弹性力学的发展和解决工程实际问题开辟了广阔的前景。

弹性力学课程的主要学习目的是使学生掌握分析弹性体应力和变形的基本方法，为今后进一步的研究实际工程构件和结构的强度、刚度、可靠性、断裂和疲劳等固体力学问题建立必要的理论基础。

第三篇：弹性力学基础知识归纳

一．填空题

1.最小势能原理等价于平衡微分方程和应力边界条件 2.一组可能的应力分量应满足平衡微分方程和相容方程。二．简答题

1.简述圣维南原理并说明它在弹性力学中的作用。如果把物体一小部分边界上的面力变换为分布不同但是静力等效的面力（主矢和主矩相同），则近处的应力分布将有显著改变，远处所受的影响则忽略不计。

作用;(1)将次要边界上复杂的集中力或者力偶变换成为简单的分布的面力。

（2）将次要的位移边界条件做应力边界条件处理。2.写出弹性力学的平面问题的基本方程。应用这些方程时，应注意什么问题？

(1).平衡微分方程:决定应力分量的问题是超静定的。(2).物理方程：平面应力问题和应变问题的物理方程是不一样的，注意转换。

(3).几何方程：注意物体的位移分量完全确定时，形变分量也完全确定。但是形变分量完全确定时，位移分量不完全确定。3.按照边界条件的不同，弹性力学分为哪几类边界问题？ 应力边界条件，位移边界条件和混合边界条件。

4.弹性体任意一点的应力状态由几个分量决定？如何确定他们的正负号？ 由六个分量决定。在确定方向的时候，正面上的应力沿正方向为正，负方向为负。负面上的应力沿负方向为正，正方向为负。

5.什么叫平面应力问题和平面应变问题？举出工程实例。平面应力问题是指很薄的等厚度薄板只在板边上受平行于板面并且不沿厚度变化的面力，同时体力也平行于板面并且不沿厚度变化。例如工程中的深梁和平板坝的平板支墩。平面应变问题是指很长的柱形体，它的横截面在柱面上受有平行于横截面并且不沿长度变化的面力，同时体力也不沿长度变化。例如

6.弹性力学中的基本假定有哪几个？什么是理想弹性体？举例说明。

（1）完全弹性假定。（2）均匀性假定。（3）连续性假定。（4）各向同性假定。（5）小变形假定。

满足完全弹性假定，均匀性假定，连续性假定和各向同性假定的是理想弹性体。一般混凝土构件和一般土质地基可以看做为理想弹性体。

7.什么是差分法？写出基本差分公式？

差分法是把基本方程和边界条件近似地看改用差分方程（代数方程）来表示。把求解微分方程的问题变为求解代数方程问题。fxf1f302h2ff1f32f0x20h2fyf2f402h

2ffy22f42f0h2

第四篇：弹性力学学习心得

弹性力学学习心得

大学时期就学习过弹性力学这门学科，当时的课本是徐芝纶教授的《简明弹性力学》，书的内容很丰富，但是由于课时有限加上我们自身能力的限制，本科期间只学习了前四章内容，学的比较粗略，理解的也不是很多，研一的这学期又有了一次学习的机会，通过杨老师耐心细致的讲解，我觉得弹性力学是一门十分有用并且基础的学科，值得我们去研究学习。

弹性力学与材料力学、结构力学的研究对象和研究方法上存在着一些差异，但是他们之间的界限却又不是那么明显。以弹性力学的平面问题为例，由弹性力学中平面问题的三套基本方程（平衡方程、几何方程和物理方程）和两种边界条件（应力边界、位移边界和混合）联立，就得到了求解两类平面问题（平面应力和平面应变）的一些基本方程。但是要由这些基本方程求得解析解，又是一个复杂而困难的问题。此时，引入结构力学中的力法和位移法，可以使得某些比较复杂的本来是无法求解的问题，得到解答。其中，位移法是以位移分量为基本未知函数，从基本方程和边界条件中消去应力分量和形变分量，导出只含位移分量的方程和相应的边界条件，求出位移分量后，再求出形变分量和应力分量的方法。由于位移法能更方便地处理方程中的边界条件，因此，课本中多用位移法来进行求解。在这个章节的学习中，要先复习、回忆结构力学中关于力法、位移法的知识概念，再总结弹性力学按位移求解平面应力问题的步骤和方法。

弹性力学也称弹性理论，主要研究弹性体在外力作用或温度变化等外界因素下所产生的应力、应变和位移，从而解决结构设计中所提出的强度和刚度问题。在研究对象上，弹性力学同材料力学和结构力学之间有一定的分工。材料力学基本上只研究杆状构件；结构力学主要是在材料力学的基础上研究杆状构件所组成的结构，即所谓杆件系统；而弹性力学研究包括杆状构件在内的各种形状的弹性体。

弹性体是变形体的一种，它的特征为：在外力作用下物体变形，当外力不超过某一限度时，除去外力后物体即恢复原状。绝对弹性体是不存在的。物体在外力除去后的残余变形很小时，一般就把它当作弹性体处理。

通过对弹性力学的二次学习，加上杨老师详尽而又有条理的讲授，我相信将对之后塑性力学和有限元法甚至以后的学习都会有很大帮助。

第五篇：弹性力学总结

弹性力学关于应力变分法问题

一、起源及发展

1687年，Newton在《自然哲学的数学原理》中提出第一个变分问题——定轴转动阻力最小的旋转曲面形状问题； 1696年，Bernoulli提出了著名的最速降线问题；到18世纪，经过Euler，Lagrange等人的努力，逐渐形成变分法。古典变分法的基本内容是确定泛函的极值和极值点，它为许多数学、物理、科技、工程问题提供了强有力地数学工具。现代理论证明，微分方程（组）中的变分法是把微分方程（组）化归为其对应泛函的临界点（即化为变分问题），以证明其解的存在性及解的个数。讨论对应泛函临界点的存在性及其个数的基本方法是Morse理论与极小极大理论（Minimax Theory）。变分法有着深刻的物理背景，某种意义上，自然界一切物质运动均可以用某种形式的数理方程表示，一般数理方程又与一定的泛函相对应，所以一切物质运动规律都遵从“变分原理”。

由于弹性力学变分解法，实质上就是数学中的变分法应用于解弹性力学问题，虽然在讨论的近似解法中使用变分计算均甚简单（类似微分），但“变分”的概念却极为重要，它关系到我们队一系列力学变分原理中“虚”的概念的建立与理解。以下，就应力变分法进行讨论。

二、定义及应用

（1）、应力变分方程

设有任一弹性体，在外力的作用下处于平衡。命ij为实际存在的应变分量，它们满足平衡微分方程和应力边界条件，也满足相容方程，其相应的位移还满足位移边界条件。现在，假想体力和应变边界条件上给定的面力不变而应力分量发生了微小的改变ij，即所谓虚应力或应力的变分，使应力分量成为ijij

假定他们只满足平衡微分方程和应力边界条件。

既然两组应力分量都满足同样体力和面力作用下的平衡微分方程和应力边界条件，应力分量的变化必然满足无体力时的平衡微分方程。即

xxyzx0,xyz

（a）yyzxy0,yzxzzxyz0。zxy在位移给定的边界上，应力分量的变分必然伴随着面力分量的变分fx、fy、f。z

根据应力边界条件的要求，应力分量的变分在边界上必须满足

lxmxynzxmynlf,yzxyy

（b）

nzlm。fzxyzzxf,则应变余能的变分应为

VCvcdxdydz(vcxxvcyz)dxdydz。

vvcvx，cy，cz

xzyvcvvyz，czx，cxy

zxyzxy将上式代入，得

VC(xx再将几何方程代入，得

yzyz)dxdydz。

wv()yzyzuVC[xx]dxdydz。

根据分部积分和奥—高公式，对上式右边进行处理：

uxdxdydzluxdSu(x)dxdydz, xx最后可得

Vc[u(lxmxynzx)]dS[u(xxyzx)xyz]dxdydz。

再将（a）、（b）代入，即得

Vc=(ufyfwz)f。d

S

xv这就是所谓应力变分方程，有的文献把它叫做卡斯蒂利亚诺变分方程。最小余能原理：

Vc(ufxvfywfz)dS0。

上式也可以改写为：

[Vc(ufxvfywfz)dS]0。

（2）、应力变分法

由推到出的应力变分方程，使其满足平衡方程和应力边界条件，但其中包含若干待定系数，然后根据应力变分方程解决这些系数，应力分量一般可设为：

ijij0Amijmm

（c）

其中Am是互不依赖的m个系数，ij0 是满足平衡微分方程和应力边界条件的设定函数，ijm是满足“没有体力和面力作用时的平衡微分方程和应力边界条件”的设定函数。这样，不论系数A m如何取值，ij0总能满足平衡微分方程和应力边界条件。

注意：应力的变分只是由系数Am的变分来实现。

如果在弹性体的每一部分边界上，不是面力被给定，便是位移等于零，则应力变分方程 得vc0，即： Vc0

（d）Am

应变余能Vc是Am的二次函数，因而方程（d）将是Am的一次方程。这样的方程共有m个，恰好可以用来求解系数，Am从而由表达式（c）求得应力分

量。

如果在某一部分边界上，位移是给定的，但并不等于零，则在这一部分边界上须直接应用变分方程（11-18），即

Vc(ufxvfywfz)dS。在这里，u、v、w是已知的，积分只包括该部分边界，面力的变分与应力的变分两者之间的关系即：

fxlxmxynzx,fymynyzlxy,fznzlxzmyz。

带入方程的右边积分后，将得出如下的结果：

(ufxvfywfz)dSBmAm。m

其中Bm是常数，另一方面，我们有：

U*Vc=Am。mAm 因而得：

VcBm。(m1,2,)Am

这将仍然是Am的一次方程而且总共有m个，仍然可以用来求解系数Am，从而由表达式（c）求得应力。

（3）、应力函数方法

由于应力分量的数量有点多，确定起来较为困难，通常用应力函数方法。在平面应力问题中，如果体力分量为常数，则存在应力函数。将应力函数设为：

0Ammm,其中Am为互不依赖的m个系数。这样就只需使0给出的应力分量满足实

际的应力边界条件，并使m给出的应力分量满足无面力时的应力边界条件。

在平面应力问题中，有zyzzx0，而且x、y、xy不随坐标z而变。在z方向取一个单位厚度，则用应力分量表示的应变余能表达式为

Vc1[x2y22xy2(1)xy2]dxdy。

2E1+2[(1)(x2y2)2xy2xy]dxdy。

2E对于平面应变问题，Vc如果所考虑的弹性体是单连体，体力为常量，应力分量x、y、xy应当与可以取=0，于是平面应力情况下的表达式和平面应力情况下的表达无关，式都简化为

Vc1(x2y22xy2)dxdy。2E即得用应力函数表示应变余能的表达式

122222Vc[(2fxx)(2fyy)2()]dxdy。2Eyxxy在应力边界问题中，因为面力不能有变分，Vc0。应为应力分量以及应变余能的变分是通过系数Am的变分来实现的，所以上式归结为

Vc0 Am将将应力函数表达式代入，即得

2222[(2fxx)()(fyy)()yAmy2x2Amx2

222()]dxdy0,xyAmxy(m1,2,)

可以用来决定系数Am，从而确定应力函数，再由应力函数求得应力分量。

由于是近似解，应力分量不能精确满足相容条件，由应力分量求得的应变分量也不能精确满足变形协调条件，不能根据几何方程求得位移分量。

应力函数法的要点是要找到满足全部边界条件的应力函数，二这种函数一般任然难以找到，尤其在边界不规整的情况下。所以应力方法的应用在这一点上受到极大的限制。

（4）、典型例题：

例1：设有宽度为2a，高度为b的矩形薄板，左右两边和下边被固定约束，上边的位移被给定为u0应力分量。

解：取坐标系底部为x轴，对称轴为y轴，则该问题是一个轴对称问题——及约束情况，几何形状以及所受的外来因素都对称于某个坐标轴。本题中，对称轴显然是y轴。这样，位移u,v关于y轴对称。

首先考察位移u：

薄板左右两边：(u)xa0（说明u中含有(x2a2)项或(a2x2)项）

薄板下边：(u)y00（说明u中含有（y-0)项）

薄板上边：(u)yb0（说明u中含有（y-b)项或(b-y)项）

所以u所以表达成：uA1(a2x2)y(by)（这里m=1,即取一个系数A1）

由此可得u,v的表达式为：

x2v(12)，不计体力。试求薄版的位移分量和

ax2xyyuA1(12)(1)aaaa  22xyxyyv(12)B1(12)(1)ababb(u)xz0可以满足位移边界条件：

(v)xa0(v)y00(v)ybx2(12)a

(u)y00(u)yb0由于u是x的奇函数，v是x的偶函数，对称条件满足。

xx3yy2此外，由（i）得：u1(3)(2)aabbx2yy2v1(12)(2)

abb即UEab(A1B12vA1B1)

2(1v2)由UUfu1ds,fv1ds

xyA1B1UUq1ab,q2ab A1B1Eab(2A12vB1)q1ab22(1v)Eab(2B12vA1)q2ab22(1v)q1vq2qvq1,B12EEq1vq2q2vq1 ux,vyEEA1例2：已知悬臂梁，抗弯刚度为EI，求最大挠度值。

解：设w(a2x2a3x3)满足固定端的边界条件。

LxFwx00,w'x00

2在不考虑剪切效应时，直杆弯曲的应变能为，1lM2(x)1d2wudxEIdx 202EI2dx下面用最小势能原理来确定参数，u1M(x)EIdx(2a26a3)dx002EI2vFwxLF(a2L2a3L3)ll2EIl23EtUV(2a6a)dxF(aLaL)23230222

由最小势能原理

Et0Et1l24(2a6a)dxFL0230a22EIEt1l312(2a6a)dxFL0230a22EI

三、总结与思考

所谓弹性力学的变分解法就是基于力学能量原理求解弹性力学的变分方法，这种方法从其本质而言，是要把原来在给定的边界条件下求解的微分方程组的问题变为泛函求极值的问题，而在求问题的近似解时，泛函的极值问题又可变成函数的极值问题，因而最终把问题归结为求解线性代数方程组。

变分法在理论物理中非常重要：在拉格朗日力学中，以及在最小作用原理在量子力学的应用中。变分法提供了有限元方法的数学基础，它是求解边界值问题的强力工具。它们也在材料学中研究材料平衡中大量使用。而在纯数学中的例子有，黎曼在调和函数中使用狄力克雷原理。

应力变分法在力学领域内同样拥有很高的地位，这正说明了力学在学术界的重要地位，通过应力变分法地学习，许多难题将更容易得到解答，所以，在以后的学习生活中，我们将不会停止对力学的探究和学习，相信力学对我们的影响将是巨大的。

参考文献：【1】弹性力学 第四版 徐芝纶 高等教育出版社

【2】弹性力学复习解题指导致 王俊民 同济大学

【3】弹性力学理论概要与典型题解 王光钦 西南交通大学出版社

【4】弹性力学内容精要与典型题解 刘章军 水利水电出版社