第一篇：初二数学第19章几何证明章节概要

第十九章：几何证明

一、章节目标：

1、体验几何研究从直观经验、操作实验到演绎推理的演进过程，认识几何直觉和演绎推理的作用；知道基本的逻辑术语，理解命题、证明的意义；懂得推理过程中的因果关联，知道证明的步骤。

2、在例题学习和证明实践中，初步掌握演绎推理的规则和规范表达的格式；会用三角形全等的判定定理和性质定理证明有关的线段相等、角相等以及两条直线平行、垂直的简单问题，会用等腰三角形的判定定理和性质定理证明简单的几何问题。

3、通过对平行线和等腰三角形的有关定理的分析，理解逆命题与逆定理；掌握角的平分线、线段的垂直平分线的有关性质；知道轨迹的意义，知道圆、角的平分线、线段的垂直平分线这三条基本轨迹。

4、掌握判定两个直角三角形全等的特殊方法，在“斜边、直角边”判定定理的学习过程中，体会解决问题过程中矛盾的一般性与特殊性；掌握直角三角形的有关性质和判定。

5、在勾股定理及其逆定理的学习中，领略人类文明的辉煌成就，感受理性思维的精神和包容世界文化的意义；了解勾股定理导出的过程和它在度量几何中的作用，进一步理解形数之间的联系；能运用勾股定理及其逆定理解决比较简单的证明或计算问题及比较简单的实际应用问题；掌握平面直角坐标系内两点距离的公式。

二、单元目标 第一节：几何证明

1、初步理解演绎证明的含义及因果关系的表述，体会演绎证明是一种严格的数学证明，所获得的结论最可靠。

2、知道定义、命题、真命题、假命题、公理、定理等之间的区别与联系；了解命题的构成，能初步区分命题的题设和结论，会把命题改写成“如果„„，那么„„”的形式。

3、知道证明一个命题为真命题的一般过程；知道证明一个命题为假命题只要举一个反例；初步感知证明过程中体现的理性精神。

4、通过证明举例的学习和实践，懂得演绎推理的一般规则，初步掌握规范表达的格式；知道分析证明思路的基本方法。

5、会利用平行线、全等三角形、等腰三角形的判定和性质来证明有关线段相等、角相等以及两直线平行和垂直的简单问题；了解添置辅助线的基本方法，会添置几种常见的辅助线。

6、初步学会演绎推理的方法和规范表达，体会理性思维的精神，发展逻辑思维能力。单元重点：定义、命题、真命题、假命题、公理、定理等相关概念和证明一个命题为真命

题或假命题的一般过程；利用平行线、全等三角形、等腰三角形的判定和性质来证明有关线段相等、角相等以及两直线平行和垂直的简单问题；了解添置辅助线的基本方法。

单元难点：分析证明思路的基本方法和辅助线的添置方法。第二节：线段的垂直平分线和角的平分线

1、知道原命题、逆命题、互逆命题、逆定理、互逆定理等的含义。

2、会写一个命题的逆命题，并会证明它的真假，知道每一个命题都有逆命题，但一个定理不一定有逆定理。

3、增强逆向思维意识，体会辨证思想。

4、初步掌握线段的垂直平分线、角的平分线的性质定理和逆定理。

5、能运用线段的垂直平分线、角的平分线的性质定理及其逆定理解决简单的几何问题。

6、了解轨迹的意义，知道线段的垂直平分线、角的平分线和圆三条基本轨迹。

7、会用三条基本轨迹解释简单的轨迹问题并用图形语言表示，会用交轨法进行基本的作图。

8、通过轨迹的学习，初步感知集合的思想。

单元重点：段的垂直平分线、角的平分线的性质定理和逆定理，交轨法作图

单元难点：段的垂直平分线、角的平分线的性质定理和逆定理的应用和用三条基本轨迹解

释简单的轨迹问题

第三节：直角三角形

1、经历探索直角三角形全等的特殊判定方法的过程，体会演绎思想和化归思想。

2、掌握直角三角形全等的判定定理，会用“H.L”判定直角三角形全等。

3、经历探索直角三角形性质的过程，体会研究图形性质的方法。

4、掌握直角三角形性质定理和特殊直角三角形的性质定理，能运用直角三角形的有关性质解决简单的数学问题。

5、理解用面积割补法证明勾股定理的思路和勾股定理逆定理的推导方法；了解勾股定理的重要性以及它在人类重大科技发现中的地位，感受人类文明，体会理性精神。

6、初步掌握勾股定理和逆定理，能用勾股定理和逆定理解决基本的有关证明或计算问题，了解勾股数组的概念，熟悉最基本的勾股数组。

7、在勾股定理及其逆定理的学习中，获得“探索—研究—运用—反思”的过程经历，增强

学习数学的兴趣和探究学习的意识，激发科学研究的内部动机。

8、经历探求直角坐标平面内两点的距离的过程，掌握两点的距离公式，体会数形结合的数学思想方法。

单元重点：直角三角形全等的判定定理，直角三角形的性质，勾股定理及其逆定理以及两

点间的距离公式。

单元难点：用直角三角形全等的判定定理，直角三角形的性质，勾股定理及其逆定理以及

两点间的距离公式解决简单的几何问题。

第二篇：初二数学几何证明

1.已知△ABC是等边三角形，D是BC边延长线上一点，以AD为边作等边三角形ADE。连接CE.求证：CE平分∠ACD

E

A

BCD

2.已知：如图，AD是△ABC的角平分线，E是AB边上的一点，AE=AC，EF∥BC交AC于点F.求证：∠DEC=∠FEC

.3.已知△ABC、△DBE、△CEF是等边三角形，求证：四边形ADEF是平行四边形.A

D

F

BC

4.如图，已知在△ABC中，∠A=90°，AB=AC, ∠B的平分线与AC交于点D，过点C作CH⊥BD，H为垂足。试说明BD=2CH。

A

21C

5.在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，过C点在△ABC形外作直线MN，AM⊥MN于M，BN⊥MN于N．

(1)求证：

MN=AM+BN

(2)△ABC内，∠ACB=90°，AC=BC若过C点在△ABC内作直线MN，当MN位于何位置时，AM，BN和MN满足MN=AM-BN，并证明之．

6.“等腰三角形两腰上的高相等”

(1)根据上述命题，画出相关图形，并写出“已知’’“求证”，不必证明．(2)写出上述命题的逆命题，并加以证明．

7.已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=900，D、E、F分别是AB、BC、AC上的点，DE、DC、DF将△ABC分成四个全等的三角形，△ABC的周长是1 2厘米，求由DF、CD、DE所分成的各个小三角形的周长．

8.如图，∠ABC=∠ADC=90°，E是AC的中点，EF⊥BD，垂足为F．求证：BF=DF．

B

FA

D

C

9.已知，如图正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，AF和DE交于点P． 求证：

CP=CD

10.如图△ABC中，BD⊥AC，CE⊥ AB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于H，∠A=60°．DH =2,EH=1(1)求BD和CE的长．

(2)若∠ACB= 45°，求△ABC的面积．

11.如图，△ABC中，AD是∠BAC内的一条射线，BE⊥AD于E,CF⊥AD于F，点M 是BC的中点．求证：EM=FM

A

B

E

C

12.中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合的方法，给出了勾股定理的详细证明。你能根据这幅“勾股圆方图”证明勾股定理吗？（图中4个直角三角形全等）

13.如图甲是第七届国际数学教育大会（简称ICME～7）的会徽，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的其中OA1A1A2A2A3A7A81，如果把图乙中的直角三角形继续作下去，细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题：

A8

A

3ICME-7

21图甲图乙

（）12，S1

;(2)13,S2

;(3)14,S3

;„„

（1）请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律；（2）推算出OA10的长；

2222

（3）求出S1S2S3S10的值。

1.如图，在△ABC中，∠

A=90°，ABAC，BD平分∠ABC交AC于点D，若AB2cm.求：AD的长,2．在Rt△ABC中，∠C=90°，中线AD的长为7，中线BE的长为4.求：AB的长 3．四边形中，∠A=60

°，∠B=∠D=90°，AB2,CD1.(1)求BC、AD的长（2）

求四边形ABCD的面积.

第三篇：初二几何证明

24．（1）如图(1)，△ABC是等边三角形，D、E分别是AB、BC上的点，且BDCE，连接AE、CD相交于点P.请你补全图形，并直接写出∠APD的度数；=

（2）如图（2）,Rt△ABC中，∠B=90°，M、N分别是AB、BC上的点，且AMBC,BMCN，连接AN、CM相交于点P.请你猜想∠APM=°，并写出你的推理过程.24．如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合．三角板的一边交CD于点F，另一边交CB的延长线于点G.（1）求证：EFEG；

（2）如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；

（3）如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若ABa，BCb，求

EF的值． EG

24.问题1：如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=CD，点M，N分别在AD，CD上，若∠MBN=1∠ABC，试探究线段MN，AM，CN有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不用证明；

21∠ABC仍然成立，请你进一步探究线段MN，AM，CN又有怎样的数量关系？写出2问题2：如图2，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC+∠ADC=180°，点M，N分别在DA，CD的延长线上，若∠MBN=

你的猜想，并给予证明.5.（丰台区）在Rt△ABC中，AB=BC，∠B=90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点O放在斜边AC上，将三角板绕点O旋转．

（1）当点O为AC中点时，①如图1，三角板的两直角边分别交AB，BC于E、F两点，连接EF，猜想线段AE、CF与EF之间存在的等量关系（无需证明）；

②如图2，三角板的两直角边分别交AB，BC延长线于E、F两点，连接EF，判断①中的猜想是否成立．若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

（2）当点O不是AC中点时，如图3,，三角板的两直角边分别交AB，BC于E、F两点，若AO1，AC

4求OE的值．

OF

E

B F C 图1 图2 图3 F B F CA A

24． 已知：四边形ABCD是正方形，点E在CD边上，点F在AD边上，且AF＝DE．

（1）如图1，判断AE与BF有怎样的位置关系？写出你的结果，并加以证明；

（2）如图2，对角线AC与BD交于点O． BD，AC分别与AE，BF交于点G，点H．

①求证：OG＝OH；

②连接OP，若AP＝4，OP

AB的长．

图

1（1）答：

证明：

9.（房山区）（1）如图1，正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，且满足BE=CF，联结AE、BF交于点H..请直接写出线段AE与BF的数量关系和位置关系；

（2）如图2，正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，联结BF，过点E作EG⊥BF于点H，交AD于点G，试判断线段BF与GE的数量关系，并证明你的结论；

（3）如图3，在（2）的条件下，联结GF、HD.求证：①FG+BE

②∠HGF=∠HDF.图2 B AGDG

B

第24题图1 FB

E第24题图2 F

B

E第21题图3 F

第四篇：初二几何证明单元测试

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初二几何证明单元测试

班级_______姓名__________

一、填空

1.定理“和一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”的逆命题

是：_____________________________________________________________________,它是_____命题（填“真”、“假”）。

2.在Rt△ABC中，∠C= 90度，AB=2BC，则∠A =______度。

3.直角三角形的两个锐角的度数之比是2:3，那么这个三角形中最小的内角是______度。

4.在Rt△ABC中，∠C=90度，D为AB的中点，且CD=3cm，则AB=_____cm。

5.如图（1），∠BAC=90度，AD⊥

BC，则图中和∠C

互余的角有_________________, 若∠C=30度，则

(1)CD=____BD。

6.直角三角形的一个锐角为

20度，那么这个三 角形斜边上的 高与中线 所夹 的角 等于

_______度。

7.如图（2），在Rt△ABC中，∠C=90度，BC=24cm，∠BAC的平分线AD交BC于点D,BD:DC=5:3，则点D到AB的距离为

(2)_______cm。

8.等腰三角形底边上的高为10cm，腰长为20cm，则顶角为______度。

9.如图（3），在等腰三角形ABC中，腰AB的垂直平

(3)分线MN 交另一腰AC于点D，若∠ABD= 40度，则 ∠ABC=______度； 若AB=8cm，△BDC的 周长是20cm，则BC=_____cm。

10.如图（4），在等边△ABC的三边上各取一点M、N、P，且有MN⊥AC，NP⊥AB，PM⊥BC，AB=9cm，则CM的长为_______cm。

11.如图（5），在矩形ABCD中，AB:AD=1:2，将点A沿折痕DE对折，使点A落在BC

上的F点，则∠ADE=_____度。

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二、不定项选择题

1.下列说法正确的是()

A.任何定理都有逆定理B命题的逆命题不一定是真命题；

C．定理“同圆的半径相等”有逆定理；

D.“角平分线上的点到该角两边的距离相等”的逆命题是真命题。

2.到三角形三个顶点的距离相等的点是（）

A．三角形三内角平分线的交点；B.三角形三边中线的交点；

C．三角形三边高的交点；D.三角形三边中垂线的交点。

3.在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，CE是斜边AB上的中线，那么下列结论中，正确的是：()

∠ACD=∠BB.∠ECB=∠DCE

C.∠ACD=∠ECBD.∠ECB=∠A-

∠ECD

4.如图，⊙o外一点P，直线PAB、PCD分别交⊙o于A、B和C、D，添加下列哪个条件，就能证得AB=CD：（）

A．点O既在AB的垂直平分线上，又在CD的垂直平分线上

B．OP平分∠BPDPC．PA=PB

D．不用添也能证出

三、作图（写出简略作法）

要在A、B、C三地之间建一个邮局P，要求邮局P到A、C两地的距离相等，且到公路AB、BC的距离相等。

四、几何计算和证明

1.已知：△ABC中，∠A=60度，CD⊥AB于D，BC=2CD，AD=3，求AB的长

2．如图，∠ABC=∠ADC=90度，E、F分别是AC、BD的中点。求证:EF⊥BD.3．如图，在△ABC中，∠C=90度，AC=BC，AD平分∠CAB，AB=20cm.求AC+CD的长

五、几何证明

已知：如图，△ABC中，AD平分∠BAC，AD的中垂线交BC的延长线于点E。求证：∠B=∠EAC

第五篇：初二几何证明2

18.2（5）证明举例(5)

教学目标

1、通过证明举例的学习和实践，懂得演绎推理的一般规则，初步掌握规范的表达格式；了解证明之前进行分析的基本思路;

2、能利用全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质来证明有关线段相等、角相等的简单问题;

3、了解添置辅助线的基本方法，会添置常见的辅助线；

4、了解文字语言、图形语言、符号语言三种数学语言形态.教学重点及难点

重点：分析基本思路，掌握规范的表达格式.难点：辅助线的添加.教学用具准备

黑板、粉笔、学生准备课堂练习本.教学流程设计

教学过程设计

1． 例题讲解

例题9 已知:如图,在△ABC与△A’B’C’中, AB=A’B’,BC= B’C’,CA=C’A’.求证: △ABC≌△A’B’C’.证明:设边BC最长.如图，把△ABC与△A’B’C’拼在一起，使边BC与B’C’重合，并使点A、A’在B’C’的两侧；再联结A’A.∵AB=A’B’,AC=A’C’(已知),∴∠1=∠2, ∠3=∠4(等边对等角).∴∠1+∠3=∠2+∠4(等式性质).即∠B’A’C’=∠BAC.在△ABC与△A’B’ C’中,AB=A’B’(已知)

∠B’A’C’=∠BAC(已证)

AC=A’C’(已知),∴△ABC≌△A’B’C’(S.A.S).【说明】本例是补证“边边边”定理，证明的思路是通过图形的运动把一些分散的元素集中在一个图形中，然后利用已有的“边角边”定理，证明两个三角形全等.这种利用图形的运动的方法，学生以前从未遇到，在后面的例题11中还会用到，要注意分析和引导.例题10 已知：如图17-14,四边形ABCD中,AB=DC, ∠B=∠C.求证: ∠A=∠D.证明:分别联结AC、DB(如图17-15).在△ABC与△DCB中,AB=DC(已知)

∠ABC=∠DCB(已证)

BC=CB(已知),∴△ABC≌△DCB(S.A.S)

得AC=DB(全等三角形的对应边相等).在△ABD与△DCA中,DB=AC(已知)

AB=DC(已知)

AD=DA(公共边),∴△ABD≌△DCA(S.S.S)

∴∠BAD=∠CDA(全等三角形的对应角相等).【说明】 本例是证明两个角相等，比较自然

地会想到利用三角形全等.但通过分析，发现需要

证两次三角形全等，有一定难度.对本例还介绍了

通过构造等腰三角形来进行证明的第二种方法.两种方法都需要添加辅助线构造三角形，第一种

方法的证明过程相对复杂些，但较第二种方法容

易想到．

怎样添置辅助线要在以后的学习中不断实践、探索、领悟，要重视图形的运动对添线的启示，而构造基本图形以及补全图形是常用的添线方法.2．反馈练习，巩固知识

(1)已知：如图，AC与BD相交于点O，且AC=BD，AD=BC.求证：OA=OB.（第1题）B D E C（第2题）

(2)已知：如图，点D、E在BC上，AB=AC，AD=AE.求证：BD=CE.3、课堂小结

你能讲一讲，证明角相等，一般可以采用什么方法吗？

4、布置作业

练习册.