第一篇：拟动力学法与有限元法的区别

拟动力学分析方法是在Hertz接触理论和套圈控制理论建立基础上建立起来的的，考虑了滚珠离心力和陀螺力矩的作用，把它们计入到轴承各个元件的力与力矩平衡方程中。在稳定条件下，一般认为轴承的滚动体和保持架处于稳定状态，可用拟动力学法进行分析

采用拟动力学法分析滚动轴承载荷分布时，通常是基于刚性套圈假设，即认为弹性变形只发生在滚动体和内、外环的接触点上，而非接触部分都是刚体。随着科学技术的发展，特别是航空发动机使用的轴承，为了减轻重量，不仅轴承内、外环比较薄，常常连转轴和轴承座也都是薄壁结构，若仍采用刚性套圈假设将显得越来越不合适。

有限元法，在考虑边界条件影响的情况下，分析了滚珠的接触问题，考虑套圈变形的影响，建立了滚动轴承有限元分析模型，研究了滚动轴承的载荷分布特性，并将计算结果与拟动力学法及实验结果进行了比较。

滚动轴承载荷分布研究首先需要解决的问题是接触应力和变形之间的关系。拟动力学法主要以Hertz弹性接触理论为基础，但Hertz接触理论半无限空间的边界条件只适用于简单形状物体的分析，不能满足复杂结构和复杂负荷的情况。此外，若接触体的几何尺寸太小或作用负荷过大，就不能满足Hertz弹性接触理论关于接触面尺寸与接触体表面曲率半径之比很小的假设，限制了它的适用范 围。

有限元法能避免Hertz弹性接触理论的上述不足。接触问题在有限元分析中属于边界非线性。其特点是两个物体在边界处发生接触时，接触面的大小和接触力的大小与接触面的初始间隙、摩擦力以及载荷的大小有关。在加载过程中，接触面大小和边界条件都在不断地变化。因此，有限元分析中的接触问题通常采用试探——校核的迭代方法进行求解。

利用有限元法分析接触问题时，一般采用如下假设：（1）接触系统由两个相互接触的物体组成，它们之间的接触区不发生相对刚体运动；

（2）接触表面的节点满足力平衡条件和几何变形协调一致性；（3）对可能发生接触的区域需预先确定，未设定的部分不发生接触。

第二篇：有限元法论文

有限元实例练习分析 学号：0905010226 姓名：刘阳

专业：材料成型及控制工程

202_年5月2日

目录

引言

一、目的………………………………………………………1

二、软件应用介绍.................................................................1

三、实例内容………………………………………………………………………3

四、求解步骤………………………………………………………………………3

1.建立有限元模型………………………………………3 2.加载求解………………………………………………9

3、查看分析结果…………………………………………11

五、总结………………………………………………………………………………14 参考文献

1、前处理（1）建模

有限元分析的最终目的是还原一个实际工程系统的数学行为特征，即分析必须针对一个物理原型准确的数学模型，模型包括所有节点、单元、材料属性、实常数、边界条件以及其他用来表现这个物理系统的特征。Marc分析的前处理主要就是用来进行建模与网格划分，前处理包括单元类型实常数、材料、属性、建模和划分网格。(2)单元选择

有限元模型可分为2D和3D 两种,可以由点单元,线单元,面单元或实体单元组成,也可将不同类型的单元混合使用。单元库包括两种基本类型的面单元和体单元，即线性单元和二次单元。（3）网格划分

网格划分是其中一个重要的步骤，网格划分的好坏，直接影响到计算的精度和速度，网格划分方法主要有自由网格划分、映射网格划分和体扫掠网格划分三种。

2、加载求解

有限元模型建好后，就可以进入求解器进行加载求解。当施加载荷和边界条件的面、节点或单元比较多时，应该用实体选择命令把这些对象选出来，然后在其上施加载荷或边界条件，以保证所施加的载荷或边界条件的正确性。3.后处理

Marc的后处理过程即为采集求解器处理分析的结果，提取用户所

中。

启动Marc2010后，使用菜单中File> Current Directory将工作目录指向mark文件夹；使工作后的文件存储在这里。(2)构建模型：

网格构建： MAIN>MESH GENERATION>GRID>ElEMS /ADD> SUBDIVIDE（30 3 1）>EIEMENTS >END LIST 画线：RETURN>CURV/ADD 倒角：CURVS TYPE>FILLET>RETURN>CURVS/ADD（0.1）画圆：CURVS TYPE>CENTER POINT>RETURN>CURVS/ADD SWEEP>ALL>RENUMBER>ALL>SAVE完成建模。

(3)定义材料属性：

定义弹性模量和泊松比，操作如下： MAIN >MATERIAL PROPERTIES> MATERIAL

MODEL>RETURN>PLASTICITY>YIELDSTRESS>TABLE> TABLE>OK>OK>ELEMENT/ADD(选单元体)>END LIST YIELDSTRESS定义屈服应力：1(4)定义变形体：

进入CONTACT菜单，定义三个接触体如下： 接触体1：由所有单元组成的可变形体 接触体2：压具圆，加载，摩擦系数为0.1 接触体3：支撑模具，静止，摩擦系数为0.1

操作如下： MAIN>CONTACT>CONTACT BODIES>DEFORMABLE>FRICTION COEFFICCIENT>OKELEMENTS/ADD（选择单元体）

FRICTION COEFFICCIENT定义摩擦系数：0.1 定义可压具小圆：NEW>RIGID>FRICTION COEFFICIENT>OK>TABLES>NEW> INDEPENDENT VARIBLE>TYPE>TIME>ADD>FIT

CONTACT>CONTACT>CONTACT BODIES>ID CONTACT>FLIP CURVES（选择线）>END LIST

(5)：定义边界条件: 首先定义3个关键点，选作约束节点，结构件在长度方向上属于对称结构件，可以通过施加对称边界条件取其一半结构进行分析，即约束二分之一界面处节点沿长度方向上的位移与模具运动方向的位移等于零。

定义约束点操作如下：

MAIN操作如下:BOUNDARY CONDITION>STRUCTURAL>FIXED

CONTROL>STICK-SLIP INITIAL CONTROL>CONTACT TABLE>CTABLE 1>OK>OK>ANALYSIS>LARGE STAIN>OK JOB RESULTS>EQU-VON MISES STRIN>OK>ANASYS DIMENSONS/3D-2D>OK>CHECK >RUN>SUBMIT

3、后处理

ADD CURVES>ADD CURVE>选择ARC LENGTH和Y轴目标>FIT

SHOW PATH PLOT>SHOW MODEL>RETURN>REWIND HISTORY PLOT>SET LOCATIONS（选择追踪节点）>END LIST

ALL INCS>ADD CURVES>ALL LOCATIONS（选择目标）>FIT

SHOW HISTORY>SHOW MODEl>UTILS>SNAPSHOT（选择选择模式）

UTILS>ANIMATION>AVI MOVIE>MAKE AVI MOVIE>PLAY AVI

第三篇：有限元法基础讲稿-第14讲

青岛大学讲稿

讲

授

内

容

备

注 第10讲(第17周)4.1 结构动力学问题有限元方法

动力学问题在国民经济和科学技术的发展中有着广泛的应用领域。最经常遇到的是结构动力学问题，它有两类研究对象：一类是在运动状态下工作的机械或结构，例如高速旋转的电机、汽轮机、离心压缩机，往复运动的内燃机、冲压机床，以及高速运行的车辆、飞行器等，它们承受着本身惯性及与周围介质或结构相互作用的动力载荷。如何保证它们运行的平稳性及结构的安全性，是极为重要的研究课题。另一类是承受动力载荷作用的工程结构，例如建于地面的高层建筑和厂房，石化厂的反应塔和管道，核电站的安全壳和热交换器，近海工程的海洋石油平台等，它们可能承受强风、水流、地震以及波浪等各种动力载荷的作用。这些结构的破裂、倾覆和垮塌等破坏事故的发生，将给人民的生命财产造成巨大的损失。正确分析和设计这类结构，在理论和实际上也都是具有意义的课题。

动力学研究的另一重要领域是波在介质中的传播问题。它是研究短暂作用于介质边界或内部的载荷所引起的位移和速度的变化，如何在介质中向周围传播，以及在界面上如何反射、折射等的规律。它的研究在结构的抗震设计、人工地震勘探、无损探伤等领域都有广泛的应用背景，因此也是近20多年一直受到工程和科技界密切关注的课题。

现在应用有限单元法和高速电子计算机，已经可以比较正确地进行各种复杂结构的动力计算，本章阐明如何应用有限单元法进行动力分析。

4.1.1 运动方程

结构离散化以后，在运动状态中各节点的动力平衡方程如下

Fi +Fd +P(t)=Fe

(2-2-1)

式中：Fi、Fd、P(t)分别为惯性力、阻尼力和动力荷载，均为向量；Fe为弹性力。

弹性力向量可用节点位移δ和刚度矩阵K表示如下

Fe =K δ

式中：刚度矩阵K的元素Kij为节点j的单位位移在节点i引起的弹性力。

根据达朗贝尔原理，可利用质量矩阵M和节点加速度下

FiMδt22δt22表示惯性力如

式中：质量矩阵的元素Mij为节点j的单位加速度在节点i引起的惯性力。

设结构具有粘滞阻尼，可用阻尼矩阵C和节点速度

FdCδt2δt表示阻尼力如下

式中：阻尼矩阵的元素Cij为节点j的单位速度在节点i引起的阻尼力。

将各力代入式(2-2-1)，得到运动方程如下

Mδt22CδtKδP(t)

(2-2-2)

记

δ，δδ δ2tt2则运动方程可写成

C δK δP(t)

(2-2-3)M δ，结构各节点的在地震时，设地面加速度为a，结构相对于地面的加速度为δ，在计算惯性力时须用它代替式(2-2-3)中的δ。至于弹性力实际加速度等于a+δ，与地和阻尼力，则分别取决于结构的应变和应变速率，即取决于位移δ和速度δ面加速度无关。

2.2.2 质量矩阵

下面用m表示单元质量矩阵，M表示整体质量矩阵。求出单元质量矩阵后，进行适当的组合即可得到整体质量矩阵。组合方法与由单元刚度矩阵求整体刚度矩阵时相似。

在动力计算中可采用两种质量矩阵，即协调质量矩阵和集中质量矩阵。1.协调质量矩阵

从运动的结构中取出一个微小部分，根据达朗贝尔原理，在它的单位体积上作用的惯性力为

pirt22

式中：ρ为材料的密度。

在对结构进行离散化以后，取出一个单元，并采用如下形式的位移函数

rN δ

e则

piNδt22e

再利用荷载移置的一般公式求得作用于单元节点上的惯性力为

FieNTpidVNNdVTδt22e

即

ee Fimδ可见，单元质量矩阵为

mNNdV

(2-2-4)

T如此计算单元质量矩阵，单元的动能和位能是互相协调的，因此叫做协调质量矩阵。

2.集中质量矩阵

假定单元的质量集中在它的节点上，质量的平移和转动可同样处理。这样得到的质量矩阵是对角线矩阵。

单元集中质量矩阵定义如下：

mdV

(2-2-5)

T式中，为函数i的矩阵，i在分配给节点i的区域内取l，在域外取0。

由于分配给各节点的区域不能交错，所以由上式计算的质量矩阵是对角线的。

3.平面等应变三角形单元集中质量矩阵与协调质量矩阵

设单元重量为W，将它3等分，分配给每一节点，得到单元集中质量矩阵如下

10W0m3g00***0100000010000 001

(2-2-6)

单元协调质量矩阵为

1201W4m3g0140******140120014014012

(2-2-7)

在单元数目相同的条件下，两种质量矩阵给出的计算精度是相差不多的。集中质量矩阵不但本身易于计算，而且由于它是对角线矩阵，可使动力计算简化很 3 多。对于某些问题，如梁、板、壳等。由于可省去转动惯性项，运动方程的自由度数量可显著减少。当采用高次单元时，推导集中质量矩阵是困难的。另外，只要离散化时保持了单元之间的连续性，由协调质量矩阵算得的频率代表结构真实自振频率的上限。

2.2.3 阻尼矩阵

如前所述，结构的质量矩阵[M]和刚度矩阵[K]是由单元质量矩阵[m]和单元刚度矩阵[M]e经过集合而建立起来的。相对来说，阻尼问题比较复杂，结构的阻尼矩阵[C]不是由单元阻尼矩阵经过集合而得到的，而是根据已有的实测资料，由振动过程中结构整体的能量消耗来决定阻尼矩阵的近似值。

1.单自由度体系的阻尼

单自由度体系的自由振动方程为

ck0 m式中：m为质量；c为阻尼系数；k为刚度系数；δ为变位。

上式两边除以m后得到

20 2其中，频率）。

ζ称为阻尼比，ω为体系的自振频率（角k/m，c/2m，设初始条件为：当t＝0时，δ＝δ0，＝v0，符合这些初始条件的解为

expt0cosdtv00d2sindt

(2-2-8)

d1

体系的自振频率为ωd，其振幅随着时间而逐渐衰减。

根据实测资料，大多数结构的阻尼比都是很小的数，较多为ζ=0.01～0.10，一般都小于0.20。可见，阻尼对自振频率的影响是很小的，通常可取ωd＝ω。

2.多自由度体系的阻尼

如果假定阻尼力正比于质点运动速度，从运动的结构中取出一微小部分，在它的单位体积上作用的阻尼力为

pdte rNδ式中：α为比例常数；ρ为材料密度；N为形函数。

利用荷载移置的一般公式求得作用于单元e的节点上的阻尼力如下

FdeNTpddVe NNdVδT即

ee FdC δ 4 而

CNNdVm

(2-2-9)

T可见，此时单元阻尼矩阵正比于单元质量矩阵。如果假定阻尼力正比于应变速度，则阻尼应力可表为

ζdDεte DBδ所以作用于单元e的节点上的阻尼力为

FedBTδddVBTeC δe DBdVδ其中

CBTeKe

(2-2-10)DBdVδ可见，此时单元阻尼矩阵正比于单元刚度矩阵K e。

前面已经说过，通常是根据实测资料，由振动过程中结构整体的能量消耗来决定阻尼的近似值，因此不是计算单元阻尼矩阵，而直接计算结构的整体阻尼矩阵C。一般采用如下的线性关系，并称为瑞利(Rayleigh)阻尼，即

CMK

(2-2-11)

其中的系数α和β根据实测资料决定。

现在说明如何计算α和β。设φi和φj为两个振型。对式(2-2-11)的两边先后乘以φi，再前乘以φT得到 jφjCφiφjMφiφjKφi

(2-2-12)

TTT根振型正交性再由式(2-2-12)得到

φjCφi0φjCφiTT2jm pjij ij其中

mpjφjMφj

T令

则

2j2jj

(2-2-13)

φjCφj2jjmpj

T由式（2-2-13）得到

j2j2j

(2-2-14)

实测两个阻尼比即可求解α与β。

结构动力学方程主要采用振型叠加法和直接积分法。前者用到振型正交条件，但不同的振型之间不能解耦时（在结构与地基的相互作用问题中，地基的阻尼往

往大于结构本身的阻尼，对于结构和地基应分别给以不同的α与β值），应采用直接积分法求解。

2.2.4 结构自振频率与振型

在式(2-2-3)中，令P(t)＝0，得到自由振动方程。在实际工程中，阻尼对结构自振频率和振型的影响不大，因此可进一步忽略阻尼力，得到无阻尼自由振动的运动方程

0

(2-2-15)K δM δ设结构作下述简谐运动

δφcost

把上式代人式(2-2-15)，可得到齐次方程

(KM)φ0

(2-2-16)

2在自由振动时，结构中各节点的振幅{Ф}不全为零，所以结构自振频率方程为

KM0

(2-2-17)

结构的刚度矩阵[K]和质量矩阵[M]都是n阶方阵，其中n是节点自由度的数目，所以上式是关于ω2的n次代数方程，由此可求出结构的自振频率

ω1≤ω2≤ω3≤…≤ωn

对于每个自振频率，由式(2-2-16)可确定一组各节点的振幅值 i＝[ i1，

Ti2，…， in]，它们互相之间应保持固定的比值，但绝对值可任意变化，它们构成一个向量，称为特征向量，在工程上通常称为结构的振型。

因为在每个振型中，各节点的振幅是相对的，其绝对值可取任意数值。在实际工作中，常用以下两种方法之一来决定振型的具体数值：

(1)规准化振型：取 i的某一项，例如取第n项为1，即 in＝1，于是

 i＝[ i1， i2，…，1]T

(2-2-18)

这样的振型称为规准化振型。

(2)正则化振型：选取 ij的数值，使

φiMφi

1(2-2-19)

T2这样的振型称为正则化振型。

设已求得一振型φii1,i2,,in，如令

Tjiij/in

(2-2-20)

则得到的φii1,i2,,in为规准化振型。如令

Tjiij/c

(2-2-21)

cφiMφiTT1/2

则得到的φii1,i2,,in为正则化振型。

令

mpiφiTMφi

(2-2-22)

当M为集中质量矩阵时，则

m10in00m200i10i2 mninmpii12i2ms1s2is

当φi为正则化振型时，有

mpi=1 令

kpiφiTKφiφiTi2Mφii2mpi

(2-2-23)

式中，mpi和kpi分别称为第i阶振型相应的广义质量和广义刚度。由式（2-2-23）得

ikpi/mpi

(2-2-24)

[例2-3]求解K =ω2M的振型，其中

2K10141021，M12014101 2求解说明

频率方程为

20.5KM2214120120.52100

求得三个自振频率为

22212，24，36

将122代入式（2-2-16）中，得到第1振型必须满足的方程组如下

11-12+0=0，-11+212-13=0，11-12+13=0 联立前两个方程解出

11=13，12=13

取13=1，得到规准化的第一振型为

1=[1 1 1]T

用同样方法得到第2、3振型为

2=[-1 0 1]T 3=[1-1 1]T

由式（2-2-21）得到正则化振型如下

1=[1/

21/2

1/

2=[-1 0 1]T 3=[1/2

-1/2

1/

2]T ]T

22.2.5 振型叠加法求解结构的受迫振动

目前，常用的求解结构受迫振动的方法有两种，即振型叠加法和直接积分法。用振型i的线性叠加来表示处于运动状态中的结构位移向量

δφ11tφ22tφnntφt

(2-2-25)

iii1n用φTM前乘上式的两边，由于振型正交性，等式右边的n项中只剩下i＝jj这一项，即

φjMδTjtφTMφjjmpjjt

由此得到

itφiMδmpiT

(2-2-26)

i的初始值可表示为 i和φiMδ(0)mpiTi0

(2-2-27)

i0T(0)φiMδmpi

(2-2-28)

现在考虑下列运动方程的求解：

C δK δP(t)M δ把式（2-2-25）代入上式，得到

nniinMφi1iKCφii1φii1iP(t)

对上式两边前乘以φT，并令C=αM+βK，得到 jnφi1TjiMφiφMTji1niKφinφi1TjTKφiiφjP(t)

由于振型正交性，得到

iimpiiimpiiφjP(t)mpi22T由于i22ii，上式进一步化为

i2iiiii21mpiφjP(t)i1,2,3,,n

(2-2-29)

T这是二阶常微分方程，这样的方程共有n个，它们是互相独立的。式(2-2-29)在形式上与单自由度体系的运动方程相同。其解答可用数值积分方法计算，也可用Duhamel积分计算如下：

it1dimpiiitt0P* eiitsinditd

(2-2-30)

ei0iii0sinditi0cosditdi其中

2di1i

P*tφiP(t)

T把ηi(t)代人式(2-2-25)，即得到所需解答。在用有限元方法进行结构动力分析时，自由度数目n可以达到几百甚至几千，但由于高阶振型对结构动力反应的影响一般都很小，通常只要计算一部分低阶振型就够了。例如，对于地震荷载，一般只要计算前面5～20个振型。对于爆炸和冲击荷载，就需要取更多的振型，有时需取出多达2n／3个振型进行计算，而对于振动激发的动力反应，有时只有一部分中间的振型起作用。

运动方程(2-2-3)是二阶常微分方程组，可用数值积分方法直接求解。应用于动力问题的直接积分方法很多，有线性加速度方法、Wilson方法、Newmark方法等，此不赘述。

第四篇：法在我心中学法征文

在我耳畔，在我心中，有一句话时时响起：要遵纪守法！

从我有记忆起，爸爸妈妈就在我心里播下了“法”的种子：他们整天跟我说“君君，要遵纪守法！”过马路时，他们告诉我，要遵守交通规则，不要闯红灯；和小朋友一起玩时，他们告诉我不能欺负小朋友，要和小朋友互相谦让，一起玩。在街上看见警察，他们还会吓唬我：君君，要是你做了坏事，警察叔叔会把你抓起来的！末了还加上一句：你千万不要做坏事啊！那时，我只隐约地知道不能做坏事，但是其实我不明白为什么不能做坏事。

及至上学，法在我心里慢慢生根了。上学后，教育我遵纪守法的人多了，那就是学校的教师们。和爸爸妈妈一样，老师也整天告诉我们应该遵守学校的规章制度，怎样遵守规章制度。不同的是，老师不仅告诉我们为什么要这么做，而且学校还请来了很多叔叔阿姨给我们讲违法乱纪的危害，用活生生的例子教育我们要遵纪守法。在他们的教育下，看到那些活生生的例子，我知道了：做坏事不仅仅是要被警察抓起来这么简单，更重要的是做了坏事会给别人也会给自己带来不方便，会影响别人的生活，也会改变自己的生活，让自己走向深渊。

时间一天天过去，我也在慢慢长大。在电视报道上，在报刊杂志上，甚至就在我自己的生活中，我看到了，也深深地意识到：遵纪守法应该从小做起，我们应该从小学会在法律的制约下生活。否则，很可能会触犯法律，而如果触犯了法律，最终后悔的会是自己！法律就是为了保障我们每个人正常自由地生活而制定的，法律约束的就是争强好霸的人的不当的会影响别人生活影响正常的社会秩序的行为。如果我们从小不学会约束自己，争强好胜，就很容易会触犯法律了。到那时可是一失足成千古恨，很可能会抱憾终身。法在我心里扎根了。

将来我们还要走上社会。那时法更重要。我们更应该时刻提醒自己遵纪守法，让法的警钟声时刻在我们耳边响起。

法在心中，自然心安，法在心中，自然理得！

第五篇：动力学法测量材料的弹性模量教案

动力学共振法测定材料的弹性模量

材料的弹性模量是材料力学的一个重要参量（举例），之前已用静态拉伸法测过，这学期我们用动态法测量，动态法是国家标准推荐方法，可进行变温测量。

（一）实验原理介绍 弹性模量描述材料自身弹性的物理量（工程应用）理论推导可知E=1.6067L3mf4/d4（书后附录仔细阅读、推导）

L金属棒长度提问：本实验中怎样测量合理？（单次测量还是多次测量）

m 金属棒质量提问：本实验中怎样测量合理？（用什么工具测量，单次测量还是多次测量）

d 金属棒直径提问：本实验中怎样测量合理？（用什么工具测量，单次测量还是多次测量）

f 金属棒固有频率共振法测量 需明晰的概念-----提问、讨论

1.测得的为共振频率，与固有频率有区别？ 2.基频？谐波？----我们测什么频率？----公式

3.怎样测量共振频率？（假信号如何甄别----撤偶法、峰宽？、降低信号源电压等）

鼓励学生摸索、分析----意义！④节点？内插法？如何测量？

（二）实验仪器介绍

信号发生器—>弹性模量测试台—>示波器（各部分重要功能介绍，示波器可提问）

（三）实验内容及要求 1 测长度、质量、直径 2 测共振频率 内插法测共振频率

(四)实验中注意事项 1 试样调扎方法 周期性的策动力不能过大（过大容易产生伪信号）伪信号判断方法：听声音（十分尖锐），抬起棒，信号消失为真，否则为假。