第一篇:ode微分方程函数的书写格式
x0=[0;0]
f=@(t,x)[-41.86*x(1)^5 + 113.155*x(1)^40.58945*x(1)^4*x(2)+ 4.931*x(1)^43.6245*x(1)^30.41191*x(1)^2*x(2)0.27278*x(1)*x(2)^4 + 0.034887*x(1)*x(2)^3-0.91755*x(1)*x(2)^2 + 0.031226*x(1)*x(2)0.48587*x(2)^5 + 5.8169e-08*x(2)^41.9321e-07*x(2)^2-0.90217*x(2)];
opt=odeset;
opt.RelTol=1e-6;
tic,[t,x]=ode15s(f,[-1,10],x0,opt);toc
length(t)
figure(1)
plot(t,x(:,1))
第二篇:微分方程
高等数学教案
§12 微分方程
第十二章
微分方程
教学目的:
1.了解微分方程及其解、阶、通解,初始条件和特等概念。2.熟练掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法。
3.会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程,会用简单的变量代换解某些微分方程。4. 会用降阶法解下列微分方程:y(n)f(x),yf(x,y)和yf(y,y)
5. 理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。
6.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法,并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。
7.求自由项为多项式、指数函数、余弦函数,以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。
8.会解欧拉方程,会解包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组。9.会解微分方程组(或方程组)解决一些简单的应用问题。教学重点:
1、可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法
(n)
2、可降阶的高阶微分方程yf(x),yf(x,y)和yf(y,y)
3、二阶常系数齐次线性微分方程;
4、自由项为多项式、指数函数、余弦函数,以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程;
教学难点:
1、齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程;
2、线性微分方程解的性质及解的结构定理;
3、自由项为多项式、指数函数、余弦函数,以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。
高等数学教案
§12 微分方程
4、欧拉方程
§12 1 微分方程的基本概念
函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映 利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究 因此如何寻找出所需要的函数关系 在实践中具有重要意义 在许多问题中 往往不能直接找出所需要的函数关系 但是根据问题所提供的情况 有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式 这样的关系就是所谓微分方程 微分方程建立以后 对它进行研究 找出未知函数来 这就是解微分方程
例1 一曲线通过点(1 2) 且在该曲线上任一点M(x y)处的切线的斜率为2x 求这曲线的方程
解 设所求曲线的方程为yy(x) 根据导数的几何意义 可知未知函数yy(x)应满足关系式(称为微分方程)
dy2x
(1)
dx此外 未知函数yy(x)还应满足下列条件
x1时 y2 简记为y|x12
(2)把(1)式两端积分 得(称为微分方程的通解)
y2xdx 即yx2C
(3)其中C是任意常数
把条件“x1时 y2”代入(3)式 得
212C
由此定出C1 把C1代入(3)式 得所求曲线方程(称为微分方程满足条件y|x12的解)
yx21
例2 列车在平直线路上以20m/s(相当于72km/h)的速度行驶 当制动时列车获得加速度04m/s2 问开始制动后多少时间列车才能停住 以及列车在这段时间里行驶了多少路程?
解 设列车在开始制动后t秒时行驶了s米 根据题意 反映制动阶段列车运动规律的函数ss(t)应满足关系式
d2s0.4
(4)dt22 此外 未知函数ss(t)还应满足下列条件
高等数学教案
§12 微分方程
t0时 s0 vds20 简记为s|=0 s|=20
(5)
t0t0dt
把(4)式两端积分一次 得
vds0.4tC
(6)1dt再积分一次 得
s02t2 C1t C2
(7)这里C1 C2都是任意常数
把条件v|t020代入(6)得
20C1
把条件s|t00代入(7)得0C2
把C1 C2的值代入(6)及(7)式得
v04t 20
(8)
s02t220t
(9)在(8)式中令v0 得到列车从开始制动到完全停住所需的时间
t2050(s)
0.4再把t50代入(9) 得到列车在制动阶段行驶的路程
s025022050500(m)
解 设列车在开始制动后t秒时行驶了s米
s04 并且s|t0=0 s|t0=20
把等式s04两端积分一次 得
s04tC1 即v04tC1(C1是任意常数)
再积分一次 得
s02t2 C1t C2(C1 C2都C1是任意常数)
由v|t020得20C1 于是v04t 20
由s|t00得0C2 于是s02t220t
令v0 得t50(s) 于是列车在制动阶段行驶的路程
s025022050500(m) 高等数学教案
§12 微分方程
几个概念
微分方程 表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程 叫微分方程
常微分方程 未知函数是一元函数的微分方程 叫常微分方程
偏微分方程 未知函数是多元函数的微分方程 叫偏微分方程
微分方程的阶 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数 叫微分方程的阶
x3 yx2 y4xy3x2
y(4)4y10y12y5ysin2x
y(n)10
一般n阶微分方程
F(x y y
y(n))0
y(n)f(x y y
y(n1))
微分方程的解 满足微分方程的函数(把函数代入微分方程能使该方程成为恒等式)叫做该微分方程的解 确切地说 设函数y(x)在区间I上有n阶连续导数 如果在区间I上
F[x (x) (x) (n)(x)]0
那么函数y(x)就叫做微分方程F(x y y y(n))0在区间I上的解
通解 如果微分方程的解中含有任意常数 且任意常数的个数与微分方程的阶数相同 这样的解叫做微分方程的通解
初始条件 用于确定通解中任意常数的条件 称为初始条件 如
xx0 时 yy0 y y0
一般写成
yxx0y0 yxx0y0
特解 确定了通解中的任意常数以后 就得到微分方程的特解 即不含任意常数的解
初值问题 求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题
如求微分方程yf(x
y)满足初始条件yxx0y0的解的问题 记为
yf(x,y)
yxx0y0
积分曲线 微分方程的解的图形是一条曲线 叫做微分方程的积分曲线
例3 验证 函数 高等数学教案
§12 微分方程
xC1cos ktC2 sin kt 是微分方程
2dxk2x0
dt2的解
解 求所给函数的导数
dxkCsinktkCcoskt 12dtd2xk2Ccosktk2Csinktk2(CcosktCsinkt) 1212dt22dx将2及x的表达式代入所给方程 得 dt
k2(C1cos ktC2sin kt) k2(C1cos ktC2sin kt)0
2dx
这表明函数xC1cosktC2sinkt 满足方程2k2x0 因此所给函数是所给方程的解
dt2dx
例4 已知函数xC1cosktC2sinkt(k0)是微分方程2k2x0的通解 求满足初始条件 dt
x| t0 A x| t0 0 的特解
解
由条件x| t0 A及xC1 cos ktC2 sin kt 得
C1A
再由条件x| t0 0 及x(t)kC1sin ktkC2cos kt 得
C20
把C1、C2的值代入xC1cos ktC2sin kt中 得
xAcos kt
§12 2 可分离变量的微分方程
观察与分析
1 求微分方程y2x的通解 为此把方程两边积分 得 yx2C
一般地 方程yf(x)的通解为yf(x)dxC(此处积分后不再加任意常数)
高等数学教案
§12 微分方程
2 求微分方程y2xy2 的通解
因为y是未知的 所以积分2xy2dx无法进行 方程两边直 接积分不能求出通解
为求通解可将方程变为
1dy2xdx 两边积分 得
y21x2C 或y21
yxC可以验证函数y1是原方程的通解
x2C
一般地 如果一阶微分方程y(x, y)能写成 g(y)dyf(x)dx
形式 则两边积分可得一个不含未知函数的导数的方程
G(y)F(x)C
由方程G(y)F(x)C所确定的隐函数就是原方程的通解
对称形式的一阶微分方程
一阶微分方程有时也写成如下对称形式
P(x y)dxQ(x y)dy0 在这种方程中 变量x与y 是对称的
若把x看作自变量、y看作未知函数 则当Q(x,y)0时 有
dyP(x,y)
dxQ(x,y)若把y看作自变量、x看作未知函数 则当P(x,y)0时 有
dxQ(x,y)
dyP(x,y)
可分离变量的微分方程
如果一个一阶微分方程能写成
g(y)dyf(x)dx(或写成y(x)(y))的形式 就是说 能把微分方程写成一端只含y的函数和dy 另一端只含x的函数和dx 那么原方程就称为可分离变量的微分方程
讨论 下列方程中哪些是可分离变量的微分方程?(1)y2xy
是 y1dy2xdx 高等数学教案
§12 微分方程
(2)3x25xy0
是 dy(3x25x)dx(3)(x2y2)dxxydy=0
不是
(4)y1xy2xy2 是 y(1x)(1y2)(5)y10xy
是 10ydy10xdx(6)yxy
不是
yx
可分离变量的微分方程的解法
第一步
分离变量 将方程写成g(y)dy f(x)dx的形式
第二步
两端积分g(y)dyf(x)dx 设积分后得G(y)F(x)C
第三步
求出由G(y)F(x)C所确定的隐函数y(x)或x(y)G(y)F(x)C y(x)或x(y)都是方程的通解 其中G(y)F(x)C称为隐式(通)解
例1 求微分方程dy2xy的通解
dx
解
此方程为可分离变量方程 分离变量后得
1dy2xdx
y1dy2xdx
y两边积分得
即
ln|y|x2C1
从而
yex2C1eC1ex 2因为eC1仍是任意常数 把它记作C 便得所给方程的通解
yCex
解
此方程为可分离变量方程 分离变量后得
21dy2xdx
y1dy2xdx
y7 两边积分得
即
ln|y|x2lnC
高等数学教案
§12 微分方程
从而
yCex
例2 铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比 已知t0时铀的含量为M0 求在衰变过程中铀含量M(t)随时间t变化的规律
解 铀的衰变速度就是M(t)对时间t的导数2dM
dt
由于铀的衰变速度与其含量成正比 故得微分方程
dMM
dtdM0
dt其中(>0)是常数 前的曲面号表示当t增加时M单调减少 即由题意 初始条件为
M|t0M0
将方程分离变量得
dMdt
M两边积分 得M()dt dM即
lnMtlnC 也即MCet
由初始条件 得M0Ce0C
所以铀含量M(t)随时间t变化的规律MM0et
例3 设降落伞从跳伞塔下落后 所受空气阻力与速度成正比 并设降落伞离开跳伞塔时速度为零 求降落伞下落速度与时间的函数关系
解
设降落伞下落速度为v(t) 降落伞所受外力为Fmgkv(k为比例系数) 根据牛顿第二运动定律Fma 得函数v(t)应满足的方程为
mdvmgkv
dt初始条件为
v|t00
方程分离变量 得
高等数学教案
§12 微分方程
dvdt
mgkvm两边积分 得dvdt
mgkvm
ln(mgkv)1ktC
m1kC1ktmgem即
v()
CeCkkmg将初始条件v|t00代入通解得C
kktmg于是降落伞下落速度与时间的函数关系为v(1em)
kdy
例4 求微分方程1xy2xy2的通解
dx
解 方程可化为
dy(1x)(1y2)
dx1dy(1x)dx
1y2分离变量得
两边积分得
1dy(1x)dx 即arctany1x2xC
1y22于是原方程的通解为ytan(x2xC)
例4 有高为1m的半球形容器 水从它的底部小孔流出 小孔横截面面积为1cm2 开始时容器内盛满了水 求水从小孔流出过程中容器里水面高度h随时间t变化的规律
解 由水力学知道 水从孔口流出的流量Q可用下列公式计算
Q12dV0.62S2gh
dt其中0 62为流量系数 S为孔口横截面面积 g为重力加速度 现在孔口横截面面积S1cm2 故
dV0.622gh 或dV0.622ghdt
dt
另一方面 设在微小时间间隔[t tdt]内 水面高度由h降至hdh(dh0) 则又可得到 高等数学教案
§12 微分方程
dVr2dh
其中r是时刻t的水面半径 右端置负号是由于dh0而dV0的缘故 又因
r1002(100h)2200hh2
所以
dV(200hh2)dh
通过比较得到
0.622ghdt(200hh2)dh
这就是未知函数hh(t)应满足的微分方程
此外 开始时容器内的水是满的 所以未知函数hh(t)还应满足下列初始条件
h|t0100
将方程0.622ghdt(200hh2)dh分离变量后得
dt两端积分 得
t0.622g132(200hh2)dh
0.622g132(200hh2)dh
(400h22h2)C
即
t50.622g3其中C是任意常数
由初始条件得 35(400100221002)C
t50.622gC35(400000200000)14105
350.622g0.622g150.622g(7105353210h3h2) 因此
t 高等数学教案
§12 微分方程
上式表达了水从小孔流出的过程中容器内水面高度h与时间t之间的函数关系
§12 3 齐次方程
齐次方程
如果一阶微分方程dyf(x,y)中的函数f(x, y)可写成 dxyy的函数 即f(x,y)() 则称这方程为齐次方程
xx
下列方程哪些是齐次方程?
dyyy2x2dyyy()21
(1)xyyyx0是齐次方程dxxdxxx222dy1y
(2)1xy1y不是齐次方程
dx1x222dyx2y2dyxy
(3)(xy)dxxydy0是齐次方程 dxxydxyx2
2(4)(2xy4)dx(xy1)dy0不是齐次方程
(5)(2xsh3ych)dx3xchdy2xy4
dxxy1yxyxydy0是齐次方程
xyy2xsh3ychdyxxdy2thyy
ydxdx3xx3xchx
齐次方程的解法
ydyy()中 令u 即yux 有 dxxxdu(u)
uxdx
在齐次方程分离变量 得 高等数学教案
§12 微分方程
dudx (u)uxdudx
(u)ux两端积分 得
y代替u 便得所给齐次方程的通解
xdydy
例
1解方程y2x2xy
dxdx求出积分后 再用
解
原方程可写成
y2()dyyx
dxxyx2y1x2因此原方程是齐次方程 令
yux 于是原方程变为
2duu
ux
dxu1duu 即
xdxu1yu 则 xdyuxdu
dxdx分离变量 得
(1)du1udx
x两边积分 得uln|u|Cln|x|
或写成ln|xu|uC
以y代上式中的u 便得所给方程的通解 x
ln|y|yC
x
例2 有旋转曲面形状的凹镜 假设由旋转轴上一点O发出的一切光线经此凹镜反射后都与旋转轴平行 求这旋转曲面的方程 高等数学教案
§12 微分方程
解 设此凹镜是由xOy面上曲线L yy(x)(y>0)绕x轴旋转而成 光源在原点 在L上任取一点M(x, y) 作L的切线交x轴于A 点O发出的光线经点M反射后是一条平行于x轴射线 由光学及几何原理可以证明OAOM
因为
OAAPOPPMcotOP而
OMx2y2
于是得微分方程
yx
yyxx2y2 y整理得dxx(x)21 这是齐次方程
dyyydxx(x)21
dyyy
问题归结为解齐次方程
令即
yxv 即xyv 得vydvvv21
dyydvv21
dydvdy
v21y分离变量 得两边积分 得 ln(vv21)lnylnC, vv21yy, (v)2v21, CCy22yv1
C2C以yvx代入上式 得y22C(xC)
2这是以x轴为轴、焦点在原点的抛物线 它绕x轴旋转所得旋转曲面的方程为
y2z22C(xC) 2这就是所求的旋转曲面方程
例3 设河边点O的正对岸为点A 河宽OAh 两岸为平行直线 水流速度为a 有一鸭子从点A游向点O 设鸭子的游速为b(b>a) 且鸭子游动方向始终朝着点 O 求鸭子游过的迹线的方程 高等数学教案
§12 微分方程
例3 设一条河的两岸为平行直线 水流速度为a 有一鸭子从岸边点A游向正对岸点O 设鸭子的游速为b(b>a) 且鸭子游动方向始终朝着点O 已知OAh 求鸭子游过的迹线的方程
解 取O为坐标原点 河岸朝顺水方向为x轴 y 轴指向对岸 设在时刻t鸭子位于点P(x, y) 则鸭子运动速度
v(vx, vy)(dx, dy) 故有dxvx
dyvydtdtx, y) v(abx, by)
x2y2x2y2x2y2x2y2另一方面 vab(a, 0)b(因此dxvxa(x)21x 即dxa(x)21x
dyvybyydybyy
问题归结为解齐次方程dxa(x)21x
dybyy
令
yxu 即xyu 得
yduau21
dybduady 分离变量 得u21by两边积分 得 arshu(lnylnC) bax1[(Cy)1b(Cy)1b]
将u代入上式并整理 得xy2C以x|yh0代入上式 得Caa1 故鸭子游过的轨迹方程为
haay1by1bh
x[()()] 0yh
2hhb将ux代入arshu(lnylnC)后的整理过程
yaarshxb(lnylnC)ya 高等数学教案
§12 微分方程
xshln(Cy)ax1[(Cy)a(Cy)a] yy2bbbbbbby11ax[(Cy)(Cy)a]x1[(Cy)a(Cy)a]
2C2
§12.4 线性微分方程
一、线性方程
线性方程
方程dyP(x)yQ(x)叫做一阶线性微分方程 dxdydyP(x)y0叫做对应于非齐次线性方程P(x)yQ(x)的齐次线性方程
dxdxdydyy1y0是齐次线性方程 dxdxx2如果Q(x)0 则方程称为齐次线性方程 否则方程称为非齐次线性方程
方程
下列方程各是什么类型方程?
(1)(x2)
(2)3x25x5y0y3x25x 是非齐次线性方程
(3)yy cos xesin x 是非齐次线性方程
(4)dy10xy 不是线性方程 dx23(y1)2dy3dydxx0或
(5)(y1) 不是线性方程 x0dydx(y1)2dxx
3齐次线性方程的解法
齐次线性方程
dyP(x)y0是变量可分离方程 分离变量后得 dxdyP(x)dx
y两边积分 得
ln|y|P(x)dxC1 15 高等数学教案
§12 微分方程
P(x)dx(CeC1)
或
yCe这就是齐次线性方程的通解(积分中不再加任意常数)
例
1求方程(x2)dyy的通解
dx
解
这是齐次线性方程 分离变量得
dydx
yx2两边积分得
ln|y|ln|x2|lnC
方程的通解为
yC(x2)
非齐次线性方程的解法
将齐次线性方程通解中的常数换成x的未知函数u(x) 把
P(x)dx
yu(x)e
设想成非齐次线性方程的通解 代入非齐次线性方程求得
P(x)dxP(x)dxP(x)dxu(x)eP(x)P(x)u(x)eQ(x)
u(x)e化简得
u(x)Q(x)eP(x)dx
u(x)Q(x)eP(x)dxdxC
于是非齐次线性方程的通解为
P(x)dxP(x)dx
ye[Q(x)edxC] P(x)dxP(x)dxP(x)dx或
yCeeQ(x)edx 非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性方程通解与非齐次线性方程的一个特解之和
5dy2y
例2 求方程(x1)2的通解
dxx1
解
这是一个非齐次线性方程
高等数学教案
§12 微分方程
先求对应的齐次线性方程分离变量得
dy2y0的通解
dxx1dy2dx
yx1两边积分得
ln y2ln(x1)ln C
齐次线性方程的通解为
yC(x1)2
用常数变易法 把C换成u 即令yu(x1)2 代入所给非齐次线性方程 得
52u(x1)2(x1)2
u(x1)2u(x1)x1 1u(x1)2
两边积分 得 u(x1)2C
3再把上式代入yu(x1)2中 即得所求方程的通解为 32
y(x1)[(x1)2C]
3232 Q(x)(x1)2
解 这里P(x)x12)dx2ln(x1) 因为
P(x)dx(x1P(x)dxe2ln(x1)(x1)2
e Q(x)eP(x)dxdx5(x1)2(x1)2dx132(x1)2dx(x1)23所以通解为
yeP(x)dx[Q(x)eP(x)dxdxC](x1)[2(x1)2C]
323
例3 有一个电路如图所示 其中电源电动势为EEmsint(Em、都是常数) 电阻R和电感L都是常量 求电流i(t)高等数学教案
§12 微分方程
解
由电学知道 当电流变化时 L上有感应电动势L
EL即
di 由回路电压定律得出
dtdiiR0
dtdiRiE
dtLLdiRiEmsin t
dtLL
把EEmsin t代入上式 得
初始条件为
i|t00
diRiEmsin t为非齐次线性方程 其中 dtLLER
P(t) Q(t)msin t
LL
方程由通解公式 得
i(t)eP(t)dt[Q(t)eP(t)dtdtC]RdteL(RdtEmLsin teLdtC)
RttEmR
eL(sinteLdtC)
LRtEm
2(Rsin t Lcos t)CeL
22RL其中C为任意常数
将初始条件i|t00代入通解 得C因此 所求函数i(t)为
t LEmREmL
i(t)2e(Rsin t Lcos t)
R2L2R22L2 LEm
R22L
2二、伯努利方程
伯努利方程 方程
dyP(x)yQ(x)yn(n0 1)dx叫做伯努利方程
下列方程是什么类型方程? 高等数学教案
§12 微分方程
dy11y(12x)y4 是伯努利方程 dx33dydy
(2)yxy5 yxy5 是伯努利方程
dxdxxy
1(3)y yyxy1 是伯努利方程 yxx
(1)
(4)dy2xy4x 是线性方程 不是伯努利方程 dxdyP(x)y1nQ(x)dx
伯努利方程的解法 以yn除方程的两边 得
yn令z y1n 得线性方程
dz(1n)P(x)z(1n)Q(x)
dxdyya(lnx)y2的通解
dxx
例4 求方程
解 以y2除方程的两端 得
dy11yalnx
dxxd(y1)11即
yalnx
dxx
y2令zy1 则上述方程成为
dz1zalnx
dxxa2这是一个线性方程 它的通解为
zx[C(lnx)2]
以y1代z 得所求方程的通解为
yx[C(lnx)2]1
经过变量代换 某些方程可以化为变量可分离的方程 或化为已知其求解方法的方程
例5 解方程a2dy1
dxxy
解
若把所给方程变形为 高等数学教案
§12 微分方程
dxxy
dy即为一阶线性方程 则按一阶线性方程的解法可求得通解 但这里用变量代换来解所给方程
令xyu 则原方程化为
du11 即duu1
dxudxu分离变量 得
ududx
u1两端积分得
uln|u1|xln|C|
以uxy代入上式 得
yln|xy1|ln|C| 或xCeyy1
§12 5 全微分方程
全微分方程 一个一阶微分方程写成 P(x, y)dxQ(x, y)dy0
形式后 如果它的左端恰好是某一个函数uu(x, y)的全微分
du(x, y)P(x, y)dxQ(x, y)dy
那么方程P(x, y)dxQ(x, y)dy0就叫做全微分方程 这里
uP(x,y) uQ(x,y)
yx而方程可写为
du(x, y)0
全微分方程的判定 若P(x, y)、Q(x, y)在单连通域G内具有一阶连续偏导数 且
PQ
yx则方程P(x, y)dxQ(x, y)dy0是全微分方程
全微分方程的通解
若方程P(x, y)dxQ(x, y)dy0是全微分方程 且 高等数学教案
§12 微分方程
du(x, y)P(x, y)dxQ(x, y)dy 则
u(x, y)C
即
xP(x,y)dxyQ(x0,y)dxC((x0,y0)G)
00xy是方程P(x, y)dxQ(x, y)dy0的通解
例1 求解(5x43xy2y3)dx(3x2y3xy2y2)dy0
解 这里
P6xy3y2Q
yxxy所以这是全微分方程 取(x0, y0)(0, 0) 有
u(x,y)0(5x43xy2y3)dxy2dy
0
x5于是 方程的通解为
x53x2y2xy31y3
233x2y2xy31y3C
3积分因子 若方程P(x, y)dxQ(x, y)dy0不是全微分方程 但存在一函数
(x, y)((x, y)0) 使方程
(x, y)P(x, y)dx(x, y)Q(x, y)dy0 是全微分方程 则函数(x, y)叫做方程P(x, y)dxQ(x, y)dy0的积分因子
例2 通过观察求方程的积分因子并求其通解:
(1)ydxxdy0
(2)(1xy)ydx(1xy)xdy0
解(1)方程ydxxdy0不是全微分方程
因为
d()xyydxxdy
2y所以1是方程ydxxdy0的积分因子 于是 y2 21 高等数学教案
§12 微分方程
ydxxdyxC 是全微分方程 所给方程的通解为0yy
2(2)方程(1xy)ydx(1xy)xdy0不是全微分方程
将方程的各项重新合并 得
(ydxxdy)xy(ydxxdy)0
再把它改写成 d(xy)x2y2(这时容易看出dxdy)0
xy1为积分因子 乘以该积分因子后 方程就变为(xy)2
d(xy)dxdy0
2xy(xy)积分得通解
x1x
ln||lnC 即Cexy
yxyy
我们也可用积分因子的方法来解一阶线性方程yP(x)yQ(x)
可以验证(x)e两边乘以(x)e
ye即
ye亦即
[yeP(x)dx1是一阶线性方程yP(x)yQ(x)的一个积分因子 在一阶线性方程的P(x)dx得
P(x)dxP(x)dxyP(x)ey[eQ(x)eP(x)dx
P(x)dxP(x)dxP(x)dx]Q(x)e
P(x)dxP(x)dx]Q(x)e
两边积分 便得通解
yeP(x)dxP(x)dxQ(x)edxC
P(x)dxP(x)dx或
ye[Q(x)edxC] 22 高等数学教案
§12 微分方程
例3用积分因子求dy2xy4x的通解
dx
解 方程的积分因子为
(x)e22xdxex 2方程两边乘以ex得
yex2xexy4xex 即(exy)4xex
于是
exy4xexdx2exC 22222222因此原方程的通解为y4xexdx2Cex 22
§12 6 可降阶的高阶微分方程
一、y(n)f(x)型的微分方程
解法 积分n 次
y(n1)f(x)dxC1
y(n2)[f(x)dxC1]dxC2
例1 求微分方程ye2xcos x 的通解
解 对所给方程接连积分三次 得
ye2xsinxC1
ye2xcosxC1xC2
ye2xsinxC1x2C2xC3
这就是所给方程的通解
或
ye2xsinx2C1 1214181212高等数学教案
§12 微分方程
ye2xcosx2C1xC2
ye2xsinxC1x2C2xC3
这就是所给方程的通解
例2 质量为m的质点受力F的作用沿Ox轴作直线运动 设力F仅是时间t的函数FF(t) 在开始时刻t0时F(0)F0 随着时间t的增大 此力F均匀地减小 直到tT时 F(T)0 如果开始时质点位于原点 且初速度为零 求这质点的运动规律
解 设xx(t)表示在时刻t时质点的位置 根据牛顿第二定律 质点运动的微分方程为
m1418d2xF(t)
dt2由题设 力F(t)随t增大而均匀地减小 且t0时 F(0)F0 所以F(t)F0kt 又当tT时 F(T)0 从而
F(t)F0(1)
于是质点运动的微分方程又写为 tTd2xF0(1t)
Tdt2mdx|0 其初始条件为x|t00
dtt0
把微分方程两边积分 得
2F0dxt
(t)C1
dtm2T再积分一次 得
F012t x(t)C1tC2
m26Tdx|0 由初始条件x|t00
dtt0得C1C20
于是所求质点的运动规律为
F012t3
x(t) 0tT
m26T
解 设xx(t)表示在时刻t时质点的位置
根据牛顿第二定律 质点运动的微分方程为
mxF(t)
由题设 F(t)是线性函数 且过点(0 F0)和(T 0) 高等数学教案
§12 微分方程
故
F(t)t1 即F(t)F0(1t) F0TT于是质点运动的微分方程又写为
xF0(1t)
mT其初始条件为x|t00 x|t00
把微分方程两边积分 得
2F0t
x(t)C1 m2T再积分一次 得
F012t3
x(t)C2
m26T由初始条件x|t00 x|t00
得C1C20
于是所求质点的运动规律为
F012t3
x(t) 0tT
m26T
二、y f(x y)型的微分方程
解法 设yp则方程化为
pf(x p)
设pf(x p)的通解为p(xC1) 则
dy(x,C1)
dx原方程的通解为
y(x,C1)dxC2
例3 求微分方程
(1x2)y2xy 满足初始条件
y|x01 y|x03 的特解
解 所给方程是yf(x y)型的 设yp 代入方程并分离变量后 有
dp2xdx
p1x2两边积分 得 高等数学教案
§12 微分方程
ln|p|ln(1x2)C
即
pyC1(1x2)(C1eC)
由条件y|x03 得C13
所以
y3(1x2)
两边再积分 得 yx33xC2
又由条件y|x01 得C21
于是所求的特解为
yx33x1
例4 设有一均匀、柔软的绳索 两端固定 绳索仅受重力的作用而下垂 试问该绳索在平衡状态时是怎样的曲线?
三、yf(y y)型的微分方程
解法 设yp有
y原方程化为 dpdpdydp
pdxdydxdydpf(y,p)
dydp设方程pf(y,p)的通解为yp(y C1) 则原方程的通解为
dy
p
dy(y,C1)xC2
例5 求微分yyy20的通解
解 设yp 则yp代入方程 得
ypdp
dydp2p0
dy
在y0、p0时 约去p并分离变量 得
dpdy
py两边积分得
ln|p|ln|y|lnc
即
pCy或yCy(Cc)
再分离变量并两边积分 便得原方程的通解为 高等数学教案
§12 微分方程
ln|y|Cxlnc1
或
yC1eCx(C1c1)
例5 求微分yyy20的通解
解 设yp 则原方程化为
ypdp2p0
dy当y0、p0时 有
dp1p0
dyy于是
peydy1C1y
即
yC1y0
从而原方程的通解为
yC2e
例6 一个离地面很高的物体受地球引力的作用由静止开始落向地面 求它落 到地面时的速度和所需的时间(不计空气阻力)
§12 7 高阶线性微分方程 一、二阶线性微分方程举例
例1 设有一个弹簧 上端固定 下端挂一个质量为m 的物体 取x 轴铅直向下 并取物体的平衡位置为坐标原点
给物体一个初始速度v00后 物体在平衡位置附近作上下振动 在振动过程中 物体的位置x是t的函数 xx(t)
设弹簧的弹性系数为c 则恢复力fcx
又设物体在运动过程中受到的阻力的大小与速度成正比 比例系数为 则
RC1dxC2eC1x
dx
dt
由牛顿第二定律得
2dxdx
m2cxdtdt
移项 并记2n m k2c
m27 高等数学教案
§12 微分方程
则上式化为
d2x2ndxk2x0
dtdt2这就是在有阻尼的情况下 物体自由振动的微分方程
如果振动物体还受到铅直扰力
FHsin pt 的作用 则有
2dx2ndxk2xhsinpt
dtdt2H其中h 这就是强迫振动的微分方程
m
例2 设有一个由电阻R、自感L、电容C和电源E串联组成的电路 其中R、L、及C为常数 电源电动势是时间t的函数 EEmsint 这里Em及也是常数
设电路中的电流为i(t) 电容器极板上的电量为q(t) 两极板间的电压为uc 自感电动势为EL 由电学知道
iqdqdi uc ELL
Cdtdt根据回路电压定律 得
diqRi0
dtCd2ucduc即
LCRCucEmsint
dtdt EL或写成
d2ucducEm2
2usint
0c2dtLCdtR 1 这就是串联电路的振荡方程 其中02LLC
如果电容器经充电后撤去外电源(E0) 则上述成为
d2ucduc2
20uc0
2dtdt
二阶线性微分方程 二阶线性微分方程的一般形式为
yP(x)yQ(x)yf(x)
若方程右端f(x)0时 方程称为齐次的 否则称为非齐次的
二、线性微分方程的解的结构 高等数学教案
§12 微分方程
先讨论二阶齐次线性方程
d2ydy
yP(x)yQ(x)y0 即2P(x)Q(x)y0
dxdx
定理1 如果函数y1(x)与y2(x)是方程
yP(x)yQ(x)y0的两个解 那么
yC1y1(x)C2y2(x)也是方程的解 其中C1、C2是任意常数
齐次线性方程的这个性质表明它的解符合叠加原理
证明 [C1y1C2y2]C1 y1C2 y2
[C1y1C2y2]C1 y1C2 y2
因为y1与y2是方程yP(x)yQ(x)y0 所以有
y1P(x)y1Q(x)y10及y2P(x)y2Q(x)y20
从而
[C1y1C2y2]P(x)[ C1y1C2y2]Q(x)[ C1y1C2y2]
C1[y1P(x)y1Q(x)y1]C2[y2P(x)y2Q(x)y2]000
这就证明了yC1y1(x)C2y2(x)也是方程yP(x)yQ(x)y0的解
函数的线性相关与线性无关
设y1(x) y2(x) yn(x)为定义在区间I上的n个函数 如果存在n个不全为零的常数k1 k2 kn 使得当xI 时有恒等式
k1y1(x)k2y2(x)
knyn(x)0 成立 那么称这n个函数在区间I上线性相关 否则称为线性无关
判别两个函数线性相关性的方法
对于两个函数 它们线性相关与否 只要看它们的比是否为常数 如果比为常数 那么它们就线性相关 否则就线性无关
例如 1 cos2x sin2x 在整个数轴上是线性相关的 函数1 x x2在任何区间(a, b)内是线性无关的
定理2 如果如果函数y1(x)与y2(x)是方程
yP(x)yQ(x)y0 的两个线性无关的解 那么
yC1y1(x)C2y2(x)(C1、C2是任意常数)高等数学教案
§12 微分方程
是方程的通解
例3 验证y1cos x与y2sin x是方程yy0的线性无关解 并写出其通解
解 因为
y1y1cos xcos x0
y2y2sin xsin x0
所以y1cos x与y2sin x都是方程的解
因为对于任意两个常数k1、k2 要使
k1cos xk2sin x0
只有k1k20 所以cos x与sin x在(, )内是线性无关的
因此y1cos x与y2sin x是方程yy0的线性无关解
方程的通解为yC1cos xC2sin x
例4 验证y1x与y2ex是方程(x1)yxyy0的线性无关解 并写出其通解
解 因为
(x1)y1xy1y10xx0
(x1)y2xy2y2(x1)exxexex0
所以y1x与y2ex都是方程的解
因为比值e x/x 不恒为常数 所以y1x与y2ex在(, )内是线性无关的
因此y1x 与y2ex是方程(x1)yxyy0的线性无关解
方程的通解为yC1xC2e x
推论 如果y1(x) y2(x) yn(x)是方程
y(n)a1(x)y(n1) an1(x)y an(x)y0 的n个线性无关的解 那么 此方程的通解为
yC1y1(x)C2y2(x) Cnyn(x)
其中C1 C2 Cn为任意常数
二阶非齐次线性方程解的结构
我们把方程
yP(x)yQ(x)y0 叫做与非齐次方程 高等数学教案
§12 微分方程
yP(x)yQ(x)yf(x)对应的齐次方程
定理3 设y*(x)是二阶非齐次线性方程
yP(x)yQ(x)yf(x)的一个特解 Y(x)是对应的齐次方程的通解 那么
yY(x)y*(x)是二阶非齐次线性微分方程的通解
证明提示 [Y(x)y*(x)]P(x)[ Y(x)y*(x)]Q(x)[ Y(x)y*(x)]
[Y P(x)Y Q(x)Y ][ y* P(x)y* Q(x)y*]
0 f(x) f(x)
例如 YC1cos xC2sin x 是齐次方程yy0的通解 y*x22是yyx2 的一个特解 因此
yC1cos xC2sin xx22 是方程yyx2的通解
定理4 设非齐次线性微分方程 yP(x)yQ(x)yf(x)的右端f(x)几个函数之和 如
yP(x)yQ(x)yf1(x) f2(x)
而y1*(x)与y2*(x)分别是方程
yP(x)yQ(x)yf1(x)与yP(x)yQ(x)yf2(x)的特解 那么y1*(x)y2*(x)就是原方程的特解
证明提示
[y1y2*]P(x)[ y1*y2*]Q(x)[ y1*y2*]
[ y1*P(x)y1*Q(x)y1*][ y2*P(x)y2*Q(x)y2*]
f1(x)f2(x)
§12 9 二阶常系数齐次线性微分方程
二阶常系数齐次线性微分方程 方程
ypyqy0 称为二阶常系数齐次线性微分方程 其中p、q均为常数
如果y1、y2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解 那么yC1y1C2y2就是它的
高等数学教案
§12 微分方程
通解
我们看看
能否适当选取r 使yerx
满足二阶常系数齐次线性微分方程 为此将yerx代入方程
ypyqy0 得
(r 2prq)erx 0
由此可见 只要r满足代数方程r2prq0 函数yerx就是微分方程的解
特征方程 方程r2prq0叫做微分方程ypyqy0的特征方程 特征方程的两个根r1、r2可用公式
pp24q
r 1,22求出
特征方程的根与通解的关系
(1)特征方程有两个不相等的实根r1、r2时 函数y1er1x、y2er2x是方程的两个线性无关的解
这是因为
函数y1er1x、y2er2xy1er1x(r1r2)x是方程的解 又不是常数
ey2er2x因此方程的通解为
yC1er1xC2er2x
(2)特征方程有两个相等的实根r1r2时 函数y1er1x、y2xer1x是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解
这是因为 y1er1x是方程的解 又
r1xr1x2r1x
(xer1x)p(xer1x)q(xer1x)(2r1xr1)ep(1xr1)eqxe r1x
2er1x(2r1p)xe(r1pr1q)0
高等数学教案
§12 微分方程
y2xer1x所以y2xe也是方程的解 且x不是常数
y1er1xr1x
因此方程的通解为
yC1er1xC2xer1x
(3)特征方程有一对共轭复根r1, 2i时 函数ye(i)x、ye(i)x是微分方程的两个线性无关的复数形式的解 函数yexcosx、yexsinx是微分方程的两个线性无关的实数形式的解
函数y1e(i)x和y2e(i)x都是方程的解 而由欧拉公式 得
y1e(i)xex(cosxisinx)
y2e(i)xex(cosxisinx)
1y1y22excosx excosx(y1y2)
21y1y22iexsinx exsinx(y1y2)
2i故excosx、y2exsinx也是方程解
可以验证 y1excosx、y2exsinx是方程的线性无关解
因此方程的通解为
yex(C1cosxC2sinx)
求二阶常系数齐次线性微分方程ypyqy0的通解的步骤为
第一步
写出微分方程的特征方程
r2prq0 第二步
求出特征方程的两个根r1、r2
第三步
根据特征方程的两个根的不同情况 写出微分方程的通解
例1 求微分方程y2y3y0的通解
解 所给微分方程的特征方程为
r22r30 即(r1)(r3)0
其根r11 r23是两个不相等的实根 因此所求通解为
yC1exC2e3x
例2 求方程y2yy0满足初始条件y|x0
4、y| x02的特解
解 所给方程的特征方程为
高等数学教案
§12 微分方程
r22r10 即(r1)20
其根r1r21是两个相等的实根 因此所给微分方程的通解为
y(C1C2x)ex
将条件y|x04代入通解 得C14 从而
y(4C2x)ex
将上式对x求导 得
y(C24C2x)ex
再把条件y|x02代入上式 得C22 于是所求特解为
x(42x)ex
例 3 求微分方程y2y5y 0的通解
解 所给方程的特征方程为
r22r50
特征方程的根为r112i r212i 是一对共轭复根
因此所求通解为
yex(C1cos2xC2sin2x)
n 阶常系数齐次线性微分方程 方程
y(n)p1y(n1)p2 y(n2) pn1ypny0
称为n 阶常系数齐次线性微分方程 其中 p1
p2 pn1 pn都是常数
二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方程的通解形式 可推广到n 阶常系数齐次线性微分方程上去
引入微分算子D 及微分算子的n次多项式
L(D)=Dn p1Dn1p2 Dn2 pn1Dpn 则n阶常系数齐次线性微分方程可记作
(Dn p1Dn1p2 Dn2 pn1Dpn)y0或L(D)y0 注 D叫做微分算子D0yy Dyy D2yy D3yy Dnyy(n)
分析 令yerx 则
L(D)yL(D)erx(rn p1rn1p2 rn2 pn1rpn)erxL(r)erx
因此如果r是多项式L(r)的根 则yerx是微分方程L(D)y0的解
n 阶常系数齐次线性微分方程的特征方程
高等数学教案
§12 微分方程
L(r)rn p1rn1p2 rn2 pn1rpn0 称为微分方程L(D)y0的特征方程
特征方程的根与通解中项的对应
单实根r 对应于一项 Cerx
一对单复根r1 2 i 对应于两项 ex(C1cosxC2sinx)
k重实根r对应于k项 erx(C1C2x Ck xk1)
一对k 重复根r1 2 i 对应于2k项
ex[(C1C2x Ck xk1)cosx(D1D2x Dk xk1)sinx]
例4 求方程y(4)2y5y0 的通解
解
这里的特征方程为
r42r35r20 即r2(r22r5)0
它的根是r1r20和r3 412i
因此所给微分方程的通解为
yC1C2xex(C3cos2xC4sin2x)
例5 求方程y(4) 4y0的通解 其中0
解
这里的特征方程为
r4 40
它的根为r1,22(1i) r3,42(1i)
因此所给微分方程的通解为
ye
§12 10 二阶常系数非齐次线性微分方程
二阶常系数非齐次线性微分方程 方程
ypyqyf(x)称为二阶常系数非齐次线性微分方程 其中p、q是常数
二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程 的通解yY(x)与非齐次方程本身的一个特解yy*(x)之和
2x(C1cos2xC2sin2x)e 2x(C3cos2xC4sin2x) 高等数学教案
§12 微分方程
yY(x) y*(x)
当f(x)为两种特殊形式时 方程的特解的求法
一、f(x)Pm(x)ex 型
当f(x)Pm(x)ex时 可以猜想 方程的特解也应具有这种形式 因此 设特解形式为y*Q(x)ex 将其代入方程 得等式
Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)Pm(x)
(1)如果不是特征方程r2prq0 的根 则2pq0 要使上式成立 Q(x)应设为m 次多项式
Qm(x)b0xmb1xm1 bm1xbm
通过比较等式两边同次项系数 可确定b0 b1 bm 并得所求特解
y*Qm(x)ex
(2)如果是特征方程 r2prq0 的单根 则2pq0 但2p0 要使等式
Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)Pm(x)
成立 Q(x)应设为m1 次多项式
Q(x)xQm(x)
Qm(x)b0xm b1xm1
bm1xbm
通过比较等式两边同次项系数 可确定b0 b1
bm 并得所求特解
y*xQm(x)ex
(3)如果是特征方程 r2prq0的二重根 则2pq0 2p0 要使等式
Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)Pm(x)
成立 Q(x)应设为m2次多项式
Q(x)x2Qm(x)
Qm(x)b0xmb1xm1 bm1xbm
通过比较等式两边同次项系数 可确定b0 b1 bm 并得所求特解
y*x2Qm(x)ex
综上所述 我们有如下结论 如果f(x)Pm(x)ex 则二阶常系数非齐次线性微分方程ypyqy f(x)有形如
y*xk Qm(x)ex 的特解 其中Qm(x)是与Pm(x)同次的多项式 而k 按不是特征方程的根、是特征方程的单根或
高等数学教案
§12 微分方程
是特征方程的的重根依次取为0、1或2
例1 求微分方程y2y3y3x1的一个特解
解 这是二阶常系数非齐次线性微分方程 且函数f(x)是Pm(x)ex型(其中Pm(x)3x1 0)
与所给方程对应的齐次方程为
y2y3y0
它的特征方程为
r22r30
由于这里0不是特征方程的根 所以应设特解为
y*b0xb1
把它代入所给方程 得
3b0x2b03b13x1
比较两端x同次幂的系数 得
3b03 3b03 2b03b11 2b3b101由此求得b01 b1 于是求得所给方程的一个特解为
y*x
例2 求微分方程y5y6yxe2x的通解
解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程 且f(x)是Pm(x)ex型(其中Pm(x)x 2)
与所给方程对应的齐次方程为
y5y6y0
它的特征方程为
r25r 60
特征方程有两个实根r12 r23 于是所给方程对应的齐次方程的通解为
YC1e2xC2e3x
由于2是特征方程的单根 所以应设方程的特解为
y*x(b0xb1)e2x
把它代入所给方程 得
2b0x2b0b1x
1313高等数学教案
§12 微分方程
比较两端x同次幂的系数 得
2b01 2b01 2b0b10 2bb001由此求得b01 b1 于是求得所给方程的一个特解为 121 y*x(x1)e2x
从而所给方程的通解为
yC1e2xC2e3x(x22x)e2x
提示
y*x(b0xb1)e2x(b0x2b1x)e2x
[(b0x2b1x)e2x][(2b0xb1)(b0x2b1x)2]e2x
[(b0x2b1x)e2x][2b02(2b0xb1)2(b0x2b1x)22]e2x
y*5y*6y*[(b0x2b1x)e2x]5[(b0x2b1x)e2x]6[(b0x2b1x)e2x] [2b02(2b0xb1)2(b0x2b1x)22]e2x5[(2b0xb1)(b0x2b1x)2]e2x6(b0x2b1x)e2x [2b04(2b0xb1)5(2b0xb1)]e2x[2b0x2b0b1]e2x
方程ypyqyex[Pl(x)cosxPn(x)sinx]的特解形式
应用欧拉公式可得
ex[Pl(x)cosxPn(x)sinx] 12ei xei xP(x)ei xei x] n22i1(x)iP(x)]e(i)x1[P(x)iP(x)]e(i)x
[Pnn2l2l
ex[Pl(x)
P(x)e(i)xP(x)e(i)x
其中P(x)(PlPni) P(x)(PlPni) 而mmax{l n}
设方程ypyqyP(x)e(i)x的特解为y1*xkQm(x)e(i)x
1212高等数学教案
§12 微分方程
则y1*xkQm(x)e(i)必是方程ypyqyP(x)e(i)的特解
其中k按i不是特征方程的根或是特征方程的根依次取0或1
于是方程ypyqyex[Pl(x)cosxPn(x)sinx]的特解为
y*xkQm(x)e(i)xxkQm(x)e(i)x
xkex[Qm(x)(cosxisinx)Qm(x)(cosxisinx)
xk ex[R(1)m(x)cosxR(2)m(x)sinx]
综上所述 我们有如下结论
如果f(x)ex [Pl(x)cosxPn(x)sinx] 则二阶常系数非齐次线性微分方程
ypyqyf(x)的特解可设为
y*xk ex[R(1)m(x)cosxR(2)m(x)sinx]
其中R(1)m(x)、R(2)m(x)是m次多项式 mmax{l n} 而k 按i(或i)不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1
例3 求微分方程yyxcos2x的一个特解
解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程
且f(x)属于ex[Pl(x)cosxPn(x)sinx]型(其中0 2 Pl(x)x Pn(x)0)
与所给方程对应的齐次方程为
yy0
它的特征方程为
r210
由于这里i2i 不是特征方程的根 所以应设特解为
y*(axb)cos2x(cxd)sin2x
把它代入所给方程 得
(3ax3b4c)cos2x(3cx3d4a)sin2xxcos2x
比较两端同类项的系数 得 a b0 c0 d于是求得一个特解为 y*xcos2xsin2x
134
91349高等数学教案
§12 微分方程
提示
y*(axb)cos2x(cxd)sin2x
y*acos2x2(axb)sin2xcsin2x2(cxd)cos2x
(2cxa2d)cos2x(2ax2bc)sin2x
y*2ccos2x2(2cxa2d)sin2x2asin2x2(2ax2bc)cos2x
(4ax4b4c)cos2x(4cx4a4d)sin2x
y* y*(3ax3b4c)cos2x(3cx4a3d)sin2x
3a13b4c014由 得a b0 c0 d 3c0394a3d0
§12 12 微分方程的幂级数解法
当微分方程的解不能用初等函数或其积分表达时 我们就要寻求其它解法 常用的有幂级数解法和数值解法 本节我们简单地介绍微分方程的幂级数解法
求一阶微分方程的多项式
f(x y)a00a10(xx0)a01(yy0) aim(xx0)l(yy0)m
这时我们可以设所求特解可展开为xx0的幂级数
yy0a1(xx0)a2(xx0)2 an(xx0)n
其中a1 a2 an 是待定的系数 把所设特解代入微分方程中 便得一恒等式 比较这恒等式两端xx0的同次幂的系数 就可定出常数a1 a2 从而得到所求的特解
例1 求方程dy(yy0)f(x,y)满足初始条件y|xx0y0的特解 其中函数f(x y)是(xx0)、dxdyxy2满足y|x00的特解
dx
解 这时x00 y00 故设
ya1xa2x2a3x3a4x4
把y及y的幂级数展开式代入原方程 得
高等数学教案
§12 微分方程
a12a2x3a3x24a4x35a5x4
x(a1xa2x2a3x3a4x4 )2
xa12x22a1a2x3(a222a1a3)x4
由此 比较恒等式两端x的同次幂的系数 得
a10 a2 a30 a40 a5121
20于是所求解的幂级数展开式的开始几项为
yx2121x5
定理 如果方程
yP(x)yQ(x)y0 中的系数P(x)与Q(x)可在R yanxn n0的解 例2 求微分方程yxy 0的满足初始条件y|x00 y|x01的特解 解 这里P(x)0 Q(x)x在整个数轴上满足定理的条件 因此所求的解可在整个数轴上展开成x的幂级数 ya0a1xa2x2a3x3a4x4 anxn n0由条件y|x00 得a00 由ya12a2x3a3x24a4x3 及y|x01 得a11 于是 yxa2x2a3x3a4x4 xanxn y12a2x3a3x24a4x3 1nanxn1 n2n2 y2a232a3x43a4x n(n1)anxn2 n22 yxa2xa3xa4x xanxn 234 n2 y12a2x3a3x4a4x 1nanxn1 23 n2 y2a2x32a3x43a4x2 n(n1)anxn2 n2 41 高等数学教案 §12 微分方程 把y及y代入方程yxy 0 得 2a232a3x43a4x2 n(n1)anxn2 x(xa2x2a3x3a4x4 anxn )0 即 2a232a3x(43a41)x2(54a5a 2)x3 (65a6a3)x4 [(n2)(n1)an2an1]xn 0 于是有 a20, a30, a4一般地 an21, a0, a0, 6435an1(n3 4 ) (n2)(n1)由递推公式可得 aa411, a80, a90, a107, 76764310910976431一般地 a3m1(m1 2 ) (3m1)(3m) 7643 a7所求的特解为 yx 1x41x71x10 4376431097643 42 高等数学教案 第七章 微分方程 教学目的: 1.了解微分方程及其解、阶、通解,初始条件和特等概念。2.熟练掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法。 3.会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程,会用简单的变量代换解某些微分方程。4. 会用降阶法解下列微分方程:y(n)f(x),yf(x,y)和yf(y,y)5. 理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。 6.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法,并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。 7.求自由项为多项式、指数函数、余弦函数,以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。 8.会解欧拉方程,会解包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组。9.会解微分方程组(或方程组)解决一些简单的应用问题。教学重点: 1、可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法 (n) 2、可降阶的高阶微分方程yf(x),yf(x,y)和yf(y,y) 3、二阶常系数齐次线性微分方程; 4、自由项为多项式、指数函数、余弦函数,以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程; 教学难点: 1、齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程; 2、线性微分方程解的性质及解的结构定理; 3、自由项为多项式、指数函数、余弦函数,以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。 高等数学教案 §7 1 微分方程的基本概念 函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映 利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究 因此如何寻找出所需要的函数关系 在实践中具有重要意义 在许多问题中 往往不能直接找出所需要的函数关系 但是根据问题所提供的情况 有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式 这样的关系就是所谓微分方程 微分方程建立以后 对它进行研究 找出未知函数来 这就是解微分方程 例1 一曲线通过点(1 2) 且在该曲线上任一点M(x y)处的切线的斜率为2x 求这曲线的方程 解 设所求曲线的方程为yy(x) 根据导数的几何意义 可知未知函数yy(x)应满足关系式(称为微分方程) dy2x (1) dx此外 未知函数yy(x)还应满足下列条件 x1时 y2 简记为y|x12 (2)把(1)式两端积分 得(称为微分方程的通解) y2xdx 即yx2C (3)其中C是任意常数 把条件“x1时 y2”代入(3)式 得 212C 由此定出C1 把C1代入(3)式 得所求曲线方程(称为微分方程满足条件y|x12的解) yx21 例2 列车在平直线路上以20m/s(相当于72km/h)的速度行驶 当制动时列车获得加速度04m/s2 问开始制动后多少时间列车才能停住 以及列车在这段时间里行驶了多少路程? 解 设列车在开始制动后t秒时行驶了s米 根据题意 反映制动阶段列车运动规律的函数ss(t)应满足关系式 d2s0. (4)dt2此外 未知函数ss(t)还应满足下列条件 t0时 s0 vds20 简记为s|=0 s|=20 (5) t0t0dt高等数学教案 把(4)式两端积分一次 得 vds0.4tC (6)1dt再积分一次 得 s02t2 C1t C2 (7)这里C1 C2都是任意常数 把条件v|t020代入(6)得 20C1 把条件s|t00代入(7)得0C2 把C1 C2的值代入(6)及(7)式得 v04t 20 (8) s02t220t (9)在(8)式中令v0 得到列车从开始制动到完全停住所需的时间 t2050(s) 0.4再把t50代入(9) 得到列车在制动阶段行驶的路程 s025022050500(m) 几个概念 微分方程 表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程 叫微分方程 常微分方程 未知函数是一元函数的微分方程 叫常微分方程 偏微分方程 未知函数是多元函数的微分方程 叫偏微分方程 微分方程的阶 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数 叫微分方程的阶 x3 yx2 y4xy3x2 y(4)4y10y12y5ysin2x y(n)10 一般n阶微分方程 F(x y y y(n))0 y(n)f(x y y y(n1)) 微分方程的解 满足微分方程的函数(把函数代入微分方程能使该方程成为恒等式)叫做该微分方程的解 确切地说 设函数y(x)在区间I上有n阶连续导数 如果在区间I上 高等数学教案 F[x (x) (x) (n)(x)]0 那么函数y(x)就叫做微分方程F(x y y y(n))0在区间I上的解 通解 如果微分方程的解中含有任意常数 且任意常数的个数与微分方程的阶数相同 这样的解叫做微分方程的通解 初始条件 用于确定通解中任意常数的条件 称为初始条件 如 xx0 时 yy0 y y0 一般写成 yxx0y0 yxx0y0 特解 确定了通解中的任意常数以后 就得到微分方程的特解 即不含任意常数的解 初值问题 求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题 如求微分方程yf(x y)满足初始条件yxx0y0的解的问题 记为 yf(x,y) yxx0y0 积分曲线 微分方程的解的图形是一条曲线 叫做微分方程的积分曲线 d2xk2x0 例3 验证 函数 xC1cos ktC2 sin kt是微分方程 的解 dt 2解 求所给函数的导数 dxkCsinktkCcoskt 12dtd2xk2Ccosktk2Csinktk2(CcosktCsinkt) 1212dt2d2x将2及x的表达式代入所给方程 得 dt k2(C1cos ktC2sin kt) k2(C1cos ktC2sin kt)0 d2xk2x0 这表明函数xC1cosktC2sinkt 满足方程2 因此所给函数是所给方程的解 dtd2xk2x0 例4 已知函数xC1cosktC2sinkt(k0)是微分方程2的通解 求满足初始条件 dt x| t0 A x| t0 0 的特解 高等数学教案 解 由条件x| t0 A及xC1 cos ktC2 sin kt 得 C1A 再由条件x| t0 0 及x(t)kC1sin ktkC2cos kt 得 C20 把C1、C2的值代入xC1cos ktC2sin kt中 得 xAcos kt 作业:P298:4 §7 2 可分离变量的微分方程 观察与分析 1 求微分方程y2x的通解 为此把方程两边积分 得 yx2C 一般地 方程yf(x)的通解为yf(x)dxC(此处积分后不再加任意常数) 2 求微分方程y2xy2 的通解 因为y是未知的 所以积分2xy2dx无法进行 方程两边直 接积分不能求出通解 为求通解可将方程变为 1dy2xdx 两边积分 得 y21x2C1 或y2yxC可以验证函数y1是原方程的通解 x2C 一般地 如果一阶微分方程y(x, y)能写成 g(y)dyf(x)dx 形式 则两边积分可得一个不含未知函数的导数的方程 高等数学教案 G(y)F(x)C 由方程G(y)F(x)C所确定的隐函数就是原方程的通解 对称形式的一阶微分方程 一阶微分方程有时也写成如下对称形式 P(x y)dxQ(x y)dy0 在这种方程中 变量x与y 是对称的 若把x看作自变量、y看作未知函数 则当Q(x,y)0时 有 dyP(x,y) dxQ(x,y)dxQ(x,y) dyP(x,y)若把y看作自变量、x看作未知函数 则当P(x,y)0时 有 可分离变量的微分方程 如果一个一阶微分方程能写成 g(y)dyf(x)dx(或写成y(x)(y))的形式 就是说 能把微分方程写成一端只含y的函数和dy 另一端只含x的函数和dx 那么原方程就称为可分离变量的微分方程 讨论 下列方程中哪些是可分离变量的微分方程?(1)y2xy 是 y1dy2xdx (2)3x25xy0 是 dy(3x25x)dx(3)(x2y2)dxxydy=0 不是 (4)y1xy2xy2 是 y(1x)(1y2)(5)y10xy 是 10ydy10xdx(6)yxy 不是 yx 可分离变量的微分方程的解法 第一步 分离变量 将方程写成g(y)dy f(x)dx的形式 第二步 两端积分g(y)dyf(x)dx 设积分后得G(y)F(x)C 第三步 求出由G(y)F(x)C所确定的隐函数y(x)或x(y)G(y)F(x)C y(x)或x(y)都是方程的通解 其中G(y)F(x)C称为隐式(通)解 高等数学教案 例1 求微分方程dy2xy的通解 dx 解 此方程为可分离变量方程 分离变量后得 1dy2xdx y1dy2xdx y两边积分得 即 ln|y|x2C1 从而 yex2C1eC1ex 2因为eC1仍是任意常数 把它记作C 便得所给方程的通解 yCex 例2 铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比 已知t0时铀的含量为M0 求在衰变过程中铀含量M(t)随时间t变化的规律 解 铀的衰变速度就是M(t)对时间t的导数2dM dtdMM dtdM0 dt 由于铀的衰变速度与其含量成正比 故得微分方程其中(>0)是常数 前的曲面号表示当t增加时M单调减少 即由题意 初始条件为 M|t0M0 将方程分离变量得 两边积分 得dMdt MdM()dt M即 lnMtlnC 也即MCet 由初始条件 得M0Ce0C 所以铀含量M(t)随时间t变化的规律MM0et 例3 设降落伞从跳伞塔下落后 所受空气阻力与速度成正比 并设降落伞离开跳伞塔时速度为零 求降落伞下落速度与时间的函数关系 解 设降落伞下落速度为v(t) 降落伞所受外力为Fmgkv(k为比例系数) 根据牛顿第二运 高等数学教案 动定律Fma 得函数v(t)应满足的方程为 mdvmgkv dt初始条件为 v|t00 方程分离变量 得 dvdt mgkvmdvdtmgkvm 两边积分 得 ln(mgkv)1ktC m1kC1ktmgemCe即 v(C) kkmg将初始条件v|t00代入通解得C kktmg(1em) 于是降落伞下落速度与时间的函数关系为vkdy1xy2xy2的通解 例4 求微分方程dx 解 方程可化为 dy(1x)(1y2) dx分离变量得 1dy(1x)dx 1y21dy(1x)dx 即1x2xC arctany1y22两边积分得 于是原方程的通解为ytan(x2xC) 作业:P304:1(1)(2)(3)(7)(9)(10),2(2)(4),3 12高等数学教案 §7 3 齐次方程 齐次方程 如果一阶微分方程dyf(x,y)中的函数f(x, y)可写成 dxyy的函数 即f(x,y)() 则称这方程为齐次方程 xx 下列方程哪些是齐次方程? dyyy2x2dyyy (1)xyyyx0是齐次方程()21 dxxdxxx22dy1y 2(2)1xy1y不是齐次方程 dx1x222dyx2y2dyxy (3)(xy)dxxydy0是齐次方程 dxxydxyx22 (4)(2xy4)dx(xy1)dy0不是齐次方程 (5)(2xshdy2xy4 dxxy1yyy3ych)dx3xchdy0是齐次方程 xxxyy2xsh3ychdyxxdy2thyy ydxdx3xx3xchx 齐次方程的解法 在齐次方程 ux分离变量 得 ydyy()中 令u 即yux 有 dxxxdu(u) dxdudx (u)uxdudx(u)ux 两端积分 得 高等数学教案 求出积分后 再用y代替u 便得所给齐次方程的通解 xdydyxy dxdx 例1 解方程y2x2 解 原方程可写成 y2()dyyx 2ydxxyx1x2因此原方程是齐次方程 令 yux 于是原方程变为 2duu ux dxu1yu 则 xdyuxdu dxdx即 xduu dxu1分离变量 得 (1)du1udx x两边积分 得uln|u|Cln|x| 或写成ln|xu|uC 以y代上式中的u 便得所给方程的通解 x ln|y|yC x 例2 有旋转曲面形状的凹镜 假设由旋转轴上一点O发出的一切光线经此凹镜反射后都与旋转轴平行 求这旋转曲面的方程 解 设此凹镜是由xOy面上曲线L yy(x)(y>0)绕x轴旋转而成 光源在原点 在L上任取一点M(x, y) 作L的切线交x轴于A 点O发出的光线经点M反射后是一条平行于x轴射线 由光学及几何原理可以证明OAOM 因为 OAAPOPPMcotOPyx y高等数学教案 而 OMx2y2 于是得微分方程yxx2y2 y整理得dxx(x)21 这是齐次方程 dyyydxx(x)21 dyyy 问题归结为解齐次方程 令即 yxvdvvv21 即xyv 得vy ydydvv21 dy分离变量 得dvdy v21yyy, (v)2v21, CC两边积分 得 ln(vv21)lnylnC, vv21y22yv1 C2C以yvx代入上式 得y22C(xC) 2这是以x轴为轴、焦点在原点的抛物线 它绕x轴旋转所得旋转曲面的方程为 y2z22C(xC) 2这就是所求的旋转曲面方程 例3 设一条河的两岸为平行直线 水流速度为a 有一鸭子从岸边点A游向正对岸点O 设鸭子的游速为b(b>a) 且鸭子游动方向始终朝着点O 已知OAh 求鸭子游过的迹线的方程 解 取O为坐标原点 河岸朝顺水方向为x轴 y 轴指向对岸 设在时刻t鸭子位于点P(x, y) 则鸭子运动速度 v(vx, vy)(dx, dy) 故有dxvx dyvydtdt高等数学教案 另一方面 vab(a, 0)b(x, y) v(abx, by) x2y2x2y2x2y2x2y2因此dxvxa(x)21x 即dxa(x)21x dybyydyvybyydxa(x)21x dybyy 问题归结为解齐次方程 令 yxu 即xyu 得 yduau21 dyb分离变量 得duady u21by两边积分 得 arshu(lnylnC) bax1[(Cy)1b(Cy)1b] 将u代入上式并整理 得xy2C以x|yh0代入上式 得Caa1 故鸭子游过的轨迹方程为 haay1by1bh()] 0yh x[()2hhb将ux代入arshu(lnylnC)后的整理过程 yaarshxb(lnylnC) yaxshln(Cy)ax1[(Cy)a(Cy)a] yy2bbbbyax[(Cy)(Cy)a]x1[(Cy)1a(Cy)1a] 2C2bbb作业:P309:1(1)(3)(5),2 高等数学教案 §7.4 线性微分方程 一、线性方程 线性方程 方程dyP(x)yQ(x)叫做一阶线性微分方程 dxdydyP(x)y0叫做对应于非齐次线性方程P(x)yQ(x)的齐次线性方程 dxdxdydyy1y0是齐次线性方程 dxdxx2如果Q(x)0 则方程称为齐次线性方程 否则方程称为非齐次线性方程 方程 下列方程各是什么类型方程? (1)(x2) (2)3x25x5y0y3x25x 是非齐次线性方程 (3)yy cos xesin x 是非齐次线性方程 (4)dy10xy 不是线性方程 dx23dy3(y1)2dydxxx00或 (5)(y1) 不是线性方程 dxdydx(y1)2x 3齐次线性方程的解法 齐次线性方程 dyP(x)y0是变量可分离方程 分离变量后得 dxdyP(x)dx y两边积分 得 ln|y|P(x)dxC1 P(x)dx(CeC1) 或 yCe这就是齐次线性方程的通解(积分中不再加任意常数) 例 1求方程(x2)dyy的通解 dx 解 这是齐次线性方程 分离变量得 高等数学教案 dydx yx2两边积分得 ln|y|ln|x2|lnC 方程的通解为 yC(x2) 非齐次线性方程的解法 将齐次线性方程通解中的常数换成x的未知函数u(x) 把 P(x)dx yu(x)e 设想成非齐次线性方程的通解 代入非齐次线性方程求得 P(x)dxP(x)dxP(x)dxu(x)eP(x)P(x)u(x)eQ(x) u(x)e化简得 u(x)Q(x)eP(x)dx u(x)Q(x)eP(x)dxdxC 于是非齐次线性方程的通解为 P(x)dxP(x)dx ye[Q(x)edxC] P(x)dxP(x)dxP(x)dx或 yCeeQ(x)edx 非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性方程通解与非齐次线性方程的一个特解之和 5dy2y(x1)2的通解 例2 求方程dxx1 解 这是一个非齐次线性方程 先求对应的齐次线性方程分离变量得 dy2y0的通解 dxx1dy2dx yx1两边积分得 ln y2ln(x1)ln C 齐次线性方程的通解为 高等数学教案 yC(x1)2 用常数变易法 把C换成u 即令yu(x1)2 代入所给非齐次线性方程 得 52u(x1)2(x1)2 u(x1)2u(x1)x1 1u(x1)2 两边积分 得 u(x1)2C 3再把上式代入yu(x1)2中 即得所求方程的通解为 32 y(x1)[(x1)2C] 323 例3 有一个电路如图所示 其中电源电动势为EEmsint(Em、都是常数) 电阻R和电感L都是常量 求电流i(t) 解 由电学知道 当电流变化时 L上有感应电动势L EL即 di 由回路电压定律得出 dtdiiR0 dtdiRiE dtLLdiRiEmsin t dtLL 把EEmsin t代入上式 得 初始条件为 i|t00 diRiEmsin t为非齐次线性方程 其中 dtLLER t P(t) Q(t)msinLL 方程由通解公式 得 i(t)eP(t)dtdtdtEP(t)dt[Q(t)edtC]eL(msin teLdtC) LRRRttEmReL(sinteLdtC) L高等数学教案 RtEm(Rsin t Lcos t)CeL 222RL其中C为任意常数 将初始条件i|t00代入通解 得C因此 所求函数i(t)为 t LEmREmLe(Rsin t Lcos t) i(t)222222RLRL LEm R22L 2二、伯努利方程 伯努利方程 方程 dyP(x)yQ(x)yn(n0 1)dx叫做伯努利方程 下列方程是什么类型方程? (1) (2)dy1y1(12x)y4 是伯努利方程 dx33dydyyxy5 yxy5 是伯努利方程 dxdxxy 1(3)y yyxy1 是伯努利方程 yxx (4)dy2xy4x 是线性方程 不是伯努利方程 dxdyP(x)y1nQ(x)dx 伯努利方程的解法 以yn除方程的两边 得 yn令z y1n 得线性方程 dz(1n)P(x)z(1n)Q(x) dxdyya(lnx)y2的通解 例4 求方程dxx 解 以y2除方程的两端 得 y2dy11yalnx dxxd(y1)11yalnx 即 dxx高等数学教案 令zy1 则上述方程成为 dz1zalnx dxxa2这是一个线性方程 它的通解为 zx[C(lnx)2] 以y1代z 得所求方程的通解为 yx[C(lnx)2]1 经过变量代换 某些方程可以化为变量可分离的方程 或化为已知其求解方法的方程 例 5解方程a2dy1 dxxy 解 若把所给方程变形为 dxxy dy即为一阶线性方程 则按一阶线性方程的解法可求得通解 但这里用变量代换来解所给方程 令xyu 则原方程化为 du11 即duu1 dxudxuududx u1分离变量 得 两端积分得 uln|u1|xln|C| 以uxy代入上式 得 yln|xy1|ln|C| 或xCeyy1 作业:P315:1(1)(3)(5)(7)(9),2(1)(3)(5),7(1)(2) §7 5可降阶的高阶微分方程 高等数学教案 一、y(n)f(x)型的微分方程 解法 积分n 次 y(n1)f(x)dxC1 y(n2)[f(x)dxC1]dxC2 例1 求微分方程ye2xcos x 的通解 解 对所给方程接连积分三次 得 ye2xsinxC1 ye2xcosxC1xC2 ye2xsinxC1x2C2xC3 这就是所给方程的通解 或 ye2xsinx2C1 ye2xcosx2C1xC2 ye2xsinxC1x2C2xC3 这就是所给方程的通解 例2 质量为m的质点受力F的作用沿Ox轴作直线运动 设力F仅是时间t的函数FF(t) 在开始时刻t0时F(0)F0 随着时间t的增大 此力F均匀地减小 直到tT时 F(T)0 如果开始时质点位于原点 且初速度为零 求这质点的运动规律 解 设xx(t)表示在时刻t时质点的位置 根据牛顿第二定律 质点运动的微分方程为 m12141812121418d2xF(t) 2dt由题设 力F(t)随t增大而均匀地减小 且t0时 F(0)F0 所以F(t)F0kt 又当tT时 F(T)0 从而 F(t)F0(1) 于是质点运动的微分方程又写为 tTd2xF0(1t) Tdt2m高等数学教案 其初始条件为x|t00 dx|0 dtt0 把微分方程两边积分 得 dxF0(tt2)C 1 dtm2T再积分一次 得 F012t x(t)C1tC2 m26T由初始条件x|t00 得C1C20 于是所求质点的运动规律为 dx|0 dtt0F012t3 x(t) 0tT m26T 二、y f(x y)型的微分方程 解法 设yp则方程化为 pf(x p) 设pf(x p)的通解为p(xC1) 则 dy(x,C1) dx原方程的通解为 y(x,C1)dxC2 例3 求微分方程 (1x2)y2xy 满足初始条件 y|x01 y|x03 的特解 解 所给方程是yf(x y)型的 设yp 代入方程并分离变量后 有 dp2xdx p1x2两边积分 得 ln|p|ln(1x2)C 即 pyC1(1x2)(C1eC) 由条件y|x03 得C13 所以 y3(1x2) 高等数学教案 两边再积分 得 yx33xC2 又由条件y|x01 得C21 于是所求的特解为 yx33x1 例4 设有一均匀、柔软的绳索 两端固定 绳索仅受重力的作用而下垂 试问该绳索在平衡状态时是怎样的曲线? 三、yf(y y)型的微分方程 解法 设yp有 y原方程化为 dpdpdydpp dxdydxdydpf(y,p) dydpf(y,p)的通解为yp(y C1) 则原方程的通解为 设方程pdy p dy(y,C1)xC2 dp dy 例5 求微分yyy20的通解 解 设yp 则yp代入方程 得 ypdp2p0 dy 在y0、p0时 约去p并分离变量 得 dpdy py两边积分得 ln|p|ln|y|lnc 即 pCy或yCy(Cc) 再分离变量并两边积分 便得原方程的通解为 ln|y|Cxlnc1 或 yC1eCx(C1c1) 作业:P323:1(1)(3)(5)(7)(9),2(1)(3)(5) 高等数学教案 §7 6 高阶线性微分方程 一、二阶线性微分方程举例 例1 设有一个弹簧 上端固定 下端挂一个质量为m 的物体 取x 轴铅直向下 并取物体的平衡位置为坐标原点 给物体一个初始速度v00后 物体在平衡位置附近作上下振动 在振动过程中 物体的位置x是t的函数 xx(t) 设弹簧的弹性系数为c 则恢复力fcx 又设物体在运动过程中受到的阻力的大小与速度成正比 比例系数为 则 Rdx dt 由牛顿第二定律得 2dxdx m2cx dtdt 移项 并记2nc k2 mmd2x2ndxk2x0则上式化为 dtdt2这就是在有阻尼的情况下 物体自由振动的微分方程 如果振动物体还受到铅直扰力 FHsin pt 的作用 则有 d2x2ndxk2xhsinpt dtdt2H其中h 这就是强迫振动的微分方程 m 例2 设有一个由电阻R、自感L、电容C和电源E串联组成的电路 其中R、L、及C为常 高等数学教案 数 电源电动势是时间t的函数 EEmsint 这里Em及也是常数 设电路中的电流为i(t) 电容器极板上的电量为q(t) 两极板间的电压为uc 自感电动势为EL 由电学知道 iqdqdi uc ELL CdtdtdiqRi0 dtC根据回路电压定律 得 ELd2ucducRCucEmsint 即 LCdtdt2或写成 d2ucducEm22usint 0c2dtLCdtR 1 这就是串联电路的振荡方程 其中02LLC 如果电容器经充电后撤去外电源(E0) 则上述成为 d2ucduc220uc0 2dtdt 二阶线性微分方程 二阶线性微分方程的一般形式为 yP(x)yQ(x)yf(x) 若方程右端f(x)0时 方程称为齐次的 否则称为非齐次的 二、线性微分方程的解的结构 先讨论二阶齐次线性方程 d2ydyQ(x)y0 yP(x)yQ(x)y0 即2P(x)dxdx 定理 1如果函数y1(x)与y2(x)是方程 yP(x)yQ(x)y0的两个解 那么 yC1y1(x)C2y2(x)也是方程的解 其中C1、C2是任意常数 齐次线性方程的这个性质表明它的解符合叠加原理 证明 [C1y1C2y2]C1 y1C2 y2 高等数学教案 [C1y1C2y2]C1 y1C2 y2 因为y1与y2是方程yP(x)yQ(x)y0 所以有 y1P(x)y1Q(x)y10及y2P(x)y2Q(x)y20 从而 [C1y1C2y2]P(x)[ C1y1C2y2]Q(x)[ C1y1C2y2] C1[y1P(x)y1Q(x)y1]C2[y2P(x)y2Q(x)y2]000 这就证明了yC1y1(x)C2y2(x)也是方程yP(x)yQ(x)y0的解 函数的线性相关与线性无关 设y1(x) y2(x) yn(x)为定义在区间I上的n个函数 如果存在n个不全为零的常数k1 k2 kn 使得当xI 时有恒等式 k1y1(x)k2y2(x) knyn(x)0 成立 那么称这n个函数在区间I上线性相关 否则称为线性无关 判别两个函数线性相关性的方法 对于两个函数 它们线性相关与否 只要看它们的比是否为常数 如果比为常数 那么它们就线性相关 否则就线性无关 例如 1 cos2x sin2x 在整个数轴上是线性相关的 函数1 x x2在任何区间(a, b)内是线性无关的 定理2 如果如果函数y1(x)与y2(x)是方程 yP(x)yQ(x)y0 的两个线性无关的解 那么 yC1y1(x)C2y2(x)(C1、C2是任意常数)是方程的通解 例3 验证y1cos x与y2sin x是方程yy0的线性无关解 并写出其通解 解 因为 y1y1cos xcos x0 y2y2sin xsin x0 所以y1cos x与y2sin x都是方程的解 因为对于任意两个常数k1、k2 要使 k1cos xk2sin x0 只有k1k20 所以cos x与sin x在(, )内是线性无关的 因此y1cos x与y2sin x是方程yy0的线性无关解 高等数学教案 方程的通解为yC1cos xC2sin x 例4 验证y1x与y2ex是方程(x1)yxyy0的线性无关解 并写出其通解 解 因为 (x1)y1xy1y10xx0 (x1)y2xy2y2(x1)exxexex0 所以y1x与y2ex都是方程的解 因为比值e x/x 不恒为常数 所以y1x与y2ex在(, )内是线性无关的 因此y1x 与y2ex是方程(x1)yxyy0的线性无关解 方程的通解为yC1xC2e x 推论 如果y1(x) y2(x) yn(x)是方程 y(n)a1(x)y(n1) an1(x)y an(x)y0 的n个线性无关的解 那么 此方程的通解为 yC1y1(x)C2y2(x) Cnyn(x) 其中C1 C2 Cn为任意常数 二阶非齐次线性方程解的结构 我们把方程 yP(x)yQ(x)y0 叫做与非齐次方程 yP(x)yQ(x)yf(x)对应的齐次方程 定理3 设y*(x)是二阶非齐次线性方程 yP(x)yQ(x)yf(x)的一个特解 Y(x)是对应的齐次方程的通解 那么 yY(x)y*(x)是二阶非齐次线性微分方程的通解 证明提示 [Y(x)y*(x)]P(x)[ Y(x)y*(x)]Q(x)[ Y(x)y*(x)] [Y P(x)Y Q(x)Y ][ y* P(x)y* Q(x)y*] 0 f(x) f(x) 例如 YC1cos xC2sin x 是齐次方程yy0的通解 y*x22是yyx2 的一个特解 因此 yC1cos xC2sin xx22 高等数学教案 是方程yyx2的通解 定理4 设非齐次线性微分方程 yP(x)yQ(x)yf(x)的右端f(x)几个函数之和 如 yP(x)yQ(x)yf1(x) f2(x) 而y1*(x)与y2*(x)分别是方程 yP(x)yQ(x)yf1(x)与yP(x)yQ(x)yf2(x)的特解 那么y1*(x)y2*(x)就是原方程的特解 证明提示 [y1y2*]P(x)[ y1*y2*]Q(x)[ y1*y2*] [ y1*P(x)y1*Q(x)y1*][ y2*P(x)y2*Q(x)y2*] f1(x)f2(x) 作业:P331:1(1)(3)(5)(7),4(1)(3)(5) §7 7 二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程 方程 ypyqy0 称为二阶常系数齐次线性微分方程 其中p、q均为常数 如果y1、y2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解 那么yC1y1C2y2就是它的通解 我们看看 能否适当选取r 使yerx 满足二阶常系数齐次线性微分方程 为此将yerx代入方程 ypyqy0 得 (r 2prq)erx 0 由此可见 只要r满足代数方程r2prq0 函数yerx就是微分方程的解 特征方程 方程r2prq0叫做微分方程ypyqy0的特征方程 特征方程的两个根r1、r2可用公式 pp24q r 1,22高等数学教案 求出 特征方程的根与通解的关系 (1)特征方程有两个不相等的实根r1、r2时 函数y1er1x、y2er2x是方程的两个线性无关的解 这是因为 函数y1e因此方程的通解为 yC1er1xC2er2x (2)特征方程有两个相等的实根r1r2时 函数y1er1x、y2xer1x是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解 这是因为 y1er1x是方程的解 又 r1xr1x2r1x (xer1x)p(xer1x)q(xer1x)(2r1xr1xr1)ep(1)eqxe r1x 2er1x(2r1p)xe(r1pr1q)0 r1x、y2er2xy1er1x(r1r2)x是方程的解 又不是常数 ey2er2xy2xer1xx不是常数 所以y2xe也是方程的解 且y1er1xr1x 因此方程的通解为 yC1er1xC2xer1x (3)特征方程有一对共轭复根r1, 2i时 函数ye(i)x、ye(i)x是微分方程的两个线性无关的复数形式的解 函数yexcosx、yexsinx是微分方程的两个线性无关的实数形式的解 函数y1e(i)x和y2e(i)x都是方程的解 而由欧拉公式 得 y1e(i)xex(cosxisinx) y2e(i)xex(cosxisinx) 1y1y22excosx excosx(y1y2) 2高等数学教案 1y1y22iexsinx exsinx(y1y2) 2i故excosx、y2exsinx也是方程解 可以验证 y1excosx、y2exsinx是方程的线性无关解 因此方程的通解为 yex(C1cosxC2sinx) 求二阶常系数齐次线性微分方程ypyqy0的通解的步骤为 第一步 写出微分方程的特征方程 r2prq0 第二步 求出特征方程的两个根r1、r2 第三步 根据特征方程的两个根的不同情况 写出微分方程的通解 例1 求微分方程y2y3y0的通解 解 所给微分方程的特征方程为 r22r30 即(r1)(r3)0 其根r11 r23是两个不相等的实根 因此所求通解为 yC1exC2e3x 例2 求方程y2yy0满足初始条件y|x0 4、y| x02的特解 解 所给方程的特征方程为 r22r10 即(r1)20 其根r1r21是两个相等的实根 因此所给微分方程的通解为 y(C1C2x)ex 将条件y|x04代入通解 得C14 从而 y(4C2x)ex 将上式对x求导 得 y(C24C2x)ex 再把条件y|x02代入上式 得C22 于是所求特解为 x(42x)ex 例 3 求微分方程y2y5y 0的通解 解 所给方程的特征方程为 r22r50 高等数学教案 特征方程的根为r112i r212i 是一对共轭复根 因此所求通解为 yex(C1cos2xC2sin2x) n 阶常系数齐次线性微分方程 方程 y(n)p1y(n1)p2 y(n2) pn1ypny0 称为n 阶常系数齐次线性微分方程 其中 p1 p2 pn1 pn都是常数 二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方程的通解形式 可推广到n 阶常系数齐次线性微分方程上去 引入微分算子D 及微分算子的n次多项式 L(D)=Dn p1Dn1p2 Dn2 pn1Dpn 则n阶常系数齐次线性微分方程可记作 (Dn p1Dn1p2 Dn2 pn1Dpn)y0或L(D)y0 注 D叫做微分算子D0yy Dyy D2yy D3yy Dnyy(n) 分析 令yerx 则 L(D)yL(D)erx(rn p1rn1p2 rn2 pn1rpn)erxL(r)erx 因此如果r是多项式L(r)的根 则yerx是微分方程L(D)y0的解 n 阶常系数齐次线性微分方程的特征方程 L(r)rn p1rn1p2 rn2 pn1rpn0 称为微分方程L(D)y0的特征方程 特征方程的根与通解中项的对应 单实根r 对应于一项 Cerx 一对单复根r1 2 i 对应于两项 ex(C1cosxC2sinx) k重实根r对应于k项 erx(C1C2x Ck xk1) 一对k 重复根r1 2 i 对应于2k项 ex[(C1C2x Ck xk1)cosx(D1D2x Dk xk1)sinx] 例4 求方程y(4)2y5y0 的通解 解 这里的特征方程为 r42r35r20 即r2(r22r5)0 它的根是r1r20和r3 412i 因此所给微分方程的通解为 高等数学教案 yC1C2xex(C3cos2xC4sin2x) 例5 求方程y(4) 4y0的通解 其中0 解 这里的特征方程为 r4 40 它的根为r1,22(1i) r3,42(1i) 因此所给微分方程的通解为 ye2x(C1cos2xC2sin2x)e 2x(C3cos2xC4sin2x) 作业:P340:1(1)(3)(2)(4)(5)(6)(8),2(2)(4)(6) §7 8 二阶常系数非齐次线性微分方程 二阶常系数非齐次线性微分方程 方程 ypyqyf(x)称为二阶常系数非齐次线性微分方程 其中p、q是常数 二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程 的通解yY(x)与非齐次方程本身的一个特解yy*(x)之和 yY(x) y*(x) 当f(x)为两种特殊形式时 方程的特解的求法 一、f(x)Pm(x)ex 型 当f(x)Pm(x)ex时 可以猜想 方程的特解也应具有这种形式 因此 设特解形式为y*Q(x)ex 将其代入方程 得等式 Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)Pm(x) (1)如果不是特征方程r2prq0 的根 则2pq0 要使上式成立 Q(x)应设为m 次多项式 高等数学教案 Qm(x)b0xmb1xm1 bm1xbm 通过比较等式两边同次项系数 可确定b0 b1 bm 并得所求特解 y*Qm(x)ex (2)如果是特征方程 r2prq0 的单根 则2pq0 但2p0 要使等式 Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)Pm(x) 成立 Q(x)应设为m1 次多项式 Q(x)xQm(x) Qm(x)b0xm b1xm1 bm1xbm 通过比较等式两边同次项系数 可确定b0 b1 bm 并得所求特解 y*xQm(x)ex (3)如果是特征方程 r2prq0的二重根 则2pq0 2p0 要使等式 Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)Pm(x) 成立 Q(x)应设为m2次多项式 Q(x)x2Qm(x) Qm(x)b0xmb1xm1 bm1xbm 通过比较等式两边同次项系数 可确定b0 b1 bm 并得所求特解 y*x2Qm(x)ex 综上所述 我们有如下结论 如果f(x)Pm(x)ex 则二阶常系数非齐次线性微分方程ypyqy f(x)有形如 y*xk Qm(x)ex 的特解 其中Qm(x)是与Pm(x)同次的多项式 而k 按不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取为0、1或2 例1 求微分方程y2y3y3x1的一个特解 解 这是二阶常系数非齐次线性微分方程 且函数f(x)是Pm(x)ex型(其中Pm(x)3x1 0) 与所给方程对应的齐次方程为 y2y3y0 它的特征方程为 r22r30 由于这里0不是特征方程的根 所以应设特解为 y*b0xb1 高等数学教案 把它代入所给方程 得 3b0x2b03b13x1 比较两端x同次幂的系数 得 3b03 3b03 2b03b11 2b3b101由此求得b01 b1 于是求得所给方程的一个特解为 y*x 例2 求微分方程y5y6yxe2x的通解 解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程 且f(x)是Pm(x)ex型(其中Pm(x)x 2) 与所给方程对应的齐次方程为 y5y6y0 它的特征方程为 r25r 60 特征方程有两个实根r12 r23 于是所给方程对应的齐次方程的通解为 YC1e2xC2e3x 由于2是特征方程的单根 所以应设方程的特解为 y*x(b0xb1)e2x 把它代入所给方程 得 2b0x2b0b1x 比较两端x同次幂的系数 得 13132b01 2b01 2b0b10 2bb001由此求得b0 b11 于是求得所给方程的一个特解为 y*x(x1)e2x 从而所给方程的通解为 yC1e2xC2e3x(x22x)e2x 121212高等数学教案 提示 y*x(b0xb1)e2x(b0x2b1x)e2x [(b0x2b1x)e2x][(2b0xb1)(b0x2b1x)2]e2x [(b0x2b1x)e2x][2b02(2b0xb1)2(b0x2b1x)22]e2x y*5y*6y*[(b0x2b1x)e2x]5[(b0x2b1x)e2x]6[(b0x2b1x)e2x] [2b02(2b0xb1)2(b0x2b1x)22]e2x5[(2b0xb1)(b0x2b1x)2]e2x6(b0x2b1x)e2x [2b04(2b0xb1)5(2b0xb1)]e2x[2b0x2b0b1]e2x 方程ypyqyex[Pl(x)cosxPn(x)sinx]的特解形式 应用欧拉公式可得 ex[Pl(x)cosxPn(x)sinx] ex[P(x)eli xei xP(x)ei xei x] n22i [Pe(i)x[Pe(i)x l(x)iPn(x)]l(x)iPn(x)] P(x)e(i)xP(x)e(i)x 其中P(x)(PlPni) P(x)(PlPni) 而mmax{l n} 设方程ypyqyP(x)e(i)x的特解为y1*xkQm(x)e(i)x 则y1*xkQm(x)e(i)必是方程ypyqyP(x)e(i)的特解 其中k按i不是特征方程的根或是特征方程的根依次取0或1 于是方程ypyqyex[Pl(x)cosxPn(x)sinx]的特解为 y*xkQm(x)e(i)xxkQm(x)e(i)x xkex[Qm(x)(cosxisinx)Qm(x)(cosxisinx) xk ex[R(1)m(x)cosxR(2)m(x)sinx] 综上所述 我们有如下结论 如果f(x)ex [Pl(x)cosxPn(x)sinx] 则二阶常系数非齐次线性微分方程 12121212高等数学教案 ypyqyf(x)的特解可设为 y*xk ex[R(1)m(x)cosxR(2)m(x)sinx] 其中R(1)m(x)、R(2)m(x)是m次多项式 mmax{l n} 而k 按i(或i)不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1 例3 求微分方程yyxcos2x的一个特解 解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程 且f(x)属于ex[Pl(x)cosxPn(x)sinx]型(其中0 2 Pl(x)x Pn(x)0) 与所给方程对应的齐次方程为 yy0 它的特征方程为 r210 由于这里i2i 不是特征方程的根 所以应设特解为 y*(axb)cos2x(cxd)sin2x 把它代入所给方程 得 (3ax3b4c)cos2x(3cx3d4a)sin2xxcos2x 比较两端同类项的系数 得 a b0 c0 d于是求得一个特解为 y*xcos2xsin2x 提示 y*(axb)cos2x(cxd)sin2x y*acos2x2(axb)sin2xcsin2x2(cxd)cos2x (2cxa2d)cos2x(2ax2bc)sin2x y*2ccos2x2(2cxa2d)sin2x2asin2x2(2ax2bc)cos2x (4ax4b4c)cos2x(4cx4a4d)sin2x y* y*(3ax3b4c)cos2x(3cx4a3d)sin2x 134 91349高等数学教案 3a13b4c014由 得a b0 c0 d 3c0394a3d0作业:P347:1(1)(2)(5)(9)2(2)(3)(4) 高等数学C教案 第四章 微分方程 第四章 微分方程 §4 1 微分方程的基本概念 导入:(8分钟)函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映 利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究 因此如何寻找出所需要的函数关系 在实践中具有重要意义 在许多问题中 往往不能直接找出所需要的函数关系 但是根据问题所提供的情况 有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式 这样的关系就是所谓微分方程 微分方程建立以后 对它进行研究 找出未知函数来 这就是解微分方程 引例 一曲线通过点(1 2) 且在该曲线上任一点M(x y)处的切线的斜率为2x 求这曲线的方程 解 设所求曲线的方程为yy(x) 根据导数的几何意义 可知未知函数yy(x)应满足关系式(称为微分方程) dy2x (1) dx此外 未知函数yy(x)还应满足下列条件 x1时 y2 简记为y|x12 (2)把(1)式两端积分 得(称为微分方程的通解) y2xdx 即yx2C (3)其中C是任意常数 把条件“x1时 y2”代入(3)式 得 212C 由此定出C1 把C1代入(3)式 得所求曲线方程(称为微分方程满足条件y|x12的解) yx21 几个概念 微分方程 表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程 叫微分方程 常微分方程 未知函数是一元函数的微分方程 叫常微分方程 偏微分方程 未知函数是多元函数的微分方程 叫偏微分方程 微分方程的阶 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数 叫微分方程的阶 x3 yx2 y4xy3x2 y(4)4y10y12y5ysin2x y(n)10 一般n阶微分方程 F(x y y y(n))0 y(n)f(x y y y(n1)) 高等数学C教案 第四章 微分方程 微分方程的解 满足微分方程的函数(把函数代入微分方程能使该方程成为恒等式)叫做该微分方程的解 确切地说 设函数y(x)在区间I上有n阶连续导数 如果在区间I上 F[x (x) (x) (n)(x)]0 那么函数y(x)就叫做微分方程F(x y y y(n))0在区间I上的解 通解 如果微分方程的解中含有任意常数 且任意常数的个数与微分方程的阶数相同 这样的解叫做微分方程的通解 初始条件 用于确定通解中任意常数的条件 称为初始条件 如 xx0 时 yy0 y y0 一般写成 yxx0y0 yxx0y0 特解 确定了通解中的任意常数以后 就得到微分方程的特解 即不含任意常数的解 初值问题 求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题 如求微分方程yf(x y)满足初始条件yxx0y0的解的问题 记为 yf(x,y) yxx0y0 积分曲线 微分方程的解的图形是一条曲线 叫做微分方程的积分曲线 §4 2 一阶微分方程 导入:(8分钟)1 求微分方程y2x的通解 为此把方程两边积分 得 yx2C 一般地 方程yf(x)的通解为yf(x)dxC(此处积分后不再加任意常数) 2 求微分方程y2xy2 的通解 因为y是未知的 所以积分2xy2dx无法进行 方程两边直接积分不能求出通解 为求通解可将方程变为 1dy2xdx 两边积分 得 y x2C 或y可以验证函数y1y1 x2C1是原方程的通解 x2C g(y)dyf(x)dx 一般地 如果一阶微分方程y(x, y)能写成 形式 则两边积分可得一个不含未知函数的导数的方程 G(y)F(x)C 由方程G(y)F(x)C所确定的隐函数就是原方程的通解 高等数学C教案 第四章 微分方程 对称形式的一阶微分方程 一阶微分方程有时也写成如下对称形式 P(x y)dxQ(x y)dy0 在这种方程中 变量x与y 是对称的 若把x看作自变量、y看作未知函数 则当Q(x,y)0时 有 dyP(x,y) dxQ(x,y)若把y看作自变量、x看作未知函数 则当P(x,y)0时 有 一、可分离变量的微分方程 如果一个一阶微分方程能写成 g(y)dyf(x)dx(或写成y(x)(y))的形式 就是说 能把微分方程写成一端只含y的函数和dy 另一端只含x的函数和dx 那么原方程就称为可分离变量的微分方程 讨论 下列方程中哪些是可分离变量的微分方程?(1)y2xy 是 y1dy2xdx (2)3x25xy0 是 dy(3x25x)dx(3)(x2y2)dxxydy=0 不是 (4)y1xy2xy2 是 y(1x)(1y2)(5)y10xy 是 10ydy10xdx(6)ydxQ(x,y) dyP(x,y)xy 不是 yx 可分离变量的微分方程的解法 第一步 分离变量 将方程写成g(y)dy f(x)dx的形式 第二步 两端积分g(y)dyf(x)dx 设积分后得G(y)F(x)C 第三步 求出由G(y)F(x)C所确定的隐函数y(x)或x(y)G(y)F(x)C y(x)或x(y)都是方程的通解 其中G(y)F(x)C称为隐式(通)解 例1 求微分方程dy2xy的通解 dx 解 此方程为可分离变量方程 分离变量后得 1dy2xdx y两边积分得 1dy2xdx y3 高等数学C教案 第四章 微分方程 即 ln|y|x2C1 从而 yex2C1eC1ex 2因为eC1仍是任意常数 把它记作C 便得所给方程的通解 yCex 例2 铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比 已知t0时铀的含量为M0 求在衰变过程中铀含量M(t)随时间t变化的规律 解 铀的衰变速度就是M(t)对时间t的导数 2dM dt 由于铀的衰变速度与其含量成正比 故得微分方程 dMM dtdM0 dt其中(>0)是常数 前的曲面号表示当t增加时M单调减少 即由题意 初始条件为 M|t0M0 将方程分离变量得 两边积分 得 dMdt MdM()dt M即lnMtlnC 也即MCet 由初始条件 得M0Ce0C 所以铀含量M(t)随时间t变化的规律MM0et 例3 设降落伞从跳伞塔下落后 所受空气阻力与速度成正比 并设降落伞离开跳伞塔时速度为零 求降落伞下落速度与时间的函数关系 解 设降落伞下落速度为v(t) 降落伞所受外力为Fmgkv(k为比例系数) 根据牛顿第二运动定律Fma 得函数v(t)应满足的方程为 m初始条件为 v|t00 方程分离变量 得 两边积分 得 dvmgkv dtdvdt mgkvmdvdt mgkvm 高等数学C教案 第四章 微分方程 ln(mgkv)kC1ktmgemCe(C即v) kk1ktC m1将初始条件v|t00代入通解得Cmg kktmg(1em) 于是降落伞下落速度与时间的函数关系为vk 例4 求微分方程 解 方程可化为 dy1xy2xy2的通解 dx dy(1x)(1y2) dx1dy(1x)dx 1y2分离变量得 两边积分得 1dy(1x)dx1x2xC 即arctany1y22于是原方程的通解为ytan(x2xC) 例5 有高为1m的半球形容器 水从它的底部小孔流出 小孔横截面面积为1cm2 开始时容器内盛满了水 求水从小孔流出过程中容器里水面高度h随时间t变化的规律 解 由水力学知道 水从孔口流出的流量Q可用下列公式计算 Q12dV0.62S2gh dt其中0 62为流量系数 S为孔口横截面面积 g为重力加速度 现在孔口横截面面积S1cm2 故 dV0.622gh 或dV0.622ghdt dt dVr2dh 另一方面 设在微小时间间隔[t tdt]内 水面高度由h降至hdh(dh0) 则又可得到 其中r是时刻t的水面半径 右端置负号是由于dh0而dV0的缘故 又因 r1002(100h)2200hh2 所以 dV(200hh2)dh 通过比较得到 0.622ghdt(200hh2)dh 高等数学C教案 第四章 微分方程 这就是未知函数hh(t)应满足的微分方程 此外 开始时容器内的水是满的 所以未知函数hh(t)还应满足下列初始条件 h|t0100 将方程0.622ghdt(200hh2)dh分离变量后得 dt两端积分 得 t350.622g13(200h2h2)dh 0.622g13(200h2h2)dh 即 t(400h22h2)C 50.622g3其中C是任意常数 由初始条件得 t(400100221002)C 50.622gC35(400000200000)14105 350.622g0.622g15 因此t0.622g(7105353210h3h2) 上式表达了水从小孔流出的过程中容器内水面高度h与时间t之间的函数关系 二、一阶线性微分方程 方程dyP(x)yQ(x)叫做一阶线性微分方程 dxdydyP(x)y0叫做对应于非齐次线性方程P(x)yQ(x)的齐次线性方程 dxdxdydyy1y0是齐次线性方程 dxx2dx如果Q(x)0 则方程称为齐次线性方程 否则方程称为非齐次线性方程 方程 提问:下列方程各是什么类型方程? (1)(x2) (2)3x25x5y0y3x25x 是非齐次线性方程 (3)yy cos xesin x 是非齐次线性方程 (4)dy10xy 不是线性方程 dx6 高等数学C教案 第四章 微分方程 3(y1)2dydy3dxx0或 (5)(y1) 不是线性方程 x032dydxx(y1)dx21、齐次线性方程的解法 齐次线性方程dyP(x)y0是变量可分离方程 分离变量后得 dx dyP(x)dx y两边积分 得 ln|y|P(x)dxC1 P(x)dx(CeC1) 或 yCe这就是齐次线性方程的通解(积分中不再加任意常数) 例6 求方程(x2)dyy的通解 dxdydx yx 2解 这是齐次线性方程 分离变量得 两边积分得 ln|y|ln|x2|lnC 方程的通解为 yC(x2) 非齐次线性方程的解法 将齐次线性方程通解中的常数换成x的未知函数u(x) 把 P(x)dx yu(x)e 设想成非齐次线性方程的通解 代入非齐次线性方程求得 P(x)dxP(x)dxP(x)dxu(x)eP(x)P(x)u(x)eQ(x) u(x)e化简得u(x)Q(x)eP(x)dx u(x)Q(x)eP(x)dxdxC 于是非齐次线性方程的通解为 P(x)dxP(x)dx ye[Q(x)edxC] P(x)dxP(x)dxP(x)dx或 yCeeQ(x)edx 高等数学C教案 第四章 微分方程 非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性方程通解与非齐次线性方程的一个特解之和 5dy2y(x1)2的通解 例7 求方程dxx 1解 这是一个非齐次线性方程 先求对应的齐次线性方程分离变量得 两边积分得 ln y2ln(x1)ln C 齐次线性方程的通解为 yC(x1)2 用常数变易法 把C换成u 即令yu(x1)2 代入所给非齐次线性方程 得 dy2y0的通解 dxx1dy2dx yx12u(x1)2(x1)2 u(x1)2u(x1)x12 5两边积分 得 1u(x1)2 u(x1)2C 3再把上式代入yu(x1)2中 即得所求方程的通解为 y(x1)[(x1)2C] 3例8 有一个电路如图所示 其中电源电动势为EEmsint(Em、都是常数) 电阻R和电感L都是常量 求电流i(t) 解 由电学知道 当电流变化时 L上有感应电动势L EL即 di 由回路电压定律得出 dtdiiR0 dtdiRiE dtLL 把EEmsin t代入上式 得 初始条件为 diRiEmsin t dtLL8 高等数学C教案 第四章 微分方程 i|t00 方程diRiEmsin t为非齐次线性方程 其中 dtLLER P(t) Q(t)msin t LLdtdtEP(t)dt[Q(t)edtC]eL(msin teLdtC) LRR由通解公式 得 i(t)eP(t)dtRttEmReL(sinteLdtC) LRtEm(Rsin t Lcos t)CeL 222RL其中C为任意常数 将初始条件i|t00代入通解 得C因此 所求函数i(t)为 t LEmREmLe(Rsin t Lcos t) i(t)2R2L2R22L2 LEm R22L2总结: 1、微分方程的相关概念 a、微分方程的阶 b、微分方程的通解与特解 2、可分离变量的微分方程 a、可分离变量的微分方程 b、可转化为可分离变量的微分方程 3、一阶线性微分方程 a、一阶线性齐次微分方程 b、一阶线性非齐次微分方程 c、常数变易法 教学后记:高等数学C教案 第四章 微分方程 作业: 微分方程习题答案 习题基本要求:微分方程的阶,判定一阶齐次(非齐次)微分方程,微分方程的通解及特解,可分离变量微分方程及其通解,二阶常系数微分方程的特征根及其三种不同形式的通解,选择题 下列方程哪些是一阶齐次微分方程? dyyy2x2dyyy(1)xyyyx0是齐次方程(21dxxdxxx2 2dyy2(2)xyy不是齐次方程dx1x22 dyx2y2dyxy(3)(xy)dxxydy0是齐次方程 dxxydxyx22 (4)(2xy4)dx(xy1)dy0不是齐次方程dy2xy4dxxy 1y2()dyydy22dyxy(5)yx是齐次方程dxdxdxxyx21x21、微分方程y“+(yˊ)4-y3=0的阶数是(B) (A)1(B)2(C)3(D) 42、方程(y-3x)dx –(x+y)dy=0是(B) (A)可分离变量微分方程(B)齐次方程 (C)一阶非齐次线性微分方程(D)一阶齐次线性微分方程 3、方程xdy+ydx=0的通解为(D) (A)xy=1(B)xy=3(C)xy=-3(D)xy=C4、方程y”+ yˊ-2 y=0的通解为(C) ----(A)y=e2x+ex(B)y=Ce2x+ex(C)y=C1e2x+C2ex(D)y=e2x+Cex 填空题: 1、方程ydy+xdx=0的通解为22.通解为y=Cex的一阶微分方程为yˊ-y=0.2、满足条件y(0)=3的微分方程dy=2xydx的特解为y=3ex2.3、二阶常系数齐次线性微分方程y“+p yˊ+q y=0的特征方程为r2- 4、微分方程y”-4y=0的通解为2x2x.- 5、微分方程y“-4yˊ-5y=0的通解为x5x6、微分方程y”-4yˊ+13y=0的通解为 7、微分方程y“+2yˊ+y=0的通解解答题 1、求可分离变量微分方程dy=xydx的通解。 解:(1)显然y=0是微分方程的解; (2)当y≠0时,方程可化为dydyxdx,两边分别积分xdx yy 12x12得方程的解为lnyxC1,即yCe2 212x2由(1)(2)可知微分方程的通解为yCe。 2、求微分方程ex-ydx=dy的通解。 解:方程可化为exdx=eydy,两边积分得∫exdx=∫eydy,于是微分方程的通解为ey = ex+C.3、求微分方程y”-2yˊ-3y=0的通解。 -解:所给微分方程的特征方程为r2-2r-3=0,其根为r1=-1,r2=3,因此所求通解为y=C1ex+C2e3x4、求微分方程y“-5yˊ+6y=0的通解。 解:所给微分方程的特征方程为r2-5r+6=0,其根为r1=2,r2=3.因此所求通解为y=C1e2x+C2e3x。 5、求微分方程y”+2yˊ+y=0的通解。 -解:所给微分方程的特征方程为r2+2r+1=0,其根为r1=r2=-1.因此所求通解为y=(C1+C2x)ex.6、求微分方程y“-4yˊ+4y=0的通解。 解:所给微分方程的特征方程为r2-4r+4=0,其根为r1=r2=2,因此所求通解为y=(C1+C2x)e2x.7、求微分方程y”-2 yˊ+5 y=0的通解。 解:所给方程的特征方程为r2-2r+5=0,其根为r 因此所求通解为y=ex(C1cos2x+C2sin2x) 8、求微分方程y"-4 yˊ+5 y=0的通解。 解:所给方程的特征方程为r2-2r+5=0,其根为r 因此所求通解为y=e2x(C1cosx+C2sinx).12i 2i第三篇:微分方程教案
第四篇:第四章 微分方程讲稿
第五篇:微分方程习题答案