第一篇：2013—2014学年度第一学期八年级数学课外拓展总结

2013—2014学年度第一学期八年级数学拓展工作总结 课外拓展训练，通过典型例题精讲评注，提优创新习题拓展训练，帮助学生多角度地理解数学方法、归纳数学方法，使学生从“知识型”向“智力型”转换；遵循针对性原则、可行性原则、参与性原则；源于课本、高于课本、循序渐进、有的放矢、纵向联系、温故知新，以激发学生的学习兴趣，提高创新能力。课外拓展训练，强调以数学新课程标准为准则，切合教学实际编写，在内容的设置上根据学生的认知水平注重学生的思维过程，让学生切实掌握知识，形成能力。

一、学法指导原则

（一）激发动机性原则。随着现代教学论的发展，人们越来越重视学习过 程中学生学习行为的主情意因素。激发学生学习的自觉性、主动性，是进行学习方法指导的先决条件。

（二）循序渐进性原则。学习任何知识，必须注重基本训练，要一步一个脚印，由易到难，扎扎实实地练好基本功，切忌好高鹜远。在教学中教师应针对教材特点，围绕年级和单元训练重点进行有序的专项强化训练，便于学生形成系统的独立的学习能力。

（三）分层性原则。学生存在着个体差异，因此应针对学生的实际情况进行分层指导，这是学法指导的最根本的原则。对不同类型的学生，指导方法和重点也不同。对优秀型学生侧重于帮助他们进行总结并自觉选择运用学习方法；对认真型学生主要解决方法问题；对松散型学生主要解决学习态度问题；对低劣型学生主要解决兴趣、自信心和具体方法问题。

（四）反馈性原则。反馈是一个过程，它贯穿于整个学习过程的各个阶段。教师在学生学习过程中不重视反馈，学生就难以真正了解自己的学习情况，学生的求知心、自信心和既定的目标难免受到影响，这就势必影响到下一个阶段的学习过程。

（五）实践性原则。学习方法实际上是一种实践性很强的技能，要使学生真正掌握学习方法，就必须进行方法训练，即实践，使之达到自动化、技巧化的程度。指导中切忌单纯传授知识，满堂灌，学而不用。进行方法训练时，要与具体内容相结合，使学生在具体运用中掌握学习方法，形成学习能力。

二、学法指导策略

（一）巧设思维情境，渗透学法指导

让学生掌握数学学习方法，形成良好的学习能力并不是一蹴而就的。因此，在教学过程中，教师不能直接将抽象的学习方法硬性塞给学生，更不能以让学生学会读书为借口而放任自流。教师在传授知识的同时，应根据教材特点，抓住训练时机，有针对性、有计划地指导学生，让学生主动而又生动活泼地学习，积极发挥其主体作用，使“教材”变成学生的“学材”，使教法与学法有效结合，提高教学效果和学习效率。

（二）回顾学习过程，总结学习方法

科学的学习方法来源于成功的学习实践。因此，教师要善于引导学生在理解知识的基础上回顾学习过程，引导学生把自己的学习过程作为认知对象，帮助他们从成功的学习中总结出规律，以便今后自觉运用这些规律去探求新知。

（三）提供迁移机会，巩固运用学法

对于学习方法的掌握，学生并不是一教就会，一点即悟的，真正理解和掌握学习方法，形成学习能力，要有一个逐步领悟和吸收的过程。因此，在学生初步掌握学习方法的同时，还要给学生创造学习迁移的机会，让学生在训练中印证学法、选择学法、改进学法。

（四）进行序列训练，促进认知发展

学习方法的整合内化是一个长期而又艰苦的过程，需要教师从课堂教学的每个环节抓起，有计划、有意识、有序列地进行持之以恒地训练。因此在教学中应引导学生站在已有的基础上“自己跳起来”够一够，在教师的点拨下迈出新步；在教师的序列指导下不断积累和丰富自己的学习方法。

三、学法指导途径

通过课前加强学法指导，养成良好的学习习惯，使学生变“被动”为“主动”，从而逐渐培养学生自学能力。在课堂渗透学法指导，处理好“听”、“思”、“记”三者的关系，发挥学生主体作用。在复习巩固及完成作业中加强学习方法指导，通过发现问题、解决问题、最后归纳出体现所学知识的各种题型及解题方法，形成学习能力。

每个教师不应是一种教书的工具，而是应当具备一个学习促进者的态度和技巧。因此，在学生的学习过程中教师要大胆放手，多给学生一点时间和机会进行体验、感悟和思考。学生能读懂的尽量指导学生自己去读、去思考、去领悟其中的道理，以培养学生的自学能力。学生能分析的题目尽量让学生动手动脑、独立分析完成，以培养学生的分析问题、解决问题的能力。学生能归纳概括的知识结构、解题规律，尽量让学生自己去归纳总结，以培养学生概括、总结的能力。学生能探索到的新知识、新方法尽量鼓励他们去尝试、去探索，以利于他们获得成就感，激发更浓厚的学习兴趣，从而形成勇于探索、钻研的习惯。希望通过这种学法指导，最大限度地调动学生学习的积极性和主动性，激发学生的思维，培养学生自主学习、自我探究能力，为学生发挥自己的聪明才智提供和创造必要的条件。

第二篇：2013至2014学第一学期八年级数学教学总结（范文模版）

2013至2014学第一学期

八年级数学教学总结

钟灵中学杨月华

本学期本人担任八（1）班数学教学工作，现将一学期来的工作情况作如下总结：

一、班级概况

该班共有学生34人，其中女生14人。这个班的上学期成绩相对来说有了一定的进步，但是毕竟是基础较差，本学期内容加深了很多学生跟不上，两极分化严重。每次测试下来考满分的有1到3个，可是20分以下的也有1至3个，极差最小的一次只在65分，平均分最高的一次只有78分，优分率最多的一次只在26%。所以经常都弄得我很无助也很无奈。

二、教学任务完成情况

由于本学期的军训活动占去了一部分上课时间，所以对于本学期内容上课的进度作了部分调整，从而能在考试前完成教学任务并有两周左右的时间复习。

本学期一共上了五章内容，50个课时（即：第十一章三角形6课时；第十二章全等三角形9课时；第十三章轴对称12课时；第十四章整式的乘法与因式分解12课时；第十五章分式11课时。）；共测试20次，全批全改18次；布置作业50次，全批全改45次；利用课余时间给学生辅导16课时以上，学生到位率100%，得到学生的好评并取得一定效果。

三、提高成绩的措施

1、能继续上学年好的方法。即：每生每天做两题；每周编一题给另一位同学完成；

2、能课外时间多到教室与学生交流讨论，了解学生学习的情况增强师生感情；

3、能对后进学生进行单个辅导，多鼓励少责骂；

4、能不断对学生进行“精神充电”，学习魏书生老师什么时候也不放下对学生和自己的“精神充电”。方法是每次测试后让学生写一份“测试感受”，一学期布置两次“学习数学的快乐”作文，在批改作业时也不忘了给学生进行“精神充电”；

5、能不断注重自身能力提高。

（1）能每次给学生做的试题与学生一起在规定时间内完成，不依赖答案；

（2）能充分备好课上好课认真及时批改作业和测试卷，做到实效性；

（3）能注重对学生的承诺，增强在学生心中的信任和信服力度；

（4）能坚持每周做一份中考试题，增强业务能力；

（5）能争取多看一些数学史书籍以便增强对数学的了解和热爱，从而影响带动学生；

（6）能时刻以“为人师表、以身作责”武装头脑，加强对职业道德的修养；

四、不足之处及努力方向

本人最大的缺点就是性质急要求过高，导致有时中伤学生的自信心，以至于每个学生在我的身边似乎都失去一些自我，导致失去学习的主动性。那么本人将在今后的工作中发扬优点完善不足，让自己真正成为学生的良师益友，使每一个经过我教育的孩子都有美好的前程！

二○一四年元月九日

第三篇：2018—2018第一学期八年级数学教学计划

2018—2018第一学期八年级数学教学计划

学习是劳动，是充满思想的劳动。查字典数学网为大家整理了20182018第一学期八年级数学教学计划，让我们一起学习，一起进步吧!

一、指导思想

本学期我将积极参加学校组织的政治学习，认真学习马列主义、毛泽东思想及邓小平理论，江泽民三个代表重要思想和科学发展观，坚持党的基本路线，拥护中国共产党的领导，贯彻党的教育方针、政策，与党中央保持高度的一致，使自己真正成为时代前进的促进派。认真学习《教师法》、《教育法》、《义务教育法》、《教师职业道德规范》及《未成年人保护法》等法律法规，使自己对各项法律法规有更高的认识，做到以法执教。忠诚于党的教育事业，立足教坛，无私奉献，全心全意地搞好教学工作，做一名合格的人民教师。

二、学情分析

本学期我担任八年级(4)、(6)班数学教学工作，从上学期的期末成绩来看，班上的学生数学基础较差，两极分化现象较为严重，一部分学生解题作答比较粗心，不能很好的发挥出自己应有的水平。加之，这学期两名优秀学生转学，班级整体基础不容乐观，平时的教学中应该特别注重基础。

三、教学目标

知识技能目标：学生通过探究实际问题，认识三角形、全等三角形、轴对称、整式乘除和因式分解、分式，掌握有关规律、概念、性质和定理，并能进行简单的应用。进一步提高必要的运算技能和推理技能，提高应用数学语言的应用能力。

过程方法目标：掌握提取实际问题中的数学信息的能力，并用有关的代数和几何知识表达数量之间的相互关系;通过探究三角形的边角关系、全等三角形的判定、轴对称性质进一步培养学生的识图能力;通过对整式乘除和因式分解的探究，培养学生发现规律和总结规律的能力，建立数学类比思想。

态度情感目标：通过对数学知识的探究，进一步认识数学与生活的密切联系，明确学习数学的意义，并用数学知识去解决实际问题，获得成功的体验，树立学好数学的信心。体会到数学是解决实际问题的重要工具，了解数学对促进社会进步和发展的重要作用。认识数学学习是一个充满观察、实践、探究、归纳、类比、推理和创造性的过程。养成独立思考和合作交流相结合的良好思维品质。

四、教材分析

第十一章 三角形

本章主要学习与三角形有关的线段、角及多边形的内角和等内容。

本章重点：三角形有关线段、角及多边形的内角和的性质与应用。

本章难点：正确理解三角形的高、中线及角平分线的性质并能作图，及三角形内角和的证明与多边形内角和的探究。

第十二章 全等三角形

本章主要学习全等三角形的性质与判定方法，学习应用全等三角形的性质与判定解决实际问题的思维方式。

教学重点：全等三角形性质与判定方法及其应用;掌握综合法证明的格式。

教学难点：领会证明的分析思路、学会运用综合法证明的格式。

第十三章 轴对称

本章主要学习轴对称及其基本性质，同时利用轴对称变换，探究等腰三角形和正三角形的性质。

教学重点：轴对称的性质与应用，等腰三角形、正三角形的性质与判定。

教学难点：轴对称性质的应用。

第十四章 整式的乘法和因式分解

本章主要学习整式的乘除运算和乘法公式，学习对多项式进行因式分解。教学重点：整式的乘除运算以及因式分解。

教学难点：对多项式进行因式分解及其思路。

第十五章 分式

本章主要学习分式及其基本性质，分式的约分、通分，分式的基本运算，分式方程的概念及可化为一元一次方程的分式方程的解法。

教学重点：运用分式的基本性质进行约分和通分;分式的基本运算;解分式方程。教学难点：分式的约分和通分;分式的混合运算;解分式方程及分式方程的实际应用。

五、具体措施

1.认真研读新课程标准，钻研新教材，根据新课程标准，扩充教材内容，认真上课，批改作业，认真辅导，让学生学会认真学习。

2.兴趣是最好的老师，激发学生的兴趣，给学生介绍数学家、数学史，介绍相应的数学趣题，给出数学课外思考题，激发学生的兴趣。

3.引导学生积极参与知识的构建，营造民主、和谐、平等、自主、探究、合作、交流、分享发现快乐的高效的学习课堂，让学生体会学习的快乐，享受学习。引导学生写复习提纲，使知识来源于学生的构造。

4.引导学生积极归纳解题规律，引导学生一题多解，多解归一，培养学生透过现象看本质，提高学生举一反三的能力，培养学生的发散思维，让学生处于一种思如泉涌的状态。

5.运用读新课程标准的理念指导教学，积极更新自己脑海中固有的教育理念，不同的教育理念，将带来不同的教育效果。

6.培养学生良好的学习习惯，有助于学生进步提高学习成绩，发展学生的非智力因素，弥补智力上的不足。

7.进行个别辅导，优生提升能力，扎实打牢基础知识，对差生，一些关键知识，辅导差生过关，为差生以后的发展铺平道路。

8.站在系统的高度，使知识构筑在一个系统，上升到哲学的高度，八方联系，浑然一体，使学生学得轻松，记得牢固。

9.开展课题学习，把学生带入研究的学习中，拓展学生的知识面。

10.搞好单元测试及试卷分析，针对试卷中存在的问题，及时采取行之有效的补救措施，切实解决学生数学学习中存在的困惑。

六、进度安排

周次

教学内容

第一周

11.1与三角形有关的线段 11.2与三角形有关的角

第二周 11.2与三角形有关的角 11.3多边形及其内角和

第三周

11.3多边形及其内角和 第十一章复习

第四周

12.1全等三角形 12.2三角形全等的判定

第五周

12.2三角形全等的判定

第六周

12.3 角平分线的性质 第六章复习

第七周

13.1轴对称 13.2画轴对称图形 第八周

13.3 等腰三角形 13.4 课题学习：最短路径问题

第九周

第十三章复习期中复习

第十周

期中复习期中考试

第十一周

14.1整式的乘法

第十二周

14.1整式的乘法 14.2 乘法公式

第十三周 14.2 乘法公式 14.3 因式分解

第十四周

第十四章复习

第十五周

15.1分式 15.2 分式的运算

第十六周

15.2 分式的运算

第十七周

15.3分式方程

第十八周

第十五章复习 第十九周

期末复习

第二十周期末考试

希望各位教师能够认真阅读20182018第一学期八年级数学教学计划，努力提高自己的教学水平。

第四篇：八年级第一学期数学教学计划

八年级第一学期数学教学计划

老厂中学

陈永权

一、学生基本情况：

学生的学习习惯养成还不理想，预习的习惯，进行总结的习惯，自习课专心致至学习的习惯，主动纠正(考试、作业后)错误的习惯，比较多的学生不具有，需要教师的督促才能做，二、教材分析

本学期教学内容，共计五章，知识的前后联系，教材的德育因素，重、难点分析如下：

第十一章平移与旋转

本章是在轴对称的基础上进一步的学习，是图形的一种变换。无论是轴对称、平移还是旋转，其本质是图形的形状和大小都不发生变化，这种图形的变换是全等变换，它是相对于今后要学的相似变换和其它变换来说的。这里的知识，是在九年级将要学习的三角形全等的基础与核心，通过平移、翻折、旋转、构造中心对称图形，会使学生从不同的角度看问题，更好的认识图形间的本质关系，提升学生思维，能够透过现象看本质，节约学生学习知识的时间。本章的重点是弄清平移、旋转、中心对称图形的意义，决定因素和特征，会按要求作图，体会全等变换的思想，教学中让学生反复体会平移、旋转、中心对称图形的运动，让学生在头脑中“画”出运动的情形，认识变换的本质和它们的内在联系，在变换中探索新的位置关系与数量关系，学习运用变换的手段和思想解决几何计算和证明，欣赏和设计精美的图案。通过本章的学习，体会一个重要的哲学观点：对称，在这里尽管它是解决问题的一种重要思想，还应该把它上升到哲学的高度，感受数学的和谐与美，提高审美情趣。

第十二章平行四边形

本章的学习是运用中心对称、轴对称的知识去探索平行四边形、特殊的平行四边形、梯形的判定、性质、图形中数量、位置关系，本章的学习即是对前面知识的运用与升华，也承担培养学生的逻辑推理、逻辑思维能力。在本章中，平行四边形的概念、特征、性质，是后续内容矩形、菱形、正方形的概念、特征、性质的基础，它们涉及四边形的各元素，是特殊的平行四边形共同具有的，因此平行四边形的相关知识的学习成为本章教学的重点，这里学好，后续知识的教学就势如破竹，迎刃而解了。难点是弄清各种特殊的平行四边形之间，以及它们与平行四边形之间的联系与区别和它们的应用。本章的学习要承担起培养和提升学生逻辑思维、逻辑推理能力的重任，体会化归的数学思想，掌握梯形中有关辅助线的添加方法，弄清各种辅助线的作用。

第十三章 一元一次不等式

在日常生活中，除了相等的数量关系外，更有大量的不等关系，这部分知识是在学习认识相等的数量关系(等式、方程、方程组)的基础上来认识的不等关系(包括不等式、不等式组)，通过本章的学习使学生认识到数学来源于实践，又反作用于实践，所举实例贴近生活，解决生活中的实际问题，本章的重点是不等式的性质、解集、不等式的解法、不等式组的解集、不等式组解法及其应用，其难点是不等式的应用。

第十四章 整式的乘法 这些内容是在研究了有理数的运算，整式的加减等知识上的继续学习。本章的重点是幂的运算性质、乘法公式、因式分解，这些内容是进一步研究分式、方程、函数、代数式的化简，求值及其他数学内容的基础，因此无论花多大的代价，得把本章学好。这一章学好了，将为学生的今后学习铺平道路，也将为学生今后的学习赢得大量的时间。本章的难点是乘法公式和因式分解方法的灵活应用及他们的逆应用。

第十五章 频率与机会

本章的知识是在“§5.3可能还是确定”，“§10.4机会的均等与不等”的知识的传承与深化，都是介绍“概率”的初步知识。重点是理解随机事件的频率值可以对机会进行客观估计，通过学生的动手实验，记录数据，进行数据整理。难点是实验前对机会的估计，对大量实验数据的记录、整理、分析和总结，实验方案的合理确定和设计，使学生认识到偶然中的必然，无序中的规律。

三、本期教学任务：

通过本期的学习，要使学生认识平移、旋转、和中心对称的决定因素和本质，并用它来解决相关问题，设计图案。掌握平行四边形、特殊的平行四边形、梯形的概念、判定和性质，体会化归的数学思想，培养逻辑思维与逻辑推理能力，掌握幂的运算性质，乘法公式和因式分解的基础知识及相关方法，掌握一元一次不等式(组)的性质、解法、解集的概念及其它相关概念，体会并理解随机事件的频率值，可以对机会进行客观估计，体会偶然中的必然，这是在知识与技能上。在情感与态度上，通过本期的学习使学生认识到数学来源于实践，又反作用于实践，认识现实生活中图形间的数量关系，能够设计精美的图案，提高学生的审美情趣，培养学生实事求是、严肃认真的学习态度，激发学生的学习兴趣，培养学生对数学的热爱，对生活的热爱，在民主、和谐、合作、探究、有序、分享发现快乐，感受学习的快乐。在过程与方法，通过学生积极参与对知识的探究，经历发现知识，发现知识间的内在联系，让学生经历发现知识道路上坎坎坷坷，达到深刻理解掌握知识的目的，达到“漫江碧透，鱼翔浅底”的境界，在经历这些活动中，提高学生的动手实践能力，提高学生的逻辑推理能力与逻辑思维能力，自主探究，解决问题的能力，提高运算能力，使所有学生在数学上都有不同的发展，尽可能接近其发展的最大值，培养学生良好的学习习惯，发展学生的非智力因素，使学生潜移默化的接受辩证唯物主义的熏陶，提高学生素质。

四、提高学科教育质量的主要措施：

1、认真做好教学六认真工作。把教学六认真作为提高成绩的主要方法，认真研读新课程标准，钻研新教材，根据新课程标准，扩充教材内容，认真上课，批改作业，认真辅导，认真制作测试试卷，也让学生学会认真学习。

2、兴趣是最好的老师，爱因斯坦如是说。激发学生的兴趣，给学生介绍数学家，数学史，介绍相应的数学趣题，给出数学课外思考题，激发学生的兴趣。

3、引导学生积极参与知识的构建，营造民主、和谐、平等、自主、探究、合作、交流、分享发现快乐的高效的学习课堂，让学生体会学习的快乐，享受学习。引导学生写小论文，写复习提纲，使知识来源于学生的构造。

4、引导学生积极归纳解题规律，引导学生一题多解，多解归一，培养学生透过现象看本质，提高学生举一反三的能力，这是提高学生素质的根本途径之一，培养学生的发散思维，让学生处于一种思如泉涌的状态。

5、运用新课程标准的理念指导教学，积极更新自己脑海中固有的教育理念，不同的教育理念将带来不同的教育效果。

6、培养学生良好的学习习惯，陶行知说：教育就是培养习惯，有助于学生稳步提高学习成绩，发展学生的非智力因素，弥补智力上的不足。

7、指导成立“课外兴趣小组”的民间组织，开展丰富多彩的课外活动，开展对奥数题的研究，课外调查，操作实践，带动班级学生学习数学，同时发展这一部分学生的特长。

8、开展分层教学，布置作业设置A、B、C三类分层布置分别适合于差、中、好三类学生，课堂上的提问照顾好好、中、差三类学生，使他们都等到发展。

9、进行个别辅导，优生提升能力，扎实打牢基础知识，对差生，一些关键知识，辅导差生过关，为差生以后的发展铺平道路。

10、站在系统的高度，使知识构筑在一个系统，上升到哲学的高度，八方联系，浑然一体，使学生学得轻松，记得牢固。

五、全期教学进度安排：

章节

课时 教学起止时间 第十一章平移与旋转 13 第一周二～第四周三 §11.1平移 3 第一周二～第二周四 §11.2旋转 3 第二周五～第三周二 §11.3中心对称 4 第三周三～第四周一 复习小结与检测 3 第四周一～第四周三 第十二章平行四边形 19 第四周四～第九周一 §12.1平行四边形 5 第四周四～第五周三 §12.2几种特殊的平行四边形6 第五周四～第七周四 §12.3梯形 4 第七周五～第八周三 复习小结与检测 4 第八周三～第九周一 第十三章 一元一次不等式 15 第九周二～第十二周一 §13.1认识不等式 2 第九周三～第九周四 §13.2解一元一次不等式 4 第九周五～第十周三 §13.3一元一次不等式组 6 第十周四～第十一周四 复习小结与检测 3 第十一周五～第十二周二 第十四章 整式的乘除 20 第十二周三～第十六周一 §14.1幂的运算 4 第十二周三～第十三周一 §14.2整式的乘法 3 第十三周二～第十三周四 §14.3乘法公式 5 第十三周五～第十四周四 §14.4因式分解 5 第十四周五～第十五周四 复习小结与检测 3 第十五周五～第十六周一 第十五章 频率与机会 11 第十六周二～第十八周二 §15.1在实验中寻找规律 3 第十六周二～第十六周四 §15.2用频率估计机会的大小3 第十六周五～第十七周二 §15.3模拟实验 3 第十七周三～第十七周五 复习小结与检测 2 第十八周一～第十八周二 期末总复习第十八三～期末结束

第五篇：课外拓展

课外拓展

进货次数问题探讨

题目 某公司某年需要某种计算机元件8000个，在一年内连续作业组装成整机卖出（每天需同样多的元件用手组装，并随时运出整机至市场），该元件向外购买进货，每次（不论购买多少件）须花手续费500元，如一次进货，可少花手续费，但8000个元件的保管费很可观，如果多次进货，手续费多了，但可节省保管费，请你帮该公司出个主意，每年进货几次为宜，该公司的库存保管费可按下述方法计算：每个元件每年2元，并可按比例折算成更短的时间：如每个元件保管一天的费用为件的买价、运输费及其他费用假设为一常数．

元（一年按360天计算）．每个元解： 设购进8000个元件的总费用为F，一年总保管费为E，手续费为H，元件买价、运输费及其他费用为C（C为常数），则 F=E＋H＋C.如果每年进货n次，则每次进货个，用完这些元件的时间是年．进货后，因连续作业组装，一年后保管数量只有（－a）个（a为一天所需元件），两天后只有（－2a）个，……，因此年中个元件的保管费可按平均数计算，即相当于个保管了年，每个元件保管年须元，在这年中个元件的保管费为.每进货一次，花保管费En元，一共n次，故

当且仅当为宜．

=n·500，即n=4时，总费用最少，故以每年进货4次说明： 这道寻求最佳进货次数的问题，是北京市首届“方正杯”中学生数学知识应用竞赛初赛试题（1993.11），求解的关键数学知识是“的极小值是”.周知识概述

本周学习第六章不等式的性质和算术平均数与几何平均数两部分内容，前一部分中，主要用于讲述实数运算性质和大小顺序之间的关系，从而掌握比较两个实数大小关系的方法；在此基础上，给出了不等式的性质，一共讲了五个定理和三个推论，并给出了证明．不等式的其他性质都可由它们推导出来．第二部分中课本首先证明了一个重要的不等式a＋b≥2ab，通过这一公式，得出了两个正数的算术平均数与几何平均数的定理．利用均值不等式求函数的最值问题，这是均值不等式的一个重要应用。最后通过例题，说明此定理在解决数学问题和实际问题中的应用.二、重难点知识选讲

1、实数的运算性质与大小顺序之间的关系

不等式的等价性：两个实数、b比较大小，有大于、等于、小于之别，且有，（1）＞b －b＞0；（2）=b

－b=0；（3）＜b

－b＜0.2

2等价符号左边不等式反映的是实数的大小顺序，右边不等式反映的则是实数的运算性质，合起来就成为实数的运算性质与大小顺序之间的关系，它是不等式这一章的理论基础，是不等式性质的证明，证明不等式以及解不等式的主要依据.本周学习的另一重点是用作差法比较两实数的大小.用作差法比较两实数的大小，其步骤为①作差；②变形；③判断差的正负．在解题中应加强化归意识，把比较大小与实数减法运算联系起来，利用实数的运算性质解决比较大小的问题.例

1、已知，b∈R+ ,求证：[分析与解答] 分析：

比较两个实数的大小，常根据实数的运算性质与大小顺序的关系，归结为判断它们的差的符号来确定.证明此题要注意分类讨论。证明：nn

＋b≥

nn-

1b＋b

n-1

．（nN）

＋b －(nn-1b＋b)=(n-1n-1

－b)－b（n-1n-1

－b)=(－b)（n-1n-1

－b)

n-1 若＞b

若=b(－b)(n-1－b)=0.若＜bn-1

综上,≥O,即

n

＋b

－(n-1b＋b n-1)≥O∴

nn

＋b ≥

nn-1

b＋b ．

n-1小结： 比较大小常用作差法，一般步骤是作差——变形——判断符号．变形常用的手段是分解因式和配方，前者将“差”变为“积”，后者将“差”化为一个或几个完全平方式的“和”，也可两者并用.2、不等式的性质、推论及证明

不等式的五个性质和三个推论是不等式这一章的理论依据。

（1）＞b

（3）＞bb＜；（反身性）

（2）＞b，b＞c

＞c；（传递性）

＋c＞b＋c；（两边同加数号不变）；推论：移项法则.（4）；（两边同乘正数号不变）；

（5）；（两边同乘负数号改变）；推论：去系数法则.（6）；（同向相加）（7）；（异向相减）

（8）；（同向相乘）

（9）；（异向相除）

（10）＞b（倒数关系）

（11）＞b＞0n＞b n（nN+）；（不等式的幂）

（12）＞b＞0

2（nN+）；（不等式的方根）

例

2、已知f(x)=px－q，且－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围.[分析与解答] 分析：

本题可考虑将f(3)写成f(1)，f(2)的线性组合，即f(3)=mf(1)＋nf(2)的形式，然后用不等式的运算性质推算f(3)的取值范围.解答：依题意，有

点评：

（1）这种类型题目常见的错误是：

由，加减消元得0≤p≤3，1≤q≤7，从而得－7≤f(3)＝9p－q≤26，事实上，f(3)不可能取到[－7，26]上的一切值.p，q是两个相互联系，相互制约的量，在得出0≤p≤3，1≤q≤7后，并不意味着p、q可以独立地取得区间[0，3]及[1，7]上的一切值，例如p=0，q=7时，p－q=－7已不满足－4≤p－q≤－1.（2）依不等式的性质求变量的范围是一种常见的题型，变形不等式时要防止扩大了变量的范围.例

3、（1）已知30

[分析与解答] 分析：（1）同向不等式不能相除，应先求出的取值范围.（2）注意运用取倒法则，优化解题过程.解：

（1）

（2）．

小结：不等式的性质中讲了加法和乘法运算，对于减法和除法必须转化为加法和乘法来运算，千万不能把等式的减、除法运算平移到不等式的运算中来.3、算术平均数与几何平均数

若a、b∈R，那么a＋b≥2ab（当且仅当a=b时取等号）通常称为重要不等式．两正数a，b的算术平22均数，几何平均数，平方平均数，调和平均数的大小关系为H≤G≤A≤Q（等号当且仅当a=b时取得），这也称作均值不等式.运用重要不等式和均值不等式，可以比较大小，证明不等式，求最值．

基本不等式有：

①，；

②，；

③，；

④，；

⑤，；

⑥，.例

4、已知a，b，c都是正数，且a＋b＋c=1，求证：

[分析与解答] 分析：

在不等式证明中，几个正数的和为1，常常作为条件出现在题设，这时用好这个“1”常常成为解题的关键.证明：

（1）∵ a＋b＋c=1，且a＋b＋c∈R.＋

＋

（2）∵ a，b，c∈R且a＋b＋c=1.（3）∵ a，b，c∈R且a＋b＋c=1.＋

小结：

以上各小题在证题过程中，或是将分子的1看作a＋b＋c，然后拆项，或是将原代数式乘以一个值为1 的因式（a＋b＋c）以利用整理变形，这些常用的“1”的变换技巧很重要.2利用基本不等式求最值：

①当成立； ③若时，不等式为定值，不等式即为

成立； ②当且仅当，当且仅当

时，不等式时，有最小值

中，“等号”；

④若为定值，不等式即为，当且仅当时，有最大值；

注：以上简称“和小积大”；有否最值的关键为是否有定值，且当时，能否求出解来.例

5、已知a，b为正数，且，求的最大值以及达到最大值时a，b的值.[分析与解答] 分析：

分析条件与结论之间的关系是非常重要的解题步骤.本题条件，结论的最大值，所以必须把结论中a进入根号内，即是用条件的第一步，而条件中的的b系数为，还得继续变换结论解析式的形式，即：，再用均值不等式就完成了这一转化过程.解答：∵a，b为正数.当时，即时取等号.∴ 当时，的最大值为

点评：在求解过程中，不要急于运用均值不等式，使解答陷入僵局．

例

6、如图所示，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a米，高度为b米，已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比，现有制箱材料60平方米，问当a，b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A、B孔的面积忽略不计）

[分析与解答] 析：

先由面积列出a，b的方程，由题意将问题转化为使ab取最大值时a、b的值.解法一：

依题意，即所求的a，b值使ab最大.由题设知 4b＋2ab＋2a=60（a>0，b>0）

即 a＋2b＋ab=30（a>0，b>0）

当且仅当a=2b时，上式取等号.