第一篇：数列极限的四则运算

Xupeisen110高中数学

教材：数列极限的四则运算

目的：要求学生掌握数列极限的四则运算法则，并能运用法则求数列的极限。过程：

一、复习：数列极限的N定义

二、提出课题：数列极限的四则运算法则1．几个需要记忆的常用数列的极限

1．lim

2n13n

223

1n2n

lim(2

n

n

1n2n

解：原式=lim))

lim2lim

n

202n 2303n

n

n

lim(3

n

lim3lim

n

n

Xupeisen110高中数学

2．lim

5nn46nn

3解：原式=lim

56

51n1n

1

4n

nn

1n



4n1n

3．lim5nn4解：原式=limn

n

6nn1

n

6

n1n



06

0



小结：．．．

lim

n

a0

(pq)

例

四、，求limTn

n

解： T当当当q1limTnlim

n

n

11n

当q1时，limTn不存在n

四、小结：运算法则、常用极限及手段

五、作业：练习1、2习题1补充：（附纸）

第二篇：数列极限的运算

第十九教时

教材：数列极限的运算

目的：继续学习数列极限的运算，要求学生能熟练地解决具体问题。过程：

一、复习数列极限的运算法则

例

一、先求极限lim

n2n

1n

2n

21，再用ε—N定义证明。2解：lim

nn1

1

11

2n

2n21

lim1n

212 n

任给0,|n2n112n2n211

2|2(2n2

1)则

2n12(2n21)2n4n222n2n

1

n(当n1时,n21,2n22,4n222n2)

令1

n

n



取N[

]

nN时,|

nn1n2

当n12n2

11

|恒成立lim

n

2n2

1

1

二、先求和，后求极限：

例

二、求极限

1．lim(1473n

2)n

n2n2n2n2

解：原式=limn(3n1)

1（指出：原式=0+0+0+……+0=0 是错误的）n

2n2

22．lim

1223n(n1)

n

n(n2

3)

n(n1)(2n1)

n(n1)

解：原式=lim

2n36n24n1n

n(n23)limn

6(n

33n)3 3．lim[(11)(11111

n222)(24)(12

2n1)]

11(1解：1

2n1)1(1

22n1



2n1)(112

n1)2

12n

112

2n1

1

n1

1

n11

111111原式lim[

22212312n1]2n

n

112

11112 n122122212

2n11

24．已知数列{an}中a1

n

n(n1)(n2)，求limSn

n

解：

1n(n1)(n2)12[1n(n1)1(n1)(n2)

]

原式lim

n

2{(1111111223)(2334)[n(n1)(n1)(n2)]}lim

1n

2[1112(n1)(n2)]

4三、先共扼变形，再求极限：

例

三、求极限

1．lim

n(n1n)

n

解：原式=lim

n(n1n)(n1n)

n

n1n

lim

nn

n1n

lim

11n



12n

1

2．limnn1nn2n 7．用数列极限的定义证明：limnn21 23n13解：原式=limn(n1n)(n1n)(n2n)(n2n)(n2n)(n1n)510155n123n,和，,， 8．已知数列，,,345n2345n

2(1)求证：这两个数列的极限分别是5和1；

(2)作一个无穷数列，使它的各项为这两个数列的对应项的和，limn2n1

n2(n1n)2

3．lim(23n23(n1))

n

解：原式lim(n(n1)n(n1))n

n22limnn(n1)n(n1)

22

lim12

n1(11)1(112

2n2n)

1．求数列

32,43,56

4,5,的极限为1

2．lim[111

21]n12334n(n1)

3．lim(11

21

41

n2n)4．lim(1

nn214

n217

n213n2

n21)3

5．lim3n12n1

n3n12n1

6．0.2.7.= 3验证所得数列的极限等于这两个数列的极限的和。

四、作业：

第三篇：数列极限的运算法则

数列极限的运算法则

(上海教育出版社高中课本数学高二第一学期7.7第二课时)一．教学目标：

掌握数列极限的运算法则，并会利用这些法则求简单的数列的极限。二．教学重点：运用数列极限的运算法则求极限

教学难点：无限个数列极限的运算 教学过程： 1.引入：

今天的主角是古希腊著名的数学家、物理学家阿基米德。他提出了三次方程的几何解法，发现了以他的名字命名的螺线，他曾求出许多图形的面积和体积，极限的思想能够帮助我们解决很多几何图形面积体积的问题，今天我们也来做一次数学家，研究重现一下他这一贡献的过程。我们来看这个例子，要计算由抛物线yx2、x轴以及直线x=1所围成的区域的面积S，这是一个曲边三角形，不能用三角形的面积公式来计算，阿基米德是如何计算的呢?首先把区间[0，1]分为两部分，那么作出的这一个矩形的面积必然小于曲边三角形面积，之后我们再尝试继续一分为二，那么作出这三个矩形，其面积比我们刚才计算的要大，但仍小于曲边三角形的面积，继续采取这种方法，增大区间段，不妨设把区间[0，1]分成n个小区间，即用x轴上的分点0,123n1，,.....，n nnnn分隔;那么在每个小区间上作一个小矩形，使矩形的左上端点在抛物线上，这些矩形的高对应就是122232n10,(),(),(),.....,(2)，我们来考虑这些矩形面积的总和： nnnn1121221n121122232...(n1)2(n1)n(2n1)(n1)(2n1)Sn0()()....()33nnnnnnnn6n6n2我们不妨考察Sn与S之间有何关系，我们尝试使n越来越大，也就使分的每段区间越来越小，那么矩形可以要多窄有多窄，我们是不是就可以把Sn近似看作S了呢，n无限增大，矩形面积的和就可以无限逼近曲边三角形的面积~这就是一种极限的思想，当n无限增大时，矩形面积的总和Sn可以近似等于曲边三角形的面积，它们之间的差极其小。那么这个极限我们上节课已经学过了，结果是多少哇？（1/3）非常好，这是大学中非常重要的一种积分的思想，我们看到了极限的重要性，那么大家更要认真学习，积极理解。那么我们就来回顾一下上节课介绍的常见的三种数列极限。（提问）不错，功课做的很足~我们上节课呢，介绍的f(n)/g(n)模型是常考点，但除此之外还有很多复杂的数列，他们的极限比较复杂，那么应该如何求呢？我们学过实数的四则运算，今天我们就来探讨一下数列极限的四则运算性质： 揭示主题：数列极限的四则运算性质。2.概念详细讲解：

如果数列{an},{bn}极限存在，记作A，B，limanA,limbnB,那么

nnlim(anbn)AB

lim(anbn)AB

limnnanA(B0)

nbBnnn

特别地，如果当bnC，C是常数时，那么lim(Can)limClimanCA。

n我们可以发现，和的极限可以转化成极限的和，加法运算与极限运算可以交换等等，但一定要注意必须保证{an},{bn}极限存在才能运用性质。

我们来看一下limanA,limbnB,是lim(anbn)AB的什么条件？

nnn充分条件显然，非必要条件，举反例：ann,bnn 那么如果把lim(anbn)AB换成lim(anbn)AB呢？

nnann,bn1n

nnn最后注意，运算法则可以推广到有限个数列的情况，比如limanA,limbnB,limCnC,那么lim(anbnCn)ABC，这里要注意必须要推广的话保证数列个数有限~ nan那么我们来用今天的运算法则证明一下昨天我们所学的g(n)f(n)型极限的计算方法，由于分子分母f(n)、g(n)为n的多项式，由于分子分母单独分离看极限都不存在，所以数列极限的运算性质不能直接利用，要想让10nn它通过变形变化成我们前面熟悉的极限，不妨考虑的类型，将分子分母同除以n的最高次幂，那么发

lim现分子分母每项的极限都存在了，这时就可以运用运算性质，直接根据系数比也可以得到这个结果，如果大家一时忘记了结论的话，可以采取分子分母同除以n的最高次幂的方法，将分子分母转化成极限存在的形式，之后再利用性质求得极限值。

3.巩固练习，在题目中强调几点注意点，接下来我们来做几个练习：

abn4lim(3)

已知liman5,limbn3，求lim(3an4bn)和limn。

nnnnnnanbn lim(1n2n)n33n24n3limn求解指数型极限时，分子、分母同时除以分子、分母各项中底数绝对值最大的项的一个最高次n43n1n幂，使得分子、分母中能出现q（|q|<1）从而利用limq0(|q|1)求解。

nn 讨论无限问题： 判断43页2.1473n2)是不是和上题相同，结果也是0呢？

nn2n2n2n2请做44页练习。lim(括号内每一项虽然都有极限，但括号内有有n项，当n趋向于无穷大时，括号内的项数不是有限的，因此不能直接利用和的极限性质，而应先求出括号内n项的和，使其变成一个式子，再用性质求极限。4.最后我们来小结一下今天的内容：运算性质必须满足极限都存在、有限项；

第四篇：数列极限的运算性质

极限的运算

教学目标

1．熟练运用极限的四则运算法则，求数列的极限．

2．理解和掌握三个常用极限及其使用条件．培养学生运用化归转化和分类讨论的思想解决数列极限问题的能力．

3．正确认识极限思想和方法是从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的一种辩证唯物主义的思想． 教学重点与难点

使用极限四则运算法则及3个常用极限时的条件． 教学过程

（一）运用极限的四则运算法则求数列的极限

师：高中数学中的求极限问题，主要是通过极限的四则运算法则，把所求极限转化成三个常用极限：lim1=0，limC=C，limqn=0（|q|<1）来解决。

nnnn例1：求下列极限：

7n33n2n(1)lim 3n4n1

师：（1）中的式子如何转化才能求出极限．

生：可以分子、分母同除以n3，就能够求出极限．

师：（2）中含有幂型数，应该怎样转化？

师：分子、分母同时除以3n-1结果如何？ 生：结果应该一样．

师：分子、分母同时除以2或2，能否求出极限？

n

n-

1（二）先求和再求极限 例2 求下列极限：

由学生自己先做，教师巡视．

判断正误．

生：因为极限的四则运算法则只适用于有限个数列加、减、乘、除的情况．此题当n→∞，和式成了无限项的和，不能使用运算法则，所以解法1是错的．

师：解法2先用等差数列的求和公式，求出分子的和，满足了极限四则运算法则的条件，从而求出了极限．第（2）题应该怎样做？

生：用等比数列的求和公式先求出分母的和．

=12． 师：例2告诉我们不能把处理有限项和问题的思路及方法随意地搬到无限项和的问题中去，要特别注意极限四则运算法则的适用条件．

例3求下列极限：

师：本例也应该先求出数列的解析式，然后再求极限，请同学观察所给数列的特点，想出对策．

生：（1）题是连乘积的形式，可以进行约分变形．

生：（2）题是分数和的形式，可以用“裂项法”变形．

例4设首项为1，公比为q（q＞0）的等比数列的前n项和为Sn，师：等比数列的前n项和Sn怎样表示？

师：看来此题要分情况讨论了．

师：综合两位同学的讨论结果，解法如下：

师：本例重点体现了分类讨论思想的运用能够使复杂问题条理化．同

（三）公比绝对值小于1的无穷等比数列前n项和的极限 师：利用无穷等比数列所有各项和的概念以及求极限的知识，我们已经得到了公比的绝对值小于1的无穷等比数列各项和的公式：

例5计算：

题目不难，可由学生自己做． 师：（1）中的数列有什么特点？

师：（2）中求所有奇数项的和实质是求什么？

（1）所给数列是等比数列；（2）公比的绝对值小于1；

（四）利用极限的概念求数的取值范围

师：（1）中a在一个等式中，如何求出它的值． 生：只要得到一个含有a的方程就可以求出来了．

师：同学能够想到用方程的思想解决问题非常好，怎样得到这个方程？ 生：先求极限．

师：（2）中要求m的取值范围，如何利用所给的等式？

|q|＜1，正好能得到一个含有m的不等式，解不等式就能求出m的范围．

解得0＜m＜4．

师：请同学归纳一下本课中求极限有哪些类型？ 生：主要有三种类型：

（1）利用极限运算法则和三个常用极限，求数列的极限；（2）先求数列的前n项和，再求数列的极限；（3）求公比绝对值小于1的无穷等比数列的极限． 师：求数列极限应注意的问题是什么？ 生甲：要注意公式使用的条件．

生乙：要注意有限项和与无限项和的区别与联系．

上述问答，教师应根据学生回答的情况，及时进行引导和必要的补充．

（五）布置作业 1．填空题：

2．选择题：

则x的取值范围是[ ]． 的值是[ ]．

A．2 B．-2 C．1 D．-1 作业答案或提示

（7）a． 2．选择题：

（2）由于所给两个极限存在，所以an与bn的极限必存在，得方程

以上习题教师可以根据学生的状况，酌情选用． 课堂教学设计说明

1．掌握常用方法，深化学生思维． 数学中对解题的要求，首先是学生能够按部就班地进行逻辑推理，寻找最常见的解题思路，当问题解决以后，教师要引导学生立即反思，为什么要这么做？对常用方法只停留在会用是不够的，应该对常用方法所体现的思维方式进行深入探讨，内化为自身的认知结构，然后把这种思维方式加以运用．例1的设计就是以此为目的的．

2．展示典型错误，培养严谨思维． 第二课时

数列极限的运算性质

教学目标：

1、掌握数列极限的运算性质；会利用这些性质计算数列的极限

2、掌握重要的极限计算公式：lim(1+1/n)n=e 教学过程：

一、数列极限的运算性质

如果liman=A，limbn=B，那么

（1）lim(an+bn)= liman+ limbn =A+B（2）lim(an-bn)= liman-limbn =A-B（3）lim(anbn)= liman limbn =AB（4）lim(an/bn)= liman/ limbn =A/B（B0，bn0）注意：运用这些性质时，每个数列必须要有极限，在数列商的极限中，作为分母的数列的项及其极限都不为零。

数列的和的极限的运算性质可推广为：如果有限个数列都有极限，那么这有限个数列对应各项的和所组成的数列也有极限，且极限值等于这有限个数列的极限的和。类似地，对数列的积的极限的运算性质也可作这样的推广。注意：上述性质只能推广为有限个数列的和与积的运算，不能推广为无限个数列的和与积。

二、求数列极限

1、lim（5+1/n）=5

2、lim(n2-4)/n2=lim(1-4/n2)=1

3、lim(2+3/n)2=4

4、lim[(2-1/n)(3+2/n)+(1-3/n)(4-5/n)]=10

5、lim(3n2-2n-5)/(2n2+n-1)=lim(3-2/n-5/n2)/(2+1/n-1/n2)=3/2 分析：由于lim(3n2-2n-5)及lim(2n2+n-1)都不存在，因此不能直接应用商的极限运算性质进行计算。为了能应用极限的运算性质，可利用分式的性质先进行变形。在变形时分子、分母同时除以分子、分母中含n的最高次数项。

4、一个重要的数列极限

我们曾经学过自然对数的底e2.718，它是一个无理数，它是数列(1+1/n)n的极限。lim(1+1/n)n =e（证明将在高等数学中研究）求下列数列的极限

lim(1+1/n)2n+1 =lim(1+1/n)n (1+1/n)n (1+1/n)=ee1=e2 lim(1+3/n)n =lim[(1+1/(n/3))n/3] 3=e3

分析：在底数的两项中，一项为1，另一项为3/n，其中分子不是1，与关于e的重要极限的形式不相符合，为此需要作变形。其变形的目标是将分子中的3变为1，而不改变分式的值。为此可在3/n的分子、分母中同时除以3，但这样又出现了新的矛盾，即分母中的n/3与指数上的n以及取极限时n不相一致，为此再将指数上的n改成n/33，又因为n与n/3是等价的。

lim(1+1/(n+1))n=lim(1+1/(n+1))(n+1)-1=lim(1+1/(n+1))n+1/lim(1+1/(n+1))=e

练习：计算下列数列的极限

lim(3-1/2n)=3

lim(1/n2+1/n-2)(3/n-5/2)=5

lim(-3n2-1)/(4n2+1)=-3/4 lim(n+3)(n-4)/(n+1)(2n-3)=1/2

lim(1+3/2n)2=1

lim(1+1/3n)2(2-1/(n+1)3=18=8 lim(1+1/n)3n+2=lim[(1+1/n)n] 3(1+1/n)2=e3

lim(1+4/n)n=e4

lim(1+1/(n+2))n+1=e lim[(n+5)/(n+4)]n=lim(1+1/(n+4))n=e

lim(1+2/(n+1))n=e2

lim[(n+5)/(n+2)] n=lim[(1+3/(n+2))(n+2)/3] 3/(1+3/(n+2))2=e3

第五篇：数列极限的运算法则

数列极限的运算法则（9月13日）

教学目标：掌握数列极限的运算法则，并会求简单的数列极限的极限。

教学重点：运用数列极限的运算法则求极限

教学难点：数列极限法则的运用

教学过程：

一、复习回顾：什么是数列极限的定义？一般地，在n无限增大的变化过程时，如果无穷数列an中的项an无限趋近于某一个常数a，那么a叫做数列an的极限.常用的数列极限的几个结论（1）对于数列qn，当q1时，有limq0（2）对于数列，有limnn

（3）对于无穷常数列C，有limCC nn1n10 n

mB,那么li(am

二、数列极限的运算法则,如果liamnA,libnnbn)ABnnn

aAlim(anbn)ABlim(an.bn)A.Blin(B0)nnnbBn

推广：上面法则可以推广到有限多个数列的情况。例如，若an．．，bn，cn有极限，则

nnnlim(anbncn)limanlimbnlimcn特别地，如果C是常数，那么lim(C.an)limC.limanCA nnnn

1.数列极限的运算法则成立的前提的条件是：数列的极限都是存在，在进行极限运算时，要特别注意这一点。当n无限增大时，分式的分子、分母都无限增大，分子、分母都没有极限，上面的极限运算法则不能直接运用。

2.有限个数列的和（积）的极限等于这些数列的极限的和（积）。

3.两个（或几个）函数（或数列）的极限至少有一个不存在，但它们的和、差、积、商的极限不一定不存在。

1.“limanA,limbnB”是“lim(anbn)AB”成立的什么条件？为什么？ nnn

2.已知liman3,limbn2，求limnnan2bn nbn

二.例题：

例1.已知liman5,limbn3，求lim(3an4bn).nnn

例2.求下列极限：

（1）lim(5n412n1n)；（2）lim(1)2（1）lim（2）lim2 nnnnn3n1n

1分析：（1）（2）当n无限增大时，分式的分子、分母都无限增大，分子、分母都没有极限，上面的极限运算法则不能直接运用。

例4.求下列极限：

3572n11242n

122)（2）lim()（1）lim(2nn1n1393n1n1n21n1

小结：在数列的极限都是存在的前提下，才能运用数列极限的运算法则进行计算；数列极限的运算法则是对有限的数列是成立的。

1.已知liman2,limbn

n

n

abn1，求下列极限（1）lim(2an3bn)；（2）limn

nn3an

35

n。

2.求下列极限：（1）lim(4

n)；（2）lim

nn

n1n3n25n2n

23.求下列极限（1）lim；（2）lim；（3）lim；（4）lim。

nn3n2n1n2n3n21n

4.求下列极限

已知liman3,limbn5,求下列极限：（1）.lim(3an4bn).（2）.lim

n

n

n

anbn

nabnn

1

2113

5.求下列极限:（1）.lim(7);（2）.lim(25)（3）.lim(4)(4).lim

nnnn1nnnn

1n123n75nn1214n2

(5).lim(6).lim(7).lim2（8）lim()22nnn6n112nn91nnn

n24（10）.已知lima2,求limnan（9）limn

nnnan111n1n

393

3n1

【题目】已知lim，则实数a的取值范围是_________.

n3n1a1n3

1

【解答】lim

3n

3n1a1

n

n

lim

11a1

, 由1解得a4,2

na1n333()

4bn

.【解答】－4 【题目】设0ab，则limn

nabn

n

n

【题目】已知a0, 则lim

3an3n1an1

1

,a33aa

【解答】原式＝lim n33naan

1,0a33

n

n

【题目】若lim(a1)0,则a的取值范围是.【解答】(2,0)

n

n

【题目】已知lim(2x1)存在, 则2xx1的取值范围.n

n

n2

因为lim(2x1)存在，所以12x11,即0x1,2x2x11,4

n

Cn1

【题目】计算：lim3＝．【解答】

nn16

【题目】

若n1,则常数a.【解答】2

23n)1, 则x的取值范围是【解答】3,3 【题目】若lim(1n

nx3n【题目】下列数列中，极限存在的数列是()【解答】C

248239273(1)n1,(B),2,3,,n,(C)，,,()n,(D)，,,()n,(A)0,1,0,1,,3927324822

1

1n20092n

【题目】数列an中，an，则数列an的极限()2

nn202_n22n

(A)等于0(B)等于1(C)等于0或等于1(D)不存在【解答】B

n

1a

【题目】若lim0，则a的取值范围是（）

n

2a

A．a1B．a1或a

n

C．1aD．a或a1 333

由lima0（a为常数），知a1，所以由已知可得

n

1a

1，解这个不等式就可求得a的取值范围． 2a

1a1a

由lim1，所以a2a，两边平方，得：(1a)24a2，0，得n2a2a

3a22a10,(3a1)(a1)0，所以a1或a．选 B

n

1



【题目】已知数列an的通项公式为an，填写下表，并判断这个数列是否有极限.n

该数列有极限，极限为0

【题目】已知数列an的通项公式为an

n2，填写下表，并判断这个数列是否有极限.【解答】

4n1

【题目】 已知limn2，求实数m的取值范围． 

n4(m2)n16

4n

【解答】limn2lim

n4(m2)nn

1m2

16

4

n



1m2

于是1，即4m24,6m2．

416

n

1m2n

说明：在解题过程中，运用了逆向思维，由lim可知，的极限必为0，而q0的nn164m2

16

4

充要条件是q1，于是解不等式

m2

1．

4例1：（1）lim(7

n

23n4(n1)(2n1))；（2）lim；（3）lim

nnnn6n2

1473n23n24n3)（2）limn（1）lim(222

nnn43n1nnn2

说明：例1（2）（3）中，当n无限增大时，分式中的分子，分母的极限都不存在，因式极限的运算性质不能直接运用，为此，可将公式中的分子，分母同时除以n的最高次幂，再运用极限的运算性质求出极限；

2、极限的运算性质可由两个数列的和、差、积、商推广到有限项的和、差、积、商.n123n3(n2)

2)；lim()

四、计算：（1）lim(2（2）lim；（3）22222nnnn3n1n1n1n1(2n1)

5n13n2an1bn

（4）limn1（2）思考题：设a0,b0，求limn nn2n3n5ab

【题目】计算：

lim

nn

3n12n

19

3n12n1

【题目】计算：lim

13(2n1)1

________.【解答】

222nn1

1＋a＋

n(1＋a)n＋1(1＋a)n＋1

【题目】lim2，则a＝________.【解答】lim＝lim＝1＋a＝2.∴a＝1.an＋an＋annn

1＋nan－bn52*

【题目】在数列{an}中，an＝4na1＋a2＋„＋an＝an＋bn，n∈N，其中a，b为常数，则lim 的值为

2n→∞a＋b5n(n－1)5

534(n－1)－＝4知该数列为等差数列，a1＝4－＝又Sn＝na1＋________．【解答】由an－an－1＝4n22222

1nn－1na＝2，－2－1－nn24a－b212

d＝2n－n＝an＋bn，得故lim＝lim1.lim121nn1nna＋bnnb＝－2＋－21＋－42

【题目】“limanA,limbnB”是“lim(anbn)AB”成立的（）

n

n

n

（A）充分非必要条件；（B）必要非充分条件；

（C）充要条件；（D）既非充分又非必要条件；【解答】A 【题目】

10、下列四个命题中正确的是（）【解答】C A、若limanA,则limanAB、若an0,limanA则A0

n

n

n

C、若limanA,则limanAD、若lim(anbn)0,则limanlimbn

n

n

n

n

n

22n－

1【题目】计算：lim＝()A．0B．1C．2D．

3n2＋11

21－02－1

【解答】lim＝lim1.故选B

11＋0n2＋1n

1＋2

n

1－

【题目】n等于（）【解答】B（A）0（B）

（C）（D）1 42

D．

4(a＋2b)n2＋2n＋11

【题目】若lima＋b为()A．－2B．2C．－4

2bn＋3n

a＋2b＝0，1

n的一次式，分子是n的二次式，∴21得b＝4，a＝－8，∴a＋b＝－4.故选C

2b2【题目】若lim2nan1，且liman存在，则lim(1n)an________.A．0B．

n

nn

C．D．不存在 22

【解答】根据题设知nan和an均存在极限，这是进行极限运算的前提，然后相减即可求得结论．

lim2nan1,limnan存在,

n

n

liman

n

lim2nan

n

n

lim

0liman0又lim2nan1,limnan

nnn2nn2

n

∴lim(1n)anlim(annan)limanlimnan0

n

n

n

n

n

即lim(1n)an.选C． 22n2

说明：liman是关键，不能错误地认为liman0，lim(1n)an0．

两个数列an、bn的极限存在是两个数列的和．差、积存在极限的充分条件．但

an

的极限不一定存在． bn

【题目】求极限

lim

n

n2n1n2n

1【解答】limlim2

22n12n1nn

1



n21 1222

n

1an

(a0)【解答】当a的值在不同范围内变化时，分子、分母的极限或变化趋势不同，【题目】 求极限：lim

n1an

1an11

因此要分各种情形进行讨论．当0a1时，linli0，当a1时，n1an11

11

1limlim1

nan1an01alimlim1.nnn1ann01111lim1limnn

aa

【题目】求极限

nn

lim

n

n(n1n)

【解答】原式=

lim

n

n(n1)(n1n)

n1n

lim

n

nn1n

lim

n

111n



【题目】求极限

lim

n

n1nn2n

【解答】原式=

lim（n

(n1n)(n1n)(n2n)n2n)(n2n)(n1n)

1 2

－

lim

n

n2n2(n1n)

【题目】已知数列{an}是由正数构成的数列，a1＝3，且满足lg an＝lg an－1＋lg c，其中n是大于1的整数，c是正2n1－a数．(1)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn；(2)求lim

n→∞2＋an＋1

【解答】(1)由已知得an＝c·an－1，∴{an}是以a1＝3，公比为c的等比数列，则an＝3·cn1.－

3n(c＝1)，

∴Sn＝3(1－cn)

(c>0且c≠1).1－c2n1－an2n1－3cn1

(2)lim lim n→∞2＋an＋1n→∞2＋3c－

－

－

2n－1－3

c11

①当c＝2；②当c>2时，原式＝lim ；

42cn→∞－n1＋3cccn－1

1－3

12

③当0

2＋3c·

2