太原理工大学硕士数理统计重点

1统计量与抽样分布

1.1基本概念：

总体X的样本X1，X2，…，Xn，则T(X1，X2，…，Xn)即为统计量

样本均值

样本方差

修正样本方差

样本k阶原点矩

样本k阶中心矩

经验分布函数

其中Vn(x)表示随机事件出现的次数,显然,则有

n

n

l

二项分布B(n,p):

EX=np

DX=np(1-p)

l

泊松分布:

l

均匀分布U(a,b):

l

指数分布:

l

正态分布:

当时，1.2统计量：

T是θ的充分统计量与θ无关

T是θ的完备统计量要使E[g(T)]=0,必有g(T)=0

且h非负T是θ的充分统计量

T是θ的充分完备统计量

是的充分完备统计量

1.3抽样分布：

分布：

T分布：

当n>2时，ET=0

F分布：

补充：

n

Z=X+Y的概率密度

f(x,y)是X和Y的联合概率密度

n的概率密度

n的概率密度

l

函数：

l

B函数：

1.4次序统计量及其分布：

X(k)的分布密度：

X(1)的分布密度：

X(n)的分布密度：

2参数估计

2.1点估计与优良性：的均方误差：

若是无偏估计，则

对于的任意一个无偏估计量，有，则是的最小方差无偏估计，记MVUE

相合估计(一致估计):

2.2点估计量的求法：

矩估计法：

①

求出总体的k阶原点矩:

②

解方程组

(k=1,2,...,m)，得即为所求

最大似然估计法：

①

写出似然函数，求出lnL及似然方程

i=1,2,...,m

②

解似然方程得到，即最大似然估计

i=1,2,...,m

补充：

n

似然方程无解时，求出的定义域中使得似然函数最大的值，即为最大似然估计

2.3MVUE和有效估计：

T是的充分完备统计量，是的一个无偏估计为的惟一的MVUE

最小方差无偏估计的求解步骤：

①

求出参数的充分完备统计量T

②

求出，则是的一个无偏估计

或求出一个无偏估计，然后改写成用T表示的函数

③

综合，是的MVUE

或者：求出的矩估计或ML估计，再求效率，为1则必为MVUE

T是的一个无偏估计，则满足信息不等式，其中或，为样本的联合分布。

最小方差无偏估计达到罗-克拉姆下界有效估计量效率为1

无偏估计的效率：

是的最大似然估计，且是的充分统计量是的有效估计

2.4区间估计：

一个总体的情况：

已知，求的置信区间：

未知，求的置信区间：

已知，求的置信区间：

未知，求的置信区间：

两个总体的情况：，均已知时，求的区间估计：

未知时，求的区间估计：

未知时，求：

非正态总体的区间估计：

当时，故用Sn代替Sn-1

3统计决策与贝叶斯估计

3.1统计决策的基本概念：三要素、统计决策函数及风险函数

三要素：样本空间和分布族、行动空间（判决空间）、损失函数

统计决策函数d(X):本质上是一个统计量，可用来估计未知参数

风险函数：是关于的函数

3.2贝叶斯估计：

①

求样本X=(X1,X2,...,Xn)的分布：

②

样本X与的联合概率分布：

③

求关于x的边缘密度

④的后验密度为：

取时的贝叶斯估计为：

贝叶斯风险为：

取时，贝叶斯估计为：

补充：

n的贝叶斯估计：取损失函数，则贝叶斯估计为

n

3.3minimax估计

对决策空间中的决策函数d1(X),d2(X),...，分别求出在上的最大风险值

在所有的最大风险值中选取相对最小值，此值对应的决策函数就是最小最大决策函数。

4假设检验

4.1基本概念：

零假设通常受到保护，而备选假设是当零假设被拒绝后才能被接受。

检验规则：构造一个统计量T(X1,X2,...,X3)，当H0服从某一分布，当H0不成立时，T的偏大偏小特征。据此，构造拒绝域W

第一类错误（弃真错误）：

第二类错误（存伪错误）：

势函数：

当时，为犯第一类错误的概率

当时，为犯第二类错误的概率

4.2正态总体均值与方差的假设检验：

一个总体的情况：

已知，检验：

未知，检验：

已知，检验：

未知，检验：

两个总体的情况：，未知时，检验：

未知时，检验：

单边检验：举例说明，已知，检验：

构造，给定显著性水平，有。当H0成立时，因此。故拒绝域为

4.3非参数假设检验方法：

拟合优度检验:

其中Ni表示样本中取值为i的个数，r表示分布中未知参数的个数

科尔莫戈罗夫检验：

实际检验的是

斯米尔诺夫检验：

实际检验的是

4.4似然比检验

明确零假设和备选假设：

构造似然比：

拒绝域：

5方差分析

5.1单因素方差分析：

数学模型,(i=1,2,...,m;j=1,2,...,ni)

总离差平方和

组内离差平方和

组间离差平方和

当H0成立时，构造统计量，当H0不成立时，有偏大特征

且

应用：

n

若原始数据比较大而且集中，可减去同一数值再解题

n

辅助量：

5.2两因素方差分析：

数学模型,(i=1,2,...,r;j=1,2,...,s)

总离差平方和

组内离差平方和

因素B引起的离差平方和

当H0成立时，因素A引起的离差平方和

当H0成立时，辅助量：

构造统计量：

6回归分析

6.1一元线性回归：

回归模型：i=1,2,...,n.的估计：

分布：的估计：

6.2多元线性回归：

回归模型：

i=1,2,...,n.参数估计：

7多元分析初步

7.1定义及性质：

其中为X的均值向量，为X的协方差矩阵

Y=CX+b，则

若，刚

7.2参数的估计与假设检验：

样本均值向量

样本离差阵

最大似然估计

最小方差无偏估计