§3

特殊几何体外接球的计算

底面为正三角形三棱锥（柱）

①（为高，为底边长）

底面是等腰直角三角形三棱锥（柱）

②（为高，为底面短边长）

底面是等腰三角形（30°，30°

120°）三棱锥（柱）

③（为高，为底面短边长）

底面是直角三角形（30°，60°，90°

三棱锥（柱）

④（为高，为底面短边长）

底面是矩形四棱锥（柱）

⑤（为底面短长、宽）

底面是一般直角三角形三棱锥（柱）

⑥（为底面两直角边）

秒杀知识点

球内接几

何体有一

条侧棱垂

直于底面

侧棱两两垂直的三棱锥

⑦（，为三侧棱长）

对棱两两相等的三棱锥

⑧（，为三对对棱长）

正三棱锥

⑨（为高，为底面边长）

正四棱锥

⑩（为高，为底面边长）

特殊球内接三棱锥或正四棱锥

秒杀思路分析

记忆方法：（1）第一类几何体均有，三棱柱，等腰直角三角形，矩形．

（2）第二类几何体，两两垂直为，两两对等为．正三棱锥为3→6，正四棱锥2→4．

秒杀思路分析

这里给出的几种特殊几何体只是高考中出现频率较高的类型，并不是全部．解题关键就是判断试题给出的几何体是属于哪种类型，然后再代入公式“速解”，也有可以转化为以上几种类型之一的形式的试题．

只有多练习、强化记忆才能熟练掌握。特别是对于文科学生做图比较困难，空间想象力较差的同学，熟记公式更能体现“秒杀”效果．

【示例1】（2008年浙江卷理14）已知球的面上四点，，，，则球的体积为

．

【示例2】（2013年辽宁卷理10）已知直三棱柱的6个顶点都在球的球面上，若，，则球的半径为（）

A．

B．

C．

D．

【示例3】在三棱锥中，，则三棱锥外接球的表面积为

．

方法对比

【例1】（2014年全国大纲卷理8、文10）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）

A．

B．

C．

D．

【例2】（2018年沈阳郊联体一模文11）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，，则球的表面积为（）

A．

B．

C．

D．

秒杀训练

【试题1】三棱锥中，，是边长为的正三角形，则三棱锥的外接球的表面积为（）

A．

B．

C．

D．

【试题2】在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，且三棱柱的体积为3，则三棱柱的外接球表面积为

．

【试题3】在正三棱锥中，分别是棱，的中点，且，若侧棱，则正三棱锥外接球的表面积是

．

【试题4】在正三棱锥中，侧棱与底面所成的角为，则该三棱锥外接球的体积为（）

A．

B．

C．

D．

【试题5】《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”．已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的外接球的表面积为（）

A．

B．

C．

D．

真题回放

【试题1】（2016年东北三省三校高三联考）三棱柱各顶点都在一个球面上，侧棱与底面垂直，，则这个球的表面积为

．

【试题2】（2018年东北三校高三一模文10）如右图是一个三棱锥的三视图，则此三棱锥的外接球的体积为（）

A．

B．

C．

D．

【试题3】（2018年青岛二中高考模拟理15）如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积为

．

【试题4】（2018年哈尔滨三中二模文10）已知三棱锥的四个顶点均在某个球面上，为该球的直径，是边长为4的等边三角形，三棱锥的体积为，则此三棱锥的外接球的表面积为（）

A．

B．

C．

D．

【试题5】（2016年黑龙江预赛）在中，沿折成直二面角，且，则三棱锥的外接球的表面积为（）

A．

B．

C．

D．

四面体的余弦定理

设四面体中，，的面积分别为，，而以，为棱的二面角大小分别为，，则有：

一般地有：四面体任意一个面的面积的平方，等于其余三个面面积的平方和，减去这三个面中每两个面的面积与它们所夹二面角的余弦乘积的两倍．

（利用此定理可解有关二面角问题）