§4.7　解三角形的综合应用

最新考纲

考情考向分析

能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.以利用正弦定理、余弦定理测量距离、高度、角度等实际问题为主，常与三角恒等变换、三角函数的性质结合考查，加强数学知识的应用性．题型主要为选择题和填空题，中档难度.实际测量中的常见问题

求AB

图形

需要测量的元素

解法

求

竖

直

高

度

底部

可达

∠ACB＝α，BC＝a

解直角三角形

AB＝atan

α

底部不可达

∠ACB＝α，∠ADB＝β，CD＝a

解两个直角三角形

AB＝

求

水

平

距

离

山两侧

∠ACB＝α，AC＝b，BC＝a

用余弦定理

AB＝

河两岸

∠ACB＝α，∠ABC＝β，CB＝a

用正弦定理AB＝

河对岸

∠ADC＝α，∠BDC＝β，∠BCD＝δ，∠ACD＝γ，CD＝a

在△ADC中，AC＝；

在△BDC中，BC＝；

在△ABC中，应用

余弦定理求AB

知识拓展

实际问题中的常用术语

1．仰角和俯角

与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①)．

2．方向角

相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等．

3．方位角

指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．

4．坡度(又称坡比)

坡面的垂直高度与水平长度之比．

题组一　思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.(×)

(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为.(×)

(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．(√)

(4)方位角大小的范围是[0,2π)，方向角大小的范围一般是.(√)

题组二　教材改编

2.[P11例1]如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50

m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为________

m.答案　50

解析　由正弦定理得＝，又∵B＝30°，∴AB＝＝＝50(m)．

3．[P13例3]如图，在山脚A测得山顶P的仰角为30°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走a米到B，在B处测得山顶P的仰角为60°，则山高h＝______米．

答案　a

解析　由题图可得∠PAQ＝α＝30°，∠BAQ＝β＝15°，△PAB中，∠PAB＝α－β＝15°，又∠PBC＝γ＝60°，∴∠BPA＝－＝γ－α＝30°，∴＝，∴PB＝a，∴PQ＝PC＋CQ＝PB·sin

γ＋asin

β

＝a×sin

60°＋asin

15°＝a.题组三　易错自纠

4．在某次测量中，在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60°，C点的俯角是70°，则∠BAC等于()

A．10°

B．50°

C．120°

D．130°

答案　D

5.如图所示，D，C，B三点在地面的同一条直线上，DC＝a，从C，D两点测得A点的仰角分别为60°，30°，则A点离地面的高度AB＝________.答案　a

解析　由已知得∠DAC＝30°，△ADC为等腰三角形，AD＝a，所以在Rt△ADB中，AB＝AD＝a.6．在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行，此时，风向是北偏东30°，风速是20

km/h；水的流向是正东，流速是20

km/h，若不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的方向为北偏东________，速度的大小为________

km/h.答案　60°　20

解析　如图，∠AOB＝60°，由余弦定理知OC2＝202＋202－800cos

120°＝1

200，故OC＝20，∠COy＝30°＋30°＝60°.题型一　求距离、高度问题

1．(2018·吉林长春检测)江岸边有一炮台高30

m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距____m.答案　10

解析　如图，OM＝AOtan

45°＝30(m)，ON＝AOtan

30°＝×30

＝10(m)，在△MON中，由余弦定理得，MN＝

＝＝10

(m)．

2.(2017·郑州一中月考)如图所示，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为α，在塔底C处测得A处的俯角为β.已知铁塔BC部分的高为h，则山高CD＝________.答案

解析　由已知得，∠BCA＝90°＋β，∠ABC＝90°－α，∠BAC＝α－β，∠CAD＝β.在△ABC中，由正弦定理得＝，即＝，∴AC＝＝.在Rt△ACD中，CD＝ACsin∠CAD＝ACsin

β＝.故山高CD为.3．(2018·日照模拟)一船以每小时15

km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°的方向上，行驶4

h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°的方向上，这时船与灯塔的距离为________

km.答案　30

解析　如图，由题意知，∠BAC＝30°，∠ACB＝105°，∴B＝45°，AC＝60，由正弦定理得＝，∴BC＝30(km)．

思维升华

求距离、高度问题的注意事项

(1)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．

(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．

题型二　求角度问题

典例

如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，则cos

θ的值为________．

答案

解析　在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理得

BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos

120°＝2

800，得BC＝20.由正弦定理，得＝，即sin∠ACB＝·sin∠BAC＝.由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，则cos∠ACB＝.由θ＝∠ACB＋30°，得cos

θ＝cos(∠ACB＋30°)

＝cos∠ACBcos

30°－sin∠ACBsin

30°＝.思维升华

解决测量角度问题的注意事项

(1)首先应明确方位角或方向角的含义；

(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步；

(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用．

跟踪训练　如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°的方向上，灯塔B在观察站C的南偏东60°的方向上，则灯塔A在灯塔B的______的方向上．

答案　北偏西10°

解析　由已知∠ACB＝180°－40°－60°＝80°，又AC＝BC，∴∠A＝∠ABC＝50°，60°－50°＝10°，∴灯塔A位于灯塔B的北偏西10°的方向上．

题型三　三角形与三角函数的综合问题

典例

(2018·石家庄模拟)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，(2a－c)cos

B－bcos

C＝0.(1)求角B的大小；

(2)设函数f(x)＝2sin

xcos

xcos

B－cos

2x，求函数f(x)的最大值及当f(x)取得最大值时x的值．

解(1)因为(2a－c)cos

B－bcos

C＝0，所以2acos

B－ccos

B－bcos

C＝0，由正弦定理得2sin

Acos

B－sin

Ccos

B－cos

Csin

B＝0，即2sin

Acos

B－sin(C＋B)＝0，又C＋B＝π－A，所以sin(C＋B)＝sin

A.所以sin

A(2cos

B－1)＝0.在△ABC中，sin

A≠0，所以cos

B＝，又B∈(0，π)，所以B＝.(2)因为B＝，所以f(x)＝sin

2x－cos

2x＝sin，令2x－＝2kπ＋(k∈Z)，得x＝kπ＋(k∈Z)，即当x＝kπ＋(k∈Z)时，f(x)取得最大值1.思维升华

三角形与三角函数的综合问题，要借助三角函数性质的整体代换思想，数形结合思想，还要结合三角形中角的范围，充分利用正弦定理、余弦定理解题．

跟踪训练　设f(x)＝sin

xcos

x－cos2.(1)求f(x)的单调区间；

(2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若f＝0，a＝1，求△ABC面积的最大值．

解(1)由题意知f(x)＝－

＝－＝sin

2x－.由－＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z,可得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z；

由＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z,可得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.所以f(x)的单调递增区间是

(k∈Z)；

单调递减区间是(k∈Z)．

(2)由f＝sin

A－＝0，得sin

A＝，由题意知A为锐角，所以cos

A＝.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos

A，可得1＋bc＝b2＋c2≥2bc，即bc≤2＋，当且仅当b＝c时等号成立．

因此bcsin

A≤.所以△ABC面积的最大值为.函数思想在解三角形中的应用

典例

(12分)某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．

(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？

(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．

思想方法指导　已知两边和其中一边的对角解三角形时，可以设出第三边，利用余弦定理列方程求解；对于三角形中的最值问题，可建立函数模型，转化为函数最值问题解决．

规范解答

解(1)设相遇时小艇航行的距离为S海里，则[1分]

S＝

＝＝.[3分]

故当t＝时，Smin＝10，v＝＝30.即小艇以30海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．[6分]

(2)设小艇与轮船在B处相遇．

则v2t2＝400＋900t2－2·20·30t·cos(90°－30°)，[8分]

故v2＝900－＋.∵0

故可设计航行方案如下：

航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时．[12分]

1．(2018·武汉调研)已知A，B两地间的距离为10

km，B，C两地间的距离为20

km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地间的距离为()

A．10

km

B．10

km

C．10

km

D．10

km

答案　D

解析　如图所示，由余弦定理可得，AC2＝100＋400－2×10×20×

cos

120°＝700，∴AC＝10.2．(2018·襄阳模拟)如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的()

A．北偏东10°

B．北偏西10°

C．南偏东80°

D．南偏西80°

答案　D

解析　由条件及图可知，∠A＝∠CBA＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B的南偏西80°.3．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是()

A．10

海里

B．10

海里

C．20

海里

D．20

海里

答案　A

解析　如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得

＝，解得BC＝10.4．(2018·广州模拟)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60

m，则河流的宽度BC等于()

A．240(＋1)m

B．180(－1)m

C．120(－1)m

D．30(＋1)m

答案　C

解析　如图，∠ACD＝30°，∠ABD＝75°，AD＝60

m，在Rt△ACD中，CD＝＝

＝60(m)，在Rt△ABD中，BD＝＝＝

＝60(2－)m，∴BC＝CD－BD＝60－60(2－)＝120(－1)m.5.如图，两座相距60

m的建筑物AB，CD的高度分别为20

m，50

m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为()

A．30°

B．45°

C．60°

D．75°

答案　B

解析　依题意可得AD＝20，AC＝30，又CD＝50，所以在△ACD中，由余弦定理得cos∠CAD＝

＝＝＝，又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.6．(2018·郑州质检)如图所示，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于()

A．5

B．15

C．5

D．15

答案　D

解析　在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°.由正弦定理得＝，所以BC＝15.在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝15×＝15.故选D.7．轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港C，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25

n

mile/h,15

n

mile/h，则下午2时两船之间的距离是________n

mile.答案　70

解析　设两船之间的距离为d，则d2＝502＋302－2×50×30×cos

120°＝4

900，∴d＝70，即两船相距70

n

mile.8．(2018·哈尔滨模拟)如图，某工程中要将一长为100

m，倾斜角为75°的斜坡改造成倾斜角为30°的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长________m.答案　100

解析　设坡底需加长x

m，由正弦定理得＝，解得x＝100.9．(2018·青岛模拟)一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时________海里．

答案　10

解析　如图所示，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10，在Rt△ABC中，得AB＝5，于是这艘船的速度是＝10(海里/时)．

10.如图，在山底A点处测得山顶仰角∠CAB＝45°，沿倾斜角为30°的斜坡走1

000米至S点，又测得山顶仰角∠DSB＝75°，则山高BC为________米．

答案　1

000

解析　由题图知∠BAS＝45°－30°＝15°，∠ABS＝45°－(90°－∠DSB)＝30°，∴∠ASB＝135°，在△ABS中，由正弦定理可得＝，∴AB＝1

000，∴BC＝＝1

000.11．(2018·泉州质检)如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿DC走到C用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为________米．

答案　50

解析　如图，连接OC，在△OCD中，OD＝100，CD＝150，∠CDO＝60°.由余弦定理得OC2＝1002＋1502－2×100×150×cos

60°＝17

500，解得OC＝50.12.如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．

(1)求渔船甲的速度；

(2)求sin

α的值．

解(1)依题意知，∠BAC＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20，∠BCA＝α.在△ABC中，由余弦定理，得

BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC

＝122＋202－2×12×20×cos

120°＝784，解得BC＝28.所以渔船甲的速度为＝14(海里/小时)．

(2)在△ABC中，因为AB＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA＝α，由正弦定理，得＝，即sin

α＝＝＝.13.(2018·德阳模拟)如图，在水平地面上有两座直立的相距60

m的铁塔AA1和BB1.已知从塔AA1的底部看塔BB1顶部的仰角是从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的2倍，从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角．则从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的正切值为________；塔BB1的高为________

m.答案　　45

解析　设从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角为α，则AA1＝60tan

α，BB1＝60tan

2α.∵从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角，∴△A1AC∽△CBB1，∴＝，∴AA1·BB1＝900，∴3

600tan

αtan

2α＝900，∴tan

α＝，tan

2α＝，则BB1＝60tan

2α＝45.14.如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向600

km处的热带风暴中心正以20

km/h的速度向正北方向移动，距风暴中心450

km以内的地区都将受到影响，则该码头将受到热带风暴影响的时间为________h.答案　15

解析　记现在热带风暴中心的位置为点A，t小时后热带风暴中心到达B点位置，在△OAB中，OA＝600，AB＝20t，∠OAB＝45°，根据余弦定理得OB2＝6002＋400t2－2×600×20t×，令OB2≤4502，即4t2－120t＋1

575≤0，解得≤t≤，所以该码头将受到热带风暴影响的时间为－＝15.15.如图所示，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB，AC，根据规划要在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N(异于村庄A)，要求PM＝PN＝MN＝2(单位：千米)．记∠AMN＝θ.(1)将AN，AM用含θ的关系式表示出来；

(2)如何设计(即AN，AM为多长时)，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离AP最大)?

解(1)∠AMN＝θ，在△AMN中，由正弦定理，得

＝＝，所以AN＝sin

θ，AM＝sin(120°－θ)．

(2)AP2＝AM2＋MP2－2AM·MP·cos∠AMP

＝sin2(θ＋60°)＋4－sin(θ＋60°)cos(θ＋60°)

＝[1－cos(2θ＋120°)]－sin(2θ＋120°)＋4

＝－[sin(2θ＋120°)＋cos(2θ＋120°)]＋

＝－sin(2θ＋150°)，θ∈(0°，120°)(其中利用诱导公式可知sin(120°－θ)＝sin(θ＋60°))，当且仅当2θ＋150°＝270°，即θ＝60°时，工厂产生的噪声对居民的影响最小，此时AN＝AM＝2千米．

16．已知△ABC的三内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量m＝(cos

B，cos

C)，n＝(2a＋c，b)，且m⊥n.(1)求角B的大小；

(2)若b＝，求a＋c的取值范围．

解(1)∵m＝(cos

B，cos

C)，n＝(2a＋c，b)，且m⊥n，∴(2a＋c)cos

B＋bcos

C＝0，由正弦定理，得cos

B(2sin

A＋sin

C)＋sin

Bcos

C＝0，∴2cos

Bsin

A＋cos

Bsin

C＋sin

Bcos

C＝0，即2cos

Bsin

A＝－sin(B＋C)＝－sin

A.∵A∈(0，π)，∴sin

A≠0，∴cos

B＝－.∵0

b2＝3＝a2＋c2－2accos

＝a2＋c2＋ac＝(a＋c)2－ac≥(a＋c)2－2＝(a＋c)2，当且仅当a＝c时取等号．

∴(a＋c)2≤4，故a＋c≤2.∴a＋c的取值范围是(，2]．