专题28

整体与完形

阅读与思考

许多几何问题，常因图形复杂、不规则而给解题带来困难，这些复杂、不规则的图形，从整体考虑，可看作某种图形的一部分，如果将它们补充完整，就可得到常见的特殊图形，那么就能利用特殊图形的特殊性质转化问题，这就是解几何问题的补形法，常见的补形方法有：

1.将原图形补形为最能体现相关定理、推论、公理的基本图形；

2.将原图形补形为等腰三角形、等边三角形、直角三角形等特殊三角形；

3.将原图形补形为平行四边形、矩形、正方形、梯形等特殊四熟悉以下图形：

例题与求解

【例1】

如图，已知CD∥AF，∠CDE＝∠BAF，AB⊥BC，∠E＝，∠C＝，则∠AFE＝_________度.(北京市竞赛试题)

解题思路：有平行的条件，不妨将六边形补形为较为规整的平行四边形.【例2】

设分别是△ABC的三边长，且满足，则它的内角∠A、∠B的关系是（）.A.∠B＞2∠A

B.∠B＝2∠A

C.∠B＜2∠A

D.不确定

（全国初中数学竞赛试题）

解题思路：从化简已知等式入手，并补出相应的图形.【例3】

如图1，BD，CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别为F，G，连结FG，延长AF，AG，与直线BC相交，易证.若（1）BD，CE分别是△ABC的内角平分线（如图2）；（2）BD为∠ABC的内角平分线；（3）CE为△ABC的外角平分线（如图3），则在图2、图3两种情况下，线段FG与△ABC三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中的一种情况给予证明.（黑龙江省中考试题）

解题思路：既有平分线又有垂线，联想到等腰三角形性质，考虑将图形补成等腰三角形.【例4】

如图，四边形ABCD中，∠ABC＝，∠BCD＝，AB＝，BC＝，CD＝，求AD的长.（全国初中数学竞赛试题）

解题思路：由于四边形ABCD是一般四边形，所以直接求AD比较困难，应设法将AD转化为特殊三角形的边.例4题图

例5题图

【例5】

如图，凸八边形中，∠＝∠，∠＝∠，∠＝∠，∠＝∠，试证明：该凸八边形内任意一点到8条边的距离之和是一个定值.（山东省竞赛试题）

解题思路：本例是一个几何定值证明问题，关键是将八边形问题转化为三角形或四边形问题来解决，若连结对角线，则会破坏一些已知条件，应当考虑向外补形.【例6】

如图，在△ABC中，∠ABC＝，点D在边BC上，∠ADC＝，且.将△ACD以直线AD为轴作轴对称变换，得到△，连结.(1)

证明：⊥;

(2)

求∠C的大小.（全国初中数学竞赛天津赛区初赛试题）

解题思路：本题分别考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定及轴对称的性质，解题的关键是利用角平分线的性质与判定构造全等三角形，然后利用全等三角形的性质即可解决问题.能力训练

1.如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝，AB＝AD，若这个四边形的面积为12，则BC＋CD＝_____________.（山东省竞赛试题）

2.如图，凸五边形ABCDE中，∠A＝∠B＝，EA＝AB＝BC＝，CD＝DE＝，则这个五边形的面积为_______________.（美国AHSME试题）

3.如图，一个凸六边形六个内角都是，其中连续四条边的长依次为，则该六边形的周长为______________.4.如图，ABCDEF是正六边形，M，N分别是边CD，DE的中点，线段AM与BN相交于P，则

＝_________.（浙江省竞赛试题）

5.如图，长为的三条线段交于O点，并且∠＝∠＝∠＝，则三个三角形的面积和__________（填“＜”，“＝”，或“＞”）.（“希望杯”邀请赛试题）

6.如图，在四边形ABCD中，∠A＝，∠B＝∠D＝，BC＝，CD＝，则AB＝

（）.A.B.C.D.（广西壮族自治区中考试题）

7.如图，在△ABC中，M为BC中点，AN平分∠A，AN⊥BN于N，且AB＝，AC＝，则MN等于（）.A.B.C.D.8.如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝，BE⊥AD于E，则BE的长为（）

A.B.C.D.9.如图，在四边形ABCD中，AB＝，BC＝，CD＝，∠B＝，∠C＝，则∠D等于（）

A.B.C.D.条件不够，无法求出

（重庆市竞赛试题）

10.如图，在△ABC中，E是AC中点，D是BC边上一点，若BC＝，∠ABC＝，∠BAC＝，∠CED＝，求的值.11.如图，设是的斜边长，是直角边，求证：.（加拿大中学生竞赛试题）

12.如图，已知八边形ABCDEFGH所有的内角都相等，而且边长都是整数.求证：这个八边形的对边相等.13.如图，设P为△ABC的中位线DE上的一点，BP交AC于N，CP交AB于M，求证：.（齐齐哈尔市竞赛试题）

14.一个圆内接八边形相邻的四条边长是，另四条边长是，求八边形的面积.