第一篇：求极限毕设

求极限的若干方法

数学与应用数学专业学生

李飞

指导教师

辛彩婷

摘要：本文首先介绍了数列极限的相关概念及其性质定理,如数列极限的定义、性质，Stolz定理等；其次是函数极限的相关概念及其性质定理，包括函数极限的定义、性质，洛必达法则，泰勒公式等；最后归纳和总结了求两类极限的若干方法，主要是利用两个重要极限、洛比达法则、泰勒公式、定积分等求极限的方法，并结合具体的例子，指出了在解题过程中常遇见的一些问题，以供学习者查阅借鉴。关键词：数列 函数 极限 导数

Some methods of the calculation of the limits Student majoring in mathematics and applied mathematics

Li Fei

Tutor

Xin Cai-ting Abstract:This paper first introduces the related concepts and theorems of the sequence limit, such as definitions and properties of the sequence limit, the Stolz theorem;second is the related concepts and theorems of the function limit, including the definition and the property of the functional limit, L’Hospital rule, Taylor formula;finally summarizes some methods of two kinds of limits, mostly using two important limits, L’Hospital rule, Taylor formula, definite integral,and so on, combining with the specific example, and pointing out some problems that we often met in the process of solving problems for learners to refer to the reference.Key word: Series；Function；Limit；Derivative

引言 极限概念是高等数学中最重要、最基本的概念之一，它是研究变量数学的有力工具,也是研究高等数学的重要理论基础，许多重要的概念如连续、导数、定积分、无穷级数的和及广义积分等都是用极限来定义的.极限问题是高等数学中的难点之一，围绕极限的中心问题有两个：一是证明极限存在，二是求极限的值.这两个问题有密切关系：若求出了极限的值，自然极限存在性也被证明.反之，证明了极限存在，也就为计算极限铺平了道路.掌握好求极限对学好高等数学是十分重要的，求极限的方法很多，但是每种方法都有其局限性，都不是万能的.对某个具体的求极限的问题，我们应该追求最简便的方法.在求极限的过程中，必然以相关的概念、定理及公式为依据，并借助一些重要的方法和技巧.本文作者归纳总结出了如下常见的求极限的方法.数列极限的概念

关于如何求极限，必须先了解极限的概念.这里，我们先介绍数列极限，然后介绍函数极限.两类极限有着相似的性质定理与类似的求极限的方法，彼此有着深刻的内在联系.下面给出数列极限的概念.1.1数列极限的定义

定义1.1.1 设{xn}是一给定数列，a是一个实常数.如果对于任意给定的0，可以找到正整数N，使得当nN时，成立xna，则称数列{xn}收敛于a（或称a是数列{xn}的极限），记为limxna，有时也记为xna（n）.n如果不存在实数a，使{xn}收敛于a，则称数列{xn}发散.1.2数列极限的性质 1.2.1极限的惟一性

定理1.2.1 收敛数列的极限必唯一.1.2.2数列的有界性

定理1.2.2 收敛数列必有界.1.2.3数列的保序性

{yn}均收敛，定理1.2.3 设数列{xn}，若limxna，limynb，且ab，nn[1][1][1]则存在正整数N，当nN时，成立xnyn.1.2.4极限的夹逼性

定理1.2.4 若三个数列{xn}，{yn}，{zn}从某项开始成立xnynzn，nN0，且limxnlimzna，则limyna.nnn[1]1.3 Stolz定理

定理1.3.1（且lim[1]型Stolz公式）设{yn}是严格单调增加的正无穷大量，nxnxn1xa（a可以为有限量，与），则limna.nyynyn1n 定理1.3.2（无穷小量，且lim 注意：0[1]型Stolz公式）设limxn0，{yn}是严格单调减少的正

n0xnxn1xa（a可以为有限量，与），则limna.nyynyn1nn型Stolz公式，其实只要求分母yn是严格单调增加的正无穷大量，0至于分子xn是否是无穷大量，无关要紧.而型Stolz公式，则要求分母yn与分

0子xn都是无穷小量.1.4收敛准则

定理1.4.1 单调有界数列必定收敛.定理1.4.2（Bolzano-Weierstrass定理）有界数列必有收敛子列.[1][1]2函数极限的概念

我们在第一部分讨论了数列的极限，现在来讨论另一类极限，即函数的极限.下面我们给出函数极限的严格定义.2.1函数极限的定义

定义2.1.1 设函数yf(x)在点x0的某个空心领域中有定义，即存在0，使UO(x0,)Df.如果存在实数A，对于任意给定的0，可以找到0，使得当0xx0时，成立f(x)A，则称A是函数f(x)在点x0的极限，记为limf(x)A，或f(x)A（xx0）.xx0如果不存在具有上述性质的实数A，则称函数f(x)在点x0的极限不存在.2.2函数的连续性

定义2.2.1 设函数f(x)在点x0的某个邻域中有定义，并且成立xx0limf(x)f(x0)，则称函数f(x)在点x0连续，或称x0是函数f(x)的连续点.定理2.2.1 一切初等函数在其定义域上连续.2.3函数极限的性质 2.3.1极限的惟一性

[1] 定理2.3.1设A与B都是函数f(x)在点x0的极限，则AB.[1]2.3.2局部保序性

[1] 定理2.3.2 若limf(x)A，limg(x)B，且AB，则存在0，当

xx0xx00xx0时，成立f(x)g(x).2.3.3夹逼性

定理2.3.3[1] 若存在r0，使得当0xx0r时，成立xx0xx0xx0g(x)f(x)h(x)，limg(x)limh(x)A，则limf(x)A.2.4函数极限与数列极限的关系 定理2.4.1（Heine定理）[1] limf(x)A的充分必要条件是：对于任意满

xx0足条件limxnx0，且xnx0（n1,2,3,）的数列{xn}，相应的函数值数列{f(xn)}n成立limf(xn)A.n 这一性质被经常用于证明某个函数极限不存在.定理2.4.2[1]

limf(x)存在的充分必要条件是：对于任意满足条件

xx0nlimxnx0，且xnx0（n1,2,3,）的数列{xn}，相应的函数值数列{f(xn)}收敛.2.5单侧极限与极限的关系

[2] 定理2.5.1 函数f(x)在x0极限存在的充分必要条件是f(x)在x0的左极限与右极限存在并且相等：limf(x)Alimf(x)limf(x)A.xx0xx0xx02.6 L’Hospital（洛必达）法则

02.6.1 型不定式极限

0 定理2.6.1 若函数f(x)和函数g(x)满足： ①limf(x)limg(x)0，xx0xx0[2]②在点x0的某空心邻域u0(x0)内两者都可导，且g'(x)0，③limf'(x)A（A可为实数，也可为或），g'(x)f(x)f'(x)limA.g(x)xx0g'(x)xx0则limxx02.6.2 型不定式极限 [2] 定理2.6.2 若函数f(x)和函数g(x)满足： ①limf(x)limg(x)，xx0xx0②在点x0的某空心邻域u0(x0)内两者都可导，且g'(x)0，③limxx0f'(x)A，（A可为实数，也可为或），g'(x)则limxx0f(x)f'(x)limA.xxg(x)g'(x)02.6.3 其它类型不定式极限

不定式极限还有0，1，00，0，等类型.这些类型经过简单的恒

0型和型的不定式极限.02.7 Taylor(泰勒)公式 等变换，都可以化为 定理2.7.1（带Peano余项的Taylor公式）设f(x)在x0处有n阶导数，则存在x0的一个领域，对于该领域中的任一点，成立

f''(x0)f(n)(x0)2f(x)f(x0)f'(x0)(xx0)(xx0)(xx0)nrn(x)，2!n!余项rn(x)满足rn(x)o((xx0)n).3 求数列极限与函数极限的方法及应用

3.1 求数列极限的方法及应用

3.1.1利用定义求数列极限

根据数列极限的定义来证明某一数列极限，其关键是对任意给定的0寻找自然数N，通过解不等式xna而得出的N.但在大多数情况下，这个不等式并不容易解.实际上，数列极限的定义并不要求取到最小的或最佳的自然数N，只需要其存在性即可，所以在证明中常常对xna适度的做一些放大处理，这是一种常用的技巧.1111(1)n例1 设xn，求limxn.nnn1n22n11111(1)n，解：由0nn1n22nn11则对于0，取N，当nN时，成立xn，则limxn0.nn3.1.2 n项和数列极限问题

n项和数列极限问题有两种处理方法：

(1)用定积分的定义把极限转化为定积分来计算；(2)利用两边夹法则求极限.例2 求极限lim(n111).n1n22n分析：把此极限式化为某个积分和的极限式，并转化为计算定积分，为此作如下变形：

Jlimn1.ini11n1在区间0,1上的一个积分和.（这1xn1不难看出，其中的和式是函数f(x)里所取的是等分分割，xiJ11ii1ii1.2.n., i），所以 ,（nnnndxln(1x)|1ln2.001x1当然，也可把J看作f(x) 在1,2上的定积分，同样有

x2dx3dxJ 1x2x1ln2.111111dxln2.解：原式＝limnn12n01x111nnn111例3 极限lim2nn22n2nn1.112n 分析：(1)该题与例2类似，但是不能凑成limfffnnnnn的形式，根据各项的特点可以考虑用两边夹法则求解；(2)两边夹法则需要将原式适当的放大和缩小，要求放大和缩小后的表达式极限相等.解: 因为 nnn21n121n221nn2nn12，又

limnnlim1，22nnnn1＝１.n111所以 lim2nn22n2nn13.1.3利用定积分求极限

利用定积分可求如下两种形式的极限：

11（1）limfnnn2fnn型 fn定理13 设

fx在0,1上可积，则有：11limfnnn例题见例3.2fnn1ffxdx.n012n（2）limnfff型

nnnn定理2 若fx在0,1上可积，则： [4]1limnfnnn2fnnfexpnlnfxdx.10例4.求limnn!.n解：原式limnn12n，令fxx，则有 nnnnlimn1n!12n1limnexp0lnxdxe.nnnnn3.1.4求和公式法（适合于等差数列、等比数列等类型）

关于无限项之和的极限，可以根据等差数列、等比数列以及其它数列的前n项求和公式，先求n项的和，然后再求出n趋于无穷时的极限.常用的求和公式见附录1.例5 求lim123n1.2nnn11n12nn12解：原式limlim.22nn2n2n3.1.5利用Stolz定理求数列极限

有些 “ 无穷多项”极限问题，当不能利用恒等变换转化为有限多项时，若借助Stolz定理，就可迎刃而解了.123252(2n1)2例6 求lim.nn3123252(2n1)2(2n1)24n24n14解：limlim3lim2.nnn(n1)3n3n3n1n333.1.6利用单调有界定理求数列极限 应用该定理求极限时，通常要先证明这个数列是单调有界的，从而确定极限的存在性，在讨论过程中有界性的确定往往是个难点，可借助单调递增数列的极限是它的最小上界、单调递减数列的极限是它的最大下界的性质确定数列的界.最后找出数列xn1与xn的递推公式，设数列的极限是A，在xn1与xn的递推公式两边取极限，得到关于A的方程，从而求出A.234n1例7求lim.n3572n1解：易得0an1，则{an}有界，234令an357anan1nn1k1n1，得递推公式 anan1，2n1k12k12n1n1naan1an1n10，则{an}单减.2n12n1n由单调有界数列必收敛，则liman存在，令limana，n1n1an1两边取极限，得aa，有a0，即liman0.n22n13.1.7利用压缩性条件证明极限存在再求极限 由an应用该条件求极限时，通常要先证明这个极限的存在性，然后找出数列xn1与xn的递推公式，设数列的极限是A，在xn1与xn的递推公式两边取极限，得到关于A的方程，从而求出A.例8 设x12，xn11，求limxn.n2xn解：由1x12，归纳法易得1xn2，xn1xn11xnxn1，2xn2xn1(2xn)(2xn1)由011，满足压缩性条件，则{xn}收敛，则limxn存在，n(2xn)(2xn1)11两边取极限，得a，有a1，即2xn2a令limxna，由xn1nnlimxn1.3.1.8利用海涅定理求数列极限

海涅定理的意义在于通过对函数极限与数列极限的相互转化来处理问题，从而，我们可以应用海涅定理将某些不易求的数列极限的问题转化为求易求的函数极限的问题.1例9 极限limnsin.nn 分析：这是1形式的数列极限，由于数列极限不能使用洛必达法则，若直接求有一定难度，但是若转化成函数极限，可通过3.2.7提供的方法结合洛必达法则求解.1解：考虑辅助极限limxsinxxx2n2limex1x2xsin1xlimey011siny12yye，161故由海涅定理的必要性得：limnsinnnn2e.163.2 求函数极限的方法及应用 3.2.1分子(母)有理化求极限

0 如果函数的极限出现、、-等未定式，一般采用约简分式，有理化

0分子或分母等方法消去未定式.例10 求 limx13x12.x1分析：本题因为分子、分母都含有“0”因子，给求极限带来麻烦，因此想办法消去“0”因子，采用分子有理化.(3x1)2223x33limlim解：原式.x1(x1)(3x12)x1(x1)(3x12)4注：本题也可以用洛比达法则.3.2.2利用函数的连续性(适用于求函数在连续点处的极限)(1)初等函数

如果yfx是初等函数，且点x0是 fx定义区间内的点，则函数yfx在点x0处连续，于是有limfxfx0.通常称这种求极限的方法为代入法.xx0exsinxx例11 求lim2.x3xlnx 分析：这是由几个基本初等函数构成的初等函数，是连续函数，因此直接带值.e3sin33解：原极限lim2.x33ln3（2）复合函数

若函数fx是复合函数，且lim0xa,fu在ua处连续，xx则lim0fxflim0xfa.xxxx1cosx例12.求lime2arcsinx的极限.x01cosx2 分析：函数e2arcsixn可看成是由fueu，u21cosx复合而成，且

2arcsinx2lim1cosx11u，在处连续，因此 ufuex02arcsinx244解：由于lim1cosx11u及函数在处连续，ufuex02arcsinx2441cosx2arcsinx2故 limex0=elim2x02arcsinx1cosx=e.说明：用此方法求极限有时常常会遇到，函数fx在x点没有意义,即函数fx在x点不连续,这时要视具体情况对fx进行适当的恒等变形，转化为连续

0函数,再利用函数的连续性求出极限,该方法常用于“”型的极限.在进行变形

0时常用到因式分解、分子或分母“有理化”的运算以及三角函数的有关公式,其目的就是消去分母中的零因子.3.2.3利用左右极限与极限关系

该方法适用于求分段函数在分段点处的极限或某函数在其间断点处的极限，以及用定义求极限等情形.函数在某点处的极限存在的充要条件是：当且仅当函数在某点处的左、右极限都存在且相等，则函数在该点处的极限值即为所求的左右极限的值.12ex,x0xx,0x1，求limf(x)及limf(x).例13 设f(x)x0x1xx2,x1x解：limf(x)lim(12e)1，limf(x)lim(x0x0x0x0xx)lim(x1)1x0x，由 limf(x)limf(x)，limf(x)1.x0x0x0又limf(x)limx1x1xx2limfxlimx1，limx10x1x1x1x由f10f10，limfx不存在.x13.2.4利用等价无穷小量代换求函数极限

o[2]定理 设函数f(x),g(x),h(x)在U(x0)内有定义，且有

f(x)~g(x)(xx0)，（1）若limf(x)g(x)A,则limg(x)h(x)A；

xx0xx0（2）若limxx0h(x)h(x)B,则limB.xx0g(x)f(x)'''' 由定理知：若~,~且lim'存在，则有limlim'.其中：

0,'0.所以，当lim‘’的计算较为困难时，就设法寻求与、等价的对应无穷小''、进行代换，变求lim为求lim'，而lim'的计算较为容易，所给极限

lim的计算就迎刃而解.显然，利用等价无穷小的代换求极限的一个前提是：对一些常用的等价无穷小量要熟悉.例如：当x0时，有sinxx，tanx~x，arctanx~x，121cosx~x，ax1~xlna（a0），ex1~x，(1bx)a1~abx，2xxn1x1~，loga(1x)~(l1x)~x.（a0），nnlna例14 求limx(1cosx).x0(1ex)sinx21xx21解：原式lim22.x0xx2tanxsinx例15 求lim的极限.3x0sinxsinx(1cosx)，而sinx~x,x0； 解：由 tanxsinxcosxx21cosx~,x0；sinx3x3~x3,x0，2x2x1tanxsinx21.lim故有 lim= x0x0cosxsinx3x32注：在利用等价无穷小代换求极限时，应该注意：只有对所求极限中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来代换，而对极限式中的相加或相减的部分则不能随意代换.例如，在上式中，若因为有tanx~x，x0，sinx~x，x0，从而推出

limtanxsinxxxlim0，33x0x0sinxsinx则就会得出错误的结论.3.2.5利用夹逼定理求函数极限

利用夹逼定理可将某函数适当缩小和放大，使得缩小和放大后得到的新函数的极 限分别存在且相等，从而得到原函数的极限．即原函数的极限就等于缩小或放大后的函数的极限.1111例16 求limx（为取整函数，表示不大于的最大整数）.x0xxxx分析：此极限难点：在取整函数不易求极限，所以想着去掉取整函数，故而采用适当的放大及缩小，用夹逼准则求原式极限.111解：由 1（x0），xxx11故，当x0时，有1xx1，则lim(1x)limxlim1，有x0x0x0xx1limx1； x0x11当x0时，有1xx1，则lim(1x)limxlim1，有x0x0x0xx1limx1； x0x1所以，limx1.x0x3.2.6利用洛必达法则求函数极限

00 对于或型的极限,可通过洛必达法则来求.若所求极限呈现或型，00则可直接利用洛必达法则进行求解，若所求的函数极限呈现 0，1，00，0，则可将其恒等变形化成型等形式，sinx1cosx)例17 求lim(.x0x10或型，再利用洛必达法则进行求解.0分析：本题为1型，所以要用洛必达法则求极限，恒等变形转化为

0或型.0作为1型，一般采用取对数，或者利用f(x)elnf(x)这种形式恒等变形再转化.解：取对数后，sinxsinxln(ln)'xcosxsinx(xcosxsinx)'xx, limlimlimlim23x01cosxx0x0x012xsinx(x)'(x)'2sinx1cosxxsinx1)e3.lim，则lim(2x0x0x3x311有 注：如果采用取对数再求极限这种方法，一定要注意还原.这种方法易错点，1误把当作本题的最后极限.3lnx例18 求lima(a0,x0).xx解： 由limlnx,limxa，故此例属于型；

xx1lnx1由洛必达法则有：limalimxlim0(a0,x0).xxxaxa1xaxa例19 求limxlnx.x00或型，但0是这一种类型需要注意，如果函数本身含有对数函数或者反三角函数，则需要将对数函数或反三角函数保留在分子位置，否则再用洛必达法则时会越来越繁琐且

lnx不易求出结果.因此，作恒等变形xlnx，将它转化为型的不定式极限.1x1lnxxlim(x)0.解： limxlnxlimlimx0x01x01x0xx2总而言之，在运用洛必达法则时，应注意：

0（1）检查所求极限是否属于不定式，只有是“”型或“”型的不定式

0分析：这是一个0型的不定式极限，可将其恒等变形化成时才可直接运用洛必达法则，其他型不定式(如0，1，00，0，等)应先化为“0”型或“”型不定式，再运用洛必达法则.0fxf'x（2）当lim'不存在时，不能断定lim不存在，即洛必达法则的条

gxgx件是充分但非必要条件.此时，只能说明此极限不能应用洛必达法则求解，如xsinxlim.xxsinx（3）在求不定式极限的过程中，有时一次洛必达法则不能解决问题需要多次使用洛必达法则，但是在使用时要检查是否满足条件.（4）在每次使用洛必达法则后，都应对所得极限式子进行整理化简，然后再考虑是否继续使用洛必达法则.有时用其他方法计算极限很方便时，就不必用洛必达法则了.x（5）如果fx或gx中含e或arctanx、arccotx，且求当x时的极限时，应分别讨论当x及x时，fxfx的极限，并判断lim是否存

xgxgx在.（6）洛必达法则是求不定式极限的一个有效方法，但不是万能的，要根据所求极限的具体特点选用恰当的方法.3.2.7利用Taylor(泰勒)公式求函数极限

利用泰勒公式求极限,一般用麦克劳林公式形式,并采用皮亚诺型余项.当函数为分式时,一般要求分子分母展成同一阶的麦克劳林公式,再通过比较求出极限.一些常用的泰勒公式见附录2.x211x2例20 求lim2.x22x0(cosxe)sinx11(1)1222112解：1x1xx4o(x4)1x2x4o(x4)，22!28x2x4114cosx1o(x4)1x2xo(x4)2!4!224ex1x22，14xo(x4)，2!x2111(1x2x4o(x4))228原式lim

x0212141x[1xxo(x4)(1x2x4o(x4))]2242!311x2(x2x4)224 注：用此法必须熟记基本的初等函数的展开式，它将原来函数求极限的问题转化为多项式或有理式的极限问题.3.2.8利用两个重要极限

0sinx1利用(A)lim1(B)lim(1)xe.第一个重要的极限是型，第二个x0x0xxx0lim14x81.12重要极限是1型，在1型中满足“外大内小”，“内外互倒”.在利用重要极限求函数极限时，关键在于把要求的函数极限化成重要极限的标准型或它们的变型.我们经常使用的是它们的变形：

(A')limsin(x)1(x)1,((x)0)；(B')lim(1)e,((x)).(x)(x)sinx1例21 求lim.x1x122x1sinx1sinx1 解：原式=limlimx12.x1x1x1x1x212注：limsinx1的扩展形式：

x0x 令gx0，当xx0或x时，则有

lim因而，limsingxsingx1.1或limxxx0gxgxsinx01.xx1x例22 求lim(12x)的极限.x01122x2xlim(12x)(12x)解：原式=e.x0利用这两个重要极限来求函数的极限时要仔细观察所给的函数形式只有形式符合或经过变化符合这两个重要极限的形式时才能够运用此方法来求极限.一般常用的方法是换元法和配指数法.3.2.9利用微分中值定理求函数极限

[2] 因为由微分中值定理可得到在某一点的具体的导数值.而根据函数在某点的导数的定义：fx0lim'fxfx0xx0xx0,可知某点的导数是极限的形式表示的.所以类似此类函数的极限而且符合中值定理的话，可利用此种方法.exesinx例23 求lim.x0xsinx分析：观察可知，这是一个中值定理的结论

fbfa型的函数，我们很容易想到拉格朗日bafbfa,a,b ba从而，我们可以利用拉格朗日中值定理进行求解.' f解:令f(x)ex，对它应用微分中值定理得，exesinxf(x)f(sinx)(xsinx)f'(sinx(xsinx))(01)，exesinxf'(sinx(xsinx))(01).即xsinxf'(x)ex连续，limf'(sinx(xsinx))f'(0)1，x0exesinx1.从而有 limx0xsinx3.2.10多种方法的综合运用

前面介绍了求解极限的基本方法,然而每一道题目并非只有一种方法.因此我们在解题中要注意各种方法的综合运用的技巧,使得计算大为简化.1cosx2例24 求lim2.x0xsinx21cosx22xsinx2lim[解法一]: lim2

x0xsinx2x02xx2cosx22xsinx2sinx22sinx21x lim2 lim2x0xcosx2sinx2x0sinx2cosx22x注:此法采用洛必达法则配合使用两个重要极限法.x2x2x22sinsinsin1cosx211222limlimlim [解法二]: x0x2sinx2x0x2sinx2x0x2sinx2x2222x222注:此解法利用“三角和差化积法”配合使用两个重要极限法.x2x22142sin2()x21cosx12lim22 [解法三]:lim2 limlimx0xsinx2x0x2sinx2x0x2(x2)x0x422 注:此解法利用“三角和差化积法”配合使用无穷小代换法.(x2)21cosx2x212 [解法四]:lim2 limlimx0xsinx2x0x2sinx2x02sinx22 注:此解法利用了无穷小代换法配合使用两个重要极限的方法.显然最简单，因此在做题的时候一定要注意选择恰当的方法.此题还有其他十多种解法，本文就不再详述.总之在求函数极限的问题时，一定要视问题本身而灵活选用各种方法.3.2.11多元函数极限的计算

计算多元函数的极限常用的方法是：1）利用不等式，使用两边夹法则；2）变量替换化为已知极限，或化为一元函数极限；3）利用极坐标；4）利用初等函数的连续性，利用极限的四则运算性质；5）利用初等变形，特别指数形式常可先求其对数的极限；6）若事先能看出极限值，可用-方法进行证明.1cosx2y2xy22lim例25.求下列极限：1）x,ylim；2）；3）0,0x2y2exy22xxyylimxy2x0y0222xy；

22解：1）因为1cosxy~12xy22x,y0,0，21222xy1cosxyx2y22limlim0； 222222所以x,ylim0,0x2y2exyx,y0,0x2y2exyx,y0,02exy222）因为0xyxy22xxy22yxy22xx2yy211，xy又limxyxy11lim0.，所以由两边夹法则有：022xxyxyy

3x0y0）2先求取对数之后的极限：limlnxy222xyx2y22222lim2xylnxy，x0xy2y0x2y2x2y2因为 022x2y20，22xyxy2limx2y2lnx2y2令x2y2tlimtlnt0，x0y0t0故原极限e01.注：取对数后求极限注意还原.总结

以上方法是总结出的高等数学里求极限的重要方法.在做求极限的题目时,仅仅掌握以上方法而不能够透彻清晰地明白以上各方法所需的条件也是不够的,必须认真分析、仔细甄选,选择出适当的方法,这样不仅准确率更高,而且还会省去许多不必要的麻烦,起到事半功倍的效果.这就要求学习者吃透其精髓,明白其道理,体会出做题的窍门,要达到这样的境界必须要勤于思考,善于总结,归纳出每种方法适用的题型,在做题时才会熟能生巧,得心应手.

第二篇：毕设流程

毕业设计（论文）管理系统

用户手册(学生)

202_年 12月

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Nanjing Change Technology Co.,Ltd.1.4论文，毕业答辩流程 论文，毕业答辩阶段：

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Nanjing Change Technology Co.,Ltd.学生填写课题名称，选择课题类型、课题来源、课题归属等选项。填写课题简介和要求

然后选择课题的指导教师。选择暂存，确认无误后提交课题。

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Nanjing Change Technology Co.,Ltd.4.2 学生选题

老师申报了盲选课题，院长发布后，学生即可点击【学生选题】，可以选择三个志愿，选择后，等待相应的老师确认。

4.3 查看任务书

指导教师下达任务书并由专业负责人审核后，学生可以点击此处查看任务书内容。4.4 上传翻译译文

指导教师下达翻译原文后，学生可以下载翻译原文，然后提交翻译译文。

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Nanjing Change Technology Co.,Ltd.4.5 上传开题报告

指导教师下达任务书并由专业负责人审核后，学生即可提交开题报告，提交后由老师审核。

点击上传开题报告，填写开题报告，可以上传附件。点击提交后，如果需要修改可进入修改，需要再次确认后，才算最终提交。页面如下：

4.6 上传论文定稿

学生提交开题报告并审核通过后，即可提交论文定稿，有附件可上传附件。提交后，由指导教师审核打分。（注：如果需要修改，可以在特殊情况处理—论文定稿修改提交处修改，修改后作为终稿。

4.7 查看答辩信息

学生经专业负责人分配答辩组后，在查看答辩信息处可以查看答辩组，答辩地点，答辩时间等信息。

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Nanjing Change Technology Co.,Ltd.4.8 表格材料打印

学生提交的各项材料由老师审核过后，即可在此处打印。比如开题报告、各项成绩表等。

5．特殊情况处理 5.1 开题报告修改申请

该功能用于学生开题报告被老师审核通过，但是仍想补充，可以在特殊情况处理处进行修改提交，提交后由老师在特殊情况进行审核。

5.2 论文定稿修改提交

学生提交定稿后如要修改，可以在特殊情况进行修改提交，提交后无需老师审核。注：如果教学秘书发布了成绩，那该功能将关闭。

6．交流互动（学生在线给其他角色进行留言和查看指导教师提交的指导日志以及指导教师的联系方式）

收件箱，即学生查收本系统所有人发来的邮件信息；发件箱，即学生查看在本系统中发出的所有邮件信；指导日志，即学生查看指导教师提交的指导日志信息。

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Nanjing Change Technology Co.,Ltd.19，学生进行答辩，答辩录入员录入学生答辩成绩； 20，教学秘书发布总评成绩 ；

＊教师申报指定学生课题流程：

1，教师申报指定学生课题； 2，专业负责人审核教师申报的课题；

3，教学院长或教学秘书审核发布选题即发布双选结果（通过或者重选：如果选择重选表示不同意选题，则该学生重新选择课题）； 4，指导老师下发任务书； 5, 专业负责人审核任务书； 6，指导老师下达翻译原文（可选）；

7，学生上传翻译译文，指导教师审核（可选）； 8，学生上传开题报告，指导教师审核； 9，学生填写中期检查指导教师审核（可选）； 10，学生提交论文定稿；

11，指导老师审核论文定稿并且审核评分； 12，专业负责人分配评阅教师

13，评阅教师进行论文评阅给出评阅分数；

14，专业负责人添加答辩组并且选择相应的学生进入答辩组，并且在账号管理中设置答辩录入员账号； 15，学生进行答辩，答辩录入员录入学生答辩成绩； 16，教学秘书发布总评成绩 ；

＊学生申报课题流程：

1，学生申报课题

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Nanjing Change Technology Co.,Ltd.2，指导老师审核学生申报课题

3，专业负责人审核学生申报课题（如果审核退回直接退给学生，学生再提交，专业负责人再审核）4，教学院长或教学秘书审核发布选题即发布双选结果

（通过或者重选：如果选择重选表示不同意选题，则该学生重新选择课题）5，指导老师下发任务书； 6, 专业负责人审核任务书； 7，指导老师下达翻译原文（可选）；

8，学生上传翻译译文，指导教师审核（可选）； 9，学生上传开题报告，指导教师审核； 10，学生填写中期检查指导教师审核（可选）； 11，学生提交论文定稿；

12，指导老师审核论文定稿并且审核评分；

13，专业负责人分配评阅教师（注：教学院长或教学秘书发布选题结果后即可分配评阅教师）； 14，评阅教师进行论文评阅给出评阅分数；

15，专业负责人添加答辩组并且选择相应的学生进入答辩组，并且在账号管理中设置答辩录入员账号； 16，学生进行答辩，答辩录入员录入学生答辩成绩； 17，教学秘书发布总评成绩 ；

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第三篇：毕设致谢

致谢

天下没有不散的宴席，大学四年转瞬即逝，大一的生活还历历在目，而现在已经要毕业了。回头看一看这篇论文,一字一句都离不开XX老师的帮助，从题目的拟定，到结构框架，资料搜集，整理提炼，以及最后的反复斟酌，每一个环节都得到了XX老师的指点。我也希望能尽自己最大的努力，写出一篇有用的论文，做出一个现实的作品。在具体的写作过程中，我遇到了许多没有预料的困难，让我感到困惑和不安，但最终通过XX老师的指导，还是努力独立完成了XXXXXXXXXXX。论文的最终完成，是一波三折的过程，在不断完善和修改的过程中，让我更加懂得“一分耕耘才有一分收获”的道理

除了要衷心地感谢我的指导老师以外，还要感谢所有在大学期间传授我知识的老师，每一位老师的教导都是我完成这篇论文的基础。作为一个XXX专业的学生，在很多其他的课程上有过这样那样的问题，很多老师牺牲自己的休息时间，为我补课，为我答疑，在我遇到困难时耐心指点，让我少走了很多弯路。在此我对他们无私的爱心表达由衷的感谢。在大学生活中，朝夕相处的同学是最难忘的回忆，我们一起欢笑，一起悲伤，互相帮助，共同进步。我要感谢同学们给我的关心和留给我美好的回忆，没有他们我将会在生活中遇到更多的困难。

最后要感谢的是我的家人，他们的用心良苦，给了我支持和鼓励，为我熬白了头发。四年来，无论我成功与否，你们是鼓励我，监督我，帮助我，让我不会沉沦，不会迷茫，谢谢你们，我会继续努力。

四年的磨砺让我让我明白了许多事情，让我了解了曾经的幼稚。也许现在的我依旧不很成熟，但是我会继续努力，不懈前行。毕业，是终点，亦是起点。

第四篇：毕设讲稿

各位老师好，我是xxxx，学号xxxx，毕设导师是xxxx，首先感谢两位老师参加我的毕业答辩，我的毕设题目是功能磁刺激线圈改进仿真设计。首先请允许我介绍一下我所研究的课题。

1.磁刺激技术

磁刺激技术是20世纪80年代中期发展起来的用于大脑皮层刺激的新方法。磁刺激技术是由随时间变化的磁场无接触的通过空间耦合进入人体组织内部，产生感应电流刺激组织细胞。与电刺激相比，它具有安全、有效、无痛、无损伤、易于重复及操作简单等优点，是一种非侵入的刺激方法。磁刺激作为一种非侵入性的外源性刺激, 从刺激方法上讲, 是对电刺激的一个突破, 使得刺激方法超越以往的局限而获得了进一步的发展, 它的优势主要体现在以下三方面（1）磁刺激没有电流密度十分集中的区域, 因此受试者无疼痛感。

（2）肌肉、骨骼等不良导体对脉冲磁场进人人体没有什么衰减作用, 因此磁刺激可达深部组织。

（3）刺激的操作十分简单, 刺激线圈只要放在被刺激部位的近旁, 中间甚至可以隔有衣服, 照样可以刺激, 线圈位置的改变更是容易[8]。

磁刺激技术已被广泛应用于精神疾病的治疗及脑功能研究。但是由于磁场的弥散性，使被刺激部位周围的一大群神经元或神经纤维产生同步效应，这与大脑皮层正常功能活动时的输出完全不同，可能会引起无意义的协调运动。因此，在磁刺激的过程中，要尽量准确放置线圈位置于被测部位，应使被刺激点产生超过神经细胞兴奋阈值的电场强度，而非靶组织位置的感应电场尽量小，以减少其它神经受刺激的可能，其核心问题是磁刺激线圈的设计。

最根本的是聚焦性问题，因为建立各种组织模型[10]，对线圈优化[11]，都是为了解磁场和感应电场的分布，确定刺激区域，使磁刺激聚焦性最好[12]。影响聚焦性的因素有线圈的几何形状和尺寸

[12]，磁刺激时线圈的放置位置

[13]

。“8”字形线圈是目前使用的有良好聚焦性的线圈，也是科研和医疗常用的线圈。

磁刺激模型的研究分为两个部分：一是计算由线圈电流产生的宏观电磁场分布，二是计算宏观电磁场对神经细胞的微观效应。2.磁刺激作用的基本原理

人类神经系统和肌肉组织本质上是依靠电活动来传递和处理信息的，依靠频率调制的动作电位在神经元的轴突上被传导到后继神经元或肌肉的胞体或树突，在后继神经元的细胞体处发生电位的空间与时间综合，最后决定是否发放下一级的动作电位。在许多种神经系统疾病，例如帕金森氏病、中风、癫痫的诊断和治疗中，需要控制神经系统的活动[13]。所以，这个任务本质上就是要操纵神经系统中的电活动。而实现这个目标的最直接的方法就是直接向神经或肌肉输送电流，意大利科学家 Galvani 早在 19 世纪就观察到了青蛙坐骨神经受到电流刺激时产生的不自主的肌肉收缩。但是，直接输送电流刺激需要外科手术的介入，有痛有创且对生物体具有遭遇电击的潜在危险，在一些深部的神经组织就更加不适合了，这使得一种控制神经系统的替代方法成为必要。幸而，近代物理学的发展证实了磁与电是一对相互对偶的能量形式，通过对其中一者可以产生并且控制另一者。这就是说，完全有可能通过磁场，而不是电场来控制神经系统。更重要的是，磁场的最大特点就是它能够几乎无任何衰减地穿透空气以及人体的各种组织，直接将能量传递到躯体的深部[14]。

将电场与磁场相互联系的两项重要科学发现一是 Oersted 在 1819 年发现的电流的磁场效应，二是Faraday 在其十年后发现的电磁感应现象[15]。总结这些发现，Maxwell 提出了他著名的经典电磁场理论，可以概括在由 4 个方程组成的方程组中。在磁刺激技术方面，其中最为重要的是 Ampere 环路定律和Faraday电磁感应定律：

HJD（2.1）tBE（2.2）

t其中（2.1）式表示电流是磁场旋度之源，即在电流的周围环绕着磁场，（2.2）式表示变化的磁场是电场旋度之源。所以只要能够产生随时间变化的电流，就可以形成随时间变化的磁场，进一步在空间产生新的电场。在磁刺激技术中，它就可以深入到人体内部的神经系统。而这个过程的中间媒介就是变化的磁场。新的电场在导电性的神经组织中就可以引起电流，当电流达到一定阈值时就可以形成神经元冲动的发放。

5.用ANSYS计算线圈电磁场分布

1、建立几何模型

ANSYS有限元分析过程主要包括三个步骤[2]： 1.前处理：创建有限元模型 1)创建或输入几何模型 2)定义材料属性

3)定义单元类型，划分单元 2.求解：施加载荷并求解 1)施加约束条件 2)施加载荷 3)求解

3.后处理：查看分析结果 1)查看分析结果 2)检验结果的正确性

3.2.1用ANSYS计算线圈电磁场分布

首先建立一个圆形线圈，每个线圈由直径2.5mm的铜线绕成，设定内径20mm，外径25mm，匝数为2匝，即高度为5mm的圆形线圈为参考线圈。

2、定义材料属性和单元类型

由于只求磁场分布，所以材料属性只需要定义相对磁导率和电阻率。铜的电阻率为1.7×10-8Ω·ｍ，相对磁导率和空气的磁导率一样，设为1。空气场只需要定义磁导率。由于采用的是单元边分析方法，所以仅使用ANSYS软件提供的SOLID117单元，如图8。.图8 SOLID117单元

3、网格划分

4、施加载荷并求解

施加在线圈上的电流密度为5108A/m，线圈中电流方向为逆时针方向或顺时针方向，逆时针方向设为电流的正方向。图11为线圈电流方向示意图，图12 为圆形线圈磁场分布，图13为线圈Z轴上磁场分布，设置好载荷之后，就可以进行电磁场计算了。

图11 圆形线圈电流图

图13 圆形线圈磁场分布 磁刺激线圈改进仿真方案

磁刺激线圈的聚焦性一直是困扰科学家的难点，如何提高线圈的聚焦性是本次论文的焦点，首先对线圈的半径，与刺激部位距离等一系列因素对磁刺激电磁场的大小比较，从而找出最好的方案。

4.1 不同半径的8字形线圈之间电磁场的比较

1、创建有限元模型

创建8字形线圈，两个线圈中间相隔2mm，中心在Z轴上，8字形线圈半径分别为2cm和4cm，位于Z=0cm的平面上，平行于xoy平面上，其有限元模型如图15、16。

2、磁场分布比较

对半径不同的8字形线圈加异向电流后的x方向上磁场强度如图17、18所示。磁场都取轴向高度为8cm，径向以线圈中心为对称，两边各取9cm。由图得随着半径增大，磁场强度略有增大，聚焦性却略有减弱。

图16 半径为2cm的圆形线圈的磁场分布

图17 半径为4cm的圆形线圈磁场分布

由8字形线圈与圆形线圈比较可知，8字形线圈两圆中间电磁强度达到最大，而圆形线圈是在平均半径的附近的圆环为有效刺激区域。因此，8字形线圈比圆形线圈有更好的聚焦性，也更容易定位操作。

3、纵向方向上磁场比较

在纵向方向上选的距离为0.2m以内，可见在选定范围内，半径为4cm的线圈磁刺激强度较大，但是需要说明的是：随着离线圈距离的增加，磁场强度按指数衰减，有效刺激面积也逐渐减小。刺激线圈直径越大，刺激的深度越深。但是直径越大，刺激范围也越大，聚焦性变差。因此，在选用线圈的时候需要根据不同的刺激深度和聚焦性的要求决定线圈直径。

图18 不同半径的8字形线圈z方向上磁场强度

4.2 电流方向对磁场分布的影响

对8字形线圈分别通入同向电流，异向电流，并对圆形线圈通入逆向电流得到的磁场分布如图所示。

图19 电流方向引起的Z方向上的磁场分布

A．对8字形线圈通入逆向电流，磁场强度最强。

B．对圆形线圈通入正向电流，在纵向上的磁场强度稍弱。C.对8字形线圈通入同相电流，磁场强度最弱。由图可知8字形线圈在两线圈相接附近，当通入两圆的电流方向相反时，磁感应强度是相互加强的，其曲线比圆形线圈更陡峭，说明其聚焦性更好。当通过的电流方向相同时，相接处的感应强度是相互减弱的。

4.3 线圈匝数对磁场分布的影响

取铜丝直径为5mm，线圈内径为4cm，外径为4.5cm，分别取匝数为1和3，即8字形线圈厚度分别为0.005m和0.015m，选定8字形线圈电流方向均为异向，磁场分布如图所示。

图20 不同匝数的8字线圈在Z轴上的电磁场分布

由图可见线圈匝数多的磁场强度较匝数少的磁场强度较大，且刺激部位的深度较深，范围较广，适合要求较精确的磁刺激。

4.2 圆形线圈阵列和双8字圆形阵列的磁场分布比较

1、几何模型

建立圆形线圈阵列和双8字形线圈阵列，如图21、22所示。线圈阵列都分布在xoy平面上，都取内径为2cm，外径为2.5cm，厚度为0.5cm。

图21 四个圆形线圈分布图

图22 双8字形圆形线圈分布图

2、磁场分布比较

8字形字线圈、圆形阵列线圈和双8字形阵列线圈在Z轴上磁场强度如图所示，各圆形线圈都通入异向电流，取轴向高度为20cm，Y=0范围内的磁场强度。四圆形线圈在Z轴上的磁感应强度分布与8字形相同，在其中心点附近的感应强度值非常小。双8字线圈是四圆形线圈的改进，在其中心点附近Z轴的曲线说明出现了磁感应强度较四圆形线圈较强。

图23 三种线圈Z方向上的磁场强度 4.3 传统8字形线圈与加入铁板后的改进线圈之间的电磁场比较

1、创建几何模型

建立内径为2 cm，外径为2.5cm，匝数为1的8字形线圈（如图24），在8字形线圈底部分别加上宽为2.5cm，长为5cm的矩形铁板，组合成一个新的线圈（如图25），成为改进线圈。

2、磁场分布比较

改进线圈与传统8字形线圈在Z轴上的电磁场分布比较如图26所示。由图26比较可知改进后的线圈聚焦性比8字形线圈更强，针对的刺激部位更加准确，更适合深层的刺激方案。

图26 改进线圈与原线圈Z方向上的磁场强度 4.4 改进线圈与双8字形线圈之间的电磁场比较

由前面比较可知双8字形线圈的聚焦性最好，现在将改进线圈与双8字形线圈的电磁场分布进行比较。

图27 加板线圈与双8字形线圈的磁场分布比较

如图27可见加板后的8字形线圈的磁场强度略弱于双8字形线圈，所以可采用双8字形线圈与临床应用中，但是加入铁板之后的线圈聚焦性比8字形线圈要强，所以可以替代8字形。

结 论

本文综述了功能磁刺激无创、操作简单等特点，在神经刺激方面已经得到广泛的有效验证。为了提高FMS的聚焦性，本文针对FMS用于人体部位的刺激展开了深入研究。

论文阐述了磁刺激过程中产生神经兴奋的电生理基础，介绍了神经元的结构以及其引起兴奋的机理，讲述了静息电位和动作电位的概念，详细论述了动作电位产生的机制，在不同边界条件下建立了磁刺激线圈感应电场分布数学模型，根据磁刺激线圈感应电场理论，对圆形线圈、8字形线圈、四圆形线圈和双8字线圈感应磁场的分布进行研究，结果表明双8字线圈聚焦性更好，更利于此次既兴奋点的定位。

从计算出的感应磁场分布图可得到以下结论：（1）对于不同半径的8字形线圈，线圈半径越大，刺激深度越深，但是刺激范围也越大，聚焦性变差，因此最好选用半径为4cm的线圈。（2）匝数较多的线圈组合较匝数较少的线圈组合聚焦性强。（3）圆形线圈的感应磁场分布在线圈边缘处幅值最大，中心处最小。因此，位于线圈下切线方向的神经容易被兴奋。由于圆形线圈刺激范围大，聚焦性差，进行刺激时会造成大面积非靶组织受刺激而兴奋，因此将其用于刺激外周神经纤维效果较好。(4)8字形线圈，当通过其的电流方向相反时，在两圆线圈相切部位的下方引起的磁场强度是相互加强的，即磁场强度的最大值出现在两圆线圈相接处的下方，沿两个圆线圈的切线方向，比圆形线圈提高了聚焦能力。(5)四圆形线圈的磁场强度的最大值出现在z轴两相邻圆线圈相接处的下方，沿两个圆线圈的切线方向，尽管其聚焦性比8字形线圈有所提高，但同时出现两个聚焦点，不利于兴奋点的定位刺激。(6)双8字形线圈是四圆形线圈的改进。磁场强度的最大值出现在中心对称点的下方，大幅度地提高了聚焦能力。由于它的聚焦性强，使兴奋点的定位刺激更具有选择性，将其用于大脑皮层功能区的刺激效果最好。因此可以得出结论双8字形线圈比圆形线圈、8字形线圈和四圆形线圈更利于磁刺激兴奋点的定位。这一结果对于指导磁刺激技术在临床上更有效地应用具有实际意义。（7）本文还对8字形线圈进行了改进，在线圈下方分别加入了铁板，屏蔽了8字形线圈两边的聚焦点，增强了线圈的聚焦性，更适合代替8字形线圈进行深入磁刺激，但是磁刺激强度略弱与双8字形线圈。

第五篇：如何写毕设论文

毕业设计（论文）写作内涵

完整的毕业论文应包括：题目，中文摘要，中文关键词，英文题目，英文摘要，英文关键词，目录，引言，正文，结论，参考文献，后记，英文翻译（原文、译文）。下面主要针对论文各部分的取材及写作方法逐一介绍。

1、题目

论文题目应具有先进性和鲜明性，既不能太宽，也不能太小，一般应体现两点：研究切入点 + 核心工作，必要时候可加副标题以说明论文的侧重点，同时题目字数一般不超过20个汉字。

例如：

P2P网络文件高速下载技术的研究与实现 对等网络拓扑可视化技术研究与实现 对等网络多关键字检索技术研究与实现

2、中文摘要

论文摘要文字必须十分简炼，内容亦需充分概括，篇幅大小一般限制其字数不超过论文字数的5%。例如，对于6000字的一篇论文，其摘要一般不超出300字。

论文摘要应包含以下内容：

①从事这一研究的目的和重要性；

②研究的主要内容，指明完成了哪些工作；

③获得的基本结论和研究成果，突出论文的新见解； ④结论、结果的实际意义。

论文摘要不要列举例证，不讲研究过程，不用图表，不给化学结构式，也不要作自我评价。建议摘要可以先留出位置，在全文写完后再写。

3、中文关键词

关键词不少于4 个，以5—6个为宜，其排列顺序遵循以下规则：

第1 个关键词：列出该文主要工作或内容所属二级学科名称。学科体系采用国家技术监督局分布的《学科分类与代码》（国标GB/T 13745-92）；

第2 个关键词：列出该文研究得到的成果名称或文内若干个成果的总类别名称；

第3 个关键词：列出该文在得到上述成果或结论时采用的科学研究方法的具体名称。综述和评述性学术论文等写“综述”或“评论”等。对科学研究方法的研究论文，此处写所应用的方法名称；

第4 个关键词：列出前三个关键词中没有出现的，但被该文作为主要研究对象的物质的名称，或在题目中出现的作者认为重要的名词。

如有需要，第五、六个关键词等列出作者认为有利于检索和文献利用的其它关键词。

4、英文摘要

英文摘要的写作应注意以下几点：

1）英文摘要题名以短语为主要形式，尤以名词短语(noun phrase)最常见，即题名基本上由1个或几个名词加上其前置和(或)后置定语构成。

2）英文摘要题名的字数不应过长，国外科技期刊一般对题名字数有所限制。例如，美国医学会规定题名不超过2行，每行不超过42个印刷符号和空格；美国国立癌症研究所杂志J Nat Cancer Inst要求题名不超过14个词；英国数学会要求题名不超过12个词。这些规定可供我们参考。总的原则是，题名应确切、简练、醒目，在能准确反映论文特定内容的前提下，题名词数越少越好。

3）中英文题名在内容上应一致，但不一定词语要一一对应。在许多情况下，个别非实质性的词可以省略或变动。此外，近些年的趋势是，凡可用可不用的冠词均可不用。

4）英文摘要尽量用简短、词义清楚并为人熟知的词。例如： The operation method is narrated based on the conscientious analysis of the dust collection system.其中的narrated和conscientious使用不得体，可改为The operation method is introduced based on the analysis of the dust collection system.在表示分析研究（讨论）了时，用… are analyzed, 不用… are analyzed and studied(discussed).5）英美拼写保持全文风格一致。比如，Color和colour，program和 programme。

6）能用名词做定语不要用动名词，能用形容词的而不用名词。比如，用Measurement accuracy 而不用measuring accuracy；用Experimental results而不用experiment results。

7）可直接用名词或名词短语做定语的，尽量少用of。比如，用measurement accuracy而不用accuracy of measurement；用camera curtain shutter 而不用curtain shutter of camera；用equipment structure而不用structure of equipment。8）可用动词的尽可能避免使用动词的名词形式。比如，用thickness of plastic sheets was measure，而不用measurement of thickness of plastic sheet was made。

9）摘要内容中不能省略冠词，正确地使用冠词，不误用、滥用或随便省略。正：“Pressure is a function of the temperature”

误：“The pressure is a function of the temperature”;

5、英文关键词

对照中文关键词逐一翻译，注意保持原来的顺序。

6、目录

具体见格式要求。

7、引言

引言内容应该包含题目的研究背景，国内外在该领域或该研究方向的研究状况、发展趋势以及述评，研究的意义或应用价值，本论文的主要内容简述等。

8、正文

根据课题方向和导师意见展开成若干章节加以叙述，整个论文要自成一体，各章节间要相互呼应，层次清晰。其它具体见格式要求

9、结论

对正文的内容进行总结，提出后续研究的相关建议。

10、参考文献

参考文献必须是学生本人真正阅读过的，以近期发表与论文工作直接相关的文献。参考文献必须在文中引用处体现出来，并按顺序编号。一般文科约15篇，理科约10篇左右，其中英文文献至少应有1—2篇。文献应按文中引用出现的顺序列全，附于文末。

注录格式如下：

[期刊]作者.论文题名[J].刊名，年，卷（期）：起止页码.[专著]作者.书名[M].出版地：出版者，出版年.引用参考起止页码

[论文集]作者.引文题[A].主编，论文集名[C].出版地：出版年.引文起止页码。

[报纸]作者.篇名.报名.出版日期（版次）[科技报告]作者.报告题名，报告号[R].出版单位，年代.[学位论文]作者.论文题名[D].机构地址：所属学校名，年.[专利]作者.专利名称：专利国别，专利号[P].年.[网页]作者.题名[EB/OL].发表年月日或引用年月日.网址

11、后记

叙述论文的写作经过和收获、体会和感受，并向指导教师及其他相关人员致谢。

12、翻译原文

具体由导师安排，尽可能地与论文研究内容相关，并注明出处。

13、译文

在准确表达原文内容的基础上，力图使译文符合中文的语法和句法规则，文字表达流畅无误，符合中文读者的阅读习惯。

空管学院 2206.2.28