第一篇：正弦定理与余弦定理教案

正弦定理与余弦定理教案-------鄂伦春中学祁永臣

教学要求：

第一课时1.1.1正弦定理

教学要求：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题.教学重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用.教学难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数.教学过程：

一、复习准备：

1.讨论：在直角三角形中，边角关系有哪些？（三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数）如何解直角三角形？那么斜三角形怎么办？

2.由已知的边和角求出未知的边和角，称为解三角形.已学习过任意三角形的哪些边角关系？（内角和、大边对大角）是否可以把边、角关系准确量化？ →引入课题：正弦定理

二、讲授新课：

1.教学正弦定理的推导：

①特殊情况：直角三角形中的正弦定理： sinA=c=

asinA



bsinB



csinC

ac

sinB=

bc

sinC=1 即

.② 能否推广到斜三角形？（先研究锐角三角形，再探究钝角三角形）

当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据三角函数的定义，有

CDasinBbsinA,则

asinA



bsinB

.同理，asinA



csinC

（思考如何作高？），从而

asinA

2

bsinB



csinC12

.当中

③*其它证法：证明一：（等积法）在任意斜△ABC

ABC=

S

△

absinC

acsinB

a

bcsinA.两边同除以abc即得：

2sinA

=

bsinB

=

csinC

.asinA



asinD

CD2R，证明二：（外接圆法）如图所示，∠A＝∠D，∴同理

bsinB

=2R，csinC

＝2R.证明三：（向量法）过A作单位向量j垂直于AC，由AC+CB=AB边同乘以单位向量j

得…..④ 正弦定理的文字语言、符号语言，及基本应用：已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边；已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值.2.教学例题：

① 出示例1：在ABC中，已知A450，B600，a42cm，解三角形.分析已知条件 →

→ 示范格式 → 小结：已知两角一边

② 出示例2：ABC中，cA45,a2,求b和B,C.分析已知条件 → 讨论如何利用边角关系 → 示范格式 → 小结：已知两边及一边对角 ③

练习：ABC中，bB600,c1,求a和A,C.在ABC中，已知a10cm，b14cm，A400，解三角形（角度精确到10，边长精确到1cm）

④ 讨论：已知两边和其中一边的对角解三角形时，如何判断解的数量？

3.小结：正弦定理的探索过程；正弦定理的两类应用；已知两边及一边对角的讨论.三、巩固练习：

1.已知ABC中，A=60

°，a，求

abcsinAsinBsinC

.2.作业：教材P5 练习1(2)，2题.第二课时1.1.2余弦定理

（一）教学要求：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.教学重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用.教学难点：向量方法证明余弦定理.教学过程：

一、复习准备：

1.提问：正弦定理的文字语言？ 符号语言？基本应用？

2.练习：在△ABC中，已知c10，A=45，C=30，解此三角形.→变式 3.讨论：已知两边及夹角，如何求出此角的对边？

二、讲授新课：

1.教学余弦定理的推导：

① 如图在ABC中，AB、BC、CA的长分别为c、a、b.

∵ACABBC，22

∴ACAC(ABBC)(ABBC)AB2ABBCBC 2

222

AB2|AB||BC|cos(180B)BCc2accosBa.即b2c2a22accosB，→

② 试证：a2b2c22bccosA，c2a2b22abcosC.③ 提出余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.用符号语言表示a2b2c22bccosA，…等；→ 基本应用：已知两边及夹角 ④ 讨论：已知三边，如何求三角？→ 余弦定理的推论：cosA

bca

2bc，…等.⑤ 思考：勾股定理与余弦定理之间的关系？ 2.教学例题：

① 出示例1：在ABC

中，已知a

c，B600，求b及A.分析已知条件 → 讨论如何利用边角关系 → 示范求b

→ 讨论：如何求A？（两种方法）

（答案：bA600）→ 小结：已知两边及夹角

②在ABC中，已知a13cm，b8cm，c16cm，解三角形.分析已知条件 → 讨论如何利用边角关系 → 分三组练习→ 小结：已知两角一边 3.练习：

① 在ΔABC中，已知a＝7，b＝10，c＝6，求A、B和C.② 在ΔABC中，已知a＝2，b＝3，C＝82°，解这个三角形.4.小结：余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例； 余弦定理的应用范围：①已知三边求三角；②已知两边及它们的夹角，求第三边.三、巩固练习：

1.在ABC中，若a2b2c2bc，求角A.（答案：A=1200）2.三角形ABC中，A＝120°，b＝3，c＝5，解三角形.→ 变式：求sinBsinC；sinB＋sinC.3.作业：教材P8 练习1、2（1）题.第三课时1.1正弦定理和余弦定理（练习）

教学要求：进一步熟悉正、余弦定理内容，能熟练运用余弦定理、正弦定理解答有关问题，如判断三角形的形状，证明三角形中的三角恒等式.教学重点：熟练运用定理.教学难点：应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化.教学过程：

一、复习准备：

1.写出正弦定理、余弦定理及推论等公式.2.讨论各公式所求解的三角形类型.二、讲授新课：

1.教学三角形的解的讨论：

① 出示例1：在△ABC中，已知下列条件，解三角形.(i)A＝



6，a＝25，b＝

；(ii)A＝





6，a＝，b＝；



(iii)A＝，a

＝

b＝

；(iiii)A＝，a＝50，b＝

.分两组练习→ 讨论：解的个数情况为何会发生变化？ ② 用如下图示分析解的情况.（A为锐角时）

已知边a,b和A

a

无解

a=CH=bsinA

仅有一个解

CH=bsinA

② 练习：在△ABC中，已知下列条件，判断三角形的解的情况.(i)A＝

2

3，a＝25，b＝；(ii)A＝

23，a＝25，b＝

2.教学正弦定理与余弦定理的活用：

① 出示例2：在△ABC中，已知sinA∶sinB∶sinC=6∶5∶4，求最大角的余弦.分析：已知条件可以如何转化？→ 引入参数k，设三边后利用余弦定理求角.② 出示例3：在ΔABC中，已知a＝7，b＝10，c＝6，判断三角形的类型.分析：由三角形的什么知识可以判别？ → 求最大角余弦，由符号进行判断

abcA是直角ABC是直角三角形22

2结论：活用余弦定理，得到：abcA是钝角ABC是钝角三角形

222

abcA是锐角ABC是锐角三角形

③ 出示例4：已知△ABC中，bcosCccosB，试判断△ABC的形状.分析：如何将边角关系中的边化为角？→ 再思考：又如何将角化为边？ 3.小结：三角形解的情况的讨论；判断三角形类型；边角关系如何互化.三、巩固练习：

1.已知a、b为△ABC的边，A、B分别是a、b的对角，且

sinAsinB

2

3，求

abb的值

2.在△ABC中，sinA:sinB:sinC＝4:5:6，则cosA:cosB:cosC.3.作业：教材P11 B组1、2题.

第二篇：正弦定理余弦定理[推荐]

正弦定理 余弦定理

一、知识概述

主要学习了正弦定理、余弦定理的推导及其应用，正弦定理是指在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．即余弦定理是指三角形任何一边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即a2=b2＋c2－2bccosA，b2=c2＋a2－2cacosB, c2=a2＋b2－2abcosC．通过两定理的学习，掌握正弦定理和余弦定理，并能利用这两个定理去解斜三角形，学会用计算器解决解斜三角形的计算问题，熟悉两定理各自解决不同类型的解三角形的问题．认识在三角形中，已知两边和其中一边的对角解三角形，产生多解的原因，并能准确判断解的情况．

二、重点知识讲解

1、三角形中的边角关系

在△ABC中，设角A、B、C的对边分别为a、b、c，则有

（1）角与角之间的关系：A＋B＋C＝180°；

（2）边与角之间的关系：

正弦定理：

余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA

b2＝c2＋a2－2accosB

c2＝a2＋b2－2abcosC

射影定理：a＝bcosC＋ccosB

b＝ccosA＋acosC c＝acosB＋

bcosA

2、正弦定理的另三种表示形式：

3、余弦定理的另一种表示形式：

4、正弦定理的另一种推导方法——面积推导法

在△ABC中，易证明再在上式各边同时除

以在此方法推导过程中，要注意对

面积公式的应用．

例

1、在△ABC中，ab=60, sinB=cosB．面积S=15，求△ABC的三个内角． 分析：

在正弦定理中，由

进而可以利用三角函数之间的关系进行解题． 解：

可以把面积进行转化，由公式

∴C=30°或150°

又sinA=cosB∴A＋B=90°或A－B=90°显然A＋B=90°不可能成立

当C=30°时，由A＋B=150°，A－B=90°得A=120°B=30°

当C=150°时，由A－B=90°得B为负值，不合题意故所求解为A=120°，B=30°，C=30°.例

2、在△ABC中，a、b、c分别是内角A、B、C的外边，若b=2a，B=A＋60°，求A的值． 分析：

把题中的边的关系b=2a利用正弦定理化为角的关系，2RsinB=4RsinA，即sinB=2sinA． 解：

∵B=A＋60°

∴sinB=sin(A＋60°)=sinAcos60°＋cosAsin60°

=

又∵b=2a

∴2RsinB=4RsinA，∴sinB=2sinA

例

3、在△ABC中，若tanA︰tanB＝a2︰b2，试判断△ABC的形状． 分析：

三角形分类是按边或角进行的，所以判定三角形形状时一般要把条件转化为边之间关系或角之间关系式，从而得到诸如a＋b＝c，a＋b>c（锐角三角形），a＋b＜c（钝角三角形）或sin(A－B)＝0，sinA＝sinB，sinC＝1或cosC＝0等一些等式，进而判定其形状，但在选择转化为边或是角的关系上，要进行探索．

解法一：由同角三角函数关系及正弦定理可推得，∵A、B为三角形的内角，∴sinA≠0，sinB≠0．

．

∴2A＝2B或2A＝π－2B，∴A＝B或A＋B＝所以△ABC为等腰三角形或直角三角形．解法二：由已知和正弦定理可得：

整理得a－ac＋bc－b＝0，即（a－b)（a＋b－c）＝0，于是a＝b或a＋b－c＝0，∴a＝b或a＋b＝c．∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．

5、利用正弦定理和余弦定理判定三角形形状，此类问题主要考查边角互化、要么同时化边为角，要么同时化角为边，然后再找出它们之间的关系，注意解答问题要周密、严谨．

例

4、若acosA=bcosB，试判断△ABC的形状． 分析：

本题既可以利用正弦定理化边为角，也可以利用余弦定理化角为边． 解：

解法一：由正弦定理得：2RsinAcosA=2RsinBcosB∴sin2A=sin2B

∴2A=2B或2A＋2B=180°∴A=B或A＋B=90°

故△ABC为等腰三角形或直角三角形解法二：由余弦定理得

∴a(b＋c－a)=b(a＋c－b)∴(a－b)(a＋b－c)=0∴a=b或a＋b=c

故△ABC为等腰三角形或直角三角形．

6、正弦定理，余弦定理与函数之间的相结合，注意运用方程的思想．

例

5、如图，设P是正方形ABCD的一点，点P到顶点A、B、C的距离分别是

1，2，3，求正方形的边长．

分析：

本题运用方程的思想，列方程求未知数． 解：

设边长为x(1

设x=t，则1

－5)=16t

三、难点剖析

1、已知两边和其中一边的对角，解三角形时，将出现无解、一解和两解的情况，应分情况予以讨论．

下图即是表示在△ABC中，已知a、b和A时解三角形的各种情况．

（1）当A为锐角时（如下图），（2）当A为直角或钝角时（如下图），也可利用正弦定理进行讨论．

如果sinB>1，则问题无解； 如果sinB＝1，则问题有一解；

如果求出sinB<1，则可得B的两个值，但要通过“三角形内角和定理”或“大边对大角”等三角形有关性质进行判断．

2、用方程的思想理解和运用余弦定理：当等式a2＝b2＋c2－2bccosA中含有未知数时，等式便成为方程．式中有四个量，知道任意三个，便可以解出另一个，运用此式可以求a或b或c或cosA．

3、向量方法证明三角形中的射影定理

在△ABC中，设三内角A、B、C的对边分别是a、b、c．

4、正弦定理解三角形可解决的类型：（1）已知两角和任一边解三角形；

（2）已知两边和一边的对角解三角形．

5、余弦定理解三角形可解决的类型：（1）已知三边解三角形；

（2）已知两边和夹角解三角形．

6、三角形面积公式：

例

6、不解三角形，判断三角形的个数． ①a＝5，b＝4，A＝120° ②a＝30，b＝30，A＝50° ③a＝7，b＝14，A＝30° ④a＝9，b＝10，A＝60° ⑤a＝6，b＝9，A＝45° ⑥c＝50，b＝72，C＝135° 解析：

①a>b，A＝120°，∴△ABC有一解．②a＝b，A＝50°<90°，∴△ABC有一解．

③a

④a0 ∴△ABC有两解．

⑤b>c，C＝45°，∴△ABC无解（不存在）．⑥b>c，C＝135°>90°，又由b>c知∠B>∠C＝135°，这样B＋C>180°，∴△ABC无解．

第三篇：正弦定理和余弦定理

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第一章解三角形§1.1.1正弦定理和余弦定理

一、选择题

1．已知△ABC中，a＝4，b＝43，∠A＝30°，则∠B等于……………………....()

A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°

2．已知△ABC中，AB＝6，∠A＝30°，∠B＝120°，则△ABC的面积为…………..()

A．9B．18C．93D．18

33．已知△ABC中，a∶b∶c＝13∶2，则A∶B∶C等于………………………..()

A．1∶2∶3B．2∶3∶1C．1∶3∶2D．3∶1∶

24．已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝k∶(k＋1)∶2k(k≠0)，则k的取值范围为…..()

A．(2，＋∞)] 1B．(-∞，0)C．(-2，0)1D．(2，＋∞)

5． 在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是………………………..()

A．b＝7，c＝3，C＝30°B．b＝5，c＝42，B＝45°

C．a＝6，b＝63，B＝60°D．a＝20，b＝30，A＝30°

* 6．在△ABC中，A＝60°，b＝1，其面积为，则abc等于….()sinAsinBsinC

A．33

二、填空题23983B．3C．3 39D．

27．在△ABC中，若∠B＝30°，AB＝23，AC＝2，则△ABC的面积是________．

8．设△ABC的外接圆半径为R，且已知AB＝4，∠C＝45°，则R＝________．

39．已知△ABC的面积为2，且b＝2，c＝3，则∠A＝________．

10*．若三角形中有一个角为60°，夹这个角的两边的边长分别是8和5，则它的内切圆半径等于________，外接圆半径等于________．

三、解答题

11．在△ABC中，∠C＝60°，BC＝a，AC＝b，a＋b＝16．

(1)试写出△ABC的面积S与边长a的函数关系式．

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(2)当a等于多少时，S有最大值？并求出这个最大值．

12．在△ABC中，已知a2-a＝2(b＋c)，a＋2b＝2c-3，若sinC∶sinA＝4，求a，b，c．

AB

ababtan2． 13．在△ABC中，求证tan

14*．在一个三角形中，若有一个内角不小于120°，求证：最长边与最短边之比不小于．

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§1.1.1正弦定理和余弦定理参考答案

一、选择题

D C A D C B

二、填空题

77．2或8． 22 9． 60°或120°10． 3

3三、解答题

11．解：(1)∵ a＋b＝16，∴ b＝16-aS＝2absinC

3＝2a(16-a)sin60°＝4(16a-a2)＝-4(a-8)2＋16（0＜a＜16)

(2)由(1)知，当a＝8时，S有最大值163．

12．解：∵ sinC∶sinA＝4∴ c∶a＝

4设c＝4k，a＝k，则

13k2k2(b4k)

k2b8k3由①、②消去2b，得13k2-16k＋3＝0③

解得k＝13或k＝1，∵ k＝13时b＜0，故舍去．

5∴ k＝1，此时a＝，b＝2，c＝4．

13．证明：由正弦定理，知

a＝2RsinA，b＝2RsinB

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ab2RsiAn2RsiBnsiAnsiBnab2RsiAn2RsiBnsiAnsiBn

ABABABABsi)si)si)si)2222

ABABAB2sicotaABABAB2sicota222

14．证明：在△ABC中，设C≥120°，则c最长，令最短边为a，由正弦定理得

csiCnsinA(B)nsiAnasiA

∵ A≤B

∴ 2A≤A＋B≤180°-C≤60°



∵ 正弦函数在(0，3)上是增函数，∴ sin(A＋B)≥sin2A＞0

csin(AB)sin2A2sinAcosAsinA≥sinAsinA∴ a＝2cosA

c

∴ a≥2cosA

∵ 2A≤60°

∴ 0°＜A≤30°

∴ cosA≥cos30°＝2

c3

∴ a≥2·2

c∴ a≥3

∴ 最长边与最短边之比不小于3

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第四篇：正弦定理,余弦定理

正弦定理、余弦定理（4）

教学目的：

1进一步熟悉正、余弦定理内容；

2能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化；

3能够利用正、余弦定理判断三角形的形状；

4能够利用正、余弦定理证明三角形中的三角恒等式

教学重点：利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向

教学难点: 三角函数公式变形与正、余弦定理的联系

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教 具：多媒体、实物投影仪

教学方法：启发引导式

1启发学生在证明三角形问题或者三角恒等式时，要注意正弦定理、余弦定理的适用题型与所证结论的联系，并注意特殊正、余弦关系的应用，比如互补角的正弦值相等，互补角的余弦值互为相反数等；

2引导学生总结三角恒等式的证明或者三角形形状的判断，重在发挥正、余 弦定理的边角互换作用

教学过程：

一、复习引入：

正弦定理：

余弦定理：，二、讲解范例：

例1在任一△ABC中求证：

证：左边=

= =0=右边

例2 在△ABC中，已知，B=45 求A、C及c

解一：由正弦定理得：

∵B=4590 即ba ∴A= 60

第五篇：正弦定理余弦定理练习

正弦定理和余弦定理练习

一、选择题

1、已知ABC中，a4,b43,A300,则B=（）

A.300B.300或1500 C.600D.600或12002、已知ABC中，AB6,A300,B1200,则SABC()

A.9B.18C.93D.1833、已知ABC中，a:b:c1:3:2，则A:B:C（）

A.1:2:3B.2:3:1C.1:3:2D.3:1:24、已知ABC中，sinA:sinB:sinCk:(k1):2k(k0)，则k的取值范围是（）

A.2,B.,0C.二、填空题

1、已知ABC中，B300,AB23,AC2,则SABC

2、已知ABC中，b2csinB,则角

3、设ABC的外接圆的半径为R，且AB4,C450,则R=

4、已知SABC32,b2,c3,则角1,02D.1,2 A=

5、已知ABC中，B450,C600,a2(31)，则SABC

三、简答题

01、在ABC中，若B30,AB23,AC2,求SABC.2、已知ABC中，C60,BCa,ACb,ab6.(1)写出ABC的面积S与a的函数关系式；(2)当a等于多少时，Smax？并求出Smax.23、已知ABC中，aa2(bc),a2b2c3,若sinC:sinA4:，求a,b,c.04、a,b,c是ABC的三内角A,B,C的对边，4sin

(1)求角A；(2)若a3,bc3,2BC2cos2A72.求b,c的值.