第一篇：初中数学证明三角形全等找角

初中数学证明三角形全等找角、边相等的方法

【摘要】“全等三角形的证明”是初中平面几何的重要内容之一，是研究图形性质的基础，而且在近几年的中考中时有出现，新课标的要求是“探索并掌握两个三角形全等的条件”，因此掌握三角形全等的证明及运用方法对初中生来说至关重要。证明三角形全等找角、边相等是最关键的步骤。如何找对应角、对应边相等，做如下总结。

【关键词】全等三角形相等角相等边

我们在初中课本上学过的三角形全等的证明方法有“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”，对于直角三角形还有“HL”。在做题的过程中我们时常发现，全等的条件往往隐藏在复杂的图形中，要找的条件就是相等的角、相等的边，初中阶段找相等的角、相等的边有以下几种情况。

一、相等的角

1、利用平行直线性质

两直线平行的性质定理：1.两直线平行，同位角相等

2.两直线平行，内错角相等

例、如图一所示，直线AD、BE相交于点C，AB∥DE，AB=DE

求证：△ABC≌△DBC

此题知道AB∥DE，根据平行线的性质可得

∠A=∠D ,∠B=∠E(两直线平行，内错角相等)

由ASA可证全等。图一

2、巧用公共角

要点：在证两三角形全等时首先看两个三角形是不是有公共交点，如果有公共交点，在看他们是否存在公共角。

例、如图二所示，D在AB上，E在AC上，AB=AC, ∠B=∠C.求证：△ABE≌△ADC

此题∠A是公共角，利用ASA可证全等。

3、利用等边对等角图二 要点：注意相等的两条边一定要在同一个三角形内才能利

用等边对等角

例.、如图三在△ABC中，AB=AC，AD是三角形的中线

求证：△ABD≌△ACD

此题已知AB=AC，由等边对等角可得

∠B=∠C.4、利用对顶角相等图三 例、已知：如图四，四边形ABCD中, AC、BD交于O点,AO=OC , BA⊥AC , DC⊥AC．垂足分别为A , C．

求证：AB=CD图四 此题利用对顶角相当可得∠AOB=∠DOC.利用AAS

可得△AOB≌△COD,再根据全等三角形对应边相等得到

AB=CD5、利用等量代换关系找出角相等

（1）∠A+公共角=∠B+公共角

例1.已知：如图五，AE=AC，AD=AB，∠EAC=∠DAB，求证：△EAD≌△CAB．

由图形可知：

∠DAE=∠EAC+∠DAC A ∠BAC=∠DAB+∠DAC

因此可得∠DAE=∠BAC图五

利用SAS可证△EAD≌△CAB

例

2、已知:如图六,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE.求证:BD=CE

由图形可知：

∠DAB=∠BAC-∠DAC

∠EAC=∠DAE-∠DAC

因此可得∠DAB=∠EAC

利用SAS可证△BAD≌△CAE图六

(2)同角（等角）的补角相等；同角（等角）的余角相等

已知:如图,∠1=∠2,BC=EF,AC=DE,E、C在直线BF上．

求证:∠A=∠D

由图形可知：图七 B

由等角的补角相等可得∠DEC=∠ACE

利用SAS可得△ABC≌△DEF

(3)同角（等角）的余角相等 D

在直角三角形中常用到同角（等角）的余角相等得到相等的角。例：如图八△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AE是BC边上的中线，过C作

B图八 ECF⊥AE, 垂足为F,过B作BD⊥BC交CF的延长线于

D.求证:AE=CD;

由图形中可以看出：

∠D+∠BCD=90°;∠CAE+∠BCD=90°

由同角的余角相等得到∠D=∠CAE，利用AAS可得△BCD≌△CAE6、结合旋转和对称图形的性质。

例1．如图九，把一张矩形的纸ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点E处，BE与AD•交于点F．图九

求证：△ABF≌△EDF；

根据对称的性质我们可以得到∠A=∠E=90°,利用AAS可以证明△ABF≌△EDF。

二、相等的边

1、利用等角对等边 ADAC

3CB

（注意：必须在同一个三角形中才能考虑）

例、如图十，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AB=CD

已知∠3=∠4，根据等角对等边可得OB=OC

利用AAS证明出△ABO≌△DCO。

2、利用公共边相等图十 A

（若果要证明的两个全等三角形有两个相同的对应点，那么可么马上得出它们具有公共边）

D例、如图十一，已知AB=AC，DB=DC，求证：∠BAD=∠CAD CB由图形可知AD是△ABD和△ACD的公共边，利用SSS可得 AB△ABD

≌△ACD

F3、利用等量代换

图十一 F

AB+公共边=DE+公共边

例，如图十二：AB=CD，AE=DF，CE=FB。求证：∠B=∠C

E图中：BE=BF+EF;CF=CE+EF.因此可以得到BE=CF

利用SSS可证△ABE≌△DCF因此得到∠B=∠C CD4、利用线段中点或三角形中线定理，或者等边三角形的性质

例、如图十三：∠B=∠C，ME⊥AB，MF⊥AC，垂足

图十二

分别为E、F，M是BC的中点。求证：ME=MF

M是BC的中点，则可以得到BM=CM;利用AAS可得△BME≌△CMF

C例题、如图十四，△ABE和△ACF是等边三角形，求证：CE=BF图十三 F △ABE和△ACF是等边三角形，则AE=AB，AC=AF

∠EAC=∠BAE+∠BAC;∠BAF=∠CAF+∠BAC.则∠EAC=∠BAF

那么△AEC≌△ABF,则可得CE=BF

C

图十四

5、利用三角形角平分线定理

（三角形角平分线上的点到角两边的距离相等）

注意、必须是角平分线上的点

例题、如图十五，在ΔABC中，AD平分∠BAC，DE垂直AB,DF垂直AC,垂足分别为E、F。求证：AE=AF

AD平分∠BAC, DE垂直AB,DF垂直AC,则根据角平分线

性质可得到DE=DF，那么Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）

则可得到AE=AF

图十五 例题、已知：如图十六，BD为∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD

于M，•PN⊥CD于N，判断PM与PN的关系．

A由题意知△ABD≌△CBD(SAS)可得BD也是∠AD的角平分线，PM⊥AD，PN⊥CD，由角平分线的性质

可得PM=PN

全等三角形的证明是初中数学几何证明中最重要的一部分，是证明线段相等和角相等最常用的方法。结合全等三角形的判定，全等的条件一般隐藏在已知当中，以上是证明全等隐藏条件的方法总结。

第二篇：初二数学全等三角形证明

初二数学全等三角形证明

班别_______姓名_______学号_______2007-5-1

51.如图,AB=CD,AD、BC相交于点O，(1)要使△ABO≌△DCO,应添加的条件为.(添加一个条件即可)

(2)添加条件后,证明△

ABO≌△DCO

2.已知：如图，AB//DE，且AB=DE.(l）请你只添加一个条件，使△ABC≌△DEF,你添加的条件是.(2）添加条件后，证明△ABC≌△DEF.3、如图，点E在AB上，AC=AD，请你添加一个条件，使图中存在全等三角形，并给予证明。

所添条件为，你得到的一对全等三角形是

证明：ABOCD(第12题)

4、如图，在△ABC中，D为BC边的中点，过D点分别作DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F.（1）证明：△BDF≌△DCE ；AFE

BC D

(第4 题图)

5．如图9，已知∠1 = ∠2，AB = AC．求证：BD = CDBDA

图 9

6．如图，已知∠1＝∠2，∠C＝∠D，求证：AC＝BD．

A

B7、如图，在ABCD中，BEAC于点E，DFAC于点Ｆ．

求证：AECF；AD

BC8、如图,已知点M、N分别是平行四边形ABCD的边AB、、DC的中点,求证: ∠DAN=∠BCM.9．如图，AC和BD相交于点E，AB∥CD，BE=DE。求证：AB=CD

A

B E

第9题图

10、已知：如图10，在△ABC中，AB=AC，点D，E在边BC上，且BD=CE．

求证：AD=AE．

_B

_C

_ M

_N

_A

_D

D

C

图10

C12、如图（4），在△ABD和△ACE中，有下列四个等式：○

1AB=AC○2AD=AE○31=∠2○4BD=CE.请你以其中三个等式作为题设，余下的作为结论，写出一个真命题（要求写出已知，求证及证明过程）

第三篇：全等三角形证明

全等三角形证明

1、已知CD∥AB，DF∥EB，DF=EB，问AF=CE吗？说明理由。

CA2、已知∠E=∠F，∠1=∠2，AB=CD，问AE=DF吗？说明理由。

F3、已知，点C是AB的中点，CD∥BE，且CD=BE，问∠D=∠E吗？说明理由。

4、已知AB=CD，BE=DF，AE=CF，问AB∥CD吗？

A B

C

第四篇：全等三角形证明

全等三角形的证明

1.翻折

如图（1），BOC≌EOD，BOC可以看成是由EOD沿直线AO翻折180得到的；

旋转

如图（2），COD≌BOA，COD可以看成是由BOA绕着点O旋转180得到的；

平移

如图（3），DEF≌ACB，DEF可以看成是由ACB沿CB方向平行移动而得到的。

2.判定三角形全等的方法：

（1）边角边公理、角边角公理、边边边公理、斜边直角边（直角三角形中）公理

（2）推论：角角边定理

3.注意问题：

（1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等；

（2）不能证明两个三角形全等的是，a: 三个角对应相等，即AAA；b :有两边和其中一角对应相等，即SSA。

一、全等三角形知识的应用

（1）证明线段（或角）相等

例1：如图，已知AD=AE,AB=AC.求证：BF=FC

（2）证明线段平行

例2：已知：如图，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E、F，DE=BF，AE=CF.求证：AB∥CD

（3）证明线段的倍半关系，可利用加倍法或折半法将问题转化为证明两条线段相等

例3：如图，在△ ABC中，AB=AC，延长AB到D，使BD=AB，取AB的中点E，连接CD和CE.求证：CD=2CE

例4 如图，△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2。求证：AB＝AC＋CD．

．

例5：已知：如图，A、D、B三点在同一条直线上，CD⊥AB,ΔADC、ΔBDO为等腰Rt三角形，AO、BC的大小关系和位置关系分别如何？证明你的结论。

例6.如图，已知C为线段AB上的一点，ACM和CBN都是等边三角形，AN和CM相交于F点，BM和CN交于E点。求证：CEF是等边三角形。

N

M

FE

C

A B

第五篇：全等三角形证明题(含角平分线)

全等三角形证明题汇编

1．如图，在四边形ABCD中，AC平分DAB,若AB>AD,DC=BC.求证：BD180.图2－

12．如图:已知在ABC中，AC=BC,ACB90,BD平分ABC.DE⊥AB。求证：AB＝BC＋CD.图2－2

3．如图，在ABC中，C2B,12,试证明AB=AC+CD.图2－3

4．如图，已知在ABC中，AD平分BAC，AB+BD=AC.求B︰C的值

5．如图，在ACB中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F，交AC的平行线BG于G点，DE⊥GF交AB于点E，连结EG.求证：BG=CF.请你判断BE＋CF与EF的大小关系，并证明你的结论.B

图

3－1 C

G

图3－2

6．如图所示，ABAD,BCDE,12,求证：(1)ACAE;(2)2CAE.1题

7．如图所示，CEAB,BFAC,BF交CE于D,且BD=CD,求证：点D在BACB

CA2题

8．如图所示，已知12,ACBD.说出ABCBAD成立的理由.AB

3题

9．如图所示，在ABC中，AB=AC,AD和BE是高，它们相交于点H，且AE=BE.求证：AH=2BD.4题

10．如图，ABC和ADE都是等腰直角三角形，CE与BD相交于点M,BD交AC于点N，求证：（1）BD=CE；（2）BDCE.D6题当ABC绕A点沿顺时针方向旋转到（1）（2）（3）位置时，上述结论是否成立？请说明。

E

EC

C

B

A3

11．如图所示，已知正方形ABCD中，M为CD的中点，E为MC上一点，且BAE2DAM.求证：AE=BC＋CE.ME

8题