第一篇：高考冲刺如何回归课本 北大清华学生为你支招

高考冲刺如何回归课本 北大清华学生为你支招！

郭科琪 现就读于北京大学

（一）错题集

即使时间再紧，你也需要自己的错题集，起码，你的弱科需要。错题集是你的个人学习记录，这是具有明显个人特色的复习资料。错题集的整理方式不必拘泥，为了节省时间，可以剪贴，可以只写思路，但万万不可少的是题目之后对解题思想和难点重点的分析，可以寥寥数语，最好用醒目颜色标注。

很多人可能会说错题集没时间整理，更没时间看。错题集最有效的使用方法是在老师讲解或答案校对之后自己将解答过程写上（而非照抄答案），然后分析总结，课余或考试之前翻看。如果时间紧，只看自己红笔标注的解题思想也不失为好方法。时间是海绵里的水，即使你真的没时间回看，整理的过程实际上也是对题目的消化吸收，这一过程仍然是有收益的。

（二）个人经验心得本

高三这一年，在与各种题目斗智斗勇的过程中，你会有很多经验体会，更多的是教训。它们虽然简单得近乎常识，但确确实实需要切身经历才能真正理解。所以，准备一本或几本经验本，把常绊倒你的石头登记备案，把那些能提分的感悟记下来，多多翻看，能让你减少很多失误，尤其是个人特点造成的失误。“高考直通车”联合衡水毕业清华北大在校生将于202_年5月中旬推出的手写版高考复习笔记，希望对大家复习备考有所帮助。该笔记适合202_年、202_年、202_年高考生使用。凡202_年5月中旬之后购买的高

一、高二同学，每年指定日期可以免费更换一次最新一年的笔记。另外，所有笔记使用者将被加入202_年高考备考专用平台，每周定期提供最新资料和高考互动。

（三）作文素材积累本

抄在本上的不叫素材，在考场上呼之即来的才叫素材。兵不在多而在精，那么多名人名言就算说得再好，你记不住也没用。一定要建一支对你忠心耿耿的精兵，无论什么材料什么话题都能为你冲锋陷阵。利用好你的爱好特长，挖掘下你崇敬喜爱的人物，随时记录你思考感悟的点滴，建立个性鲜明独树一帜的素材库，让你的作文与众不同。

（四）关于语文基础知识

你的语文笔记中必须要有基础知识这部分的内容，最重要的是十八个文言虚词的部分、文言实词部分、字音字形和成语解释。这些都是做题的基础，尽早掌握这些会让做题顺手很多。

（五）英语考纲单词

关于单词的重要性，大家耳朵都起茧了。考纲单词必须拿下，高频词要掌握用法，背诵时最好结合例句。同时注意近义词联想与辨析，一方面，对可通用的单词进行联想能丰富作文词汇量，对付临时忘词，或者使用词多样化；另一方面，掌握近义词的区别可以更好地应付单选与完型中的词汇考察。

（六）地理地图册（文科同学）

如果说单词是英语的基础，那么地图就是地理的基础。对地理区域的判断是完成地理题目的第一步，如果你连图中是哪个区域都不清楚，往下就束手无策了。看地图时，可以在硬纸板上挖出大小不同的方框，往重要地理区域上扣，方框周围纸板的遮盖有很好的陌生化作用，这样框出来的图就类似试卷上给出的区域图了。多翻看地图册，多用纸板框一框，会有很好的效果。

（七）课本（重中之重）

课本对我们很有用，这话说得很可笑，但是高三时很多同学忙于应付满天飞的试卷讲义而忽略了对课本的回扣。人忙不能忘本，此处的本指课本。

语文课本上的名句背诵需要常常回扣，对于课本中的文言文篇目，不仅要背诵重点段落，更要将课下注释细细过滤。试卷中许多词语解释是课文中文言词语的变相考察，记忆重要注释，结合语文基础知识手册，打牢文言基础。

数学课本的作用相对小一些，基础不扎实或知识有遗忘的同学可以回扣课本公式原理。

除了单词背诵，英语课本还有别的用途。原先学习课文时我们背诵过许多课文，高三复习时需要重温背过的课文，能背过最好，没时间背也要再读几遍。

即使是高三阶段，文科生也肯定不会忽略政治课本与历史课本。为了背诵课本知识，许多人翻课本翻到想撕。如今高考对课本的考察逐渐细化，虽然不能死背课本，但是对课本细致全面的掌握仍然是必要的。大家对地理课本的重视程度可能低一些，实际上地理课本上有常用术语、案例分析方法、重点区域的各方面知识，考试不能生搬课本，却仍然是对课本的化用。对政史地课本的记忆一定要准确规范，防止考试时在细节上无谓失分。

周灿炜 现就读于清华大学

我们手上的课本就是最好的辅导书！（对理综）不要总说我们手上没有好的辅导书，不要总抱怨人家考得比自己好说：“他的辅导书比我的好的多！不然我肯定考得比他好！”这等豪言壮语是没有任何用处的，为何？因为在你们花同样的时间来学习的情况下，课本就是最好的辅导书，请记住：

我们考试时的知识点部分直接出自于课本。

我们考试时的知识点绝大部分源自于课本。

我们考试时的知识点只有极少数和教材几乎一点都不搭边。

我感触最深的就是生物了，在生物的高中三年的学习里，课本是永远最好的老师，对于江西高考，最典型的一个特征就是源于课本，生物这门学科，其实它书上写的非常详细了，比任何的辅导书都要好，对于生物的学习，我的建议就是，尽量的少做题，尽量的多花时间看书，最好是可以把书读出来，这个时间是可以利用课间的时间来作为一个放松的。读书所花的总时间和时间比可以跟据自己的学习情况来定，但是记住，看书重于做题！

这里又牵涉到如何来看课本，利用课本，和如何来利用辅导书的问题了。看课本，这不是要求你想看名著那样的一目十行的看，而是要求你像在找宝贝一样的看，一字一词，一句一段，句句重要，段段经典，认认真真的不落下任何东西的读完，我这里对阅读课本提一个要求：第一次看就要能够把这节课主要讲了些什么，主要牵涉到了什么知识点复述出来，第二遍就要尝试把知识点的具体内容背下来，（其实如果你认认真真的看了，自然而然的就背

下来了），第三次熟记，第四遍乃至更多遍地看书就是要吧书上几乎所有的段落的语句都慢慢的熟悉，因为他保不定就从里边抽出一个句子来编一道题。这是很常见的事。

最后说一下，考试前几天，就不要做题了，把自己的整理的知识点，习题集看一下，早点休息了~~

给一个理综的大概时间规范：（针对新课标全国卷）

选择：35分钟，物理8 10 15分钟，化学5 6 7 8分钟，生物5 5 7 8分钟，选修部分看个人情况20~25分钟最好都做完。选择一定要做的又好又快，最后留出一点时间来检查一下有没有漏题，就别想着检查了，没有时间的，做的时候仔细就是了。

祝，202_届学弟学妹成功！

第二篇：衡阳县六中高考生物冲刺回归课本梳理基础

高考生物冲刺回归课本梳理基础

高考虽然迫在眉睫，但要保持平常心，复习仍需贴近考纲、教材和自己的实际。回归课本，梳理基础。现在距离高考的时间非常近了，在高考复习中，生物课还是要回归教材，回归到基础知识上来。历年高考中，知识类、能力类题目涉及的内容几乎都源于教材，考试丢分往往在知识能力的疏漏之处，所以考前要用系统的方法把这些疏漏之处搜索出来及时补上。这就需要大家按照《考试大纲》中的知识体系，把散落在课本中的知识框架整理清楚，还应该把做过的或者老师曾经在学校考过的试卷再认真浏览一遍。不管题目做对还是做错，这样一来可以把主干知识通过试卷串联起来，这是冲刺复习的方法之一。

整理试卷，找出错题。检查自己曾经出现过的失误，找到自己知识的漏洞、思维方式的偏差、解题规范的疏漏、错误集中的点作为训练重点，有目的地精选一些材料进行训练，不让同样的错误在高考中重现。

加强记忆，临阵磨枪。对于生物学的学习来说，仅有对知识的理解是不够的，大家必须在理解的基础上牢固记忆。复习的最后阶段，大家一定要注重强化以下几方面的记忆：①描述生物学事件的术语和结论性语句，如：植物成熟区表皮细胞吸收矿质元素和渗透吸水是两个相对独立的过程等等，这些结论往往就是答题的落脚点；②经典实验及其研究方法；③表述概念的要素、理论观点的主题词。另外，充分利用笔记和通过记牢课本上相关的图解来理解课本中的主干知识，也同样是一种很好的复习方法。

慎选试题，有效复习。面临高考，时间紧张。只看书，不做题，会手生，在高考的那几天找不到解题的感觉；而不加选择，拿题就做，经常会因复习题的粗滥，不得要领，浪费时间。这一阶段，大家应慎做模拟题，但应该选做一些近3年的高考题，以便进一步明确高考题目的命题思路和方式，也可以检测一下自己对知识的掌握程度和在审题、解题的能力方面是否还有欠缺，方便最后的复习巩固。

规范答题，超常得分。要仔细审题，见到一道试题后，首先要弄清题目所涉及的所有概念的含义和一些重要词语的作用，排除表面现象的迷惑，以保证对题意的理解准确无误。其次要抓住关键词句，这样才能找到解题的突破口。再次要学会避陷阱、破定势，要善于发散思维，从多角度思考问题。第四要挖掘题目中的隐含条件，将所给信息进行合理转换，例如：换一种方式表述条件、将图表转换成文字、将文字信息转换成图表，将抽象的信息具体化，隐藏的条件浮出来，从而明确问题的指向。

调整状态，平静应考。建议大家在复习时要看、练结合。可以把做题的时间放在与高考理综同步的时间去做。这样除了可以保证高考复习所需要的训练量，还可以调节自己的生物钟，保证高考时良好的精神状态。看纠错本的时候，也要注意不仅仅是用眼去看，必须随时记录一些感想、体会，思考自己当初出现问题的原因，必要的时候还要回归课本，澄清一些概念。

第三篇：高考英语 课本回归早读晚练13

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http://www.teniu.ccic.时间允许，我们就去野餐。(4)The policeman ________________________ there.＝_______________________________ there.警察允许他在那里停车。

The

policeman 答案：give her permission；permit；Time permitting；permitted his parking；permitted him to park 3．spot vt.发现，认出；点缀n.斑点；污点；地点 on the spot 当场，当下

put sb.on the spot 使某人尴尬，使某人为难 hit the spot 满足要求，合口味

a scenic/historic spot 风景名胜/古迹 be spotted with sth.满是„„斑点 [即学即练3](1)This is the spot ______ the two trucks collided.这儿就是那两辆卡车相撞的地点。(2)How did you _______________________ on your face?你脸上怎么弄脏了一块？

(3)The teacher graded our test papers _________________.老师当场就给我们的试卷打了分。

(4)The ink has ________________ my clean shirt.墨水把我的干净衬衫弄脏了。(5)My father ____________ several spelling mistakes in my composition.我父亲在我的作文里发现了好几处拼写错误。

答案：where；get that spot；on the spot；spotted；spotted

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http://www.teniu.cc 4．account n.说明；理由；计算；账目；报道 vi.& vt.认为；说明；总计有 account for 说明(原因等)；作出解释 on account of 由于，因为

on no account 决不(置于句首时，句子用部分倒装)on any account 无论如何

take account of＝take...into consideration 考虑„„ keep an account of 记录，记载

[即学即练4](1)He could not _______________ his foolish mistake.他无法解释他所犯的愚蠢错误。(2)Give us ________________________ what happened.跟我们说一下到底发生了什么。(3)She retired early ______________________ ill health.她体弱多病，所以提前退休。(4)The company _____________________ environmental issues wherever possible.只要有可能，这家公司会考虑到环境问题。

答案：account for；an account for；on account of；takes account of 提示：表示否定意义的 on no account 放在句首时，句子应用部分倒装。如：On no account should you go there.你绝对不可以到那里去。

5．seek(sought, sought)vt.& vi.寻找；探索；追求 seek one’s fortune追求财富；碰运气

seek(after/for)sth.寻找某物；追求某物

seek sth.from sb.向某人寻求某事

seek to do sth.(＝try/attempt to do sth.)试图/企图做某事

[即学即练5](1)He is ______(＝asking for)a job.他正在找工作。

(2)The boy ___________________________ his teacher.这个男孩向他的老师请教。(3)He is the man who is always ____________________.他是个始终追求真理的人。(4)They are ___________________ us.他们试图误导我们。

答案：seeking；sought advice from；seeking after truth；seeking to mislead 6．bring up 抚养；培养；教育；提出 [即学即练6](1)She has _______________ five children.她养育了五个孩子。

(2)These are matters that you can ________________ in committee.这些问题你可在委员会中提出。

答案：brought up；bring up 拓展：bring about 引起；致使；造成；达成 bring along/on 带来

bring back 使记起；归还；恢复 bring down 使减低；降低；挫伤(傲气)bring forth 产生；产出；生产 bring forward 提出；出示；展示 bring out 揭露；显示，解释；出版 bring to(oneself)使复苏

bring in 引进；引来；赚得

7．go ahead 前进；(用于祈使句)可以；往下说；说吧；干吧 go ahead with开始做某事

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http://www.teniu.cc ahead of 在„„ 之前；超过

press ahead with加紧进行，推行 [即学即练7] 写出下列句中go ahead的意思。

(1)If you think you can settle the problem, go ahead.____________(2)The police examined the cars and allowed them to go ahead.______________________(3)—I'm afraid I have to trouble you with a question.—Go ahead._______________(4)The government intends plans.____________________

to

go

ahead

with

its

privatization 答案：开始干吧；继续前行；请说吧；推行 8．on the contrary 正相反，反之(表示相反意见)on the other hand 另一方面(说明问题的另一方面)contrary to...与„„相反；违反，对抗 quite/just the contrary 恰恰相反 to the contrary 与此相反地 [即学即练8](1)The boy was swimming in a direction _______________ the current.那男孩逆流游去。

(2)You didn't bother me.________________________，I like your company.你没有打扰我。相反地，我喜欢有你做伴。(3)Although Bill was going

to

the

movies，he

told Jack_________________________________________.虽然比尔要去看电影，但是他告诉杰克，说他不去。

答案：contrary to；On the contrary；to the contrary 9．take a chance冒险；试图做某事；碰运气 take a chance＝take one’s chance＝take chances by chance/accident偶然；碰巧

Chances are(that)可能性是„„

There is a slim/slight chance that...不大可能„„ [即学即练9](1)You should never ___________________ when driving a car.开车时千万别冒险。(2)We hadn’t planned to meet.We met ______________.我们原未打算相见，是偶然遇见的。

(3)_________________________ she’s already heard the news.可能她已经听到那则消息了。

答案：take chances；by chance；Chances are that 10．as for 关于；至于

[即学即练10](1)_______________ the cause of the fire, I don't know anything.至于火灾的原因，我一点也不知道。(2)We had a wonderful time in the country._________ the traffic, we had no difficulty.我们在乡下度过了一个愉快的周末。至于交通，我们没遇到任何困难。答案：As for；As for 拓展：as for与as to都是介词短语，意思相近，都是“至于，关于；就„„而言，就„„

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http://www.teniu.cc 来说”之意。as with“与„„一样”。

As to the journey, we must decide about that later.至于旅行，我们必须以后再作决定。易 错 点 拨

自我完善•误区备考

1.scene/scenery/view/sight(1)scene 指展现在眼前的情景，也可以指 scenery 的一部分，指某处小范围的景色，大多包括景物中的人及活动，可译为“情景”“景色”“场面”“(戏剧)一场”。

(2)scenery是总称，指大范围的自然风光，是由多个 scene 构成的景色，常译为“景色”“风景”。

(3)view 是指人从一定的角度(或从远处或从高处等)所看到的景象，还有“观点”“看法”等意思。

(4)sight是眼睛所看到的景象，可以指美丽的风景，也可以指悲惨的景象，其复数形式 sights 表示“名胜古迹，人文景观”等。

[应用1] 用 scene, scenery, view, sight的适当形式填空。

(1)As we climbed higher, a wonderful ______ opened out before us.(2)The next day we returned to the ______ of the accident.(3)The ______ of the play is a kitchen.(4)The Great Wall is one of the most breathtaking ______ in the world.(5)The autumn __________ of Beijing is charming.(6)Do you remember the ______ in the play where Susan meets Alan for the first time? 答案：view；scene；scene；sights；scenery；scene 2.manner/method/way/means 这四个词均有“方法；方式”的意思。

(1)manner指个人的、独特的或有特色的“方法；方式”，常与in连用。

(2)method指合理的或系统的“方法”，包括抽象的观念和具体的步骤，如为完成教学、调查、医疗等各项工作而采取的一系列步骤或方法，常与with连用。

(3)means指为达到某种目的而采取的“手段”或“方法”，常与by连用。

(4)way为普通用语，可以代替method, manner或means，但why更富有表达力，常与in连用。

[应用2]

(1)He invented a new __________ of teaching English.(2)I don’t like his ___________ of walking.(3)There is/are no ____________ of getting there.(4)You can finish it by this _______________.(5)There are a lot of ________________ to make friends.答案：method；manner；means；means；ways 3.～ever与no matter wh～的用法 [应用3](1)In peace，too，the Red Cross is expected to send help______there is human suffering.A．whoever B．however C．whatever D．wherever 解析：(1)句意为“在和平时期，红十字会也应把帮助送到人们受苦难的地方”。答案：D

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http://www.teniu.cc(2)(202_•福建泉州高三质检)All the books I have are here.You may borrow ______ you like.A．whatever B．whichever C．whenever D．however 解析：(2)whichever强调“在某一范围内任何一个人/物”。whatever指“任何(某事)”，不强调范围。答案：B(3)He tried his best to solve the problem, ______difficult it was.A.however B.no matter C.whatever D.although 解析：(3)however 引导让步状语从句，等于 no matter how, 若用 although，应改为 although it was difficult。

答案：A(4)______，I have to put it away and focus my attention on study this week.A.However the story is amusing B.No matter amusing the story is C.However amusing the story is D.No matter how the story is amusing 解析：(4)however＝no matter how，引导让步状语从句，后接“adj./adv.＋主＋谓”结构。答案：C

晚练： 自我测评•技能备考 Ⅰ.单词拼写

1．I can make a b______ that our team will win.2．I warn you;I'm beginning to lose my p_______ with you.3．The Japanese are used to b_________ to each other when they meet.4．The little girl s_____________ when she saw a mouse running by her feet.5．It was really u__________________ that he fell off the truck without being hurt.答案：bet；patience；bowing；screamed；unbelievable 6．The first ______(场景)of the play was almost over when they got to the theatre.7．It is good ___________(礼貌)to give your seat to an old man on the bus.8．In order to keep his money safe, he opened an ________(账户)with the bank.9．They had a lot of __________(冒险)in the journey.10．With nothing to do, he just ________(漫步)about every day.答案：scene； manners；account；adventures；wanders Ⅱ.单项选择

1．(202_•安徽皖南八校二联)As soon as ______ concert film This Is It was released on October 28th, it became ______ great success in all big cinemas across the planet.A．a;the B．the;a C．the;/ D．a;a 答案：B 解析：考查冠词。根据句意可知，第一空特指This Is It这部影片，因此用定冠词the;success当“成功的人或事物”讲时，是可数名词，因此前面加不定冠词。

2．It is bad ______ to talk with your finger ______ at the other person.A．manners;points B．manner;to point

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http://www.teniu.cc C．manners;pointing D．manner;pointed 答案：C 解析：It's bad manners to do sth.意为“做„„是不礼貌的”；第二空考查 “with＋宾语＋宾补(现在分词)”的用法。

3．When the murderer______to run away, the police came.A．sought B．risked C．dared D．thought 答案：A 解析：seek to do...意思为“试图做„„”，相当于 try/attempt to do...；risk 后必须接 doing 结构，think 后应该接 of doing 结构，dare to do 意思为“敢做„„”，均不合题意。

4．—Do you think that housing price will keep ______ in the years to come?—Sorry, I have no idea.A．lifting up B．going up C．bringing up D．growing up 答案：B 解析：考查动词短语。“价格”上涨应用 go up。

5．When the thief found the police had already ______ him, he ran away quickly.A．realized B．known C．spotted D．stared 答案：C 解析：句意：当小偷发现警察已经发现他时，他飞快地跑了。spot 有“发现，认出”的意思。realize 意识到；know 认识；stare vi.后接介词 at。6．—Jimmy had a lot of parties recently.—Yes, that might ______ why he didn't do well in the test.A．sum up B．add up to C．account for D．make sense of 答案：C 解析：考查动词短语。account for“说明„„的原因”，合题意。A.总结 B．加起来总计D.弄懂；理解。

7．Because of ______ mail we receive, we may not be able to reply to your letter.Please remember to include your full name with your letter.A．a great many of B．a large number of C．the large amount of D．a great plenty of 答案：C 解析：考查表示数量的短语。句意表示“由于我们收到邮件数量很多„„”，mail为不可数名词，故选C。

8．(202_•北京海淀期末)－I regret to you the other day.－Forget it.I was a bit say that I ______ have shouted at out of control myself.A．shouldn't B．mustn't C．couldn't D．mightn't 答案：A 解析：考查情态动词的用法。shouldn't have done表示“过去本不该做，却做了„„”。语意：——我很抱歉，我本不该朝你大声嚷的。——忘了吧，我也有点失控。

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http://www.teniu.cc 9．______me, I don't like this ______ novel.A．As with;latest B．As with;newest C．As for;latest D．As with;newest 答案：C 解析：as for me 就我而言；as with 和„„一样；latest最新的，最近的。

10．There is much chance ______ Bill will recover from his injury in time for the race.A．that B．what C．when D．which 答案：A 解析：There is much chance that...“很有可能„„”，that引导同位语从句。

11．The little boy came riding at full speed down the motorway on his bicycle.______ it was!A．What a dangerous scene B．What dangerous a scene C．How a dangerous scene D．How dangerous the scene 答案：A 解析：scene为可数名词，其感叹句的正确表达应为：What a dangerous scene it was！或How dangerous the scene was！或How dangerous a scene it was!12．______ if you passed the exam you would receive a reward was telling lies.A．Whoever told you that B．Those who told you that C．No matter who told you D．Whoever that told you 答案：A 解析：whoever相当于anyone who，引导主语从句。that引导宾语从句，宾语从句又含有一个if引导的条件状语从句。13．The bill would ______ workers twelve weeks of unpaid leave for family emergencies.A．permit B．supply C．admit D．provide 答案：A 解析：permit sb.sth.“允许某人某事”。句意为：如果家有急事，法案允许工人有12周无薪假日。

14．When I came to myself, I found myself ______ and ______ a group of people.A．to be at hospital;surrounded by B．at hospital;surrounding C．at hospital;surrounded by D．at hospital;to be surrounded 答案：C 解析：考查 “find＋宾语＋宾补”结构。第一空用介词短语做宾补；第二空用过去分词表被动。

15．—Would you mind my sitting here ______ lunch? —______.亿库教育网

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http://www.teniu.cc A．and have;No, not at all B．and having;No, thank you C．to have;Never, go ahead D．and have;Oh, it's my pleasure 答案：C 解析：第一空需填 to have或 and having，与 sitting并列；对于 mind 的回答应为 No, not at all.或 Never, go ahead.Ⅲ.完形填空

“How did you do it, Dad? How have you __1__ not to take a drink for almost 20 years？” It took me almost 20 years to have the __2__ to even ask my father this very __3__ question.When Dad first __4__ drinking, the whole family was on pins and needles __5__ he got into a situation that, in the past, would have started him drinking again.For a few years we were __6__ to bring it up for fear that the drinking would begin again.“I had this little __7__ that I would recite to myself __8__ four to five times a day.” was Dad's __9__ to my 18yearold unasked question.“The __10__ were an instant relief and constant reminder to me that things were never so __11__ that I could not handle them，” Dad said.And then he __12__ the poem with me.The poem's simple, yet profound(深奥的)words __13__ became part of my daily routine as well.About a month after this talk with my father, I __14__ a gift in the mail from a friend of mine.It was a book of affirmations(断言)with one affirmation listed for each __15__ of the year.I __16__ opened the book to the page of my birthday to see what words of wisdom this book had in store for me.__17__ of disbelief and appreciation rolled down my face.There, on my birthday, was the __18__ poem that had helped my __19__ for all these years!It is called The Serenity Prayer.God, give me the serenity(平静)to accept the things I cannot change, the courage to __20__ the things I can, and the wisdom to know the difference.1.A.failed B.succeeded C.managed D.tried 2.A.courage B.ability C.wisdom D.confidence 3.A.interesting B.personal C.hard D.unanswered 4.A.started B.enjoyed C.minded D.stopped 5.A.every time B.all time C.next time D.last time 6.A.anxious B.glad C.afraid D.eager 7.A.book B.passage C.poem D.list 8.A.at least B.at most C.at first D.at last 9.A.comment B.praise C.contribution D.reply 10.A.words B.phrases C.letters D.sentences 11.A.strange B.different C.simple D.tough 12.A.shared B.talked C.read D.impressed 13.A.surprisingly B.immediately C.increasingly D.regularly 14.A.brought B.bought C.received D.accepted 15.A.hour B.week C.month D.day 16.A.easily B.hurriedly C.sadly D.peacefully

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http://www.teniu.cc 17.A.Tears B.Smiles C.Sweat D.Satisfaction 18.A.correct B.impossible C.original D.exact 19.A.mother B.father C.friend D.classmate 20.A.believe B.benefit C.change D.do 答案及解析：

1.C。句意为：“你是如何设法做到在过去的20年里不喝一杯酒？”manage to do sth.设法做到某事。

2.A。我过了20年才有勇气去问我的父亲这个非常私人的问题。”作为子女去问这样的问题肯定是有顾虑的，所以作者说的是“勇气”。courage 勇气。3.B。personal个人的，私人的。分析见上题。

4.D。句意为：“当父亲刚开始停止渴酒的时候，全家人如坐针毡，每一次他总会陷入一种情形之中，他会再次渴酒。every time每次/ 5.A。every time每次。分析见上题。

6.C。几年来我们都不敢提出这个话题，因为我们害怕父亲会再次渴酒。7.C。根据后文可知用poem。

8.A。每天至少背四到五次来强调父亲的决心。

9.D。与question相对应的词是答案，即：answer或reply。10.A。用words来指父亲要背诵的那首诗。11.D。首先确定句意，父亲指的是事情并非如此艰难以至于事情是可以控制的。tough艰难的，不容易的。12.A。句意为：“然后父亲把那首诗拿来和我分享。”share sth.with sb.和某人分享某事物。

13.B。父亲的那首诗立刻变成作者日常行为的一部分。这句话是用来体现这首诗对作者的影响也很大。

14.C。我收到了一件邮件。客观的收到用receive。

15.D。这是一本电子书，上面列出了适合每一天的宣言。言外之意是每天都可以背一个相对应的宣言。

16.B。句意为：“我快速地翻到与我生日相对应的那一天，想看看送给我的睿言是什么。” 17.A。句意为：“难以置信的和感激的眼泪顺着我的脸流了下来。” 18.D。句意为：“在我生日那一天的书页上正是帮助我父亲度过这些年的那首诗歌。” 19.B。见上题分析。

20.C。与上一句话的change对应。意为：“给我以平静，让我接受我不能改变的事情，给我勇气来让我改变我能改变的事情。” Ⅳ.短文改错

I was recent told that listening to loud music is gradually 1.______ making people hard of hearing.I'm sure it has already been 2.______ happened to my neighbor.For years she has turned a deaf 3.______ ear to my requests to turn her radio down.When she gave a 4.______ party she isn't have to invite the rest of the street.Everyone 5.______ 答案

recent→recently 去掉been √

gave→gives

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http://www.teniu.cc isn't→doesn't can dance in her music in his own room.Now a scientist has 6.______ discovered a certain electronic sounds have strange effects on 7.______ rats.He declares they break down, almost paralyze(瘫)with 8.______ legs trembled.Then it is simply a matter of throwing them 9.______ out by their tail.I wonder if the same thing will happen to 10.______ 答案：my neighbor some day.第一个in→to 去掉a with后加their trembled→trembling tail→tails

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第四篇：高考英语课本回归早读晚练1

高考英语课本回归早读晚练1 早读：

Ⅰ.词汇短语过关

1．upset adj.心烦意乱的；不安的，不适的 vt.使不安；使心烦，打乱(upset;upset)be upset about 对„„感到心烦

It upsets sb.that 让某人心烦的是„„ It upsets sb.to do sth.做„„使某人不快 upset the plan 搅乱了计划 [即学即练1]

(1)I ______ ______ ______ the bad news.我对那则坏消息感到心烦意乱。

(2)It ______ ______ that he had left without saying goodbye.他的不辞而别让她心情沮丧。(3)If the rain keeps falling, it will ______ the whole plan.如果继续下雨，这将会打乱我们的整个计划。

答案：am upset about；upset her；upset 2．ignore vt.不理睬；忽视；不顾(强调“装作不知道或没看到”)ignorant adj.无知的；愚昧的；不知道的 ignorance n.无知；愚昧；不知道

ignore sb./sth.不理睬某人/假装不知道或未见

be ignorant of/about sth.＝be in ignorance of sth.不知道某事 [即学即练2]

(1)She saw him coming but she ________him.她看见他走来，但没有理睬他。

(2)He is ______ ______ farm life.＝He is ___ _________ ______ farm life.他对农庄生活一无所知。

答案：ignored；ignorant of；in；ignorance；of 3．concern vt.(使)担忧；涉及；关系到 n.担心；关注；(利害)关系 concerning prep.关于

concerned adj.关心的；挂念的；有关的

show/express concern about/for 对„„表示关心/担心 have concern with 和„„有关系 with concern 关切地

concern oneself about/for 担忧/关心„„ concern oneself with 从事，参与„„ concern sb./sth.与„„有关

be concerned about/over/for 关心，挂念 be concerned with/in 牵扯进/参与„„ all parties concerned 有关各方

as/so far as...be concerned 就„„而言 [即学即练3]

(1)Don't concern yourself ______ other people's affairs.别干涉他人的事。

(2)I always concern myself ______ my son's future.我总是担忧我儿子的将来。

(3)He doesn't bother about things that don't ______ him.他不关心那些与他无关的事。(4)As far as ____________，the sooner, the better.就我而言，越快越好。(5)________________ your letter, I'm pleased to inform you of what you are interested in.关于你的信，我乐于奉告你所感兴趣的东西。

答案：with；about；concern；I’m concerned；Concerning 4．series n.系列；连续

a series of 一连串的；一系列的 a series of exams 一连串的考试 a TV series 一部电视连续剧

注意：(1)series 属于单复数同形的单词，类似的单词还有 means, species, works(工厂)，deer, fish, sheep 等。

(2)“a series of＋复数名词”做主语时，谓语动词用单数，但“these/those series of＋复数名词”做主语时，谓语动词用复数。[即学即练4]

(1)Then began ______ ______ ______ wet days that spoiled our vacation.之后就是一连串的下雨天，把我们的假期弄得一团糟。

(2)There ______ a series of car accidents at the crossing this morning.今天早晨在十字路口发生了一连串的交通事故。答案：a series of；was 5．settle vi.安家；定居；停留 vt.使定居；安排；解决

settle in/into(使)适应(新的家、工作、环境等)，习惯于；安顿下来 settle down 安居下来；定居，过安定生活，舒适地坐下或躺下 settle on/upon 同意，决定；在某处停留/栖息 settle down to n．/v.－ing get down to n．/v.－ing开始认真做„„，专心于„„ settle one's affairs 安排/解决好自己的事情 settle a dispute/an argument 解决争端 [即学即练5]

(1)She ____________ the city after her father's death.父亲去世后她就在城市里定居了。(2)They __________________ in a friendly way.他们友好地解决了他们的争端。(3)Let's __________________ the work.我们开始工作。

答案：settled in；settled their quarrel；settle down to 6．suffer vt.& vi.遭受；忍受；经历

suffering n.(身体、精神上的)痛苦，苦恼、苦难的经历

suffer pain/loss/defeat/punishment/hardship 遭受痛苦/损失/失败/惩罚/艰难 suffer from 受„„折磨，受„„之苦；患„„疾病 [即学即练6]

(1)They _____________ a great loss in the earthquake.在地震中他们蒙受了巨大损失。(2)I'll _________ this rudeness no longer.我再也不能忍受这种粗鲁了。(3)He's ____________ a bad cold.他正患重感冒。

(4)Wars caused ___________ to this country.战争给这个国家带来了苦难。答案：suffered；suffer；suffering from；suffering 7．recover vi.&vt.痊愈；恢复；重新获得 recovery n.恢复，复原；复得

recover from sth.从„„中恢复到正常状态(如健康、神智等)recover sth.from...从„„中找回、重新获得 recover oneself 清醒过来

recover one's health/senses 恢复健康/知觉 [即学即练7]

(1)Liu Xiang is still __________________ his operation.手术后，刘翔仍在恢复之中。

(2)He seemed upset but quickly ___________________.他显得心烦意乱，但很快静下心来。(3)He has ______ a slow ____________ the strain.他慢慢从紧张中恢复过来。答案：recovering from；recovered himself；made；recovery from 8．add up 合计

add sth.up 把„„加起来 add up to 加起来共计/达 add...to...把„„加在/上„„ add to 增加；增添 add that...补充说 [即学即练8]

(1)Can you ______ these figures ______？你能把这些数字加起来吗？

(2)All these figures _______________ 5 000.所有这些数字加起来共计5 000。(3)He ______ some sugar ______ the coffee.他给咖啡里加了些糖。

(4)The bad weather ____________ our difficulty.坏天气增加了我们的困难。(5)He ______ that he was satisfied with the talk.他补充说他对会谈很满意。答案：add；up；add up to；added；to；added to；added 9．go through ＝experience 经历，经受 ＝examine carefully 仔细检查 ＝look through 浏览，翻阅 ＝pass(through)通过，经过 ＝be used up 用完 [即学即练9]

写出下列各句中 go through 的意思。

(1)We went through hardships while working on this project.________________(2)The teacher has gone through all the papers of the students.____________(3)He has the habit of going through morning papers after getting up.________________(4)It took us three days to go through the forest.____________(5)I've gone through my ink.______________ 答案：经历，经受；仔细检查；浏览，翻阅；通过，穿过；用完 拓展：break through 冲破 get through 完成，通过 live through 活过„„ look through 浏览 cut through 穿过

put through 接通电话 10．set down(1)＝write down 写下，记下(2)＝put down 放下，搁下

(3)＝stop and allow sb.to get off 让某人下车(4)＝explain or describe to oneself as 解释为，认为(与 as 连用)[即学即练10](1)Why don't you ______ your ideas ______ on paper? 为什么你不把你的想法写在纸上呢？(2)______ that heavy bag ______ to have a rest.把那沉重的袋子放下，休息一会儿。(3)Please ______ me ______ at the next corner.请在下一个拐角处让我下车。(4)I ______ the man ______ as a salesman.我认为那个人是位售货员。答案：set；down；Set；down；set；down；set；down 拓展：set about doing sth.开始干某事(＝set out to do sth.)set off开始；出发(＝set out)；引爆

set out出发；开始(后接to do)；陈列；阐述 set up建立，创设，开办 set back把(钟表指针)往回拨 set aside留出；不顾；取消 set free释放；解放

set sb.a good example为„„树立好榜样 11．in order to 为了„„

(1)in order to 引导的目的状语，可置于句首或句末，可换成 to(do sth.)。so as to 引导的目的状语，其位置一般在句末。

(2)否定结构：in order not to do 和 so as not to do。(3)前后两部分主语一致时，才能用 in order to 或 so as to 来引导，否则，改用 so that 或 in order that 来引导。[即学即练11] 翻译句子。

(1)为了看清楚，我戴上了眼镜。____________________(2)为了不丢掉工作，她向老板说了谎。_______________ 答案：(1)In order to see it clearly, I put on my glasses.＝I put on my glasses in order to see it clearly.＝I put on my glasses so as to see it clearly.＝I put on my glasses to see it clearly.＝To see it clearly I put on my glasses.(2)In order not to lose the job, she lied to the boss.12．get along/on with 与„„相处 get along/on well/nicely with....进展(谈及或问及工作情况)[即学即练12]

(1)How is the work ____________？工作进展如何？

(2)How are you __________________ your studies?你功课学得怎样？(3)Selfish men are hard to __________________.自私的人很难相处。答案：getting along；getting along with；get along with 易错点拨

自我完善•误区备考 1.calm/quiet/still/silent 这几个词都与“静”有关，但它们所描述的物体、场合是不同的。(1)calm常指“天气平静，无风；海无浪；镇定，无忧虑；镇定自若”，强调外表的平静。(2)quiet表示“静止的；宁静的；不激动，没有烦恼、忧虑的”，强调没有干扰，没有兴奋活动或闹声的“宁静”或“心神安逸”。(3)still表示“静止不动的/地”“平静的/地”，突出不发出动作。(4)silent表示“声音极小的，沉默的，寡言的”。[应用1]

(1)Ask the children to make less noise and keep ______.(2)Although she was frightened, she answered in a ______ voice.(3)John is a ______，thoughtful boy.(4)Please stand ______ while I am ready to take the photograph.答案：quiet；calm；silent；still 2.power/right/strength/force/energy(1)power主要指做事所依靠的能力、功能，也可指人或机器等事物潜在的或发挥出来的力量，还可指职权、权力或政权。(2)right指“权利”。

(3)strength指固有的潜力。说人时，指“力气”，说物时，指“强度”。

(4)force主要指自然界的力量；暴力、势力以及法律、道德或感情的力量；军事力量等。(5)energy主要指人的精力或自然界中的能量。[应用2]

(1)You’ll need to apply all your ______ to this job.(2)You have no ______ to treat me like this.(3)Congress has ______ to declare war.(4)The ______ of the explosion broke all the windows.(5)A washing machine is a saver of time and ________.答案：energy；right；power；force；strength 3.join in/take part in/attend/join(1)join in指参加正在进行着的活动，如游戏、讨论、辩论、谈话等。也可用 join sb.in doing sth.。

(2)take part in指参加会议或群众性活动，并在其中发挥一定的作用。part 前若有修饰语，要加不定冠词。

(3)attend正式用语，指参加会议、仪式、婚礼、上课、上学、听报告等，重在强调“参与”的动作，不强调参加者的作用。

(4)join指参加某组织或团体，并成为其一员。其宾语往往是 the army/Party/team/club/sb.。[应用3]

(1)Would you ______ us ______ the game?(2)All the students ______________________ school activities.(3)There are many people __________ the meeting.(4)My brother ______ the army last year.答案：join；in；took an active part in；attending；joined 4．连词＋doing/done [应用4](1)Though ______ money, his parents managed to send him to university.A．lacked B．lacking of C．lacking D．lacked in 解析：当从句的主语和主句的主语相同时，且从句的谓语是be动词时，可以省略从句主语和be动词，本句补全应该为：Though(they were)lacking...答案：C(2)While ______ the book on the top shelf, you need to be very careful.A．to reach B．reaching C．reach D．are reaching 解析：reach和you是主谓关系，要用现在分词做状语。答案：B(3)Generally speaking, ______ according to the directions, the drug has no side effect.A．when taking B．when taken C．when to take D．when to be taken 解析：take和drug是动宾关系，要用过去分词做状语。可看做是when it is taken的省略。答案：B(4)The research is so designed that once ______ nothing can be done to change it.A．begins B．having begun C．beginning D．begun 解析：考查过去分词补充成条件状语从句的用法。句子应为once(the research is)begun。答案：D 晚练：

自我测评•技能备考 Ⅰ.单词拼写

1．The snow is very ______(疏松)and there is a lot of air in it.2．His life is _________(完全地)given up to work.3．The ___________(幕布)rises and the play begins.4．That's __________(正是)what I expected.5．To send me to college, my parents _________(受苦)a lot.6．Our workmate has been in danger.We're all c_____________ about his health.答案：loose；entirely；curtain；exactly；suffered；concerned 7．They come from Germany.They are G____________.8．On hot summer nights, people like to sit o____________，chatting and enjoying the cool air.9．I'm g ________________ for your help.10．Their age is from 13 to 19.They are called t_________________.答案：Germans；outdoors；grateful；teenagers Ⅱ.单项选择

1．—My children are always arguing.—______ A．Just ignore them.B．That's right.C．Are you sure? D．How old is the boy? 答案：A 解析：对方在抱怨孩子们总吵架，应回答A项“别理他们”。

2．Because he didn't finish the work on time and was fired by the company, he was very ______ about it.A．upset B．worried C．anxious D．nervous 答案：A 解析：由题意“没有按时完成工作就被公司解雇了”可知，选upset“苦恼的，心烦意乱的”。3．Please ______ all the figures to see how much they ______.A．add;add up to B．add up;add up to C．add up;add up D．add;add to 答案：B 解析：第一空填add up“把„„加起来”；第二空填add up to “加起来总计”。4．Excuse me, can you tell me ______？ A．where the nearest post office is B．how far the Capital Airport was C．how can I get to the station D．where is the station 答案：A 解析：考查直接引语变间接引语时从句用陈述语序，排除C、D项。B项时态不对。5．(202_•河北正定中学)All my pockets have been ______ but I can't find my keys.A．got through B．given out C．gone through D．gone down 答案：C 解析：考查动词短语辨析。语意：我找遍了所有的口袋，但是没有发现钥匙。此处的go through表示“仔细检查；搜查”。get through表示“通过；到达”，give out表示“分发”，go down表示“下降”，都不符合语意。

6．He got ______ while ______ the fire.A．burning;putting out B．burnt;put out C．burning;put out D．burnt;putting out 答案：D 解析：第一空got burnt＝be burnt“受伤”；第二空省略了he was。7．—This is the first time I ______ my first picture with my own hands.—It's time that you ______ a picture for me.A．took;took B．have taken;took C．took;will take D．will take;have taken 答案：B 解析：This is the first time后面的从句中用现在完成时；It's time后面的从句中用一般过去时。8．(202_•甘肃河西五市联考)It was lack of money, not of effort, ______ defeated their plan.A．which B．as C．that D．what 答案：C 解析：容易误选A，受空格前逗号的影响，误认为这是一个非限制性定语从句。其实，整个句子为强调句，被强调成分为lack of money, not of effort。

9．(202_•郑州一中)The comments which she made ______ the 202_ Super Voice Girl bored a lot of fans to death.A．being concerned B．to be concerned C．concerned D．concerning 答案：D 解析：考查非谓语动词。题干中which she made与concerning均作定语修饰comments，因concern与其逻辑主语之间为主谓关系，故用v－ing形式作后置定语。

10．______such heavy loss in the hurricane, the farmer didn't expect to have a good harvest.A．Suffering B．Having suffered C．Suffered D．To suffer 答案：B 解析：考查非谓语动词。此句用现在分词的完成式 having suffered 做状语，表主动及影响和结果。

11．All these gifts must be mailed immediately ______ in time for Christmas.A．in order to have received B．in order to receive C．so as to be received D．so as to be receiving 答案：C 解析：考查 in order to/so as to 引导目的状语时，前后两部分主语必须一致。因为前面主语是 all these gifts，所以应选C项，表示“被收到”。

12．(202_•浙江卷)______ and short of breath, Andy and Ruby were the first to reach the top of Mount Tai.A．To be tired B．Tired C．Tiring D．Being tired 答案：B 解析：此处是形容词词组做状语，相当于although Andy and Ruby were tired and short of breath。

13．(202_•全国卷Ⅰ)What do you mean, there are only ten tickets? There ______ be twelve.A．should B．would C．will D．shall 答案：A 解析：考查情态动词。should表示“(与预期相反)本应，本当”。14．(202_•全国卷Ⅰ)I tried phoning her office, but I couldn't ______ A．get along B．get on C．get to D．get through 答案：D 解析：考查动词词组。get along“相处融洽，进展”；get on“继续，进行，上车”；get to“到达，开始”；get through “穿过，通过，读完，打通(电话)”。根据语意：我试着给她办公室打电话，但是没有打通。因此只有 get through 符合语意。

15．(202_•全国卷Ⅰ)Now that we've discussed our problem, are people happy with the decisions ______？

A．taking B．take C．taken D．to take 答案：C 解析：考查非谓语动词的形式。语意为：既然我们已经讨论了我们的问题，那么人们对于做出的决定满意吗？因表示被动的含义，空白处应用过去分词做后置定语。III.完形填空

主旨匹配法。完形填空题的设空很多是与文章的主旨相关的，这就要求考生要先通读文章，理解其大意，把握其主旨。在进行选项的判断和确认时，务必要紧扣文章的主题。凡是与主旨不匹配的选项通常是不正确的。

Most people give little thought to the pens they write with，especially since the printers in modern homes and offices mean that very __36__打印机的使用让人们很少手写东西了。things are handwritten.All too often，people buy a pen based only on __37__，通常人们只根据钢笔的外观来决定买是不买。and wonder why they are not satisfied __38__一旦买了又不太满意。they begin to use it.However，buying a pen that you’ll enjoy is not __39__按照下列方法就不难买到满意的钢笔。if you keep the following in mind.First of all，a pen should fit comfortably in your hand and be __40__要好用，用起来方便。to use.The thickness of the pen is the most important characteristic(特征)__41__决定舒适度。comfort.Having a small hand and thick fingers，you may be comfortable with a thin pen.If you have a __42__手比较大。hand and thicker fingers，you may __43__你可能喜欢粗一些的笔。a fatter pen.The length of a pen can __44__长度也会影响舒适度。influence comfort.A pen that is too __45__太长的笔会让人感觉头部太沉，握不稳。can easily feel top­heavy and unstable.Then，the writing point① of the pen should __46__让墨水均匀流淌。the ink to flow evenly(均匀的)while the pen remains in touch② with the paper.__47__这使你有可能写出„„。will make it possible for you to create a __48__一行流畅的字。line of writing.The point should also be sensitive enough to __49__笔尖还要很敏感，当抬起笔时，不能有墨水流出。ink from running when the pen is lifted.A point that does not block the __50__不能阻止墨水流出的笔尖会留下滴滴墨水。may leave drops of ink，__51__当拿起笔再放下时。you pick the pen up and put it down again.__52__，最后。the pen should make a thick，dark line③.Fine­line pens may __53__写出细线条的笔可能会弥补差的书法。bad handwriting，but fine，delicate lines do not command④ __54__但纤细线条的字却不能引起注意。next to printed text，as，__55__，例如，在打印的信上的签名。a signature on a printed letter.A broader line，on the other hand，gives an impression of confidence and authority(权威)．(202_·安徽卷)

文章概述

怎样才能买到自己喜欢的钢笔呢？钢笔握在手中要让人感觉舒服，其粗细、长短就显得很重要。钢笔写起字来要均匀流畅，抬起笔时不能有墨水漏出，笔尖的质量就很重要了。钢笔写出来的字的线条要粗一点、黑一点，这样能给人自信、权威的印象。难点剖析

①the writing point of the pen“笔尖”。②remain in touch with“与„„保持接触”。

③make a thick，dark line“写出来的字线条又粗又黑”。④command“博得；得到；值得”。长句注解

Most people give little thought to the pens they write with，especially since the printers in modern homes and offices mean that very few things are handwritten.大多数人很少考虑他们写字用的钢笔，特别是因为现代家庭和办公室都拥有了打印机，这意味着手写的东西几乎很少了。36．A.many

B．few

C．pleasant

D．important 37．A.looks

B．reason

C．value

D．advantages 38．A.once

B．if

C．because

D．though 39．A.convenient

B．practical

C．strange

D．difficult 40．A.heavy

B．easy

C．hard

D．safe 41．A.taking

B．finding

C．determining D．seeking 42．A.strong

B．weaker

C．smaller

D．larger 43．A.prefer

B．recommend

C．prepare

D．demand 44．A.hardly

B．also

C．never

D．still 45．A.thick

B．light

C．long

D．soft 46．A.change

B．allow

C．reduce

D．press 47．A.they

B．one

C．this

D．some 48．A.from

B．rough

C．black

D．smooth 49．A.prevent B．free

C．protect

D．remove 50．A.way

B．sight

C．flow

D．stream 51．A.so

B．as

C．and

D．yet 52．A.Meanwhile

B．Generally

C．Afterwards D．Finally 53．A.show up B．differ from

C．break down D．compensate for 54．A.attention

B．support

C．respect

D．admission 55．A.at most

B．for example

C．in brief

D．on purpose 答案：36.B 37.A 38.A 39.D 40.B 41.C 42.D 43.A 44.B 45.C 46.B 47.C 48.D 49.A 50.C 51.B 52.D 53.D 54A 55.B 错因分析：

41,44,46,49,54题较容易做错，这几个题都与文章的主旨紧密相关。全文的主旨就是“怎样挑选出令人满意的、好用的钢笔”：钢笔的长短粗细，笔尖的质量，写出来的线条粗细等是判断钢笔优劣的标准。

第五篇：高考数学回归课本教案：立体几何

高考数学回归课本教案

立体几何

一、基础知识

公理1 一条直线。上如果有两个不同的点在平面。内．则这条直线在这个平面内，记作：aa．

公理2 两个平面如果有一个公共点，则有且只有一条通过这个点的公共直线，即若P∈α∩β，则存在唯一的直线m，使得α∩β=m,且P∈m。

公理3 过不在同一条直线上的三个点有且只有一个平面。即不共线的三点确定一个平面． 推论l 直线与直线外一点确定一个平面． 推论2 两条相交直线确定一个平面． 推论3 两条平行直线确定一个平面．

公理4 在空间内，平行于同一直线的两条直线平行．

定义1 异面直线及成角：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．过空间任意一点分别作两条异面直线的平行线，这两条直线所成的角中，不超过900的角叫做两条异面直线成角．与两条异面直线都垂直相交的直线叫做异面直线的公垂线，公垂线夹在两条异面直线之间的线段长度叫做两条异面直线之间的距离．

定义2 直线与平面的位置关系有两种；直线在平面内和直线在平面外．直线与平面相交和直线与平面平行(直线与平面没有公共点叫做直线与平面平行)统称直线在平面外．

定义3 直线与平面垂直：如果直线与平面内的每一条直线都垂直，则直线与这个平面垂直． 定理1 如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则直线与平面垂直．

定理2 两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行．

定理3 若两条平行线中的一条与一个平面垂直，则另一条也和这个平面垂直．

定理4 平面外一点到平面的垂线段的长度叫做点到平面的距离，若一条直线与平面平行，则直线上每一点到平面的距离都相等，这个距离叫做直线与平面的距离．

定义5 一条直线与平面相交但不垂直的直线叫做平面的斜线．由斜线上每一点向平面引垂线，垂足叫这个点在平面上的射影．所有这样的射影在一条直线上，这条直线叫做斜线在平面内的射影．斜线与它的射影所成的锐角叫做斜线与平面所成的角． 结论1 斜线与平面成角是斜线与平面内所有直线成角中最小的角．

定理4(三垂线定理)若d为平面。的一条斜线，b为它在平面a内的射影，c为平面a内的一条直线，若cb，则ca．逆定理：若ca，则cb．

定理5 直线d是平面a外一条直线，若它与平面内一条直线b平行，则它与平面a平行 定理6 若直线。与平面α平行，平面β经过直线a且与平面a交于直线6，则a//b． 结论2 若直线。与平面α和平面β都平行，且平面α与平面β相交于b，则a//b．

定理7(等角定理)如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，则两个角相等．

定义6 平面与平面的位置关系有两种：平行或相交．没有公共点即平行，否则即相交． 定理8 平面a内有两条相交直线a，b都与平面β平行，则α//β.定理9 平面α与平面β平行，平面γ∩α=a，γ∩β=b，则a//b．

定义7(二面角)，经过同一条直线m的两个半平面α,β(包括直线m，称为二面角的棱)所组成的图形叫二面角，记作α—m—β，也可记为A—m一B，α—AB—β等．过棱上任意一点P在两个半平面内分别作棱的垂线AP，BP，则∠APB(≤900)叫做二面角的平面角． 它的取值范围是[0，π]． 特别地，若∠APB＝900，则称为直二面角，此时平面与平面的位置关系称为垂直，即αβ.定理10 如果一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．

定理11 如果两个平面垂直，过第一个平面内的一点作另一个平面的垂线在第一个平面内． 定理12 如果两个平面垂直，过第一个子面内的一点作交线的垂线与另一个平面垂直． 定义8 有两个面互相平行而其余的面都是平行四边形，并且每相邻两个平行四边形的公共边(称为侧棱)都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱．两个互相平行的面叫做底面．如果底面是平行四边形则叫做平行六面体；侧棱与底面垂直的棱柱叫直棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．底面是矩形的直棱柱叫做长方体．棱长都相等的正四棱柱叫正方体．

定义9 有一个面是多边形(这个面称为底面)，其余各面是一个有公共顶点的三角形的多面体叫棱锥．底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心的棱锥叫正棱锥． 定理13(凸多面体的欧拉定理)设多面体的顶点数为V，棱数为E，面数为F，则 V+F-E=2．

定义10 空间中到一个定点的距离等于定长的点的轨迹是一个球面．球面所围成的几何体叫做球．定长叫做球的半径，定点叫做球心．

定理14 如果球心到平面的距离d小于半径R，那么平面与球相交所得的截面是圆面，圆心与球心的连线与截面垂直．设截面半径为r，则d2+r2＝R2．过球心的截面圆周叫做球大圆．经过球面两点的球大圆夹在两点间劣弧的长度叫两点间球面距离．

定义11(经度和纬度)用平行于赤道平面的平面去截地球所得到的截面四周叫做纬线．纬线上任意一点与球心的连线与赤道平面所成的角叫做这点的纬度．用经过南极和北极的平面去截地球所得到的截面半圆周(以两极为端点)叫做经线，经线所在的平面与本初子午线所在的半平面所成的二面角叫做经度，根据位置不同又分东经和西经． 定理15(祖

原理)夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.定理16(三面角定理)从空间一点出发的不在同一个平面内的三条射线共组成三个角．其中任意两个角之和大于另一个，三个角之和小于3600．

定理17（面积公式）若一个球的半径为R，则它的表面积为S球面=4πR2。若一个圆锥的母线长为l，底面半径为r，则它的侧面积S侧=πrl.4定理18（体积公式）半径为R的球的体积为V球=3R3；若棱柱（或圆柱）的底面积为s，高h，则它的体积为V=sh；若棱锥（或圆锥）的底面积为s，高为h，则它的体积为1sh.V=3

定理19 如图12-1所示，四面体ABCD中，记∠BDC=α，∠ADC=β，∠ADB=γ，∠BAC=A，∠ABC=B，∠ACB=C。DH平面ABC于H。

（1）射影定理：SΔABD•cosФ=SΔABH，其中二面角D—AB—H为Ф。

sinsinsinBsin.（2）正弦定理：sinAsinC（3）余弦定理：cosα=cosβcosγ+sinβsinγcosA.cosA=-cosBcosC+sinBsinCcosα.V13DH•SΔABC

2（4）四面体的体积公式1abc1coscos22=6cos2coscoscos

aa1dsin162（其中d是a1, a之间的距离，是它们的夹角）

3aSΔABD•SΔACD•sinθ(其中θ为二面角B—AD—C的平面角)。

二、方法与例题 1．公理的应用。

例1 直线a,b,c都与直线d相交，且a//b,c//b，求证：a,b,c,d共面。

[证明] 设d与a,b,c分别交于A,B,C,因为b与d相交，两者确定一个平面，设为a.又因为a//b，所以两者也确定一个平面，记为β。因为A∈α，所以A∈β，因为B∈b，所以B∈β，所以dβ.又过b,d的平面是唯一的，所以α，β是同一个平面，所以aα.同理cα.即a,b,c,d共面。

例2 长方体有一个截面是正六边形是它为正方体的什么条件？

[解] 充要条件。先证充分性，设图12-2中PQRSTK是长方体ABCD-A1B1C1D1的正六边形截面，延长PQ，SR设交点为O，因为直线SR平面CC1D1D，又O∈直线SR，所以O∈平面CC1D1D，又因为直线PQ平面A1B1C1D1，又O∈直线PQ，所以O∈平面A1B1C1D1。所以O∈直线C1D1，由正六边形性质知，∠ORQ=∠OQR=600，所以ΔORQ

CRSRRO为正三角形，因为CD//C1D1，所以

C1R=1。所以R是CC1中点，同理Q是B1C1的中点，又ΔORC1≌ΔOQC1，所以C1R=C1Q，所以CC1=C1B1，同理CD=CC1，所以该长方体为正方体。充分性得证。必要性留给读者自己证明。2．异面直线的相关问题。

例3 正方体的12条棱互为异面直线的有多少对？

[解] 每条棱与另外的四条棱成异面直线，重复计数一共有异面直线12×4=48对，而每一

48对异面直线被计算两次，因此一共有224对。

例4 见图12-3，正方体，ABCD—A1B1C1D1棱长为1，求面对角线A1C1与AB1所成的角。

[解] 连结AC，B1C，因为A1A边形，所以A1C1////B1B

//C1C，所以A1A

//C1C，所以A1ACC1为平行四AC。

所以AC与AB1所成的角即为A1C1与AB1所成的角，由正方体的性质AB1=B1C=AC，所以∠B1AC=600。所以A1C1与AB1所成角为600。

3．平行与垂直的论证。

例5 A，B，C，D是空间四点，且四边形ABCD四个角都是直角，求证：四边形ABCD是矩形。

[证明] 若ABCD是平行四边形，则它是矩形；若ABCD不共面，设过A，B，C的平面为α，过D作DD1α于D1，见图12-4，连结AD1，CD1，因为ABAD1，又因为DD1平面α，又ABα，所以DD1AB，所以AB平面ADD1，所以ABAD1。同理BCCD1，所以ABCD1为矩形，所以∠AD1C=900，但AD1

例6 一个四面体有两个底面上的高线相交。证明：它的另两条高线也相交。

[证明] 见图12-5，设四面体ABCD的高线AE与BF相交于O，因为AE平面BCD，所以AECD，BF平面ACD，所以BFCD，所以CD平面ABO，所以CDAB。设四面体另两条高分别为CM，DN，连结CN，因为DN平面ABC，所以DNAB，又ABCD，所以AB平面CDN，所以ABCN。设CN交AB于P，连结PD，作CM'PD于M'，因为AB平面CDN，所以ABCM'，所以CM'平面ABD，即CM'为四面体的高，所以CM'与CM重合，所以CM，DN为ΔPCD的两条高，所以两者相交。例7 在矩形ABCD中，AD=2AB，E是AD中点，沿BE将ΔABE折起，并使AC=AD，见图12-6。求证：平面ABE平面BCDE。

[证明] 取BE中点O，CD中点M，连结AO，OM，OD，OC，则OM//BC，又CDBC，所以OMCD。又因为AC=AD，所以AMCD，所以CD平面AOM，所以AOCD。又因为AB=AE，所以AOBE。因为ED≠BC，所以BE与CD不平行，所以BE与CD是两条相交直线。所以AO平面BC-DE。又直线AO平面ABE。所以平面ABE平面BCDE。

4．直线与平面成角问题。

例8 见图12-7，正方形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，G为BF的中点，将正方形沿EF折成1200的二面角，求AG和平面EBCF所成的角。

//22221[解]设边长AB=2，因为EF

AD，又ADAB。所以EFAB，所以BG=2BF125，又AEEF，BEEF，所以∠AEB=1200。过A作AMBE于M，则∠AEM=600，112，AM=AEsin600=2ME=2AE232.由余弦定理MG2=BM2+BG2-2BM•BGcos∠53519533222344252MBG= =2，所以MG=

2.因为EFAE，EFBE，所以EF平面AEB，所以EFAM，又AMBE，所以AM平面BCE。所以

3264。所以AG与平面EBCF∠AGM为AG与平面EBCF所成的角。而tan∠AGM=2arctan64.所成的角为例9 见图12-8，OA是平面α的一条斜角，ABα于B，C在α内，且ACOC，∠AOC=α，∠AOB=β，∠BOC=γ。证明：cosα=cosβ•cosγ.[证明] 因为ABα，ACOC，所以由三垂线定理，BCOC，所以OAcosβ=OB,OBcosγ=OC,又RtΔOAC中，OAcosα=OC，所以OAcosβcosγ=OAcosα，所以cosα=cosβ•cosγ.5．二面角问题。

例10 见图12-9，设S为平面ABC外一点，∠ASB=450，∠CSB=600，二面角A—SB—C为直角二面角，求∠ASC的余弦值。

[解] 作CMSB于M，MNAS于N，连结CN，因为二面角A—SB—C为直二面角，所以平面ASB平面BSC。又CMSB，所以CM平面ASB，又MNAS，所以由三垂线定理的逆定理有CNAS，所以SC•cos∠CSN=SN=SC•cos∠CSM•cos∠ASB，所以cos

2∠ASC=cos450cos600=4。

例11 见图12-10，已知直角ΔABC的两条直角边AC=2，BC=3，P为斜边AB上一点，沿CP将此三角形折成直二面角A—CP—B，当AB=

7时，求二面角P—AC—B的大小。

[解] 过P作PDAC于D，作PECP交BC于E，连结DE，因为A—CP—B为直二面角，即平面ACP平面CPB，所以PE平面ACP，又PDCA，所以由三垂线定理知DEAC，所以∠PDE为二面角P—AC—B的平面角。设∠BCP=θ，则cos∠ECD=cosθ

232272•cos(900-θ)=sinθcosθ，由余弦定理cos∠ACB=

223112，所以sinθcosθ=2，2所以sin2θ=1.又0<2θ<π，所以θ=4，设CP=a，则PD=2a,PE=a.所以tan∠PE2.PDE=PD

2。所以二面角P—AC—B的大小为arctan6．距离问题。

例12 正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a，求对角线AC与BC1的距离。

[解] 以B为原点，建立直角坐标系如图12-11所示。设P，Q分别是BC1，CA上的点，BP13BC1,CQ13CA且，各点、各向量的坐标分别为A(a,0,0),B(0,0,0),C(0,a,0)，13CA13BC1BC13BA13BC13BC13BB113BC13BA13BB1PQBQBPBC1111113(a,a,a)PQBC1PQCA|PQ|a3333a×a+3a×a=0, 3a3,所以，所以1×a-3a×a=0.所以PQBC1,PQCA。所以PQ为AC与BC1的公垂线段，所以两者3a.距离为3

例13 如图12-12所示，在三棱维S—ABC中，底面是边长为42的正三角形，棱SC的长为2，且垂直于底面，E，D分别是BC，AB的中点，求CD与SE间的距离。

[分析] 取BD中点F，则EF//CD，从而CD//平面SEF，要求CD与SE间的距离就转化为求点C到平面SEF间的距离。

[解] 设此距离为h，则由体积公式

13SCSCEFVSCEF13hSSEF.h233.计算可得SΔSEF=3，SCEF3.所以

7．凸多面体的欧拉公式。

例14 一个凸多面体有32个面，每个面或是三角形或是五边形，对于V个顶点每个顶点均有T个三角形面和P个五边形面相交，求100P+10T+V。

[解] 因F=32，所以32-E+V=2，所以E=V+30。因为T+P个面相交于每个顶点，每个顶点出发有T+P条棱，所以2E=V(T+P).由此得V(T+P)=2(V+30)，即V(T+P-2)=60.由于每个三

VTVP角形面有三条棱，故三角形面有3个，类似地，五边形有5个，又因为每个面或者是三

PTV5=32，角形或者是五边形，所以3由此可得3T+5P=16，它的唯一正整数解为T=P=2，代入V(T+P-2)=60得V=30，所以100P+10T+V250。

8．与球有关的问题。

例15 圆柱直径为4R，高为22R，问圆柱内最多能装半径为R的球多少个？

[解] 最底层恰好能放两个球，设为球O1和球O2，两者相切，同时与圆柱相切，在球O1与球O2上放球O3与球O4，使O1O2与O3O4相垂直，且这4个球任两个相外切，同样在球O3与球O4上放球O5与球O6，……直到不能再放为止。先计算过O3O4与过O1O2的两平行面与圆柱底面的截面间距离为

(3R)R222R。设共装K层，则(22-2)R<2R(K-1)+2R≤22R，解得K=15，因此最多装30个。9．四面体中的问题。

例16 已知三棱锥S—ABC的底面是正三角形，A点在侧面SBC上的射影H是ΔSBC的垂心，二面角H—AB—C的平面角等于300，SA=23。求三棱锥S—ABC的体积。[解] 由题设，AH平面SBC，作BHSC于E，由三垂线定理可知SCAE，SCAB，故SC平面ABE。设S在平面ABC内射影为O，则SO平面ABC，由三垂线定理的逆定理知，COAB于F。同理，BOAC，所以O为ΔABC垂心。又因为ΔABC是等边三角形，故O为ΔABC的中心，从而SA=SB=SC=23，因为CFAB，CF是EF在平面ABC上的射影，又由三垂线定理知，EFAB，所以∠EFC是二面角H—AB—C的平面角，122333故∠EFC=300，所以OC=SCcos600=

13,SO=3tan600=3，又OC=3AB，所

93以AB=3OC=3。所以VS—ABC=34×32×3=4。

例17 设d是任意四面体的相对棱间距离的最小值，h是四面体的最小高的长，求证：2d>h.[证明] 不妨设A到面BCD的高线长AH=h，AC与BD间的距离为d，作AFBD于点F，CNBD于点N，则CN//HF，在面BCD内作矩形CNFE，连AE，因为BD//CE，所以BD//平面ACE，所以BD到面ACE的距离为BD与AC间的距离d。在ΔAEF中，AH为边EF上的高，AE边上的高FG=d，作EMAF于M，则由EC//平面ABD知，EM为点C到面ABD的距离（因EM面ABD），于是EM≥AH=h。在RtΔEMF与RtΔAHF中，由EM

hAHFGAEEFAFEFEF≥AH得EF≥AF。又因为ΔAEH∽ΔFEG，所以d≤2。所以2d>h.注：在前面例题中除用到教材中的公理、定理外，还用到了向量法、体积法、射影法，请读者在解题中认真总结。

三、基础训练题

1．正三角形ABC的边长为4，到A，B，C的距离都是1的平面有__________个.2．空间中有四个点E，F，G，H，命题甲：E，F，G，H不共面；命题乙：直线EF和GH不相交，则甲是乙的__________条件。

3．动点P从棱长为a的正方体的一个顶点出发，沿棱运动，每条棱至多经过一次，则点P运动的最大距离为__________。

4．正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是面ADD1A1、面ABCD的中心，G为棱CC1中点，直线C1E，GF与AB所成的角分别是α，β。则α+β=__________。

5．若a,b为两条异面直线，过空间一点O与a,b都平行的平面有__________个。

6．CD是直角ΔABC斜边AB上的高，BD=2AD，将ΔACD绕CD旋转使二面角A—CD—B为600，则异面直线AC与BD所成的角为__________。

17．已知PA平面ABC，AB是⊙O的直径，C是圆周上一点且AC=2AB，则二面角A—PC—B的大小为__________。

8．平面α上有一个ΔABC，∠ABC=1050，AC=2(6使得SA=SB=SC=

2)，平面α两侧各有一点S，T，41，TA=TB=TC=5，则ST=_____________.9．在三棱锥S—ABC中，SA底面ABC，二面角A—SB—C为直二面角，若∠BSC=450，SB=a，则经过A，B，C，S的球的半径为_____________.10．空间某点到棱长为1的正四面体顶点距离之和的最小值为_____________.11．异面直线a,b满足a//α,b//β,b//α,a//β，求证：α//β。

12．四面体SABC中，SA，SB，SC两两垂直，S0，S1，S2，S3分别表示ΔABC，ΔSBC，ΔSCA，ΔSAB的面积，求证：

S0S1S2S3.2222

13．正三棱柱ABC—A1B1C1中，E在棱BB1上，截面A1EC侧面AA1C1C，（1）求证：BE=EB1；（2）若AA1=A1B1，求二面角EC-A1-B1C1的平面角。

四、高考水平训练题

1．三棱柱ABC-A1B1C1中，M为A1B1的中点，N为B1C与BC1的交点，平面AMN交B1PB1C1于P，则PC1=_____________.1332.空间四边形ABCD中，AD=1，BC=3，且ADBC，BD=2BD所成的角为_____________.，AC=2，则AC与3．平面α平面β，αβ=直线AB，点C∈α，点D∈β，∠BAC=450，∠BAD=600，且CDAB，则直线AB与平面ACD所成的角为_____________.4．单位正方体ABCD—A1B1C1D1中，二面角A—BD1—B1大小为_____________.5．如图12-13所示，平行四边形ABCD的顶点A在二面角α—MN—β的棱MN上，点B，C，D都在α上，且AB=2AD，∠DAN=450，∠BAD=600，若◇ABCD在半平面β上射影为为菜，则二面角α—MN—β=_____________.6．已知异面直线a,b成角为θ，点M，A在a上，点N，B在b上，MN为公垂线，且MN=d，MA=m，NB=n。则AB的长度为_____________.7．已知正三棱锥S—ABC侧棱长为4，∠ASB=450，过点A作截面与侧棱SB，SC分别交于M，N，则截面ΔAMN周长的最小值为_____________.8．l1与l2为两条异面直线，l1上两点A，B到l2的距离分别为a,b，二面角A—l2—B大小为θ，则l1与l2之间的距离为_____________.9．在半径为R的球O上一点P引三条两两垂直的弦PA，PB，PC，则PA2+PB2+PC2=_____________.10．过ΔABC的顶点向平面α引垂线AA1，BB1，CC1，点A1，B1，C1∈α，则∠BAC与∠B1A1C1的大小关系是_____________.11．三棱锥A—BCD中∠ACB=∠ADB=900，∠ABC=600，∠BAD=450，二面角A—CD—B为直角二面角。（1）求直线AC与平面ABD所成的角；（2）若M为BC中点，E为BD中点，求AM与CE所成的角；（3）二面角M—AE—B的大小。

12．四棱锥P—ABCD底面是边长为4的正方形，PD底面ABCD，PD=6，M，N分别是PB，AB的中点，（1）求二面角M—DN—C的大小；（2）求异面直线CD与MN的距离。13．三棱锥S—ABC中，侧棱SA，SB，SC两两互相垂直，M为ΔABC的重心，D为AB中点，作与SC平行的直线DP，证明：（1）DP与SM相交；（2）设DP与SM的交点为D'，则D'为三棱锥S—ABC外接球球心。

五、联赛一试水平训练题

1．现有边长分别为3，4，5的三角形两个，边长分别为4，5，41的三角形四个，边长分52别为6，4，5的三角形六个，用上述三角形为面，可以拼成_________个四面体。

2．一个六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为a的正三角形，这两个多面体

m的内切球的半径之比是一个既约分数n，那么mn=_________。

03．已知三个平面α，β，γ每两个平面之间的夹角都是

2，且=a,b,c，命题甲：的_________条件。

3；命题乙：a,b,c相交于一点。则甲是乙4．棱锥M—ABCD的底面是正方形，且MAAB，如果ΔAMD的面积为1，则能放入这个棱锥的最大球的半径为_________.5．将给定的两个全等的正三棱锥的底面粘在一起，恰得到一个所有二面角都相等的六面体，并且该六面体的最短棱长为2，则最远两个顶点间距离为_________。

6．空间三条直线a,b,c两两成异面直线，那么与a,b,c都相交的直线有_________条。7．一个球与正四面体的六条棱都相切，正四面体棱长为a，这个球的体积为_________。8．由曲线x2=4y,x2=-4y,x=4,x=-4围成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V1，满足x2+y2≤16,x2+(y-2)2≥4,x2+(y+2)2≥4的点(x,y)组成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的V1体积为V2，则V2_________。

9．顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A是底面圆围上的点，B是底面圆内的点，O为底面圆圆心，ABOB，垂足为B，OHPB，垂足为H，且PA=4，C为PA的中点，则当三棱锥C—HPC体积最大时，OB=_________。

10．OA,OB,OC是三个互相垂直的单位向量，π是过点O的一个平面，A',B',C'分别是A，B，C在π上的射影，对任意的平面π，由OA'OB'OC'构成的集合为_________。11．设空间被分为5个不交的非空集合，证明：一定有一个平面，它至少与其中的四个集合有公共点。

12．在四面体ABCD中，∠BDC=900，D到平面ABC的垂线的垂足S是ΔABC的垂心，试证：(AB+BC+CA)2≤6(AD2+BD2+CD2)，并说明等号成立时是一个什么四面体？

13．过正四面体ABCD的高AH作一平面，与四面体的三个侧面交于三条直线，这三条直线与四面体的底面夹角为α，β，γ，求tan2α+tan2β+tan2γ之值。

六、联赛二试水平训练题

1．能否在棱长为1的正方体形状的盒子里放入三个彼此至多有一个公共点的棱长为1的正四面体？

cosPAQ1.2

2222．P，Q是正四面体A—BCD内任意两点，求证：已知锐角，试确定∠APC+∠BPD的最大值和最小值。3．P，A，B，C，D是空间五个不同的点，∠APB=∠BPC=∠CPD=∠DPA=θ，这里θ为4．空间是否存在有限点集M，使得对M中的任意两点A，B，可以在M中另取两点C，D，使直线AB和CD互相平行但不重合。

5．四面体ABCD的四条高AA1，BB1，CC1，DD1相交于H点（A1，B1，C1，D1分别为垂足）。三条高上的内点A2，B2，C2满足AA2：AA=BB2：B2B1=CC2：C2C1=2：1。证明：H，A2，B2，C2，D1在同一个球面上。

6．设平面α，β，γ，δ与四面体ABCD的外接球面分别切于点A，B，C，D。证明：如果平面α与β的交线与直线CD共面，则γ与δ的交线与直线AB共面。