第一篇：二维几何变换课程设计

二维几何变化

一：实验目的

（1）掌握二维平移、比例、旋转几何变换矩阵（2）掌握矩阵乘法的编程实现

（3）掌握相对于任一参考点的比例变换和旋转变换 二：二维几何变化基本理论 1.二维平移变换 一般情况：

2.二维比例变换

关于原点的比例变换：

如果想关于某点进行比例变换，可以先平移到这个点，进行比例变换，再平移回来。

3.二维旋转变换 关于原点的旋转：

如果想关于某点进行旋转变换，可以先平移到这个点，进行旋转变换，再平移回来。

二：实验要求

（1）设计包含齐次坐标的二维点类CP2（2）设计二维几何变换类

（3）设计双缓冲技术，先在MemDC中绘制，然后用BitBlt将图形复制到PDC，同时禁止背景刷新

（4）生成多边形顶点（5）绘制几何变换图形（6）使用定时器动态更新图形 三：实验步骤

（1）设计包含齐次坐标的二维点类CP2（2）设计二维几何变换类

a:二维变换矩阵

b:复合变换矩阵

c:定义二维变换类CtransForm(3)设计双缓冲(4)读入图形顶点(5)绘制图形(6)定时器函数(7)禁止背景刷新函数

四：程序代码

CTestView::CTestView(){

// TODO: add construction code here directionX=1;directionY=1;directionS=1;R = 30;

translateX=1;translateY=1;

rotate = 1;

scale = 1;} CTestView::~CTestView(){ }

void CTestView::DoubleBuffer(){

int flag=0;CDC * pDC = GetDC();CRect rect;if(scale>2)if(scale<-2)

directionS=-1;);

directionS=1;GetClientRect(&rect);pDC->SetMapMode(MM_ANISOTROPIC);pDC->SetWindowExt(rect.Width(),rect.Height());pDC->SetViewportExt(rect.Width(),-rect.Height());pDC->SetViewportOrg(rect.Width()/2,rect.Height()/2);CDC MemDC;CBitmap NewBitmap,*pOldBitmap;MemDC.CreateCompatibleDC(pDC);NewBitmap.CreateCompatibleBitmap(pDC,rect.Width(),rect.Height()pOldBitmap=MemDC.SelectObject(&NewBitmap);MemDC.SetMapMode(MM_ANISOTROPIC);MemDC.SetWindowExt(rect.Width(), rect.Height());MemDC.SetViewportExt(rect.Width(),-rect.Height());MemDC.SetViewportOrg(rect.Width()/2,rect.Height()/2);ReadPoint();tran.Translate(translateX,translateY);tran.Rotate(rotate,CP2(translateX,translateY));tran.Scale(scale,scale,CP2(translateX,translateY));DrawObject(&MemDC);pDC->BitBlt(-rect.Width()/2,-rect.Height()/2,rect.Width(),rect.HeightMemDC.SelectObject(pOldBitmap);NewBitmap.DeleteObject();MemDC.DeleteDC();ReleaseDC(pDC);

BorderCheck();(),&MemDC,-rect.Width()/2,-rect.Height()/2,SRCCOPY);

} if(P!=NULL){

} delete []P;P=NULL;void CTestView::ReadPoint(){

}

void CTestView::DrawObject(CDC * pDC){

// CLine *line=new CLine;CPen pen(PS_SOLID,1,RGB(255,0,0));pDC->SelectObject(&pen);for(int i=0;i

} P[degree].x = 0;P[degree].y = 0;tran.SetMat(P,degree+1);P[i].x=R*cos(i*Dtheta);P[i].y=R*sin(i*Dtheta);// static int y = 0;

} { pDC->MoveTo(ROUND(P[degree].x),ROUND(P[degree].y));pDC->LineTo(ROUND(P[i].x),ROUND(P[i].y));pDC->LineTo(ROUND(P[(i+1)%degree].x),ROUND(P[(i+1)%degre} pen.DeleteObject();// delete line;e].y));

void CTestView::OnDraw(CDC* pDC){

} BOOL CTestView::OnPreparePrinting(CPrintInfo* pInfo){

}

void CTestView::OnTimer(UINT nIDEvent){

// TODO: Add your message handler code here and/or call default degree = 8;translateX += 1*directionX;translateY += 2*directionY;// default preparation return DoPreparePrinting(pInfo);CTestDoc* pDoc = GetDocument();ASSERT_VALID(pDoc);// TODO: add draw code for native data here SetTimer(1,100,NULL);

} rotate += 2;DoubleBuffer();CView::OnTimer(nIDEvent);

scale+=0.5*directionS;void CTestView::BorderCheck(){

if(P[degree].x>50)

} 五：运行结果

{ directionX=-1;

} { directionX=1;

directionY=1;}

directionY=-1;

if(P[degree].x<-50)

六：实验总结

（1）因为首先进行的是平移变换，所以对于比例变换和旋转变换，需要进行相当于右窗格屏幕中的二维几何变换。

（2）本实验的“动画”菜单项的播放按钮的消息映射是在CMainFrame类中完成的。

第二篇：图像的几何变换

山东建筑大学实验报告

学院:信息与电气工程学院 班级:电信091 姓名： 学号：

课程: 数字图像处理 实验日期: 202_年 5 月 日 成绩：

实验三 图像的几何变换

一．实验目的及要求

掌握图像几何变换的基本原理，熟练掌握数字图像的缩放、旋转、平移、镜像和转置的基本原理及其MATLAB编程实现方法

二、实验原理

图像的几何变换是图像处理和图像分析的基础内容之一，它不仅提供了产生某些特殊效果图像的可能，而且可使图像处理和分析的程序简单化，特别是当图像具有一定的规律时，一个图形可以由另一个图像通过几何变换来实现。

图像的几何变换不改变图像的像素值，而改变像素所在位置。从变换的性质分，图像的几何变换有位置变换(平移、镜像、旋转）、形状变换（比例缩放、错切）和复合变换等。图像的位置变换主要包括图像平移变换、图像镜像变换和图像旋转变换等。

三、实验内容

（一）研究以下程序，分析程序功能；输入执行各命令行，认真观察命令执行的结果。熟悉程序中所使用函数的调用方法，改变有关参数，观察试验结果。

1.图像缩放 clear all, close all I = imread('cameraman.tif');Scale = 1.35;

% 将图像放大1.35倍

J1 = imresize(I, Scale, 'nearest');

% using the nearest neighbor interpolation J2 = imresize(I, Scale, 'bilinear');

% using the bilinear interpolation imshow(I), title('Original Image');figure, imshow(J1), title('Resized Image--using the nearest neighbor interpolation ');figure, imshow(J2), title('Resized Image--using the bilinear interpolation ');% 查看imresize使用帮助 help imresize 说明：

注意观察不同插值方法的图像表现；

改变图像缩放因子Scale，重做上述实验。

功能：以上程序主要用最近邻域法和双线性插值法来对图像进行比例缩放。2.图像旋转 clear all, close all 山东建筑大学实验报告

学院:信息与电气工程学院 班级:电信091 姓名： 学号：

课程: 数字图像处理 实验日期: 202_年 5 月 日 成绩：

I = imread('cameraman.tif');Theta = 45;

% 将图像逆时针旋转45。

J1 = imrotate(I, Theta, 'nearest');

% using the nearest neighbor interpolation

%and enlarge the output image Theta =-45;

% 将图像顺时针旋转45。

J2 = imrotate(I, Theta, 'bilinear', 'crop');% using the bilinear interpolation

% and crops the output image

imshow(I), title('Original Image');figure, imshow(J1), title('Rotated Image--using the nearest neighbor interpolation ');figure, imshow(J2), title(' Rotated Image--using the bilinear interpolation ');% 查看imrotate使用帮助 help imrotate 说明：

注意观察不同插值方法和输出图像后处理方法的图像表现； 改变旋转角度大小和方向，重做上述实验。

功能：旋转(rotation)有一个绕着什么转的问题，通常的做法是以图像的中心为圆心旋转，将图像上的所有像素都旋转一个相同的角度。图像的旋转变换是图像的位置变换，但旋转后，图像的大小一般会改变。和图像平移一样，在图像旋转变换中既可以把转出显示区域的图像截去，旋转后也可以扩大图像范围以显示所有的图像。

3．图像水平镜象

clear all, close all I = imread('cameraman.tif');I1 = flipdim(I,2);

I2 = flipdim(I,1);figure(1), subplot(1,2,1), imshow(I);subplot(1,2,2), imshow(I1);figure(2), subplot(2,1,1), imshow(I);subplot(2,1,2), imshow(I2);功能：图像的镜像变换不改变图像的形状。图像的镜像(Mirror)变换分为两种：水平镜像，垂直镜像。图像水平镜像是指图像的水平镜像操作是将图像左半部分和右半部分以图像垂直中轴线为中心进行镜像对换。图像垂直镜像是指图像的垂直镜像操作是将图像上半部分和下半部分以图像水平中轴线为中心进行镜像对换。

(二)用MATLAB编程实现以下图像几何变换

1．图像平移 山东建筑大学实验报告

学院:信息与电气工程学院 班级:电信091 姓名： 学号：

课程: 数字图像处理 实验日期: 202_年 5 月 日 成绩：

2．图像转置

图像的转置是将给定图像像素的x坐标和y坐标互换的几何变换，设点P0(x0, y0)转置后的对应点为P(x, y)，转置变换可表述为：

xy0

或

yx0x010x0x0010xy100y，y100y

或

对应的逆变换为：001001110011x0y y0x转置后图像的宽、高发生改变，即输出图像的高度为原始图像的宽度，输出图像的宽度为原始图像的高度。

四、实验设备

1．PIII以上微机； 2．MATLAB6.5；

五、实验心得体会及意见

通过这个实验，掌握了图像几何变换的基本原理和数字图像的缩放、旋转、平移、镜像和转置的基本原理及其MATLAB编程实现方法。

第三篇：二维 动画课课程设计题目

二维动画课程设计：

“公益动画短片” 要求：

1.给Flash动画配上声音、音效、音乐,片长时间为1分30秒左右。2.具体剧本内容可自己拟定。（备注：延续动画概论课程的第二次“画分镜头剧本”的作业，把静态分镜头画面完善成动态的动画短片）。3.充分运用课程知识，体现运动规律的合理性，动画的夸张性； 4.运用分镜头画面的知识来设计镜头，使用Flash软件完成动态画面。

5.完成课程设计相关说明，内容包括：操作步骤、制作过程中的图片、制作体会，参考文献等等，并说明使用的软件版本。

课程设计说明的格式要求：

第一章 公益动画短片的设计方案

（参考传统二维动画制作流程，完成前期设计阶段的描述，要求附上文字剧本、分镜头画面剧本，分镜头格式按照之前要求规范化书写）第二章 制作步骤

2.1 角色造型与场景造型的设定

2.2 按分镜头画面完成镜头的运动与组接，以及场景的转换 2.3 每一个镜头中的动画部分 2.4 声音、音效、音乐的加入 第三章

总结（心得体会）

6.应交文件：一个光盘【动画源文件（.fla）、发布文件（.swf）、课程设计说明文档电子版】； 一份打印稿纸质的文档；

备注：要自己独立完成；文件要齐全，装入课程设计袋中。

第17周星期五（12月28日）交

课 程 设 计（说 明）

题 目

姓 名 学 号

所在学院 专业班级 指导教师 日 期

年 月 日

第四篇：计算机图形学课程设计 图形绘制变换分解

计算机图形学 实验报告

课程名称 : 计算机图形学 实验名称 : 图形绘制与变换 学 院 : 电子信息工程学院 专 业 : 计算机科学与技术 班 级 : 11计科本 01班 学 号 : 111102020103 姓 名 : 张慧 指导教师 : 王征风

二零一四年

目录

一、引言----------------3

二、设计需求---------3

2.1 设计目标--3 2.2 设计环境--3

2.2.1 VC++6.0------------------------3 2.2.2 MFC------------------------------4 2.3 设计题目及要求----------------------4 2.4 总体流程图----------------------------4

三、课程设计原理---5

3.1 实现的算法------------------------------5

3.1.2 Bresenham算法画直线------5 3.1.3 中心点算法画圆和椭圆------5 3.2 图形变换的基本原理------------------7

3.2.1平移变换------------------------7 3.2.2 旋转变换----------------------8 3.2.3 比例变换----------------------8

四、总体设计与功能实现-------------------------8

4.1 主要界面设计---------------------------8 4.2 设置颜色界面---------------------------8

4.2.1 界面设置代码------------------8 4.2.2 运行结果------------------------9 4.3 二维线画图元实现---------------------9 4.4 画多边形功能的实现--------------13 4.5 画Bezier曲线功能的实现-------14 4.6 二维图形变换的实现--------------16 4.7 三维图形的变换--------------------17

五、实验心得体会

一、引言

计算机图形学(Computer Graphics，简称CG)是一种使用数学算法将二维或三维图形转化为计算机显示器的栅格形式的科学。简单地说，计算机图形学的主要研究内容就是研究如何在计算机中表示图形、以及利用计算机进行图形的计算、处理和显示的相关原理与算法。是计算机科学的一个分支领域，主要关注数字合成与操作视觉的图形内容。计算机图形学研究的是应用计算机产生图像的所有工作，不管图像是静态的还是动态的，可交互的还是固定的，等等。图形API是允许程序员开发包含交互式计算机图形操作的应用而不需要关注图形操作细节或任务系统细节的工具集。计算机图形学有着广泛的应用领域，包括物理、航天、电影、电视、游戏、艺术、广告、通信、天气预报等几乎所有领域都用到了计算机图形学的知识，这些领域通过计算机图形学将几何模型生成图像，将问题可视化从而为各领域更好的服务。

计算机图形学利用计算机产生让人赏心悦目的视觉效果，必须建立描述图形的几何模型还有光照模型，再加上视角、颜色、纹理等属性，再经过模型变换、视图变换、投影操作等，这些步骤从而实现一个完整的OpenGL程序效果。OpenGL是一个开放的三维图形软件包，它独立于窗口系统和操作系统，以它为基础开发的应用程序可以十分方便地在各种平台间移植。计算机图形学通过应用OpenGL的功能，使得生成的图形效果具有高度真实感。学习计算机图形学的重点是掌握OpenGL在图形学程序中的使用方法。事实上，图形学也把可以表示几何场景的曲线曲面造型技术和实体造型技术作为其主要的研究内容。同时，真实感图形计算的结果是以数字图像的方式提供的，计算机图形学也就和图像处理有着密切的关系。

通过21世纪是信息的时代，在日新月异的科技更新中相信计算机会发挥越来越重要的作用，计算机图形学也会在更多的领域所应用，虽然我国在这方面还比较薄弱，但相信会有越来越好的时候的。

二、设计需求

2.1 设计目标

以图形学算法为目标，深入研究。继而策划、设计并实现一个能够表现计算机图形学算法原理的或完整过程的演示系统，并能从某些方面作出评价和改进意见。通过完成一个完整程序，经历策划、设计、开发、测试、总结和验收各阶段，达到：巩固和实践计算机图形学课程中的理论和算法；学习表现计算机图形学算法的技巧；培养认真学习、积极探索的精神。

2.2 设计环境

2.2.1 VC++6.0 VC++6.0是 Microsoft 公司推出的一个基于 Windows 系统平台、可视化的 集成开发环境，它的源程序按 C++语言的要求编写，并加入了微软提供的功能 强大的 MFC(Microsoft Foundation Class)类库。MFC 中封装了大部分 Windows API 函数和 Windows 控件，它包含的功能涉及到整个 Windows 操作系统。MFC 不仅给用户提供了 Windows 图形环境下应用程序的框架，而且还提供了创建应 用程序的组件，这样，开发人员不必从头设计创建和管理一个标准 Windows 应 用程序所需的程序，而是从一个比较高的起点编程，故节省了大量的时间。另 外，它提供了大量的代码，指导用户编程时实现某些技术和功能。因此，使用VC++提供的 高度可视化的应用程序开发工具和 MFC 类库，可使应用程序开发变 得简单。2.2.2 MFC MFC(Microsoft Foundation Classes)，是 一 个 微 软 公 司 提 供 的 类 库（class libraries）以 C++类的形式封装了 Windows 的 API，它包含了窗口等许多类的定义。各种类的集合构成了一个应运程序的框架结构，以减少应用程序开发人员的工作 量。其中包含的类包含大量 Windows 句柄封装类和很多 Windows 的内建控件和组 件的封装类。MFC 6.0 版本封装了大约 200 个类，其中的一些可以被用户直接使用。例如CWnd 类封装了窗口的功能，包括打印文本、绘制图形及跟踪鼠标指针的移动等；CsplitterWnd 类是从 CWnd 类派生出来的，继承了基类或称父类 CWnd 类的所 有特 性，但增加了自己的功能，实现拆分窗口，使窗口至少可被拆分成两个窗口，用户 可以移动两个窗口之间的边框来改变窗口的大小；CtoolBar 类可以定义工具栏等。MFC 命名的惯例是类的名字通常是由“C”打头；成员变量使用前缀“m_”，接着使用一个字母来指明数据类型，然后是变量的名称；所有的单词用大写字母开头。

2.3 设计题目及要求

（1）题目：实现多边形和曲线的绘制和变换

（2）要求：学会使用VC++编写实现图形的绘制变换，需包括直线、曲线、多边形的绘制和变换，及三维立体图形的相应变换.2.4 总体流程图

三、课程设计原理

3.1 实现的算法

3.1.1 DDA算法画直线

DDA是数字微分分析式（Digital Differential Analyzer）的缩写。

已知直线两端点(x1,y1)、(x2,y2)则斜率m为：m =(y2-y1)/(x2-x1)= Dx/Dy;直线中的每一点坐标都可以由前一点坐标变化一个增量（Dx, Dy）而得到，即表示为递归式： xi+1=xi+Dx yi+1=yi+Dy。

递归式的初值为直线的起点（x1, y1），这样，就可以用加法来生成一条直线。具体算法是： 该算法适合所有象限，其中用了用了两个函数如：Integer(-8.5)=-9;Integer(8.5)=8;Sign(i),根据i的正负，分别得到-1，0，+1； 相应代码：

//DDA DrawLine

{if(abs(x2-x1)> abs(y2-y1))

length = abs(x2-x1);

else

length = abs(y2-y1);

Dx =(x2-x1)/length;

Dy =(y2-y1)/length;

x = x1+0.5*Sign(Dx);

y = x2 + 0.5*Sign(Dy);

i = 1;

while(i <= lenght)

{ setpixel(Integer(x),Integer(y),color);

x= x + Dx;

y= y + Dy;

i+=1;} } 3.1.2 Bresenham算法画直线

思路如下: // 假设该线段位于第一象限内且斜率大于0小于1,设起点为(x1,y1),终点为(x2,y2).// 根据对称性,可推导至全象限内的线段.1.画起点(x1,y1).2.准备画下个点。x坐标增1，判断如果达到终点，则完成。否则，由图中可知,下个要画的点要么为当前点的右邻接点,要么是当前点的右上邻接点.如果线段ax+by+c=0与x=x1+1的交点的y坐标大于M点的y坐标的话,下个点为U(x1+1,y1+1),否则,下个点为B(x1+1,y1),3.画点(U或者B).4.跳回第2步.5.结束.3.1.3中心点算法画圆和椭圆

（1）中心点算法画圆

在一个方向上取单位间隔，在另一个方向的取值由两种可能取值的中点离圆的远近而定。实际处理中，用决策变量的符号来确定象素点的选择，因此算法效率较高。生成圆弧的中点算 法和上面讲到的生成直线段的中点算法类似。

考虑第一象限内x[0,R/2]的八分之一圆弧段。经过计算，得出判别式的递推公式为：

di1di2xi3di2(xiyi)5d0d0

(xi, M SE yi,r)E 这两个递推公式的初值条件为：

(x0,y0,r)(0,R)d05/4R

编写成员函数如下：

void CMy2_9View::MidPointEllipse(CDC *pDC, double a, double b, int color){ double x,y,d,xP,yP,squarea,squareb;

squarea=a*a;

squareb=b*b;

xP=(int)(0.5+(double)squarea/sqrt((double)(squarea+squareb)));

yP=(int)(0.5+(double)squareb/sqrt((double)(squarea+squareb)));

x=0;

y=b;

d=4*(squareb-squarea*b)+squarea;

pDC->SetPixel(x,y,color);

while(x<=xP)

{if(d<=0)d+=4*squareb*(2*x+3);

else

{d+=4*squareb*(2*x+3)-8*squarea*(y-1);

y--;}

x++;

pDC->SetPixel(x,y,color);}

x=a;

y=0;

d=4*(squarea-a*squareb)+squareb;

pDC->SetPixel(x,y,color);

while(y

{ if(d<=0)d+=4*squarea*(2*y+3);

else

{d+=4*squarea*(2*y+3)-8*squareb*(x-1);

x--;}

y++;

pDC->SetPixel(x,y,color);}} 编写OnDraw函数如下：

void CMy2_9View::OnDraw(CDC* pDC){CMy2_9Doc* pDoc = GetDocument();ASSERT_VALID(pDoc);MidPointEllipse(pDC,500,300,RGB(0,0,0));}（2）中心点算法画椭圆

我们先考虑圆心在原点的椭圆的生成，对于中心不是原点的椭圆，可以通过坐标的平移变换获得相应位置的椭圆。中心在原点。焦点在坐标轴上的标准椭圆具有X轴对称、Y轴对称和原点对称特性，已知椭圆上第一象限的P点坐标是(x, y)，则椭圆在另外三个象限的对称点分别是(x,-y)、(-x, y)和(-x,-y)。因此，只要画出第一象限的四分之一椭圆，就可以利用这三个对称性得到整个椭圆。

相应代码：

void MP_Ellipse(int xc , int yc , int a, int b){ double sqa = a * a;double sqb = b * b;double d = sqb + sqa *(-b + 0.25);int x = 0;int y = b;EllipsePlot(xc, yc, x, y);while(sqb *(x + 1)< sqa *(y1))* 2-(a * b)* 2;while(y > 0){if(d < 0){ d += sqb *(2 * x + 2)+ sqa *(-2 * y + 3);x++;} else

{d += sqa *(-2 * y + 3);} y--;EllipsePlot(xc, yc, x, y);}} 3.2 图形变换的基本原理

3.2.1平移变换

平移变换函数如下：

void glTranslate{fd}(TYPE x, TYPE y, TYPE z)； 三个函数参数就是目标分别沿三个轴向平移的偏移量。这个函数表示用于这三个偏移量生成的矩阵乘以当前矩阵。当参数是(0.0,0.0,0.0)时，表示对函数glTranslate*()的操作是单位矩阵，也就是对物体没有影响。

3.2.2 旋转变换

旋转变换函数如下：

Void glRota{fd}TYPE angle, TYPE x, TYPE y, TYPE z)；

函数中第一个参数是表示目标沿从点(x,y,z)到原点方向逆时针旋转的角度，后三个参数是旋转的方向点坐标。这个函数表示用这四个参数生成的矩阵乘以当前矩阵。当角度参数是0.0时，表示对物体没有影响。3.2.3 比例变换

比例变换函数如下：

Void glScale{fd}(TYPE x, TYPE y, TYPE z)；

单个函数参数值就是目标分别沿三个轴方向缩放的比例因子。这个函数表示用这三个比例因子生成的矩阵乘以当前矩阵。这个函数能完成沿相应的轴对目标进行拉伸、压缩和反射三项功能。以参数x为例，若当x大于1.0时，表示沿x方向拉伸目标；若x小于1.0，表示沿x轴方向收缩目标；若x=-1.0表示沿x轴反射目标。其中参数为负值时表示对目标进行相应轴的反射变换。

四、总体设计与功能实现

4.1 主要界面设计

4.2 设置颜色界面

4.2.1 界面设置代码：

void CGraphicsView::OnClock(){ WHAT_TO_DO=ID_CLOCK;

clean();int xx = 450, yy = 300, r = 150,d = 5;int i, white = RGB(255,255,255);mile(xx, yy, r, COLOR);Matrix m(xx, 240), s(xx, 200);Matrix t1(xx, yy, true), t2(-xx,-yy, true), mr(PI/1800), sr(PI/30);mile(m.getx(), m.gety(), d+1, COLOR);mile(s.getx(), s.gety(), d, COLOR);dne(m.getx(), m.gety(), xx, yy, COLOR);dne(s.getx(), s.gety(), xx, yy, COLOR);

for(i=0;i<120;i++){

::Sleep(80);

mile(m.getx(), m.gety(), d+1, white);mile(s.getx(), s.gety(), d, white);dne(m.getx(), m.gety(), xx, yy, white);dne(s.getx(), s.gety(), xx, yy, white);m = t1*mr*t2*m;s = t1*sr*t2*s;mile(m.getx(), m.gety(), d+1, COLOR);mile(s.getx(), s.gety(),d, COLOR);dne(m.getx(), m.gety(), xx, yy, COLOR);dne(s.getx(), s.gety(), xx, yy, COLOR);}} 4.2.2 点击“设置--颜色”后，运行结果如下：

4.3 二维线画图元实现

4.3.1 实现代码：

void CGraphicsView::MidCir(CDC *pdc, int x0, int y0, int x1, int y1, int color){ int r,x,y,deltax,deltay,d;r=sqrt(((double)x1-(double)x0)*((double)x1-(double)x0)+((double)y1-(double)y0)*((double)y1-(double)y0));x=0;y=r;deltax=3;deltay=2-r-r;d=1-r;while(x<=y){ ::Sleep(time);

pdc->SetPixel(x+x0,y+y0,color);

::Sleep(time);

pdc->SetPixel(-x+x0,y+y0,color);

::Sleep(time);

pdc->SetPixel(x+x0,-y+y0,color);

::Sleep(time);

pdc->SetPixel(-x+x0,-y+y0,color);

::Sleep(time);

pdc->SetPixel(y+x0,x+y0,color);

::Sleep(time);

pdc->SetPixel(-y+x0,x+y0,color);

::Sleep(time);

pdc->SetPixel(y+x0,-x+y0,color);

::Sleep(time);

pdc->SetPixel(-y+x0,-x+y0,color);

if(d<0)

{ d+=deltax;

deltax+=2;

x++;}

else

{ d+=deltax+deltay;

deltax+=2;

deltay+=2;

x++;

y--;}}} void CGraphicsView::midellispse(int xx, int yy, int r1, int r2, int color){ } void CGraphicsView::Ellipse(CDC *pdc, int x1, int y1, int x2, int y2, int color){

xx0=(x2+x1)/2;yy0=(y2+y1)/2;rra=abs(x2-x1)/2;rrb=abs(y2-y1)/2;if(rra==0 && rrb==0)return;Ellipse0(pdc,xx0,yy0,rra,rrb,color);} void CGraphicsView::Ellipse0(CDC *pdc, int x0, int y0, int a, int b, int color){

int i,yy;int x,y,deltax,deltay;int aa,aa2,aa3,bb,bb2,bb3;double d1,d2;aa=a*a;aa2=aa*2;aa3=aa*3;bb=b*b;bb2=bb*2;bb3=bb*3;x=0;y=b;d1=bb+aa*(-b+0.25);deltax=bb3;deltay=-aa2*b+aa2;pdc->SetPixelV(x+x0,y+y0,color);pdc->SetPixelV(x+x0,-y+y0,color);while(bb*(x+1)

yy=y;

if(d1<0)

{ d1+=deltax;

deltax+=bb2;

x++;}

else

{

d1+=deltax+deltay;

deltax+=bb2;

deltay+=aa2;

x++;

y--;}

::Sleep(time);

pdc->SetPixelV(x+x0,y+y0,color);

::Sleep(time);

pdc->SetPixelV(-x+x0,y+y0,color);

::Sleep(time);

pdc->SetPixelV(x+x0,-y+y0,color);

::Sleep(time);

pdc->SetPixelV(-x+x0,-y+y0,color);} d2=bb*(x+0.5)*(x+0.5)+aa*(y-1)*(y-1)-aa*bb;deltax-=bb;deltay+=aa;while(y>0){ if(d2<0)

{ d2+=deltax+deltay;

deltax+=bb2;

deltay+=aa2;

x++;

y--;}

else

{ d2+=deltay;

deltay+=aa2;

y--;}

::Sleep(time);

pdc->SetPixelV(x+x0,y+y0,color);

::Sleep(time);

pdc->SetPixelV(-x+x0,y+y0,color);

::Sleep(time);

pdc->SetPixelV(x+x0,-y+y0,color);

::Sleep(time);

pdc->SetPixelV(-x+x0,-y+y0,color);}} void CGraphicsView::DDALine(CDC *pdc, int x0, int y0, int x1, int y1, int color){ int xx,yy,s,s1,s2,di;float dx,dy,k,x,y;dx=x1-x0;if(dx>=0)

s1=1;else

s1=-1;dy=y1-y0;if(dy>=0)

s2=1;else s2=-1;dx=abs(dx);dy=abs(dy);if(dx>=dy){

s=0;

di=(int)dx;

k=dy/dx*s2;} else { s=1;

di=(int)dy;

k=dx/dy*s1;} x=x0;y=y0;for(int i=0;i<=di;i++){if(s==0)

{

xx=(int)x;

yy=(int)(y+0.5);

::Sleep(time);

pdc->SetPixel(xx,yy,color);

x+=s1;

y+=k;}

else{

xx=(int)(x+0.5);

yy=(int)y;

::Sleep(time);

pdc->SetPixel(xx,yy,color);

y+=s2;

x+=k;}}} 4.3.2 点击二维线画图元，课相应画出直线、圆和椭圆，结果如下：

4.4 画多边形功能的实现

4.4.1 部分实现代码：

void CGraphicsView::OnDrawDuoBX(){ Vertex_Count dlg;if(dlg.DoModal()==IDOK){ if(dlg.m_vertex_count>MAX)

{ MessageBox(“输入顶点数过大”);

return;}

VertexTotal=dlg.m_vertex_count;

CDC *pDC=GetDC();

CPen pen(PS_SOLID,2,RGB(255,255,255));

CPen *pOldpen=pDC->SelectObject(&pen);

pDC->MoveTo((int)(inVertexArray[0].x+0.5),(int)(inVertexArray[0].y+0.5));

int i;

for(i=1;i

pDC->LineTo((int)(inVertexArray[i].x+0.5),(int)(inVertexArray[i].y+0.5));

pDC->LineTo((int)(inVertexArray[0].x+0.5),(int)(inVertexArray[0].y+0.5));

pDC->SelectObject(pOldpen);

ReleaseDC(pDC);

inLength=0;

outLength=0;

WHAT_TO_DO=ID_DrawDuoBX;}}

4.4.2 点击多边形，输入定点个数，可绘制出相应的多边形，结果如下：

4.5 画Bezier曲线功能的实现

4.5.1 部分实现代码：

void CGraphicsView::OnBezier(){ // TODO: Add your command handler code here WHAT_TO_DO=ID_BEZIER;CDC *p=GetDC();

p->TextOut(10, 20, “PS:鼠标左键添加曲线,鼠标右键修改曲线.”);

ReleaseDC(p);} void CGraphicsView::OnBezierClear(){ n =-1;RedrawWindow();} void CGraphicsView::DrawBezier(DPOINT *p){ if(n <= 0)return;if((p[n].x < p[0].x+1)&&(p[n].x > p[0].x-1)&&(p[n].y < p[0].y+1)&&(p[n].y > p[0].y-1)){ pDC->SetPixel(p[0].x, p[0].y, COLOR);

return;} DPOINT *p1;p1 = new DPOINT[n+1];int i, j;p1[0] = p[0];for(i=1;i<=n;i++){ for(j=0;j<=n-i;j++)

{ p[j].x =(p[j].x + p[j+1].x)/2;

p[j].y =(p[j].y + p[j+1].y)/2;}

p1[i] = p[0];} DrawBezier(p);DrawBezier(p1);delete p1;} void CGraphicsView::OnBezierAdd(){ AddorMove = 1;} void CGraphicsView::OnBezierMove(){ AddorMove =-1;} void CGraphicsView::OnMouseMove(UINT nFlags, CPoint point){ switch(WHAT_TO_DO){ case ID_BEZIER:

{ if(current >= 0){ points[current].x = point.x;

points[current].y = point.y;

RedrawWindow();} if(current2 >= 0)

{ points[current2].x = point.x;

points[current2].y = point.y;

RedrawWindow();}

break;} default:break;} CView::OnMouseMove(nFlags, point);} 4.5.2 点击曲线--Beizer曲线，可实现Beizer曲线的绘制功能，绘制结果如下图：

图 1 图 2

4.5.3 点击曲线--Beizer曲线，可实现Beizer曲线的移动，鼠标点击其中的任一点，可实现曲线的移动，绘制结果如下图：

上图1移动后的曲线

上图2移动后的曲线 4.6 二维图形变换的实现

可以实现一椭圆在界面上的随机移动，一圆在界面上饶某一点的旋转和一正方形由大变小在变大的变化，部分实现代码如下： void CGraphicsView::OnXuanzhuan(){ WHAT_TO_DO=ID_XUANZHUAN;

time=0;

OnClear();

CClientDC dc(this);CDC* pDC=&dc;

int i, white=RGB(255,255,255), point [2][2]={{300,200},{300,250}};

Matrix a(point[0][0],point[0][1]), b(point[1][0],point[1][1]);

int midx=(point[0][0]+point[1][0])/2,midy=(point[0][1]+point[1][1])/2;

Matrix t1(midx, midy,true), t2(-midx,-midy,true);

Matrix r(PI/50);

Matrix temp(midx, midy,true);

temp = t1*r*t2;

for(i=0;i<200;i++){

::Sleep(50);

MidCir(pDC, a.getx(), a.gety(), b.getx(), b.gety(), white);

a = temp*a;

b = temp*b;

MidCir(pDC, a.getx(), a.gety(), b.getx(), b.gety(), COLOR);}

for(i=0;i<200;i++){

::Sleep(50);

MidCir(pDC,a.getx(), a.gety(), b.getx(), b.gety(), white);

a = temp*a;

b = temp*b;

MidCir(pDC, a.getx(), a.gety(), b.getx(), b.gety(), COLOR);}

time=5;} void CGraphicsView::OnUpdateXuanzhuan(CCmdUI* pCmdUI){ pCmdUI->SetCheck(WHAT_TO_DO==ID_XUANZHUAN);} void CGraphicsView::OnScale(){ WHAT_TO_DO=ID_SCALE;

OnClear();CClientDC dc(this);CDC* pDC=&dc;

time=0;int i,white=RGB(255,255,255), point[4][2]={{300,250},{400,250},{300,300},{400,300}};float sx=0.9,sy=0.85;int midx=(point[0][0]+point[3][0])/2,midy=(point[0][1]+point[3][1])/2;Matrix s1(sx,sy),s2(1/sx,1/sy);Matrix t1(midx, midy,true), t2(-midx,-midy,true);

Matrix a(point[0][0],point[0][1]), b(point[1][0],point[1][1]);Matrix c(point[2][0],point[2][1]), d(point[3][0],point[3][1]);Matrix temp(midx, midy,true);temp = t1*s1*t2;DDALine(pDC,a.getx(),a.gety(),b.getx(),b.gety(),COLOR);DDALine(pDC,a.getx(),a.gety(),c.getx(),c.gety(),COLOR);DDALine(pDC,c.getx(),c.gety(),d.getx(),d.gety(),COLOR);DDALine(pDC,d.getx(),d.gety(),b.getx(),b.gety(),COLOR);for(i=0;i<20;i++){

::Sleep(30);

DDALine(pDC,a.getx(),a.gety(),b.getx(),b.gety(),white);

DDALine(pDC,a.getx(),a.gety(),c.getx(),c.gety(),white);

DDALine(pDC,c.getx(),c.gety(),d.getx(),d.gety(),white);

DDALine(pDC,d.getx(),d.gety(),b.getx(),b.gety(),white);

a=temp*a;

b=temp*b;

c=temp*c;

d=temp*d;

DDALine(pDC,a.getx(),a.gety(),b.getx(),b.gety(),COLOR);

DDALine(pDC,a.getx(),a.gety(),c.getx(),c.gety(),COLOR);

DDALine(pDC,c.getx(),c.gety(),d.getx(),d.gety(),COLOR);

DDALine(pDC,d.getx(),d.gety(),b.getx(),b.gety(),COLOR);} temp = t1*s2*t2;for(i=0;i<20;i++){

::Sleep(30);

DDALine(pDC,a.getx(),a.gety(),b.getx(),b.gety(),white);

DDALine(pDC,a.getx(),a.gety(),c.getx(),c.gety(),white);

DDALine(pDC,c.getx(),c.gety(),d.getx(),d.gety(),white);

DDALine(pDC,d.getx(),d.gety(),b.getx(),b.gety(),white);

a=temp*a;

b=temp*b;

c=temp*c;

d=temp*d;

DDALine(pDC,a.getx(),a.gety(),b.getx(),b.gety(),COLOR);

DDALine(pDC,a.getx(),a.gety(),c.getx(),c.gety(),COLOR);

DDALine(pDC,c.getx(),c.gety(),d.getx(),d.gety(),COLOR);

DDALine(pDC,d.getx(),d.gety(),b.getx(),b.gety(),COLOR);} time=5;} void CGraphicsView::OnUpdateScale(CCmdUI* pCmdUI){ pCmdUI->SetCheck(WHAT_TO_DO==ID_SCALE);} 4.7 三维图形的变换

主要实现三维图形的上下左右平移，分别绕X轴Y轴Z轴的旋转，放大和缩小，以及正方体六个面的颜色变换，除此之外，还可以选择背景颜色的改变 4.7.1 部分代码如下：

void CGraphicsView::OnAoduomianti(){ WHAT_TO_DO=ID_AODUOMIANTI;CDrawDLG dlg1;dlg1.DoModal();} void CGraphicsView::OnUpdateAoduomianti(CCmdUI* pCmdUI){ pCmdUI->SetCheck(WHAT_TO_DO==ID_AODUOMIANTI);} void CDrawDLG::OnPaint()

{ CPaintDC dc(this);// device context for painting CWnd *pWnd=GetDlgItem(IDC_DRAW);pWnd->UpdateWindow();// CDC *PDC=pWnd->GetDC();Draw();} void CDrawDLG::Draw(){ CWnd *pWnd=GetDlgItem(IDC_DRAW);pWnd->UpdateWindow();CDC *pDC=pWnd->GetDC();CRect rect;pWnd->GetClientRect(rect);D v[8]={ {-fs,-fs,fs},{-fs,fs,fs},{fs,fs,fs},{fs,-fs,fs},{-fs,-fs,-fs},{-fs,fs,-fs},{fs,fs,-fs},{fs,-fs,-fs} },d[8];

POINT p0[4],p1[4],p2[4],p3[4],p4[4],p5[4],w[8];int z[8];

for(int i=0;i<8;i++){ d[i].x=v[i].x;

d[i].y=(int)(v[i].y*cos(a*DU)-v[i].z*sin(a*DU));

d[i].z=(int)(v[i].y*sin(a*DU)+v[i].z*cos(a*DU));

v[i].x=(int)(d[i].x*cos(b*DU)+d[i].z*sin(b*DU));

v[i].y=d[i].y;

v[i].z=(int)(d[i].z*cos(b*DU)-d[i].x*sin(b*DU));

d[i].x=(int)(v[i].x*cos(c*DU)-v[i].y*sin(c*DU));

d[i].y=(int)(v[i].x*sin(c*DU)+v[i].y*cos(c*DU));

d[i].z=v[i].z;

w[i].x=d[i].x+cx;

w[i].y=d[i].y+cy;

z[i]=d[i].z;} p0[0]=w[0];p0[1]=w[1];p0[2]=w[2];p0[3]=w[3];p1[0]=w[4];p1[1]=w[5];p1[2]=w[6];p1[3]=w[7];

p2[0]=w[0];p2[1]=w[1];p2[2]=w[5];p2[3]=w[4];p3[0]=w[1];p3[1]=w[2];p3[2]=w[6];p3[3]=w[5];p4[0]=w[2];p4[1]=w[3];p4[2]=w[7];p4[3]=w[6];p5[0]=w[0];p5[1]=w[3];p5[2]=w[7];p5[3]=w[4];switch(Maxnum(z,7)){ case 0:fill(p0,p2,p5,0,2,5);break;

case 1:fill(p0,p2,p3,0,2,3);break;

case 2:fill(p0,p3,p4,0,3,4);break;

case 3:fill(p0,p4,p5,0,4,5);break;

case 4:fill(p1,p2,p5,1,2,5);break;

case 5:fill(p1,p2,p3,1,2,3);break;

case 6:fill(p1,p3,p4,1,3,4);break;

case 7:fill(p1,p4,p5,1,4,5);break;}} BOOL CDrawDLG::OnInitDialog(){ CDialog::OnInitDialog();m_scroll1.SetScrollRange(-180,180);m_scroll1.SetScrollPos(0);m_scroll2.SetScrollRange(-180,180);m_scroll2.SetScrollPos(0);m_scroll3.SetScrollRange(-180,180);m_scroll3.SetScrollPos(0);m_scroll4.SetScrollRange(0,350);m_scroll4.SetScrollPos(200);m_scroll5.SetScrollRange(0,300);m_scroll5.SetScrollPos(115);m_scroll6.SetScrollRange(0.00,300.00);m_scroll6.SetScrollPos(50.00);a=b=c=0;fs=50.00;SetTimer(1,100,NULL);Ctrl=0;cx=200;cy=115;COLOR1=RGB(123,234,43);COLOR2=RGB(123,123,0);COLOR3=RGB(123,24,235);COLOR4=RGB(0,123,95);COLOR5=RGB(23,234,34);COLOR6=RGB(234,124,0);COLOR7=RGB(0,43,98);return TRUE;// return TRUE unless you set the focus to a control} void CDrawDLG::OnHScroll(UINT nSBCode, UINT nPos, CScrollBar* pScrollBar){ int nID=pScrollBar->GetDlgCtrlID();switch(nID){ case IDC_SCROLLBAR1: a=pScrollBar->GetScrollPos();

switch(nSBCode)

{ case SB_LINELEFT: a--;break;

case SB_LINERIGHT: a++;break;

case SB_PAGELEFT: a-=10;break;

case SB_PAGERIGHT: a+=10;break;

case SB_THUMBTRACK: a=nPos;break;}

if(a<-180)a=180;

if(a>180)a=-180;

pScrollBar->SetScrollPos(a);

break;case IDC_SCROLLBAR2: b=pScrollBar->GetScrollPos();

switch(nSBCode)

{ case SB_LINELEFT: b--;break;

case SB_LINERIGHT: b++;break;

case SB_PAGELEFT: b-=10;break;

case SB_PAGERIGHT: b+=10;break;

case SB_THUMBTRACK: b=nPos;break;}

if(b<-180)b=180;

if(b>180)b=-180;

pScrollBar->SetScrollPos(b);

break;case IDC_SCROLLBAR3: c=pScrollBar->GetScrollPos();

switch(nSBCode)

{ case SB_LINELEFT: c--;break;

case SB_LINERIGHT: c++;break;

case SB_PAGELEFT: c-=10;break;

case SB_PAGERIGHT: c+=10;break;

case SB_THUMBTRACK: c=nPos;break;}

if(c<-180)c=180;

if(c>180)c=-180;

pScrollBar->SetScrollPos(c);

break;case IDC_SCROLLBAR4: cx=pScrollBar->GetScrollPos();

switch(nSBCode)

{ case SB_LINELEFT: cx--;break;

case SB_LINERIGHT: cx++;break;

case SB_PAGELEFT: cx-=10;break;

case SB_PAGERIGHT: cx+=10;break;

case SB_THUMBTRACK: cx=nPos;break;}

if(cx<0)cx=200;

if(cx>350)cx=200;

pScrollBar->SetScrollPos(cx);

break;case IDC_SCROLLBAR5: cy=pScrollBar->GetScrollPos();

switch(nSBCode)

{ case SB_LINELEFT: cy--;break;

case SB_LINERIGHT: cy++;break;

case SB_PAGELEFT: cy-=10;break;

case SB_PAGERIGHT: cy+=10;break;

case SB_THUMBTRACK: cy=nPos;break;}

if(cy<0)cy=300;

if(cy>300)cy=0;

pScrollBar->SetScrollPos(cy);

break;

case IDC_SCROLLBAR6: fs=pScrollBar->GetScrollPos();

switch(nSBCode)

{ case SB_LINELEFT: fs--;break;

case SB_LINERIGHT: fs++;break;

case SB_PAGELEFT: fs-=0.55;break;

case SB_PAGERIGHT: fs+=0.55;break;

case SB_THUMBTRACK: fs=nPos;break;}

if(fs<0)fs=50;

if(fs>300)fs=50;

pScrollBar->SetScrollPos(fs);

break;// UpdateData(FALSE);} // Invalidate();Draw();CDialog::OnHScroll(nSBCode, nPos, pScrollBar);} void CDrawDLG::OnOK(){ KillTimer(1);

CDialog::OnOK();} int CDrawDLG::Maxnum(int *p, int n){ int max=p[0];int x;for(int i=0;i<=n;i++){

if(max<=p[i])

{ max=p[i];x=i;} } return x;} void CDrawDLG::fill(POINT *x, POINT *y, POINT *z, int i,int j,int q){ CWnd *pWnd=GetDlgItem(IDC_DRAW);pWnd->UpdateWindow();CDC *pDC=pWnd->GetDC();CRect rect;pWnd->GetClientRect(rect);

CDC dcmem;dcmem.CreateCompatibleDC(pDC);CBitmap bmp,*oldbmp;bmp.CreateCompatibleBitmap(pDC,rect.Width(),rect.Height());oldbmp=dcmem.SelectObject(&bmp);CBrush brush[6];brush[0].CreateSolidBrush(COLOR1);brush[1].CreateSolidBrush(COLOR2);brush[2].CreateSolidBrush(COLOR3);brush[3].CreateSolidBrush(COLOR4);brush[4].CreateSolidBrush(COLOR5);brush[5].CreateSolidBrush(COLOR6);CBrush *oldbrush=dcmem.SelectObject(&brush[i]);dcmem.FillSolidRect(rect,COLOR7);dcmem.Polygon(x,4);dcmem.SelectObject(&brush[j]);dcmem.Polygon(y,4);dcmem.SelectObject(&brush[q]);dcmem.Polygon(z,4);dcmem.SelectObject(oldbrush);for(int b=0;b<6;b++)brush[b].DeleteObject();pDC->BitBlt(rect.left,rect.top,rect.Width(),rect.Height(), &dcmem,0,0,SRCCOPY);dcmem.SelectObject(oldbmp);bmp.DeleteObject();dcmem.DeleteDC();} 4.7.2 运行结果如下：

（1）实现多面体的上下左右平移（2）实现多面体的绕轴旋转：

（3）实现多面体的放大缩小：

（4）实现多面体及背景的颜色设置：

（5）三维图形变换整体图形

五、实验心得体会

在本次课程设计过程中，基本掌握了计算机图形学关于图形绘制变换的基础知识，DDA法画直线和中心点法画圆及椭圆的方法，还对图形的变换及需要用到的一系列的函数有了相应的理解，也了解的很多有关于图形学中三维图形的变换的知识。不过都只是皮毛而已，从中锻炼了自己的动手做实验的能力，但同时也让自己看清了自己的水平，以便在以后的生活里多加强有关这方面的学习，从而提升自己在图形学方面的知识水平。

在本次课程设计中，设计方案存在着很多的死板化的实现方法，也是很不人性化的一点，只提供了画一种曲线的方法，且画出的曲线只能移动，此为本次设计方案的不足之一；然后就是能实现曲面和多边形的绘制，却没有对应的实现绘制好图形后直接对其进行平移、选择等变换，此为设计方案不足之二。再者就是三维图形只能实现变换不能实现绘制，此为设计方案不足之三。鉴于个人能力真的有限，所以只能设计出此种级别的效果了。因为实验重要的只是思想过程，效果的不美观只能是因为学习的知识还远远不够，所以不能设计出完美的全面的图形绘制变换程序。

经过此次设计，使我学到了很多东西，在没有开始做程序之前，没有任何思路，不知道该从哪里入手，可能是因为自己平时不认真听课的缘故。后来经过上网查询资料，翻阅参考书，在别人做的程序的启发下，才有了做此程序设计的眉目。在设计过程中遇到了很多的问题，在这里需要感谢王征风老师的帮助和指导，以及同学的帮助，最后一个个问题都被解决了，写出了完整的程序设计。最后也发现，其实只要努力，写出一个设计不是很困难，重要的是自己在写程序的过程中，要会学习，会查阅资料。这次的课程设计让我学习到了很多，以后我会努力提高自己在图形学方面的知识水平。

第五篇：平移变换几何证明与计算中的应用

平移变换在几何中的应用

平移变换是几何中的一种重要变换，运用平移变换可以将分散的线段、角或图形集中到一起，便于问题的研究和解决。这是平移变换中的常用方法，下面仅举几例，以作说明。

一、平移变换在几何证明中的应用

例1．如图，△ABC中，BD=CE，求证：

【解析】

本题涉及到证明的几条线段虽然都交于一点，但对于证明这样一个几何不等式不是很方便。再有BD=CE，运用平移变换，将△AEC平移到△A’BD的位置，问题迎刃而解。

【答案】

证明：如图2,分别过点D、B作CA、EA的平行线，G

F

D

E

两线相交于F点，DF于AB交于G点。

所以，在△AEC和△FBD中，又CE=BD，可证

△AEC≌△FBD，所以AC=FD，AE=FB，在△AGD中，AG+DG>AD，在△BFG中，BG+FG>FB，所以AG+DG-AD>0,BG+FG-FB>0,所以AG+DG+BG+FG-AD-FB>0,即AB+FD>AD+FB，所以

AB+AC>AD+AE

.【思考】

本题还有没有平移其他图形的方法？

例2．如图，梯形ABCD中，∠B+∠C=90°，点E、F分别为上下底边的中点，求证：

【解析】

题目需要证明的几条线段是分散的，通过平移变换可以将AB、EF、DC集中到一起。此时，其他条件也很能好好地得到应用。

【答案】

证明：分别过点E、F作EG//AB,EH//CD交BC于点G、H

所以四边形ABGE,DEHC是平行四边形.AE=BG,DE=CH,因为FB=FC,所以FG=FH=

所以∠EGC=∠B，∠EHB=∠C,又∠B+∠C=90°，所以∠EGC+∠EHB=90°，∠GEH=90°

所以△GEH是直角三角形.所以，EF=

二、平移变换在几何作图中的应用

例3.如图，河流的河岸AB与CD平行，点A、B表示两个村庄，现要在河上架桥，满足两个条件：（1）桥与河岸垂直；（2）A、B两个村庄之间的线路最短，请问桥应架在何处？

【解析】

不管桥设计在何处，A、B两个村庄之间的路程中总有一段是河岸间的距离，所以运用平移变换，将河“平移”,使村庄A或B恰好在河岸上。

【答案】

过点A作AA’垂直河岸，且使AA’长度等于河的宽度，连结交河岸于点C，过点C作CD垂直于河岸交河岸于点D，连结AD，则CD为桥的位置。

【思考】

如果A、B两个村庄之间有两条互相平行的小河，其他条件不变，桥的位置又该如何确定？

图3

例4.如图3，△ABC的三条中线分别为AD、BE、CF．在图3中利用图形变换画出并指明以AD、BE、CF的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）；

【解析】

以三条中线为边长的三角形，显然要对这三条线段进行“重新组合”，手段就是平移变换。

【答案】

三、平移变换在几何计算中的应用

例5.如图，六边形ABCDEF中，对角线

已知FD

=

cm，BD

=

cm.问六边形

ABCDEF的面积是多少平方厘米？

【解析】

题目中给出了很多平行且相等的线段，这就很容易联想到平移变换。通过平移变换，将图形“整形”，从而求出六边形的面积。

【答案】

如图，将△DEF平移到△BAG的位置，将△BCD平移到△GAF的位置，则原六边形分解组合成长方形BDFG.此长方形的边恰是已知长度的BD与

FD.易知长方形BDFG的面积为

24×28

=

432

cm2.所以，六边形ABCDEF的面积是432

cm2.例6.已知抛物线与x轴的两个交点记为A，B，点M在直线上，点P在抛物线上，求当以O、A、P、M为顶点的四边形为平行四边形时的P点坐标。

【解析】

本题运用平移变换在平面直角坐标系中的应用，这样求平行四边形的顶点坐标将会简便。因为平行四边形可以理解为一条线段沿平面内某一方向平移所扫过的图形。

【答案】

①

若OA为边，则PM∥OA.设M(m,2m),∵OA=5，∴P(m+5,2m)或P(m-5,2m).当P(m+5,2m)时，∵P点在抛物线上，∴,解得.∴P(12,14).当P(m-5,2m)时，∵P点在抛物线上，∴,解得.∴P(-3,4)或P(20,50).②若OA为对角线，则PM为另一条对角线.[来源:Z&xx&k]

∵OA中点为(,0)，设M(m,2m),∴P(5-m,-2m).∵P点在抛物线上，∴,解得.∴P(12,14).综上,符合条件的P点共有3个，它们分别是P1(12,14)、P2(-3,4)、P3(20,50).【练习】

1．已知，如图，△ABC中，AB=AC，D是AB上一点，E是AC延长线上一点，若BD=CE，求证：DE>BC.2．

在△HBC中，∠B=∠C，在边HC上取点D，在边BH上取点A，使HD=BA，连结AD.求证：AD≥

3．在△ABC中，点P为BC的中点．

（1）如图1，求证：AP＜（AB+BC）；

（2）延长AB到D，使得BD=AC，延长AC到E，使得CE=AB，连结DE．

①如图2，连结BE，若∠BAC=60°，请你探究线段BE与线段AP之间的数量关系．写出你的结论，并加以证明；

②请在图3中证明：BC≥DE．