第一篇：一元二次方程公式法、配方法

一元二次方程公式法、配方法

【主体知识归纳】

4．直接开平方法形如x＝a(a≥0)的方程，因为x是a的平方根，所以x＝±，即x1＝a，x2＝－a．这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法．

2b2b4ac25．配方法将一元二次方程ax＋bx＋c＝0(a≠0)化成(x＋)＝的形式后，当b－4ac≥0时，用直22a4a2

2接开平方法求出它的根，这种解一元二次方程的方法叫做配方法．

用配方法解已化成一般形式的一元二次方程的一般步骤是：

(1)将方程的两边都除以二次项的系数，把方程的二次项系数化成1；

(2)将常数项移到方程右边；

(3)方程两边都加上一次项系数一半的平方；

(4)当右边是非负数时，用直接开平方法求出方程的根．

b24ac26．公式法用一元二次方程ax＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式x＝(b－4ac≥0)，这种解一元二2a2

次方程的方法叫做公式法．

【例题精讲】

2例1：用配方法解方程2x＋7x－4＝0．

剖析：此题考查对配方法的掌握情况．配方法最关键的步骤是：

(1)将二次项系数化为1；

(2)将常数项与二次项、一次项分开在等式两边；

2(3)方程两边都加上一次项系数一半的平方，即可化为(x＋a)＝k的形式，然后用开平方法求解．

解：把方程的各项都除以2，得x＋

即(x＋277772728122x－2＝0．移项，得x＋x＝2．配方，得x＋x＋()＝2＋()＝，22244167281)＝． 416

817791＝±，x＋＝±．即x1＝，x2＝－4． 164442解这个方程，得x＋

说明：配方法是一种重要的数学方法，除了用来解一元二次方程外，还在判断数的正、负，代数式变形、恒等式

22的证明中有着广泛的应用，例如证明不论x为何实数，代数式2x－4x＋3的值恒大于零，可以做如下的变形：2x－

224x＋3＝2x－4x＋2＋1＝2(x－1)＋1．

例6：用公式法解下列方程：

2(1)2x＋7x＝4；

2解：(1)方程可变形为2x＋7x－4＝0．

22∵a＝2，b＝7，c＝－4，b－4ac＝7－4×2×(－4)＝81＞0，77242(4)791∴x＝．∴x1＝，x2＝－4． 22

42【同步达纲练习】 1．选择题

(1)下列方程中是一元二次方程的是()

x2x

＝0B．

3(2)下列方程不是一元二次方程的是()

A．2＝0

xx

A．

C．x＋2xy＋1＝0

D．5x＝3x－

112

x＝1B．0.01x2＋0．2x－0.1＝0C．2 x2－3x＝02

(3)方程3x－4＝－2x的二次项系数、一次项系数、常数项分别为()

D．

21x－x＝(x2＋1)22

A．3，－4，－2B．3，2，－4C．3，－2，－4D．2，－2，0

(4)一元二次方程2x－(a＋1)x＝x(x－1)－1的二次项系数为1，一次项系数为－1，则a的值为()A．－1B．1C．－2D．2

(5)若方程(m－1)x＋x＋m＝0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是()

A．m≠0B．m≠1C．m≠1且m≠－1D．m≠1或m≠－1(6)方程x(x＋1)＝0的根为()

A．0B．－1C．0，－1D．0，1

(7)方程3x－75＝0的解是()

A．x＝5B．x＝－5C．x＝±5D．无实数根

(8)方程(x－5)＝6的两个根是()A．x1＝x2＝5＋6

B．x1＝x2＝－5＋6 D．x1＝5＋6，x2＝5－6

C．x1＝－5＋6，x2＝－5－6

(9)若代数式x－6x＋5的值等于12，那么x的值为()

A．1或5B．7或－1C．－1或－

5(10)关于x的方程3x－2(3m－1)x＋2m＝15有一个根为－2，则m的值等于()A．2

B．－

D．－7或1

C．－2D．2

2．把下列方程化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数及常数项：

(1)4x＋1＝9x；(2)(x＋1)(x－3)＝2x－3；(3)(x＋3)(x－3)＝2(x－3)；

(4)3y－2y＝2y－3y＋5．

3．当m满足什么条件时，方程(m＋1)x－4mx＋4m－2＝0是一元二次方程?当x＝0时，求m的值． 4．用直接开平方法解下列方程：(1)x＝

9； 4

(2)x＝1．96；(5)(x－1)＝144；

(3)3x－48＝0；(6)(6x－7)－9＝0．

(4)4x－1＝0；

5．用配方法解下列方程：

(1)x＋12x＝0；

(4)9x＋6x－1＝0；

(2)x＋12x＋15＝0

(3)x－7x＋2＝0；

(5)5x－2＝－x；

(6)3x－4x＝2．

6．用公式法解下列方程：(1)x－2x＋1＝0；

(5)4x－1＝0；

(2)x(x＋8)＝16；(3)x－

x＝2；3

(4)0．8x＋x＝0．3；

(6)x＝7x；

(7)3x＋1＝23x；

(8)12x＋7x＋1＝0．

7．(1)当x为何值时，代数式2x＋7x－1与4x＋1的值相等?

(2)当x为何值时，代数式2x＋7x－1与x－19的值互为相反数?

8．已知a，b，c均为实数，且a22a1＋｜b＋1｜＋(c＋3)＝0，解方程ax＋bx＋c＝0．

9．已知a＋b＋c＝0．求证：1是关于x的一元二次方程ax＋bx＋c＝0的根．

10．用配方法证明：

(1)3y－6y＋11的值恒大于零；(2)－10x－7x－4的值恒小于零．

11．证明：关于x的方程(a－8a＋20)x＋2ax＋1＝0，不论a为何实数，该方程都是一元二次方程．

参考答案

【同步达纲练习】

1．(1)B(2)D(3)B(4)B(5)C(6)C(7)C(8)D(9)B(10)D

2．(1)9x2－4x－1＝0，9，－4，－1；(2)x2－4x＝0，1，－4，0；(3)x2－12x＋27＝0，1，－12，27；(4)(－2)y2＋(－2)y－5＝0，－2，3－2，－．

3．m≠－1，m＝ 4．(1)x1＝，x2＝－；(2)x1＝－1．4，x2＝1．4；(3)x1＝－4，x2＝4；(4)x1＝－，x2＝；(5)x1＝13，x2＝－11；(6)x1＝，x2＝． 5．(1)x1＝0，x2＝－12；

(2)x1＝－6－21，x2＝－6＋21；

741741，x2＝； 221212

(4)x1＝，x2＝；

33141141

(5)x1＝，x2＝；

101022(6)x1＝，x2＝．

3232

1212

2353

(3)x1＝

6．(1)x1＝x2＝1；

(2)x1＝－4－42，x2＝－4＋42；

597513，x2＝；(4)x1＝，x2＝－； 664211

(5)x1＝，x2＝－；(6)x1＝0，x2＝7；

(7)x1＝x2＝；

311

(8)x1＝－，x2＝－．

7．(1)x＝－2或x＝；

(2)x＝－4或x＝．

(3)x1＝

8．x1＝

11，x2＝． 22

9把1代入ax2＋bx＋c中，得ax2＋bx＋c＝a＋b＋c＝0

∴1是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根．

10(1)∵3y2－6y＋11＝3y2－6y＋3＋8＝3(y－1)2＋8

又(y－1)2≥0，∴3(y－1)2＋8＞0．即3y2－6y＋11的值恒大于零．(2)∵－10x2－7x－4＝－10(x2＋

72111)＋］

40020

7111

＝－10(x＋)2－．

20407

又－10(x＋)2≤0，20

1117

∴－10(x＋)2－＜0．

4020

x＋)1010

＝－10［(x＋

即－10x2－7x－4的值恒小于零．

11∵a2－8a＋20＝(a－4)2＋4＞0 ∴该方程是一元二次方程

第二篇：用配方法和公式法解一元二次方程

用配方法和公式法解一元二次方程

一.教学内容：

用配方法和公式法解一元二次方程

1.知道配方法的意义及用配方法解一元二次方程的主要步骤，能够熟练地用配方法解系数较简单的一元二次方程．

2.理解用配方法推导出一元二次方程的求根公式，了解求根公式中的条件b2－4ac≥0的意义，知道b2－4ac的值的符号与方程根的情况之间的关系．

3.能熟练地运用求根的公式解简单的数字系数的一元二次方程． 二.知识要点：

1.形如x2＝p或（mx＋n）2＝p（p≥0）的方程用开平方法将一元二次方程降次转化为两个一元一次方程．

通过配方，方程的左边变形为含x的完全平方形式（mx＋n）＝p（p≥0），可直接开平方，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程．这样解一元二次方程的方法叫做配方法．

3.用配方法解一元二次方程的步骤：（1）把二次项系数化为1；

（2）移项，方程的一边为二次项和一次项，另一边为常数项；（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）用直接开平方法求出方程的根．

2（3）当b－4ac＜0时，方程没有实数根．

2三.重点难点：

本讲重点是用配方法和公式法解一元二次方程，难点是配方的过程和对求根公式推导过程的理解．

例2.用配方法解方程：

（1）x2＋2x－5＝0；（2）4x2－12x－1＝0；（3）（x＋1）2－6（x＋1）2－45＝0．

分析：方程（1）是一元二次方程的一般形式，且二次项系数为1，所以直接移项、配方、求解即可；方程（2）要先把二次项系数化为1；方程（3）不要急于打开括号，可把（x＋1）2看成一个整体合并，可避免重复配方．

（3）将方程整理得

（x＋1）2－6（x＋1）2＝45，－5（x＋1）2＝45，（x＋1）2＝－9，由于x取任意实数时（x＋1）2≥0，则上式都不成立，所以原方程无实数根．

评析：配方法作为一种求解的方法，与其他方法比显得复杂些，为此，除非题目有特别指明用配方法解外，一般不用这种方法，但配方法是一种重要的数学方法，应用很广，应力争掌握好．

例4.不解方程判断下列方程根的情况．（1）4x2－11x＝2；（2）4x2－x＋5＝0；（3）y2＋14y＋49＝0；

（4）x2＋（m＋2）x＋m＝0． 分析：判断一元二次方程的根的情况应先把方程转化成一般形式，再计算b2－4ac的值． 解：（1）原方程化为4x2－11x－2＝0，a＝4，b＝－11，c＝－2，b2－4ac＝（－11）2－4×4×（－2）＝153＞0，所以原方程有两个不相等的实数根．（2）a＝4，b＝－1，c＝5，b2－4ac＝（－1）2－4×4×5＝－79＜0，所以原方程没有实数根．

（3）a＝1，b＝14，c＝49，b2－4ac＝142－4×1×49＝0，原方程有两个相等的实数根．（4）a＝1，b＝m＋2，c＝m，b2－4ac＝（m＋2）2－4×1×m＝m2＋4m＋4－4m＝m2＋4，无论m取何值，m2＋4＞0，∴b2－4ac＞0，原方程有两个不相等的实数根．

评析：（1）b2－4ac是对一元二次方程一般形式而言的，计算前必须把方程化成一般形式；（2）当讨论含有字母系数的方程根的情况时，通常把计算结果化成（通过配方）（m＋n）2＋p的形式，由平方数的非负性说明它的符号．

例5.先用配方法说明：不论x取何值，代数式x2－5x＋7的值总大于0．再求出当x取何值时，代数式x2－5x＋7的值最小？最小值是多少？

分析：准确配方，利用完全平方公式的非负性确定值的非负性及最小值．解：x2－5x＋7＝（x－2.5）2＋0.75＞0．

当x＝2.5时，代数式x2－5x＋7的值最小，最小值是例6.某农场要建一个矩形的养鸭场，养鸭场的一边靠墙，竹栏长为40m．

（1）养鸭场的面积能达到150m2吗？能达到200m2吗？（2）能达到250m2吗？

如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．分析：根据题意列出方程，利用配方法或求根公式解方程，义，则满足要求，否则，不能满足要求．

解：设与墙垂直的一边长为x m，则另一边长（40（1）当面积为150m2时，x（40－2x）＝150，整理得：x2－20x＋75＝0，即（x－10）2＝25． 解得x1＝5，x2＝15．

此时的设计方案为：与墙垂直的一边长为5m，另一边长为15m，另一边长为10m．

而当面积为200m2时，x（40－2x）＝200，解得x1＝x2＝10．

此时的设计方案为：与墙垂直的边长为10m，另一边长为（2）当面积为250m2时，x（40－2x）＝250，此方程无解．所以养鸭场的面积不能达到250m2．

0.75．

墙长25m，另三边用竹栏围成，如果方程有解且符合实际意2x）m． 30m，或与墙垂直的边长为20m．

－

【预习导学】

（用因式分解法解一元二次方程）

一.预习前知

1.想一想，因式分解有几种方法？ 2.分解因式：

（1）25（7x－3）2－16；（2）5x（2x＋7）－3（2x＋7）；（3）x2－4x＋4；（4）（x－1）2＋2x（x－1）．

二.预习导学

1.根据“ab＝0，则a＝0或b＝0”解下列方程．（1）（x－1）（2x＋3）＝0；（2）x（x＋1）＝0；（3）（x－2）（x＋1）＝0． 2.用因式分解法解下列方程．

（1）x2＋x＝0；（2）（3x－1）2－1＝0；（3）x2－2x＋1＝0． 反思：（1）用因式分解法适合解什么样的一元二次方程？

（2）用因式分解法解一元二次方程的基本步骤是什么？

【模拟试题】（答题时间：60分钟）

一.选择题

1.下列方程不能用开平方法求解的是（）

A.x2－6x＋9＝0 B.（x－5）2＝7 C.4x2＝1 D.2y2＋4y＋4＝0 3.用配方法解方程x＋3＝4x时，这个方程可化为（）

2A.（x－2）2＝7 B.（x＋2）2＝1 C.（x－2）2＝1 D.（x＋2）2＝2 *4.方程x2＋x－1＝0的根精确到0.1的近似值是（）

A.0.6，1.6

B.0.6，－1.6

C.－0.6，1.6

D.－0.6，－1.6 5.一元二次方程x2－2x－3＝0的根是（）A.x1＝1，x2＝3

B.x1＝－1，x2＝3 C.x1＝－1，x2＝－3

D.x1＝1，x2＝－3 *6.用配方法解方程时，下列配方错误的是（）

*7.下列关于x的一元二次方程中有两个不相等的实数根的是（）

A.x2＋1＝0

B.x2＋2x＋1＝0

C.x2＋2x＋3＝0

D.x2＋2x－3＝0 **8.若x2－2（k＋1）x＋k2＋5是一个完全平方式，则k等于（）A.－1

B.2

C.1

D.－2 二.填空题

1.如果（x－2）2＝9，则x＝__________．

2.方程（2y＋1）2－16＝0的根是__________． 3.方程（x＋m）2＝n有解的条件是__________． 4.填空：

（1）x2＋10x＋__________＝（x＋__________）2；（2）m2－8m＋__________＝（m－__________）2；（3）x2＋3x＋__________＝（x＋__________）2；（4）x2＋1/2x＋__________＝（x＋__________）2；（5）x2－mx＋__________＝（x－__________）2． *5.把下列各式化为（x＋m）2＋n的形式：

（1）x2－4x＋7＝__________；（2）x2＋2x－3＝__________；

6.方程x＋5x＋3＝0中，b－4ac＝_______，由求根公式可得方程的根是x1＝_______，x2＝_______．

7.如果关于x的方程x2＋4x＋a＝0有两个相等的实数根，那么a＝__________． 三.解答题

1.用直接开平方法解下列一元二次方程：（1）（x－1）2＝4；（2）4m2－4m＝－1；（3）3（4x－1）2＝48；（4）y2－2y－8＝0． 2.用配方法解方程：

（1）x2－6x－7＝0；（2）x2－2x－1＝0；（3）2x2＋x＝0；（4）（x＋1）2＝x－1．

3.关于x的二次三项式x2＋2mx＋4－m2是一个完全平方式，求m的值．

4.如图，一个5m长的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距离地面3m，如果顶端下滑1m，那么，梯子的底端也将滑动1m吗？请你用所学知识来解释． 2

5.若关于x的方程x＋（2k－1）x＋k－7/4＝0有两个相等的实数根，求k的值． 6.方程x2＋kx－6＝0的一个根是2，试求另一个根及k的值．

7.用100m长的铁丝围成一个长方形，面积是600m2，长、宽分别是多少？能否再围成一个面积是800m2的长方形呢？ 2

第三篇：一元二次方程配方法

配方法

复习：

1、完全平方公式：

2、开平方运算：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根

知识点一：开平方法解一元二次方程

如果方程的一边可以化为含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，就可以用开平方进行求解。

适合用开平方法解的一元二次方程有三种类型：

1、x2=m（m>=0）；如，x2=162、（x+m）2=n（n>=0）；如，（x+2）2=93、a（x+m）2=b（ab>=0）；如，3（x+1）2=12

例题：方程（x-1）=4的解是__________。

解析：可利用开平方法求解，得x-1=2或-2，解得x1=3，x2=-1

答案：x1=3，x2=-1 2

知识点二：配方法解一元二次方程

通过把一个一元二次方程配成完全平方形式来解一元二次方程的方法叫做配方法。

用配方法解一元二次方程ax²+bx+c=0的基本步骤：

①二次项系数化为1：方程两边同时除以二次项系数；

②移项:把常数项移到方程的右边；

③配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方；

④开方:根据平方根意义,方程两边开平方；

⑤求解:解一元一次方程；

⑥定解:写出原方程的解。

例题：解方程：-2x²+2x+5=0

知识点二：利用配方法解决实际问题

一元二次方程是刻画现实问题的有效的数学模型，有些通过列一元二次方程来解决的实际问题可以利用配方法或开平方来解决。例题：恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率？

解： 设这两个月的平均增长率是x。

则根据题意，得200(1－20%)(1+x)²＝193.6，即(1+x)2＝1.21，解这个方程，得x1＝0.1，x2＝－2.1（舍去）.答： 这两个月的平均增长率是10%.练习：

一、热身练习：

（1）x²+10x+25=（x+）²

（2）x²-12x+（）=（x-）²

（3）x²+5x+（）=（x+）²

（4）x²-（）x+16=（x-4）²

二、用配方法解下列方程：

(1)x²-8x+1=0(2)2x²+1=3x(3)3x²-6x+2=0

三、要使一块长方形场地的长比宽多6m，并且面积是16m²，场地的长和宽应各是多少？

家长签字：教师签字：

第四篇：配方法解一元二次方程

鲁教版初三数学下

课题：7.2一元二次方程的解法（2）

学习目标

1、会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程

2、经历探究将一般一元二次方程化成（xm)2n(n0)形式的过程，进一步

理解配方法的意义

教学过程

一.复习引入：

1、请说出完全平方公式.2 2（a＋b）=（a-b）=

2、用直接开平方法解下列方程：

（1）(x3)25（2）(x5)24133、思考如何解下列方程

（1）x24x416（2）x210x2541

3（通过设计富有启发性的问题，激发学生的学习兴趣，同时也渗透了类比的思想）

二、自主探究：

问题

1、请你思考方程(x3)25与x26x40 有什么关系，如何解 程x26x40呢？

学生尝试解答

问题

2、能否将方程x26x40转化为（xm)2n的形式呢？

x26x40

先将常数项移到方程的右边，得

x2＋6x = －

4即x2＋2·x·3 = －4

在方程的两边加上一次项系数6的一半的平方，即32后，得

x2＋2·x·3 ＋32 = －4＋

32（x＋3）2 =

5解这个方程，得

x＋3 = ±5

所以x1 = ―3＋x2 = ―

学生总结：由此可见，只要先把一个一元二次方程变形为（x＋m）2= n的形式（其中m、n都是常数），如果n≥0，再通过直接开平方法求出方程的解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。

三、巩固练习：解下列方程

（1）x2－4x＋3＝0.（2）x2＋3x－1 = 01、学生先解方程，然后讨论：在配方时方程两边同时加上的常数究竟是如何

确

定的？

2、引导学生通过探究，讨论，结合完全平方公式的形式，理解配方的关键，同

时注意解题格式的规范性和检验的必要性。

3、练习：

①、填空：

（1）x2+6x+=(x+)2；(2)x2-2x+=(x-)2；

(3)x2-5x+=(x-)2；(4)x2+x+=(x+)2；

(5)x2+px+=(x+)2；

②、将方程x2+2x-3=0化为(x+m)2=n的形式为；

③、用配方法解方程x2+4x-2=0时，第一步是，第二步是，第三步是，解是。

52四、拓展提高：试用配方法证明：代数式x+3x-的值不小于-2

4五、自我评价：

问题1：配方法解一元二次方程的作用是什么？配方法时要注意什么？

问题2：配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？

六、自我检测:

1、用配方法解一元二次方程x2+8x+7=0，则方程可变形为（）

A.(x-4)2=9B.(x+4)2=9

C.(x-8)2=16D.(x+8)2=57

562、已知方程x2-5x+q=0可以配方成(x-)2=的形式，则q的值为（）2

42519196A.B.C.D.-4444

223、已知方程x-6x+q=0可以配方成(x-p)=7的形式，那么q的值是（）

A.9B.7C.2D.-

24、用配方法解下列方程：

（1）x2-4x=5；（2）y2+22y-4=0；

布置作业：课本第47页习题

第五篇：配方法解一元二次方程

配方法解一元二次方程导学案

主备人：李晓明

学习目标：

1、通过自学体会课本三个例题的异同点，领会转化思想的应用

2、理解配方法，并掌握用配方法解一元二次方程的步骤。学习过程：

时间：3月9日编号：019

针对练习

（二）:（按规范步骤解题）

1、x2+ 2x-3=02、-x2-x+12 =0

小结：通过以上学习我们可以发现，课本上的三道例题是由易到难，层层递进的三种典型题。而在用配方法解一元二次方程时，就是将方程转化为请你(xm)2n(n0)的形式再求解。

5、把一小球以20m/s的速度竖直向上弹出，它在空中的高度h（m）与时间t（s）满足关系h20t5t2，当h=20时，小球的运动时间为（）

A.20sB.2sC.222sD.222s

6、用配方法解下列方程：

在下面总结配方法解一元二次方程的步骤：

自学探究

（一）阅读课本44页内容，将“议一议”做于课本上。阅读并分析例1，可以发现：例1方程等式的左边可以直接化成 完全平方

式，而右边是一个非负数，即x2n(n0)的形式，从而我们可以直接开平方求出这个方程的根：x1x2

针对练习

（一）：

1、（x+5）2=162、x2

－4x=-

4自学探究

（二）阅读课本45—46页的内容，将46页“做一做”的题目做书上，并且思考，这三个

式子中，等式左边的常数项和一次项系数有什么关系：

分析例2，它与例1的不同点在哪儿？

参照课本解题步骤，发现解题时将等式左 边的式子化成完全平方式的形式，即

(xm)2

n(n0)，再直接开平方求解： x1x

2自学探究

（三）仔细阅读例3，思考：配方一步中，所加常数项与一次项系数83有什么关系? 分析例3，它与例2的不同点在哪儿？因此在解决此类方程时，我们首先然后按照例2的解题步骤完成求解过程即可。针对练习

（三）：（按规范的步骤解题）

1、3x29x202、2x267x3、15x5x2104、5x242x

对于用配方法解一元二次方程的方法

和步骤你掌握了吗？检测一下自己吧！

综合检测：

1、用配方法解方程x223x10，正

确的配方是（）A.(x121023)9B.(x3)2109 C.(x1102103)29D.(x3)292、已知代数式3x24x6的值为9，则x243x6的值为（）

A.18B.12C.9D.7

3、关于x的一元二次方程a1x23xa23a40的一个解

是0，则a的值为（）

A.-1B.4C.-1或4D.14、若方程(x5)2m7可用直接开平方法求解，则m的取值范围是①8（3-x）2 –72=0

③x222x22

⑤ 3x210x8

②1

x2x20

④2x2x22x ⑥2

x22x0