第一篇：教案-二面角的求法

教学目标：

学会用不同方法求二面角

知识归纳：平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫做二面角（这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面)。二面角的大小可以用它的平面角度来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度，平面角是直角的二面角叫做直二面角。

例题讲解：

一、定义法：

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。

本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例1中从二面角S—AM—B中半平面ABM上的一已知点（B）向棱AM作垂线，得垂足（F）；在另一半平面ASM内过该垂足（F）作棱AM的垂线（如GF），这两条垂线（BF、GF）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。

例1（202_全国卷Ⅰ理）如图，四棱锥S-ABCD

AD=2，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，ABM

求二面角S-AM-B的大小。ABCD为矩形，SD底面ABCD，=60°（I）证明：M在侧棱SC的中点（II）

练习1（202_山东）如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，ABC=60,E，F分别是BC, PC的中点.（Ⅰ）证明：AE⊥PD;（Ⅱ）若H为PD上的动

6点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为2，求二面角E—AF—C的余弦值.分析：第1题容易发现，可通过证AE⊥AD后推出AE⊥平面APD，使命题获证，而第2题，则首先必须在找到最大角正切值有关的线段计算出各线段的长度之后，考虑到运用在二面角的棱AF上找到可计算二面角的平面角的顶点S，和两边SE与SC，进而计算二面角的余弦值。

二、三垂线法

三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．通常当点P在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。

本定理亦提供了另一种添辅助线的一般规律。如（例2）过二面角B-FC1-C中半平面BFC上的一已知点B作另一半平面FC1C的垂线，得垂足O；再过该垂足O作棱FC1的垂线，得垂足P，连结起点与终点得斜线段PB，便形成了三垂线定理的基本构图（斜线PB、垂线BO、射影OP）。再解直角三角形求二面角的度数。

例2．(202_山东卷理)如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB=4, BC=CD=2,AA1=2,E、E1、F分别是棱AD、AA1、AB的中点。（1）证明：直线EE1//平面FCC1；（2）求二面角B-FC1-C的余弦值。

练习2（202_天津）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形． 已知AB=3,AD=2,PA=2,PD=22,PAB=60（Ⅰ）证明AD平面PAB；（Ⅱ）求异面直线PC与AD所成的角的大小；（Ⅲ）求二面角P-BD-A的大小．

分析：本题是一道典型的利用三垂线定理求二面角问题，在证明AD⊥平面PAB后，容易发现平面PAB⊥平面ABCD，点P 就是二面角P-BD-A的半平面上的一个点，于是可过点P 作棱BD的垂线，再作平面ABCD的垂线，于是可形成三垂线定理中的斜线与射影内容，从而可得本解法。



三、补棱法

本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线的求二面角题目时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题。即当二平面没有明确的交线时，一般用补棱法解决

例3（202_湖南）如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝2.（Ⅰ）证明：平面PBE⊥平面PAB;（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小.分析：本题的平面PAD和平面PBE没有明确的交线，依本法显然要补充完整（延长AD、BE相交于点F，连结PF.）再在完整图形中的PF.上找一个适合的点形成二面角的平面角解之。

练习3已知斜三棱柱ABC—A1B1C1的棱长都是a，侧棱与底面成60的角，侧面BCC1B1⊥底面ABC。

（1）求证：AC1⊥BC；

（2）求平面AB1C1与平面 ABC所成的二面角（锐角）的大小。

提示：本题需要补棱，可过A点作CB的平行线L

o

四、射影面积法（cosq=S）S

S）求出二面角的大小。S

PCAB（Ⅱ）求二面角凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（cos例4．（202_北京理）如图，在三棱锥

P-ABCAC=BC=2，ACB=90，AP=BP=AB，PCACo

B-AP-C的大小；

分析：本题要求二面角B—AP—C的大小，如果利用射影面积法解题，不难想到在平面ABP与平面ACP中建立一对原图形与射影图形并分别求出S原与S射 于是得到下面解法。

练习4： 如图5，E为正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CC1的中点，求平面AB1E和底面A1B1C1D1所成锐角的余弦值.分析平面AB1E与底面A1B1C1D1交线即二面角的棱没有给出，要找到二面角的平面角，则必须先作两个平面的交线，这给解题带来一定的难度。考虑到三角形AB1E在平面A1B1C1D1上的射影是三角形A1B1C1，从而求得两个三角形的面积即可求得二面角的大小。

五、向量法

向量法解立体几何中是一种十分简捷的也是非常传统的解法，可以说所有的立体几何题都可以用向量法求解，用向量法解立体几何题时，通常要建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，然后将几何图中的线段写成用坐标法表示的向量，进行向量计算解题。

例4：（202_天津卷理）如图，在五面体ABCDEF中，FA平面ABCD, AD//BC//FE，ABAD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=1AD(I)求异面直线BF与DE所成的角的大小；(II)证

2明平面AMD平面CDE； 求二面角A-CD-E的余弦值

练习

5、（202_湖北）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC侧面A1ABB1.（Ⅰ）求证：ABBC（Ⅱ）若直线AC与平面1ABC所成的角为,二面角A1-BC-A的大小为，试判断与的大小关系，并予以证明.上述五种二面角求法中，前三种方法可以说是三种增添辅助线的一般规律，后两种是两种不同的解题技巧

第二篇：二面角的求法。

作二面角的平面角的常用方法有六种：

1.定义法 ：在棱上取一点A，然后在两个平面内分别作过棱上A点的垂线。有时也可以在两个平面内分别作棱的垂线，再过其中的一个垂足作另一条垂线的平行线。

2.垂面法 ：作与棱垂直的平面，则垂面与二面角两个面的交线所成的角就是二面角的平面角

3.射影定理：二面角的余弦值等于某一个半平面在另一个半平面的射影的面积和该平面自己本身的面积的比值。

4.三垂线定理及其逆定理法：先找到一个平面的垂线，再过垂足作棱的垂线，连结两个垂足即得二面角的平面角。

5.向量法：分别作出两个半平面的法向量，由向量夹角公式求得。二面角就是该夹角或其补角。

6.转化法

其中，（1）、（2）点主要是根据定义来找二面角的平面角，再利用三角形的正、余弦定理解三角形。

二面角一般都是在两个平面的相交线上，取恰当的点，经常是端点和中点。过这个点分别在两平面做相交线的垂线，然后把两条垂线放到一个三角形中考虑。有时也经常做两条垂线的平行线，使他们在一个更理想的三角形中。

由公式S射影=S斜面cosθ，作出二面角的平面角直接求出。运用这一方法的关键是从图中找出斜面多边形和它在有关平面上的射影，而且它们的面积容易求得

也可以用解析几何的办法，把两平面的法向量n1,n2的坐标求出来。然后根据n1·n2=|n1||n2|cosα，θ=α为两平面的夹角。这里需要注意的是如果两个法向量都是垂直平面，指向两平面内，所求两平面的夹角θ=π-α

求二面角大小的基本步骤（1）作出二面角的平面角：

A：利用等腰(含等边)三角形底边的中点作平面角； B：利用面的垂线（三垂线定理或其逆定理）作平面角； C：利用与棱垂直的直线，通过作棱的垂面作平面角； D：利用无棱二面角的两条平行线作平面角。（2）证明该角为平面角；（3）归纳到三角形求角。另外，也可以利用空间向量求出。利用空间向量：（设二面角平面角为A）1）先建立直角坐标系，求出各点坐标；

2）设面S1的法向量为N(X1，Y1，Z1)，面S2法向量为M(X2，Y2，Z2)； 3）在S1内找两条线L1，L2，让N×L1=0，N×L2=0求出N的坐标，M也是如此求出； 4）然后利用cosA=N×M/|N|×|M|即可求出A的值（注：由图观察二面角是锐角还是钝角，而且看求出的cosA是正值还是负值。若二面角是锐角，则cosA的值应为正，反之则然。）

第三篇：立体几何二面角求法练习题 1

立体几何二面角求法练习题

1、正方形ABCD-A1B1C1D1中二面角B-A1C-A的大小为____

2、将∠A为60°的棱形ABCD沿对角线BD折叠使A、C的距离等于BD则二面

角A-BD-C的余弦值是__

3、正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中对角线BD1

8BD1与侧面B1BCC所成的为30°则二面角C1—BD1—B1的大小为______

4、从点P出发引三条射线PA、PB、PC每两条的夹角都是60°则二面角B-PA-C的余弦值是______

5、二面角α-l-β的平面角为120°A、B

∈lACαBDβAC⊥lBD⊥l若AB=AC=BD=1则CD的长______

6、ABCD为菱形∠DAB60°PD⊥面ABCD且PDAD则面PAB与面

PCD所成的锐二面角的大小为______。

7、空间三条射线CA、CP、CB

∠PCA=∠PCB=600ACB=900 ∠求

第四篇：二面角大小求法归类总结分析

二面角大小的几种求法

二面角大小的求法中知识的综合性较强，方法的灵活性较大，一般而言，二面角的大小往往转化为其平面角的大小，从而又化归为三角形的内角大小，在其求解过程中，主要是利用平面几何、立体几何、三角函数等重要知识。求二面角大小的关键是，根据不同问题给出的几何背景，恰在此时当选择方法，作出二面角的平面角，有时亦可直接运用射影面积公式求出二面角的大小。

I.寻找有棱二面角的平面角的方法

（定义法、三垂线法、垂面法、射影面积法)

一、定义法：利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点（特殊点），过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法。

P

B

α

C

A

E

F

D

例

空间三条射线CA、CP、CB，∠PCA=∠PCB=60o，∠ACB=90o，求二面角B-PC-A的大小。

解：过PC上的点D分别作DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，连EF.∴∠EDF为二面角B-PC-A的平面角，设CD=a，∵∠PCA=∠PCB=600，∴CE=CF=2a，DE=DF=，又∵∠ACB=900，∴EF=，∴∠EDF=

1.在三棱锥P-ABC中，APB=BPC=CPA=600，求二面角A-PB-C的余弦值。

A

B

C

N

M

P

Q

P

O

B

A

2.如图，已知二面角α-а-β等于120°，PA⊥α，A∈α，PB⊥β，B∈β，求∠APB的大小。

3.在四棱锥P-ABCD中，ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=a，求二面角B-PC-D的大小。

二、三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角。

例

在四棱锥P-ABCD中，ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=a，∠ABC=30°，求二面角P-BC-A的大小。

解：如图，PA⊥平面BD，过A作AH⊥BC于H，连结PH，则PH⊥BC

又AH⊥BC，故∠PHA是二面角P-BC-A的平面角。

在Rt△ABH中，AH=ABsin∠ABC=aSin30°=；

在Rt△PHA中，tan∠PHA=PA/AH=，则∠PHA=arctan2.5.在四棱锥P-ABCD中，ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=a，∠ABC=30°，求二面角P-BC-A的大小。

C

B

MB

A

P

N

K

6.如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA=AB，AC=BC=1，∠ACB=900，M是PB的中点。(1)求证：BC⊥PC，(2)平面MAC与平面ABC所成的二面角的正切。

7.ΔABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，平面ABC外一点P在平面ABC内的射影是AB中点M，二面角P—AC—B的大小为45°。求（1）二面角P—BC—A的大小；（2）二面角C—PB—A的大小。

C

D

P

M

B

A

8.如图，已知△ABC中，AB⊥BC，S为平面ABC外的一点，SA⊥平面ABC，AM⊥SB于M，AN⊥SC于N,(1)求证平面SAB⊥平面SBC

(2)求证∠ANM是二面角A－SC－B的平面角.A

B

C

M

N

S

9.第8题的变式：如上图，已知△ABC中，AB⊥BC，S为平面ABC外的一点，SA⊥平面ABC，∠ACB＝600，SA＝AC＝a，(1)求证平面SAB⊥平面SBC

(2)求二面角A－SC－BC的正弦值.A

B

C

D

A1

B1

C1

D1

E

O

10.如图,ABCD-A1B1C1D1是长方体，侧棱AA1长为1，底面为正方体且边长为2，E是棱BC的中点，求面C1DE与面CDE所成二面角的正切值。

图4

B1

A

A1

B

L

E

F

11.如图4，平面⊥平面，∩=l，A∈，B∈，点A在直线l上的射影为A1，点B在l的射影为B1，已知AB=2，AA1=1，BB1=，求：二面角A1－AB－B1的大小。

三、垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直。

例

在四棱锥P-ABCD中，ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=a，求B-PC-D的大小。

解：（垂面法）如图，PA⊥平面BD　BD⊥AC

BD⊥BC　过BD作平面BDH⊥PC于HPC⊥DH、BH

∠BHD为二面角B-PC-D的平面角。

因PB=a,BC=a,PC=a,　PB·BC=S△PBC=PC·BH则BH==DH，又BD=在△BHD中由余弦定理，得：

cos∠BHD＝，又0＜∠BHD＜π，则

∠BHD=，二面角B-PC-D的大小是。

P

l

C

B

A

12.空间的点P到二面角的面、及棱l的距离分别为4、3、，求二面角的大小.13．如图，在三棱锥S－ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC且分别交AC、SC于D、E，又SA＝AB，SB＝BC，求二面角E－BD－C的度数。

A

B

C

S

D

II.寻找无棱二面角的平面角的方法

（射影面积法、平移或延长(展)线(面)法)

四、射影面积法：利用面积射影公式S射＝S原cos,其中为平面角的大小，此方法不必在图形中画出平面角。

例

在四棱锥P-ABCD中，ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝a，求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小。

解：（面积法）如图，同时，BC⊥平面BPA于B，故△PBA是△PCD在平面PBA上的射影

设平面PBA与平面PDC所成二面角大小为θ，则cosθ=

θ=45°

A

H

M

D1

C1

B1

A1

B

C

D

14.如图，设M为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CC1的中点，求平面BMD1与底面ABCD所成的二面角的大小。

15.如图，α与β所成的角为600，于C，于B，AC＝3，BD＝4，CD＝2，求A、B两点间的距离。

A

l

D

C

α

β

A

l

B

C

α

β

E

B

D

五、平移或延长（展）线（面）法：对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出现棱，然后再选用上述方法（尤其要考虑射影法）。

例

在四棱锥P-ABCD中，ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝a，求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小。（补形化为定义法）

解：（补形化为定义法）如图，将四棱锥P-ABCD补形得正方体ABCD-PQMN，则PQ⊥PA、PD，于是∠APD是两面所成二面角的平面角。

在Rt△PAD中，PA=AD，则∠APD=45°。

即平面BAP与平面PDC所成二面角的大小为45°

16.在四棱锥P-ABCD中，ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝a，求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小。

六、向量法

解立体几何中是一种十分简捷的也是非常传统的解法，可以说所有的立体几何题都可以用向量法求解，用向量法解立体几何题时，通常要建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，然后将几何图中的线段写成用坐标法表示的向量，进行向量计算解题。

例（202_天津卷理）如图，在五面体ABCDEF中，FA

平面ABCD,AD//BC//FE，ABAD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD。,(I)求异面直线BF与DE所成的角的大小；

(II)

证明平面AMD平面CDE；

(III)求二面角A-CD-E的余弦值。

解：如图所示，建立空间直角坐标系，以点为坐标原点。设依题意得

（I）

所以异面直线与所成的角的大小为.（II）证明：，（III）

又由题设，平面的一个法向量为

18.（202_湖北）如图，在直三棱柱中，平面侧面.(I)

求证：；

(II)

若直线与平面所成的角为,二面角的大小为，试判断与的大小关系，并予以证明.分析：由已知条件可知：平面ABB1

A1⊥平面BCC1

B1⊥平面ABC于是很容易想到以B

点为空间坐标原点建立坐标系，并将相关线段写成用坐标表示的向量，先求出二面角的两个半平面的法向量，再利用两向量夹角公式求解。

（答案：，且）

由此可见，二面角的类型和求法可用框图展现如下：

分析：所求二面角与底面ABC所在的位置无关，故不妨利用定义求解。

略解：在二面角的棱PB上任取一点Q，在半平面PBA和半平面PBC上作QMPB，QNPB，则由定义可得MQN即为二面角的平面角。设PM=a,则在RtPQM和RtPQN中可求得QM=QN=a；又由PQNPQM得PN=a,故在正三角形PMN中MN=a,在三角形MQN中由余弦定理得cosMQN=，即二面角的余弦值为。

因为AB=AD=a。

过B作BH⊥PC于H，连结DH

DH⊥PC　故∠BHD为二面角B-PC-D的平面角。

因PB=a,BC=a,PC=a,PB·BC=S△PBC=PC·BH，则BH==DH又BD=。在△BHD中由余弦定理，得：

cos∠BHD＝，又0＜∠BHD＜π

则∠BHD=，二面角B-PC-D的大小是。

[基础练习]

1．二面角是指（）

A

两个平面相交所组成的图形

B

一个平面绕这个平面内一条直线旋转所组成的图形

C

从一个平面内的一条直线出发的一个半平面与这个平面所组成的图形

D

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形

2．平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能有（）

A

1条或2条交线

B

2条或3条交线

C

仅2条交线

D

1条或2条或3条交线

3．在300的二面角的一个面内有一个点，若它到另一个面的距离是10，则它到棱的距离是（）

A

B

C

D

4．在直二面角α-l-β中，RtΔABC在平面α内，斜边BC在棱l上，若AB与面β所成的角为600，则AC与平面β所成的角为（）

A

300

B

450

C

600

D

1200

A

B

C

D

5．如图，射线BD、BA、BC两两互相垂直，AB=BC=1，BD=，则弧度数为的二面角是（）

A.D-AC-B

B.A-CD-B

C.A-BC-D

D.A-BD-C

6．△ABC在平面α的射影是△A1B1C1，如果△ABC所在平面和平面α成θ角，有（）

A.S△A1B1C1=S△ABC·sinθ

B.S△A1B1C1=

S△ABC·cosθ

C.S△ABC

=S△A1B1C1·sinθ

D.S△ABC

=S△A1B1C1·cosθ

A

B

M

N

P

l

7．如图，若P为二面角M-l-N的面N内一点，PB⊥l，B为垂足，A为l上一点，且∠PAB=α，PA与平面M所成角为β，二面角M-l-N的大小为γ，则有（）

A　sinα=sinβsinγ

B　sinβ=sinαsinγ

C

sinγ=sinαsinβ

D

以上都不对

8．在600的二面角的棱上有两点A、B，AC、BD分别是在这个二面角的两个面内垂直于AB的线段，已知：AB=6，AC=3，BD=4，则CD=。

9．已知△ABC和平面α，∠A=300，∠B=600，AB=2，ABα，且平面ABC与α所成角为300，则点C到平面α的距离为。

10．正方体ABCD—A1B1C1D1中，平面AA1C1C和平面A1BCD1所成的二面角（锐角）为。

11．已知菱形的一个内角是600，边长为a，沿菱形较短的对角线折成大小为600的二面角，则菱形中含600角的两个顶点间的距离为。

α

A

B

C1

C

12．如图，△ABC在平面α内的射影为△ABC1，若∠ABC1=θ，BC1=a，且平面ABC与平面α所成的角为ψ，求点C到平面α的距离

13．在二面角α-AB-β的一个平面α内，有一直线AC，它与棱AB成450角，AC与平面β成300角，求二面角α-AB-β的度数。

[深化练习]

14．若二面角内一点到二面角的两个面的距离分别为a和，到棱的距离为2a，则此二面角的度数是。

15．把等腰直角三角形ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，若∠BAC=600，则此二面角的度数是。

A

F

E

B

D

C

16．如图，已知正方形ABCD和正方形ABEF所在平面成600的二面角，求直线BD与平面ABEF所成角的正弦值。

A

B

C

D

A1

D1

C1

B1

17．如图，在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，求：（1）面A1ABB1与面ABCD所成角的大小；（2）二面角C1—BD—C的正切值。

练习参考答案:

1—7

DDBA

ABB

8.7cm

9.10.11.12.13.450

14.700或1650

15.900

16.正弦值为

17.(1)900

(2)正切值为

第五篇：二面角大小的求法归类分析

二面角大小的求法归类分析

一、定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性 二、三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角

三、、垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直

四、射影法：利用面积射影公式S射＝S原cosθ,其中θ为平面角的大小，此方法不必在图形中画出平面角二面角