第一篇：平面与平面垂直的判定导学案

河南师大附中导学案高一数学人教A版必修2编写:高一数学备课组 校审: 高一数学备课组

§2.3.2平面与平面垂直的判定

【学习目标】

1.掌握二面角和两个平面垂直的定义

2.理解平面与平面垂直的判定定理并会用判定定理证明平面与平面垂直的关系

3.会用所学知识求两平面所成的二面角.【重点难点】

重点：平面与平面垂直的判定定理.难点：判定定理的应用及二面角的求法.【学法指导】

1.二面角是由两个半平面所成的角，刻画二面角的大小是要看它的平面角的大小，求二面角首先要找到它的平面角，然后解平面角。

2.证明两平面垂直，可以根据定义两平面所成的二面角是直二面角。也可根据判定定理一平面经过另一平面的垂线。很多情况下要做辅助线，在一平面内做一条直线并证明它能垂直于另一平面即可。

【知识链接】

1.平面与平面的位置关系：平行、相交.2.直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直.3.直线与平面所成的角是怎么定义的？直线与平面所成的角的范围是？

平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。

规定：(1)直线与平面垂直时，所成的角为直角，(2)直线与平面平行或在平面内，所成的角为0°角；由此得直线和平面所成角的取值范围为0,

 2

【问题探究】

探究一、二面角及其平面角

引导:修筑水坝时，为了使水坝坚固耐用，必须使水坝面与水平面成适当的角度；发射人造卫星时也要根据需要，使卫星轨道平面与地球赤道平面成一定的角度。这里所涉及到的就是我们所要研究的两个平面所成的角。

新知：从一条直线出发的所组成的图形叫二面角

（dihedral angle）.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二

面角的面.记作.简记： P—AB—Q；—l—；P—l—Q

我们常说“把门开大些”，是指哪个角大一些？我们应该怎样刻画二面角的大小呢？ 二面角的平面角：在二面角－l－的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面,

内分别作，则射线OA和OB构成的AOB叫做二面角的平面角.AOB的大小与点O在l上的位置有关系吗？为什么？

直二面角：.二面角的平面角的作用：衡量二面角的大小； 它的范围：.探究

二、平面与平面垂直的判定

引导:教室里的墙面所在的平面与地面所在的平面相交，他们所成的二面角是直二面角，我们常说墙面直立于地面上。那么怎样才叫两平面垂直呢？

新知：两个平面相交，如果它们所成的二面角是，就说这两个平面互相垂直.记

作.除了定义，我们能不能找到更简洁的判定两平面垂直的方法？

平面与平面垂直的判定定理：.（线面垂直面面垂直）

符号语言：.【典例分析】

例1.如图，AB是⊙0的直径，PA垂直于⊙0所在的平面，C是圆

周上不同于A,B的任意一点，求证：平面PAC平面PBC.引导：根据平面与平面垂直的判定定理我们只需要能在平面PBC内

找到一条直线垂直于平面PAC即可。根据条件可以分析出BC就是我们要找的直线。证明:

反思：线线垂直线面垂直面面垂直

例2.如图所示，已知三棱锥DABC中，满

足

ABACDBABCD的大小？

BC2,引导:求二面角关键是要找到二面角的平面角，设E为BC的中点，连AE，DE则根据条件易证DEA即为二面

角

ABCD的平面角。

解：

反思:求解二面角的平面角，要根据二面角的定义按照“作”（作图作出二面角的平面角）-“证”（证明作出的角就是二面交的平面角）-“指”（指出二面角的平面角）-“解”（求解出二面角的平面角）。

【目标检测】

一、选择题:

1．对于直线m、n和平面、，的一个条件是（）.A．mn，m//，n//B.mn,Im,n

C．m//n,n,m//D.m//n，m，n 2.经过平面外一点与平面垂直的平面有（）

A．0个B.1个C．2个D.无数个

3.自二面角内任一点分别向两个平面引垂线，则两垂线所成的角月二面角的平面角的关系是（）

A相等B 互补C 互余D无法确定

4如图，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面.图中互相垂直的平面有（）

A.2对B.3对C.4对D.5对

二、填空题:

5．正四面体相邻两个面所称的二面角的余弦值为

6．空间四边形ABCD中，AB=BC，CD=DA，E是AC的中点，则平面BDE与平面ABC的位置关

系是

7（2010四川卷）.（15）如图，二面角l的大小是60°，线段AB.Bl，AB与l所成的角为30°.则AB与平面所成的角的正弦值是.三、解答题：

B

A

ABBC,CDDA, E,F,G分别是CD,DA,AC的中点，8.如图, 在空间四边形ABCD中，求证：平面BEF平面BGD.引导:只需证明EF平面BGD即可。易知EF平行于AC，而易证AC垂直于平面BGD。证明：

9*.已知空间四边形ABCD的四条边和对角线都相等，求平面ACD和平面BCD所在二面角的大小.引导:关键找到二面角的平面角，按照“作”，“证”，“指”，“解”四步求解。

【总结提升】:

1、二面角的平面角：在二面角－l－的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面

,内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的AOB叫做二面

角的平面角.2、求解二面角的平面角，要根据二面角的定义按照“作”（作图作出二面角的平面角）-“证”

（证明作出的角就是二面交的平面角）-“指”（指出二面角的平面角）-“解”（求解出二面角的平面角）。

3、平面与平面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.（线面垂直面面垂直）

【总结反思】

知识

重点.能力与思想方法

※自我评价（）

A、课前自主学习认真，学案完成很好；你真棒，继续坚持。B、课前自主学习一般，学案完成良好；下次争取做的更好。

C、课前自主学习较差，学案空白较多；注意学习方法，提高学习效率。

第二篇：平面与平面垂直的判定

由莲山课件提供http:///资源全部免费

平面与平面垂直的判定简案(1课时)

主讲人:赵军时间：2011.地点：高二.九班教室

（一）教学目标1．知识与技能

（1）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；

（2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；

（3）使学生理会“类比归纳”思想在教学问题解决上的作用.2．过程与方法

（1）通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程；

（2）类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理.3．情态、态度与价值观

通过揭示概念的形成、发展和应有和过程，使学生理会教学存在于观实生活周围，从中激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力.（二）教学重点、难点

重点：平面与平面垂直的判定；

难点：如何度量二面角的大小.（三）教学方法

实物观察、类比归纳、语言表达，讲练结合.（四）教学用具：多媒体课件,三角尺,彩色粉笔2只

（五）教学过程

1.导入新课

2探索新知

3典例分析

4随堂练习

5归纳总结

6课后作业

（六）教学反思

由莲山课件提供http:///资源全部免费

第三篇：直线与平面垂直的判定

课题：直线与平面垂直的判定

一、学习目标：

1.理解线面垂直的概念。

2.掌握线面垂直的判定定理。

例2.如图，已知PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，过点A作AE⊥PC于点E，求证AE⊥平面PBC

二、重点：线面垂直的概念，判定定理。难点：线面垂直判定定理的应用。

三、自学指导：

请同学们阅读课本p

64p45，并回答下列问题

1.线面垂直的概念是什么？

2.如何用图形表示线面垂直？

3.线面垂直的判定定理是什么？请用文字语言、图形语言、符号语言

进行表示。简称为“线线垂，则线面垂。”

四、导思探究。

1.已知a∥b，a⊥。求证b⊥。

思考：证明线面垂直时，关键在什么地方？

2.判断下列命题：

①一条直线如果垂直了某个平面，则必垂直于平面内所有直线。（）②过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直。（）③垂直于同一条直线的两个平面平行。（）④垂直于同一平面的两直线平行。（）

⑤垂直于平面内无数条直线的直线与平面垂直。（）⑥过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直。（）

五、导练展示：

例1.在三棱锥V-ABC中，VA=VC,AB=BC,求证：VB⊥AC.六、达标检测：

1.如图，在空间四边形ABCD中，已知BC=AC，AD=BD，足，作AH⊥BE于H，求证AH⊥平面BCD。

七、反思小结：

作BE⊥CD，E为垂

第四篇：2.2.2平面与平面平行的判定导学案

任丘一中数学新授课导学案班级：小组：姓名：使用时间：

§2.2.2平面与平面平行的判定

编者:顾伟

组长评价： 教师评价：

1.了解空间中平面与平面的位置关系；

2．掌握平面与平面平行的判定定理；

重点：平面与平面平行的判定定理..使用说明：（1）预习教材P56 ~ P57，用红色笔画出疑惑之处，并尝试完成下列问题，总结规律方法；

（2）用严谨认真的态度完成导学案中要求的内容；

（3）不做标记的为C级，标记★为B级，标记★★为A级。

预习案（20分钟）

一．知识链接

直线与平面平行的判定.二．新知导学

平面与平面的位置关系有哪几种？

探究案（30分钟）

三．新知探究

问题：三角板的一边所在直线与桌面平行，这个三角板所在平面与桌面平行吗？

三角板的两条边所在直线分别与桌面平行，这个三角板所在平面与桌面平行吗？

直线与平面平行的判定定理：符号语言：

作用：

将平面与平面平行关系转化为直线与平面间平行关系。

平面平行的传递性：

如果平面α //平面β，平面β //平面γ，则平面α //平面γ。

四．新知应用

例1.判断下列命题是否正确，正确的说明理由，错误的举例说明：

（1）已知平面α，β和直线m，n，若m,n,m//,n//，则α // β；

（2）一个平面α内两条不平行的直线都平行于另一个平面β，则α // β。

（3）一个平面α内有无数条直线都平行于另一个平面β，则α // β。

（4）一个平面α内的任何直线都与β平行，则α // β。

（5）直线a // α，a // β，且直线a不在α内，也不在β内，则α // β。

（6）直线a，直线b，且a//,b//，则α // β。

规律方法

例2．已知正方体ABCD—A1B1C1D1，求证：平面AB1D1//平面C1BD。

变式．已知在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、E、F、N分别是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中点。求证：

（1）E、F、B、D四点共面；

（2）平面AMN //平面EFBD。

例3．已知四棱锥V—ABCD，四边形ABCD为平行四边形，E、F、G分别是AD、BC、VB的中点，求证：平面EFG //平面VDC。

规律方法：面面平行的判定定理的实质就是一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面内的两条相交直线平行。

例4．如图，α // β，A、C，B、D，且A、B、C、D不共面，E、F分别是AB、CD的中点，求证：EF//,EF//。（可作如下辅助线）

例5．如图，S是平行四边形ABCD平面外一点，M、N分别是AD、SB上的中点，且SD=DC，SDDC求证：（1）MN//平面SDC；（2）求异面直线MN与CD所成的角.S

B

V 例6．（★）一木块如图所示，点P在平面VAC内，过点P将木块锯开，使截面平行于直线VB和VC，应该怎样画线？ ．P

C B

A

五．我的疑惑

（把自己在使用过程中遇到的疑惑之处写在下面，先组内讨论尝试解决，能解决的划“√”，不能解决的划“×”））

随堂评价（15分钟）

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差

※ 当堂检测（时量：15分钟 满分：30分）计分：

1．下列说法正确的是（）.A.一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任一条直线平行

B.平行于同一平面的两条直线平行

C.如果一个平面内的无数条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行

D.如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行

2．下列说法正确的是（）.A.垂直于同一条直线的两条直线平行B.平行于同一个平面的两条直线平行

C.平行于同一条直线的两个平面平行D.平行于同一个平面的两个平面平行

3．在下列条件中，可判断平面与平行的是（）.A.、都平行于直线l

B.内存在不共线的三点到的距离相等

C.l、m是内两条直线，且l∥，m∥

D.l、m是两条异面直线，且l∥，m∥，l∥，m∥

4．已知a、b、c是三条不重合直线，、、是三个不重合的平面，下列说法中：⑴a//c,b//ca//b；⑵a//,b//a//b；⑶c//,c////；⑷//,////； ⑸a//c,c//a//；⑹a//,//a//.其中正确的说是.5．两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，MAC，NFB，且

过M作MHAB于H.AMFN，求证：（1）平面MNH//平面BCE；

（2）MN∥平面BCE.§2.2.2 课后巩固

1.下列命题中为真命题的是（）

A.平行于同一条直线的两个平面平行

B.垂直于同一条直线的两个平面平行

C.若—个平面内至少有三个不共线的点到另—个平面的距离相等，则这两个平面平行．

D.若三直线a、b、c两两平行，则在过直线a的平面中，有且只有—个平面与b，c均

平行.2.已知m、n是两条直线，、是两个平面,有以下命题：

①m、n相交且都在平面、外，m//,m//,n//,n//，则//； ②若m//,m//，则//；

③若m//,n//,m//n，则//.其中正确命题的个数是（）

A.0B.1C.2D.33.过两平行平面、外的点P两条直线AB与CD，它们分别交于A、C两点，交于

B、D两点，若PA＝6，AC＝9，PB＝8，则BD的长为__________.4.设m,n是两条直线，,是两个平面，则下面的推理中正确推理的序号为（1）a,b,a//,b////；

（2）//,a,ba//b；

（3）a//,la//l；

（4）a,b异面，a,b,a//,b////.5.已知正方体ABCDA1B1C1D1，E、F分别是棱CC1、BB1的中点，求证：平面DEB1//平面ACF.6.正方体ABCDA1B1C1D1中,E、F分别是AB,BC的中点,G为DD1上一点,且

-A1

1D1G:GD1：2,ACBDO,求证:平面AGO∥平面D1EF.7.直三棱柱ABCA1B1C1中,B1C1AC11，AC1A1B,M、N分别是A1B1、AB的中点,求证：平面AMC1//平面NB1C.8.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ//平面PAO?

第五篇：“平面与平面垂直的判定”的教学反思

梧州市苍梧中学 李燕伟

【摘 要】通过比较详细地讲解“平面与平面垂直的判定”这一教学内容，对新课标背景下开展的教学活动进行探讨和反思，得出可靠的经验。

【关键词】平面与平面垂直的判定 创设情景 引导探究 自我尝试 运用反馈 教学反思 【中图分类号】 G 【文献标识码】 A 【文章编号】0450-9889（2015）01B-0087-03

一、教材分析

本节内容选自数学必修2（人教A版）第二章中“平面与平面垂直的判定”。立体几何是以培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力为主要目标。教材根据“认识空间图形，培养和发展学生的几何直觉、运用图形语言进行交流的能力、空间想象能力与一定的推理论证能力”的新要求。本节在内容的安排和处理方式上，加强了引导学生通过自己的观察、操作等活动获得数学结论的过程。在平面与平面垂直的判定定理得出的过程中，注重对典型实例的观察、分析，引导学生自主归纳、概括。本节课的设计按照新课标的要求，遵循“直观感知——动手操作——归纳确认”的认识过程，引导学生归纳二面角的定义，探索二面角的度量，发现平面与平面垂直的判定定理。

二、教学过程实录

（一）创设情景，揭示课题

问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？ 问题2：在立体几何中，“异面直线所成的角”“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？

以上问题让学生自由发言，教师小结，并抛出问题：在日常生活中，有许多问题涉及两个平面相交所成的角的情形，你能举出一些例子吗？

学生1：我们进出教室把门打开时，门面与门框面所成的角。学生2：我们翻开课本时相应的两页面所成的角。

教师：如修水坝、发射人造卫星等，而这样的角有何特点，该如何表示呢？（几何画板展示上述图片，引导学生观擦、研探）

（二）引导探究，建构概念 1．二面角的有关概念

活动1：师生分别展示一张长方形卡纸，对折后展平。问题：折痕把平面分为几部分？我们把它们叫做什么？

活动2：师生分别沿着折痕把其中一个半平面折起使两个半平面成一个角度。

问题：从平面一点引的两条射线组成的图形是角，那么这个图形又是什么呢？课件展示。（学生阅读课本并填角与二面角对比框图：包括图形、定义、构成、表示）个别提问学生，2．二面角的度量 教师：（1）门面与门框面所成的二面角；（2）两页面所成的二面角；（3）两个半平面成的二面角。以上三个二面角中，当其中一个面绕着棱转动时，所得二面角与原来相比有什么变化？（分三个组进行实验操作：开门、翻书、折纸）

学生集体：二面角的大小变化了，两个平面相交的位置发生了变化。

教师：二面角的大小定量地反映了两个平面相交的位置关系，那我们应如何度量二面角的大小呢？（引导学生类比异面直线，线面所成角的平面化过程）思考：（1）角的顶点取在哪里？（2）角的两边如何作出？（3）所作出的角大小唯一吗？ 活动3：带着思考，每四个学生共同做一个小实验（用活动2中做的二面角的模型）试着在二面角中画出一个角来反映它的大小。（学生画图，交流，辨析，归纳做法）学生3：在棱上取一点为顶点，在两个半平面内各作一射线。其他学生补充：射线要垂直于棱画出的角才唯一。教师：（1）顶点可以在棱上任意取吗？顶点取不同位置大小有变化吗？（几何画板演示）通过实验操作，学生研探出二面角大小的度量方法——二面角的平面角。学生提炼二面角的平面角（如图1所示）。

（1）在表示二面角的平面角时，要求“OA⊥L”，OB⊥L；（2）∠AOB的大小与点O在L上位置无关；（3）平面角是直角的二面角叫直二面角。

练习：教室相邻两个墙面与地面构成几个二面角？ 指出构成这些二面角的面、棱、平面角及其度数。（课件展示图2）

个别提问学生，通过学生的回答进一步强化二面角的平面角的寻找。并让学生通过直观感知给平面与平面的垂直下定义。3．平面与平面垂直的定义

引导学生把文字语言转化为图示语言和符号语言，体现数学的简洁美。教师对学生做法进行点评和完善。

教师：你们能说一说身边出现的平面与平面垂直的例子吗？ 学生：把书直立在桌面上，书的封面与桌面垂直。学生：把门打开时，门面始终与地面垂直。学生：教室的墙面肯定与地面垂直。（组织学生实验操作）

教师：数学与生活是息息相关的，我们平时要善于用数学的眼光看待周围的事物。

教师：我们再来想一想：建筑工人在安装门、在切墙时是通过怎样方法来保证与地面的垂直的？

学生：安装门时通过门轴与地面垂直。

学生：我看到砌墙工人砌墙时在墙边吊了一根铅垂线。

教师：生活经验告诉我们这些方法能保证相应的两个平面垂直，你们能从这些方法中找到判断平面垂直的依据吗？（展示图3和图4）

学生：门轴，铅垂线可以抽象为线，由此我们能得出只要平面内有直线与面垂直，那两个平面就是垂直的。（通过学生的结论教师课件展示）4．平面与平面垂直的判定定理

引导学生转化为用图象、符号来表示，认识到线面垂直与面面垂直的论证关系。同时让学生思考、交流：

（1）若证面面垂直，线在哪里找，要满足什么关系？（2）有了线与面垂直，你能找到与这个面垂直的平面吗？（3）现在我们有多少种方法可以证明平面与平面垂直？

教师通过面向全体学生，检查学生的理解程度，对学生做得不到位的地方及时点拨。

（三）自我尝试，初步应用

例．如图示，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在平面，C是圆周上不同于A和B的任意一点。求证：平面PAC⊥平面PBC。教师生一起阅读题目，在图像上找出题目中的线、面。学生试着把证明的过程写在草稿纸上。教师巡堂，从学生中收集不同的解法，用实物投影出来，师生一起点评，归纳出：（1）面面垂直可用定义和判定定理去证明，要结合条件选择较优的解法。（2）用判定定理时，要注意分析垂线在哪个面内找容易论证。

（四）运用反馈，深化巩固

深化巩固：课本P73的探究问题，练习1。

做法：学生思考，折纸实验，小组讨论，老师与学生对话完成。

（五）小结归纳，回顾反思 笔者设计了三个问题：

（1）通过本节课的学习，你学到了哪些知识？（2）通过本节课的学习，你最大的体验是什么？（3）通过本节课的学习，你掌握了哪些技能？

（六）课后巩固，拓展思维

课本73页习题第4题，74页B组的第1题。

三、教学反思

通过本节课的教学，笔者对新课标下的课堂有了如下的认识：

（一）注重知识的形成过程教学 新课标强调“直观感知”，在教学中教师要善于引导学生从熟悉的事物、现象出发，引导学生用数学眼光看待周围的事物。组织学生尽可能地进行讨论、研究。通过操作、实践活动等让学生去经历、感受、体会，在获得大量的直接经验的基础上去发现知识，总结方法，提升能力。本课通过引导学生例举开门、翻书动作形成平面所成角的基础上，再由折纸活动让学生感知二面角的概念。使抽象知识直观化，符合学生的认知发展。

（二）注重温故而知新

在学习新知识时，要重视联想、类比有关的旧知识，辩清它们的区别和联系，进而达到知识或方法的同化。本课类比1：“异面直线所成的角”“直线和平面所成的角”的学习，发现可以用平面角刻画二面角的大小。类比2：由角的结构引出二面角的平面角顶点在哪里，两条射线怎么出现？通过这两个类比，学生很顺利地探究出：（1）二面角大小的度量方法——二面角的平面角；（2）二面角的平面角的作法。从而达到高效地突破教学难点。

（三）注重课堂活动的多样性

新的教学理念希望给学生营造一个民主、和谐的学习氛围，培养学生自主探究、参与合作的学习方式，全面发展学生的实践与创新能力。活动有学生的折纸、摆书、自己动手画图；提问方式有个体、小组、群体提问；合作方式有同桌交流，四人小组实验；教具有多媒体、几何画板、教室的门、学生的书、硬纸板。本课在课堂教学中保证学生参与教学活动的时间和空间，抓住学生的学习兴趣、求知欲、成就感等积极因素，积极培养学生观察、发现、操作、画图、表达等多方面的能力。

（四）注重数学思维的教学

新课标提出高中数学应注重提高学生的数学思维能力。本课在概念的构建过程中，通过观察与实验，比较与归纳培养学生由抽象到具体，一般到特殊的转化能力。在例题的教学中通过教师收集解法，师生评价，学生总结来达到培养思维的广阔性与深刻性的。错解的出现提高了学生思维的批判性与独创性。

（五）注重对教材的开发使用

新教材在问题设置、习题设置、数学知识的形成过程、数学的应用等方面变化较大，因此教师在平时备课中不但要吃透教材，而且要尽量地搜集与教材有关的知识，制作与教材有关的教具。基于二面角的抽象性，本课设置了三个活动（即一个活动链折纸）去弱化它的抽象性，强化它的直观与可操作性。在平面与平面垂直的判定定理的导出中，通过设置问题串，调动学生的积极思维，最终让学生发现判定定理。在小结归纳中设置：你学到了哪些知识？你最大的体验是什么？你掌握了哪些技能？这样不仅让学生重现知识，而且让学生重组过程提升方法，从而再次凸现教学目标。