第一篇：一元二次方程专题练习

22.2降次——解一元二次方程

专题一利用配方法求字母的取值或者求代数式的极值

1.若方程25x-（k-1）x+1=0的左边可以写成一个完全平方式，则k的值为（）

A．-9或11B．-7或8C．-8或9C．-8或9

222.如果代数式x+6x+m是一个完全平方式，则m=.3.用配方法证明：无论x为何实数，代数式－2x2+4x－5的值恒小于零．

2专题二利用△判定一元二次方程根的情况或者判定字母的取值范围

4.已知a，b，c分别是三角形的三边，则方程（a+b）x2+2cx+（a+b）=0的根的情况是（）

A.没有实数根B.可能有且只有一个实数根

C.有两个相等的实数根D.有两个不相等的实数根

25.关于x的方程kx+3x+2=0有实数根，则k的取值范围是（）

A.k≤9999B.k＜C.k＜且k≠0D.k≤且k≠0 8888

6.定义：如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）满足a＋b＋c＝0，那么我们称这个方程 为“凤凰”方程．已知ax2＋bx＋c＝0（a≠0）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下 列结论正确的是（）

A．a＝cB．a＝bC．b＝cD．a＝b＝c

专题三解绝对值方程和高次方程

7.若方程（x2+y-5）=64，则x+y=.8.阅读题例，解答下题：

例：解方程x2－|x－1|－1=0.22解：（1）当x－1≥0，即x≥1时，x－（x－1）－1=0，∴x－x=0.解得：x1=0（不合题意，舍去），x2=1.22（2）当x－1＜0，即x＜1时，x+（x－1）－1=0，∴x+x－2=0.解得x1=1（不合题意，舍去），x2=－2.综上所述，原方程的解是x=1或x=－2.2依照上例解法，解方程x+2|x+2|－4=0．

222

2专题四一元二次方程、二次三项式因式分解、不等式组之间的微妙联系

9.探究下表中的奥秘，并完成填空：

10.请先阅读例题的解答过程，然后再解答：

代数第三册在解方程3x（x+2）=5（x+2）时，先将方程变形为3x（x+2）-5（x+2）=0，这个方程左边可以分解成两个一次因式的积，所以方程变形为（x+2）（3x-5）=0．我们 知道，如果两个因式的积等于0，那么这两个因式中至少有一个等于0；反过来，如果两 个因式有一个等于0，它们的积等于0．因此，解方程（x+2）（3x-5）=0，就相当于解方 程x+2=0或3x-5=0，得到原方程的解为x1=-2，x2=

．

3a0,a0,根据上面解一元二次方程的过程，王力推测：a﹒b＞0，则有 或者请判

b0b0.

断王力的推测是否正确？若正确，请你求出不等式 说明理由．

5x

10的解集，如果不正确，请 2x3

专题五利用根与系数的关系求字母的取值范围及求代数式的值

11.设x1、x2是一元二次方程x+4x－3=0的两个根，2x1（x2+5x2﹣3）+a=2，则a=． 12.【2012·怀化】已知x1、x2是一元二次方程a6x2axa0的两个实数根，2

2⑴是否存在实数a，使－x1＋x1x2=4＋x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由；

⑵求使（x1＋1）（x2＋1）为负整数的实数a的整数值．

b2

13.教材中我们学习了：若关于x的一元二次方程ax+bx+c=0的两根为x1、x2,x1+x2=－ac

x1·x2=.根据这一性质，我们可以求出已知方程关于x1、x2的代数式的值．例如：已知

ax1、x2为方程x-2x-1=0的两根，则：

2（1）x1+x2=____，x1·x2=____，那么x1+x2=(x1+x2)-2 x1·x2=__ __．

mn

1（2）阅读材料：已知m2m10,n2n10，且mn1．求的值．

n解：由n2n10可知n0．方程左右两边同时除以n得 1∴

20，nn

10.n2n

11．∴m,是方程x2x10的两根． nn

又m2m10,且mn1，即m∴m

1．∴mn1=1． nn

（3）根据阅读材料所提供的方法及（1）的方法完成下题的解答．

已知2m23m10,n23n20，且mn1．求m22的值．

n

知识要点：

1.解一元二次方程的基本思想——降次，解一元二次方程的常用方法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法.2.一元二次方程的根的判别式△=b2-4ac与一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）的根的关系： 当△>0时，一元二次方程有两个不相等的实数解； 当△=0时，一元二次方程有两个相等的实数解； 当△<0时，一元二次方程没有实数解.3.一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）的两根x1、x2与系数a、b、c之间存在着如下关系： x1+x2=﹣，x1•x2=.22.3实际问题与一元二次方程

专题一利用一元二次方程解决面积问题

1.在高度为2.8m的一面墙上，准备开凿一个矩形窗户．现用9.5m长的铝合金条制成如图所

示的窗框．问：窗户的宽和高各是多少时，其透光面积为3m（铝合金条的宽度忽略不计）．

2.如图：要设计一幅宽20cm，长30cm的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2：3，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？

3.数学的学习贵在举一反三，触类旁通.仔细观察图形，认真思考，解决下面的问题：（1）在长为am，宽为bm的一块草坪上修了一条1m宽的笔直小路（如图（1）），则余下草坪的面积可表示为m2；

（2）现为了增加美感，设计师把这条小路改为宽恒为1m的弯曲小路（如图（2）），则此时余下草坪的面积为m2；

（3）聪明的鲁鲁结合上面的问题编写了一道应用题，你能解决吗？相信自己哦！（如图（3）），在长为50m，宽为30m的一块草坪上修了一条宽为xm的笔直小路和一条长恒为xm的弯曲小路（如图3），此时余下草坪的面积为1421m2．求小路的宽

x.5.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感 染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有 效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？

6.【2012·广元】某中心城市有一楼盘，开发商准备以每平方米7000元的价格出售，由于 国家出台了有关调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价后，决定以每平方米5670 元的价格销售．

（1）求平均每次下调的百分率；

（2）房产销售经理向开放商建议：先公布下调5%，再下调15%，这样更有吸引力．请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠？为什么？

专题三利用一元二次方程解决市场经济问题

7.【2012·济宁】一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗，园林公司规定： 如果购买树苗不超过60棵，每棵售价为120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元．该校最 终向园林公司支付树苗款8800元．请问该校共购买了多少棵树苗？

8.【2012·南京】某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的售 价与销售量有如下关系：若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元,每多售 出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部；月底厂家根据销售量一次性返利给 销售公司，销售10部以内（含10部），每部返利0.5万元；销售量在10部以上，每部 返利1万元.(1)若该公司当月售出3部汽车，则每部汽车的进价为万元.(2)如果汽车的售价为28万元/部，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少部汽车？（盈利=销售利润+返利）

专题四利用一元二次方程解决生活中的其他问题

9.(1)经过凸n边形(n＞3)其中一个顶点的对角线有条.．．．．．．

(2)一个凸多边形共有14条对角线,它是几边形？

(3)是否存在有21条对角线的凸多边形？如果存在,它是几边形？如果不存在,说明理

由.10.如图，每个正方形是由边长为1的小正方形组成．

（1）观察图形，请填写下列表格：

（2）在边长为n（n≥1）的正方形中，设红色小正方形的个数为P1，白色小正方形的个数为P2，问是否存在偶数n，使P2=5P1？若存在，请写出n的值；若不存在，请说明理由．

第二篇：《一元二次方程》基础练习

《一元二次方程》基础练习

积累●整合1、下列方程一定是关于x的一元二次方程的是（）

A．ax2+bx+c=0

B．m2x+5m+6=0

C．x3－x－1=0

D．（k2+3）x2+2x－=02、一元二次方程x2－2（3x－2）+（x+1）=0的一般形式是（）

A．x2－5x+5=0

B．x2+5x－5=0

C．x2+5x+5=0

D．x2+5=03、方程3x2－x+=0的二次项系数与一次项系数及常数项之积为（）

A．3

B．－

C．

D．－94、下列方程中，不含一次项的是（）

A．（2x－1）（1+2x）=0

B．3x2=4x

C．2x2=7－6x

D．x（1－x）=05、若x=1是方程x2+nx+m=0的根，则m+n的值是（）

A．1

B．－1

C．2

D．－26、下列说法正确的是（）

A．方程ax2+bx+c=0是关于x的一元二次方程

B．方程3x2=4的常数项是4

C．若一元二次方程的常数项为0，则0必是它的一个根

D．当一次项系数为0时，一元二次方程总有非零解

7、关于x的一元二次方程（a－1）x2+x+a2－1=0的一个根是0，则a的值是（）

A．1

B．－1

C．1或－1

D．

8、若ax2－5x+3=0是一元二次方程，则不等式3a+6＞0的解集为（）

A．a＞－2

B．a＜－2

C．a＞－

D．a＞－2且a≠0

拓展●应用

9、若一元二次方程2x2+（k+8）x－（2k－3）=0的二次项系数、一次项系数、常数项之和为5，则k=

10、若方程（m－1）x|m|+1－2x=3是关于x的一元二次方程，则m=

11、写出一个一元二次方程，使方程有一个根为0，并且二次项系数为1，12、已知x=－2是方程x2－mx+2=0的根，则－=

13、关于x的方程（k2－4）x2+（k－2）x+3k－1=0，当k=

时为一元一次方程；当k

时为一元二次方程。

14、根据题意，列出方程：

（1）一个两位数，两个数字的和为6，这两个数字的积等于这个两位数的，设这个两位数的个位数为x，可列出关于x的方程为

（2）有一个面积为20cm2的三角形，它的一条边比这条边上的高长3cm，设这条边的长度为x，可列出关于x的方程为

探索●创新

15、学完一元二次方程后，在一次数学课上，同学们说出了一个方程的特点：

（1）它的一般形式为ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）

（2）它的二次项系数为5

（3）常数项是二次项系数的倒数的相反数

你能写出一个符合条件的方程吗？

16、已知关于x的方程（m－n）x2+mx+n=0，你认为：

（1）当m和n满足什么关系时，该方程是一元二次方程？

（2）当m和n满足什么关系时，该方程是一元一次方程？

参考答案

1、答案：D

解析：A要想成为一元二次方程，需加条件a≠0，B需加条件m≠0，C是一元三次方程，D中不论k为何值，k2+3永远为正，所以D是一元二次方程，故选D2、答案：A

解析：去括号，合并同类项即可得到答案A3、答案：D

解析：二次项系数为3，一次项系数为－，常数项为，3×（－）×=－94、答案：A

解析：（2x－1）（1+2x）=4x2－1，故选A5、答案：B

解析：将x=1代入x2+nx+m=0，得到1+n+m=0，即m+n=－1，故选B6、答案：C

解析：A中需加上a≠0才是一元二次方程，B中的常数项为－4，D中的一元二次方程解可能为0，例如：x2=0，故选C7、答案：B

解析：将x=0代入方程得到a2－1=0，即a=±1，因为原方程为一元二次方程，即a－1≠0，所以a≠1，所以a=－1，故选B8、答案：D

解析：因为ax2－5x+3=0是一元二次方程，所以a≠0，3a+6＞0，即a＞－2，所以a＞－2且a≠0。故选D9、答案：8

解析：2+（k+8）+（－2k+3）=5，所以k=810、答案：－1

解析：|m|+1=2，所以m=±1，因为m－1≠0，即m≠1，所以m=－111、答案：x2－x=0（答案不唯一）

解析：发挥聪明才智，大胆想象

12、答案：－2

解析：将x=－2代入方程，m=－3，－=－=1－m－3+m=－213、答案：－2，≠±2

解析：方程为一元一次方程，k2－4=0，即k=±2，且k－2≠0，即k≠2，所以k=－2

方程为一元二次方程，k2－4≠0，即k≠±214、答案：（1）x（6－x）=［10（6－x）+x］

（2）x（x－3）=20

解析：（1）个位数为x，那么十位数为6－x，根据题意得x（6－x）=［10（6－x）+x］

（2）这条边长度为x，那么这条边上的高为x－3，根据三角形的面积公式得x（x－3）=2015、答案：这个方程是5x2－2x－=0（答案不唯一）

解析：由（1）知这是一元二次方程，由（2）（3）可确定a、c，而b的值不唯一确定，可为任意数，熟悉一元二次方程的定义及特征是解答本题的关键。

16、答案：（1）当m≠n时，方程是一元二次方程

（2）当m=n且m≠0时，方程是一元一次方程

解析：本题主要考查一元二次方程及一元一次方程的定义，一元二次方程中ax2中的a不可能为0，即m－n≠0；而一元一次方程中ax中的a不可能为0，即m≠0。对于一元二次方程ax2+bx+c=0一定要注意“a≠0”，当二次项系数为0，而一次项系数不为0时为一元一次方程。

第三篇：一元二次方程

一元二次方程（英文名：quadratic equation of one unknown）是指只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的整式方程，该方程式的一般形式是：ax²+bx+c=0（a≠0），其中，ax²是二次项，bx是一次项，c是常数项，a、b是常数。a≠0是一个重要条件，否则就不能保证该方程未知数的最高次数是二次。

一元二次方程最常规的解法是求根公式法，其外亦有因式分解法和配方法等方法。

第四篇：一元二次方程

一元二次方程

知识点归纳：

1.一元二次方程的概念及其一般形式。

2.熟练掌握一元二次方程的四种解法。

3.一元二次方程根的判别式及其应用。

4.一元二次方程的应用。

5.探索根与系数的关系

一．一元二次方程

1.在整式方程中，只有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程。一元二次方程的标准形式：ax2bxc0(a0,b,c为任意常数)

例1：已知方程（1）2x230；（2）11121yy10 ；（3）2x123

（4）ay2byc0；（5）(x1)(x3)x25；（6）xx20。其中，是整式方程的有_______,是一元二次方程的有________________

二．一元二次方程的解法

（1）认识形如x2a(a0)或(axb)2c(a0,c0)类型的方程，并会用直接开平方去解。

解法一：直接开平方。

若一个方程可以转化为(xh)2k(k0)就可以用直接开平方求解。例1：用直接开平方求解下列一元二次方程。

（1）x290（2）9y210（3）2x250 例2：解关于x的方程4(xa)2b(b0)

例3：若关于x的一元二次方程m(xa)2n0无实数根，则m与n的关系为__________

（2）正确理解并会运用配方法将形如x2pxq0的方程变形为(xm)2n(n0)的类型

解法二：配方法

配方法解一元二次方程的一般步骤：（1）移常数到方程的右边；（2）化二次项系数为1；（3）方程两边都加上一次系数的一半的平方；（4）写成(xm)2n的形式，再用直接开平方法求解。

例1：填空

（1）x26x____(x__)2

2（2）x25x_____(x_____)

（3）x2px___(x___)2

例2：用配方法解方程6x32x2

例3：试用配方法证明，代数式2x2x3的值不小于23 8

（3）掌握一元二次方程求根公式的推导方法，会用公式法求一元二次方程的根。

解法三：公式法

bb24ac21.axbxc0(a0)的求根公式为x(b4ac0)2a2

2.若b24ac0，则方程无实根，不必用求根公式。

例1：用公式法解下列方程

（1）2x234x；（2）x23x30

例2：用公式法解下列方程：

（1）14x235x70(2)x2x0

若原方程系数中含有公约数，一般先约公约数，再解方程。若各项系数有小数或分数，通常先化成整数，再解方程。

（4）理解用因式分解解一元二次方程，会用因式分解解某些一元二次方程。

ab=0a=0或b=0

解法四：因式分解

例1：用因式分解解下列一元二次方程

（1）x23x100（2）(x3)(x1)5

（3）3x(1x)2x2（4）(2x1)22(2x1)30 347214

三．一元二次方程根的判别式

理解一元二次方程的根的判别式，能用根的判别式判定根的情况 一元二次方程ax2bxc0(a0)的根的判别式b24ac

0方程有两个不相等的实根

0方程有两个相等的实根

0方程没有实数根

例1：对于一元二次方程2x25x30下列说法正确的是（）

A.方程无实根

B.方程有一个根为0

C.方程有两个相等的实根

D.方程有两个不等的实根

例2：方程x22xk0没有实数根，则k=___________

例3：已知m,判定方程x2(2m3)x(m1)20的根的情况。1

四．用一元二次方程解决问题

会列方程解决实际的问题。解决方程的一般步骤：（1）分析，找等量关系；（2)设未知数，列方程；（3）解方程；（4）验根；（5)写出答案 例1：有一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小2，十位上的数字与个位上的数字的积的3倍刚好等于这个两位数，求这个两位数。

例2：两个相邻的自然数的平方和比这两个数之中的较小数的2倍大51，求这两个自然数。

五：探索根与系数的关系

1.解下列方程，你发现发现方程的两根之和，两根之积与系数a,b,c的关系。

（1）x22x0（2）x25x60

（3）x23x40（4）ax2bxc0(a0,b24ac0)结论：韦达定理：两根之和：x1x2

两根之积：x1x2

逆命题也成立。

例1：若x1,x2是方程x22x10的两根，那么x1x2的值为

例2：设,是方程x23x50的两根，不解方程，求2223的值。

例3：已知：设关于x的方程x2(4k1)x2k10

(1)求证该方程一定有两个不相等的实数根； caba

(2)若x1,x2是方程的两个实数根，且(x12)(x22)2k3，求k的值。本节课总结：对于一元二次方程，有直接开方法，时，配方法，因式分解法，公式法四种解法。当判别式△＝

其求根公式为：

二次方程无实数根。

当△≥0时，则两根的关系为：；；当判别式△＝b24ac0时，一元，根与系数的这，种关系又称为韦达定理；它的逆定理也是成立的，即当时，那么则是的两根。

第五篇：一元二次方程

二、一元二次方程

1、只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。一般形式：ax2+bx+c=0(a、b、c是已知数，a 其中a、b、c分别叫做二次项系数、一次项系数和常数项。

2、一元二次方程的解法：（1）直接开平方法（2）因式分解法（十字相乘法）

（3）公式法x=(b2-4ac(4)配方法（重点见P32）

3、一元二次方程根的判别式（2-4ac）当a 时(1)＞0时方程有两个不相等的实数根；（2）=0时方程有两不相等的实数根；（3）＜0时方程没有实数根

4、一元二次方程根与系数关系（韦达定理）：ax2+bx+c=0(a、b、c是已知数，a 当 ≥0时，设方程两根为x1,x2则x1+x2＝－，x1 x2= 如 = =……

5、以x1,x2为根的一元二次方程为：

三、二次函数

2、抛物线 的对称轴是 轴，顶点是原点，当 时，开口向上，当 时，开口向下。

四、图形的全等

1、能够完全重合的两个图形就是全等图形。互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。

2、全等图形的对应边相等，对应角相等。

3、全等三角形的识别（1）如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等。简记（边边边或SSS）(2)如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这个三角形全等。简记为（边角边SAS）（3）如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为（角边角ASA）（4）如果两个三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等。简记为（HL）

4、能判断正确或是错误的句子叫做命题，命题常写成“如果……那么……”的形式，用“如果”开始的部分是题设，用“那么”开始的部分是结论。能判断其它命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理。有些命题可以从公理或其它真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以进一步作为判断其它命题真假的依据，这样的真命题叫做定理。根据题设，定义以及公理、定理等，经过逻辑推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明。