《空间向量》专题3-1

非坐标运算

（4套，4页，含答案）

知识点：

非坐标运算：

（1）加减与数乘运算：

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下

；；；

（2）运算律：

⑴加法交换律：；

⑵加法结合律：；

⑶数乘分配律：；

（3）

用行路法分解向量，会比较简单，容易理解。

具体操作方法：假设自己行路，绕路行，如果行路方向与向量方向一致，则向量为正，否则为负；把行

路经过的向量相加即为该向量分解的结果。

（4）向量的数量积：

．

已知向量和轴，是上与同方向的单位向量，作点在上的射影，作点在上的射影，则叫做向量在轴上或在上的正射影.可以证明的长度．

（5）空间向量数量积的性质：

（1）．（2）．（3）．

（6）空间向量数量积运算律：

（1）．

（2）（交换律）（3）（分配律）．

典型例题：

1.在空间四边形OABC中，＋－等于（答案：C；

解析：　＋－＝O－＝＋＝.)

A．

B．

C．

D．

2.如图所示，已知平行六面体OABC－O′A′B′C′，＝a，＝c，′＝b，D是四边形OABC的中心，则（答案：D；

解析：　＝＋＝＋＝＋(＋)＝a－b＋c.)

A.＝－a＋b＋c

B.＝－b－a－c

C.＝a－b－c

D.＝a－b＋c

3.如图所示，已知正三棱锥A－BCD的侧棱长和底面边长都是a，点E，F，G是AB，AD，DC上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝CG∶GD＝1∶2，求下列向量的数量积：

(1)A·D；(2)A·B；(3)G·A；(4)E·B.答案：－a2，0，－a2，a2；

解析：(1)|A|＝a，||＝a，〈A，D〉＝120°，所以A·D＝|||D|cos

120°＝－a2.(2)因为B＝A－A，所以A·B＝A·(A－A)＝A·A－A·A，又因为|A|＝a，||＝a，〈A，A〉＝〈A，A〉＝60°，所以A·B＝a2－a2＝0.(3)因为点F，G是AD，DC上的点，所以G＝＝－A，所以G·A＝－，因为＝a2，所以G·A＝－a2.(4)因为点E，F分别是AB，AD上的点，所以E＝B，所以E·B＝B·B，结合图形可知〈B，B〉＝60°，所以E·B＝B·B＝×a×a×cos

60°＝a2.随堂练习：

1.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为向量的是（答案：D；

解析：　①(＋)＋＝＋＝；

②(＋)＋＝＋＝；

③(＋)＋＝＋＝；

④(＋)＋＝＋＝.)

①(＋)＋；

②(＋)＋；

③(＋)＋；

④(＋)＋.A．①③

B．②④

C．③④

D．①②③④

2.在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若＝a，＝b，＝c.试用a，b，c表示向量.答案：a－b＋c；

解析：　＝(＋)＝(＋＋)

＝(－＋－－)

＝－＋

＝a－b＋c.3.在空间四边形ABCD中，A·C＋B·A＋C·B＝___

答案：0；

解析：　设A＝b，A＝c，A＝d，则C＝d－c，B＝d－b，＝c－b.原式＝0._____.《空间向量》专题3-2

非坐标运算

1.在平行六面休ABCD－A′B′C′D′中，若＝x＋2y＋3z，则x＋y＋z等于（答案：B；

解析：　如图，＝＋＋

＝＋－，所以x＝1，2y＝1，3z＝－1，所以x＝1，y＝，z＝－，因此x＋y＋z＝1＋－＝.)

A．1

B.C.D.2.如图，空间四边形OABC中，点M、N分别OA、BC上，OM=2MA，BN=CN，则MN=（答案：B；）

A．12OA−23OB+12OC

B．−23OA+12OB+12OC

C．12OA+12OB−12OC

D．23OA+23OB−12OC

3.如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，则AC1的长为（答案：D；

解析：　∵＝A＋A＋，∴||＝＝

∵AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，∴〈A，A〉＝90°，〈A，〉＝〈A，〉＝60°.∴|A|＝＝.)

A.B.C.D.《空间向量》专题3-3

非坐标运算

1.如图所示，在平行六面体A1B1C1D1－ABCD中，M是AC与BD的交点，若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与

相等的向量是（答案：A；

解析：　＝＋＝＋(＋)＝c＋(－a＋b)＝－a＋b＋c.)

A．－a＋b＋c

B.a＋b＋c

C.a－b＋c

D．－a－b＋c

2.如图所示，四棱锥P－OABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC，设O＝a，O＝b，O＝c，E、F分别是PC和PB的中点，试用a，b，c表示：B、B、A、E.答案：B＝－a－b＋c，B＝－a－b＋c，A＝－a＋b＋c，E＝a；

解析：　连结BO，则B＝B＝(B＋O)＝(c－b－a)＝－a－b＋c.B＝B＋C＝－a＋C＝－a＋(C＋O)＝－a－b＋c.A＝A＋P＝A＋O＋(P＋O)＝－a＋c＋(－c＋b)＝－a＋b＋c.E＝C＝O＝a.3.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，若＝a，＝b，＝c，则＝____

答案：－a＋b－c；

解析：　＝－＝－(＋)＝－a＋b－c.____.(用a，b，c表示)

《空间向量》专题3-4

非坐标运算

1.已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，M、N分别为BC、PD的中点，求满足M＝x＋y＋z的实数x，y，z的值．

答案：x＝－1，y＝0，z＝；

解析：　＝＋＋＝＋＋＝－＋(－)＝－＋，∴x＝－1，y＝0，z＝.2.如图所示，已知ABCD－A1B1C1D1是平行六面体．

(1)化简＋＋，并在图上标出结果；

(2)设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC1B1对角线BC1上的分点，设＝α＋β＋γ，试求α、β、γ的值．

答案：作图略，α＝，β＝，γ＝；

解析：

(1)如图所示，取AA1的中点E，在D1C1上取一点F，使得D1F＝2FC1，则＝＋＋.(2)＝＋＝＋＝(＋)＋(＋)＝＋＋.∴α＝，β＝，γ＝.3.在正四面体ABCD中，棱长为a，M，N分别是棱AB，CD上的点，且|MB|＝2|AM|，|CN|＝|ND|，求|MN|.答案：a；

解析：　∵M＝M＋B＋C＝A＋(A－A)＋(A－A)＝－A＋A＋A.∴M·M＝(－A＋A＋)·(－A＋A＋A)

＝－A·A－A·A＋A·A＋2＋

＝a2－a2－a2＋a2＋a2＋a2＝a2.故|M|＝＝a.即|MN|＝a.