近五年（2017-2021）高考数学真题分类汇编

五、平面向量

一、多选题

1．（2021·全国新高考1）已知为坐标原点，点，，则（）

A．

B．

C．

D．

二、单选题

2．（2021·浙江）已知非零向量，则“”是“”的（）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分又不必要条件

3．（2020·海南）在中，D是AB边上的中点，则=（）

A．

B．

C．

D．

4．（2020·海南）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则的取值范围是（）

A．

B．

C．

D．

5．（2020·全国2（理））已知向量，满足，，则（）

A．

B．

C．

D．

6．（2020·全国3（文））已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（）

A．

B．

C．

D．

7．（2019·全国2（文））已知向量，则

A．

B．2

C．5

D．50

8．（2019·全国1（文））已知非零向量满足，且，则与的夹角为

A．

B．

C．

D．

9．（2019·全国2（理））已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则=

A．-3

B．-2

C．2

D．3

10．（2018·北京（理））设向量均为单位向量，则“”是“”的A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分又不必要条件

11．（2018·浙江）已知、、是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是

A．

B．

C．2

D．

12．（2018·天津（理））如图，在平面四边形ABCD中，若点E为边CD上的动点，则的最小值为

A．

B．

C．

D．

13．（2018·全国1（文））在△中，为边上的中线，为的中点，则

A．

B．

C．

D．

14．（2018·全国2（文））已知向量满足，则

A．4

B．3

C．2

D．0

15．（2018·天津（文））在如图的平面图形中，已知,则的值为

A．

B．

C．

D．0

16．（2017·浙江）如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD交于点O，记，，则

A．I１

B．I１

C．I３<

I１

D．I２

17．（2017·全国2（理））已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是

A．

B．

C．

D．

18．（2017·北京（文））设m,n为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

19．（2017·全国2（文））设非零向量，满足，则

A．⊥

B．

C．∥

D．

三、填空题

20．（2021·浙江）已知平面向量满足.记向量在方向上的投影分别为x，y，在方向上的投影为z，则的最小值为___________.21．（2021·全国甲（文））若向量满足，则_________.22．（2021·全国甲（理））已知向量．若，则________．

23．（2021·全国乙（理））已知向量，若，则__________．

24．（2021·全国乙（文））已知向量，若，则_________．

25．（2020·浙江）设，为单位向量，满足，，设，的夹角为，则的最小值为_______．

26．（2020·江苏）在△ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是________．

27．（2020·全国1（文））设向量，若，则__________.28．（2020·全国1（理））设为单位向量，且，则__________.29．（2020·全国1（理））已知单位向量,的夹角为45°，与垂直，则k=__________.30．（2019·江苏）如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.若，则的值是_____.31．（2019·北京（文））已知向量=（－4，3），=（6，m），且，则m=__________.32．（2019·全国3（文））已知向量，则___________.33．（2019·全国（理））已知为单位向量，且=0，若，则___________.34．（2019·天津（文））

在四边形中，，，点在线段的延长线上，且，则__________.35．（2019·上海）在椭圆上任意一点，与关于轴对称，若有，则与的夹角范围为____________

36．（2018·上海）已知实数、、、满足：，，则的最大值为______．

37．（2018·江苏）在平面直角坐标系中，为直线上在第一象限内的点，以为直径的圆与直线交于另一点．若，则点的横坐标为________．

38．（2018·北京（文））设向量

=（1,0），=（−1,m）,若，则m=_________.39．（2018·全国3（理））已知向量，．若，则________．

40．（2017·上海）如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点、、、以及四个标记为“#”的点在正方形的顶点处，设集合，点，过作直线，使得不在上的“#”的点分布在的两侧.用和分别表示一侧和另一侧的“#”的点到的距离之和.若过的直线中有且只有一条满足，则中所有这样的为________

41．（2017·北京（文））已知点在圆上，点的坐标为，为原点，则的最大值为_________．

42．（2017·全国1（理））已知向量与的夹角为60°，||=2，||=1，则|

+2

|=

______

.43．（2017·天津（文））设抛物线的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若，则圆的方程为____________

.44．（2017·天津（文））在中，，.若，且，则的值为______________.45．（2017·山东（理））已知，是互相垂直的单位向量，若

与λ的夹角为60°，则实数λ的值是__．

46．（2017·全国3（文））已知向量，且，则_______.47．（2017·全国1（文））已知向量=（﹣1，2），=（m，1），若，则m=_________．

48．（2017·山东（文））已知向量a=（2,6）,b=,若a∥b,则

____________.49．（2017·江苏）在同一个平面内，向量的模分别为与的夹角为，且与的夹角为，若，则_________．

50．（2020·天津）如图，在四边形中，，且，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________．

51．（2020·北京）已知正方形的边长为2，点P满足，则_________；_________．

52．（2019·浙江）已知正方形的边长为1，当每个取遍时，的最小值是________；最大值是_______.53．（2017·浙江）已知向量满足，则的最小值是___________，最大值是______．

四、解答题

54．（2017·江苏）已知向量．

（1）若，求x的值；

（2）记，求函数y＝f（x）的最大值和最小值及对应的x的值．

近五年（2017-2021）高考数学真题分类汇编

五、平面向量（答案解析）

1．AC

【解析】

A：，所以，故，正确；

B：，所以同理，故不一定相等，错误；

C：由题意得：，正确；

D：由题意得：，故一般来说故错误；

2．B

【解析】

若，则，推不出；若，则必成立，故“”是“”的必要不充分条件

3．C

【解析】

4．A

【解析】的模为2，根据正六边形的特征，可以得到在方向上的投影的取值范围是，结合向量数量积的定义式，可知等于的模与在方向上的投影的乘积，所以的取值范围是，5．D

【解析】，，.，因此，.6．D

【解析】由已知可得：.A：因为，所以本选项不符合题意；

B：因为，所以本选项不符合题意；

C：因为，所以本选项不符合题意；

D：因为，所以本选项符合题意.7．A

【解析】由已知，所以，8．B

【解析】因为，所以=0，所以，所以=，所以与的夹角为，故选B．

9．C

【解析】由，得，则，．故选C．

10．C

【解析】因为向量均为单位向量

所以

所以“”是“”的充要条件

11．A

【解析】设，则由得，由得

因此，的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，为选A.12．A

【解析】连接BD,取AD中点为O,可知为等腰三角形，而，所以为等边三角形。设

=

所以当时，上式取最小值，选A.点睛：本题考查的是平面向量基本定理与向量的拆分，需要选择合适的基底，再把其它向量都用基底表示。同时利用向量共线转化为函数求最值。

13．A

【解析】根据向量的运算法则，可得，所以，故选A.14．B

【解析】因为

15．C

【解析】如图所示，连结MN，由

可知点分别为线段上靠近点的三等分点，则，由题意可知：，结合数量积的运算法则可得：

.本题选择C选项.16．C

【解析】因为，，所以，故选C．

17．B

【解析】建立如图所示的坐标系，以中点为坐标原点，则，，设，则，，则

当，时，取得最小值，故选：．

18．A

【解析】若，使，则两向量反向，夹角是，那么；若，那么两向量的夹角为，并不一定反向，即不一定存在负数，使得，所以是充分而不必要条件，故选A.19．A

【解析】

由平方得，即，则

20．【解析】由题意，设，则，即，又向量在方向上的投影分别为x，y，所以，所以在方向上的投影，即,所以，当且仅当即时，等号成立，所以的最小值为.21．

【解析】∵

∴

∴.22．.【解析】,，解得,故答案为：.23．

【解析】因为，所以由可得，解得．故答案为：．

24．【解析】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：，解方程可得：.25．

【解析】，，.26．或0

【解析】∵三点共线，∴可设，∵，∴，即，若且，则三点共线，∴，即，∵，∴，∵，，∴，设，则，.∴根据余弦定理可得，∵，∴，解得，∴的长度为.当时，重合，此时的长度为，当时，重合，此时，不合题意，舍去.27．5

【解析】由可得，又因为，所以，即，故答案为：5.28．

【解析】因为为单位向量，所以

所以，解得：

所以，故答案为：

29．【解析】由题意可得：，由向量垂直的充分必要条件可得：，即：，解得：.故答案为：．

30．.【解析】如图，过点D作DF//CE，交AB于点F，由BE=2EA，D为BC中点，知BF=FE=EA,AO=OD.，得即故.31．8.【解析】向量则.32．

【解析】．

33．.【解析】因为，所以，所以，所以

．

34．.【解析】建立如图所示的直角坐标系，则，．

因为∥，所以，因为，所以，所以直线的斜率为，其方程为，直线的斜率为，其方程为．

由得，所以．

所以．

35．【解析】由题意：，设，因为，则

与结合，又

与结合，消去，可得：

所以

36．【解析】设A（x1，y1），B（x2，y2），=（x1，y1），=（x2，y2），由x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，可得A，B两点在圆x2+y2=1上，且•=1×1×cos∠AOB=，即有∠AOB=60°，即三角形OAB为等边三角形，AB=1，+的几何意义为点A，B两点到直线x+y﹣1=0的距离d1与d2之和，显然A，B在第三象限，AB所在直线与直线x+y=1平行，可设AB：x+y+t=0，（t＞0），由圆心O到直线AB的距离d=，可得2=1，解得t=，即有两平行线的距离为=，即+的最大值为+，故答案为+．

37．3

【解析】设，则由圆心为中点得易得，与联立解得点的横坐标所以.所以，由得或，因为，所以

38．-1.【解析】，由得：，即.39．

【解析】由题可得，,即，故答案为

40．、、【解析】建立平面直角坐标系，如图所示；

则记为“▲”的四个点是A（0，3），B（1，0），C（7，1），D（4，4），线段AB，BC，CD，DA的中点分别为E，F，G，H，易知EFGH为平行四边形，如图所示；

设四边形重心为M（x，y），则，由此求得M（3，2），即为平行四边形EFGH的对角线交于点，则符合条件的直线一定经过点，且过点的直线有无数条；

由过点和的直线有且仅有1条，过点和的直线有且仅有1条，过点和的直线有且仅有1条，所以符合条件的点是、、．

41．6

【解析】所以最大值是6.42．

【解析】∵平面向量与的夹角为，∴.∴

故答案为.43．

【解析】设圆心坐标为，则，焦点，由于圆与轴得正半轴相切，则取，所求圆得圆心为，半径为1.44．

【解析】,则

.45．

【解析】由题意，设（1，0），（0，1），则（，﹣1），λ（1，λ）；

又夹角为60°，∴（）•（λ）λ＝2cos60°，即λ，解得λ．

46．2

【解析】由题意可得解得.47．7

【解析】由题得，因为，所以，解得．

48．-3

【解析】由可得

49．【解析】以为轴，建立直角坐标系，则，由的模为与与的夹角为，且知，可得，由可得，故答案为.50．

【解析】，，解得，以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，,∵，∴的坐标为,∵又∵,则，设，则（其中），，所以，当时，取得最小值.51．

【解析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点、、、，则点，，因此，.52．0

【解析】正方形ABCD的边长为1，可得，•0，要使的最小，只需要，此时只需要取

此时

等号成立当且仅当均非负或者均非正，并且均非负或者均非正．

比如

则.53．4

【解析】

设向量的夹角为，由余弦定理有：，则：，令，则，据此可得：，即的最小值是4，最大值是．

54．【解析】

（1）∵向量．

由，可得：，即，∵x∈[0，π]∴．

（2）由

∵x∈[0，π]，∴

∴当时，即x＝0时f（x）max＝3；

当，即时．