结构化视角与数学教材研究

【摘要】数学教材是结构性的，具有关联性、非均衡性和生长性的特征。在数学教学中，教师首先要进行教材解读。读通教材、读透教材、读活教材是教材解读的三重境界。从结构化的视角来解读教材，要求教师瞻前顾后、左顾右盼、融会贯通。教师只有从结构化的视角来解读教材，才能帮助学生建立相对稳定、清晰、系统的认知结构。

【关键词】数学教学；结构化视角；教材解读

实施数学结构化教学，必须注重结构化的教材解读。从结构化的视角来进行教材解读，需秉持整体、关联、发展的思想，要求教师读通教材、读透教材、读活教材。在教材解读中，教师既要瞻前顾后，又要左顾右盼，还要融会贯通。教师只有从结构化的视角来解读教材，才能帮助学生建立相对稳定、清晰、系统的认知结构。结构化教材解读，要突破短时、孤立的“课时教材”解读窠臼，进而彰显数学知识的整体性意义。

一、结构化数学教材的特征

数学教材是一种结构化的教材，关联性、非均衡性、生长性是结构化教材的主要特性。数学教材的结构化不仅包括知识结构化，而且包括编排结构化、解读结构化。知识结构化是一种客观存在，编排结构化是一种教材形态，而解读结构化是教师基于自身视角对知识、教材的再加工，是一种创造性开发。

（一）关联性

数学知识是一个结构性的整体，知识与知识之间存在着千丝万缕的关联。作为教师，必须从知识整体上解读教材，要以联系、系统、结构化的眼光来解读，让教材解读超越单一的知识点的限制，以更为广阔、更为科学的视野来确定教学内容。关注知识的关联，往往需要教师的教材解读超越单元，甚至超越教材。如整数、小数和分数的加减法的法则，尽管表现形态不同，但其内在的数理是统一的。在教学中，教师应当从数理统一的视角展开，即“只有计数单位相同才能直接相加减”来引导学生认知。把握了数学知识之间的关联，教师就能根据关联进行组织、设计与安排教学，从而将相关的教学内容结构化展开。

（二）非均衡性

结构化的知识是均衡的，但结构化的教材知识却是不均衡的。不同版本的教材，其侧重点是不同的，其对于相同的教学内容，安排的年级也是不同的。比如人教版数学教材编排了“用数对确定位置”（五年级上册），北师大版数学教材编排了“用数对确定位置”（四年级上册）和“用方向和距离确定位置”（五年级下册），苏教版数学教材同样编排了“用数对确定位置”（四年级下册）和“用方向和距离确定位置”（六年级下册）。在三种版本的数学教材中，连贯性、结构性体现较好的应当是北师大版教材。在教材解读过程中，教师要将不同版本的教材进行比较，从中汲取其他版本教材的优势为我所用。教师只有对教材进行深度的文本解读，以及对教材进行比较解读，才能从根本上把握教材编排意图。

（三）生长性

结构化的教材解读是一种生长性的解读，它对教师的教材解读能力提出了新要求。在教学中，教师要以开放性、融入性的姿态，去梳理、确定、整合教材内容。指向学科大概念知识，教师在教材解读中要凸显层级性、关联性和阶梯性。以苏教版数学教材中“分数的意义”教学为例，第一次安排在三年级上册，主要让学生认识“一个物体、一个图形的几分之一”，拓展、延伸为认识“一个物体、一个图形的几分之几”；第二次安排在三年级下册，主要让学生认识“一个整体的几分之几”；第三次安排在五年级下册，主要让学生认识“单位‘1’的量的几分之几”。在每个学段，教师需要把握教学的侧重点，而不能揠苗助长，将后续的知识前置。同时，教师的教学应当具有一种开放性、概括性，以便学生在后续学习中能积极迁移已有知识。教师只有把握了教材内容的阶段性、开放性，才能让教学具有一种生长性。结构化教材解读是一种创造性的解读，能助力学生的结构化学习，助力学生在课程教学中生长。作为教师，要具有一种课程资源整合的能力，以生为本，找到课程教学与学生学习的最佳整合点、效应点。通过激发学生数学学习内驱力，帮助学生建构完善的知识结构、体系，从而提升学生的数学学习力，让学生的数学核心素养充分生长。

二、结构化数学教材的解读

对数学教材的结构化解读，教师要思前想后、承上启下，加强数学知识关联性的认知，从而让学生的数学学习从浅层迈向深层。作为教师，要立足学生立场审视教材，要用整体思维把握教材，要从单元视角整合教材，要全面梳理教材。在教材解读中，教师要进行单元扩充、单元重组等。结构化的数学教材解读，要秉持整体性原则、关联性原则和发展性原则，从而构建立体式的学习材料资源，形成一个相对稳定、清晰、系统化的认知结构。

（一）读懂教材：让知识结构化

结构化数学教材的解读，首先要读懂教材。读懂教材，首先要让教材中的知识结构化。在数学教材中，教师要把握教材内容的相同点、相似点等，对相关内容进行整合。教材内容不仅包括显性知识，而且包括隐性知识。显性知识不仅包括起眼的定理、公式、法则等，而且包括不起眼的提示、旁白等。在教材解读中，教师不仅要关注数学知识“是什么”，更要关注数学知识“为什么”；不仅要解读教材中的文字表面的意义，更要解读教材中的文字背后的意义。以苏教版数学四年级下册的“运算律”教学为例，“运算律”这一单元包括“加法交换律”“乘法交换律”“加法结合律”“乘法结合律”“乘法分配律”等，这些内容是“并列关系”，具有相似的学习结果结构和过程结构。为此，教师不妨将“加法交换律”和“乘法交换律”进行整合，将“加法结合律”和“乘法结合律”进行整合，并引导学生猜想“减法交换律”“除法交换律”等。通过结构化的知识解读，我们不难发现，对于这部分内容，可以撇开加法和乘法的运算，引导学生思考“交换律”“结合律”本身的特征，即“交换律改变数的位置、顺序，而计算的顺序不变”“结合律是数的位置、顺序不变，变化的是计算的顺序”等。将数学知识结构化，将相关数学知识进行整合，可以让学生学得更加轻松、更加便捷、更加具有效能。对数学知识进行结构化整合，不仅可以将相关、相近的内容进行统整，而且可以将相反、相对的内容进行统整。如将正反比例的意义内容进行整合，将“求一个数比另一个数多（少）几分之几（百分之几）”等内容进行整合等。数学知识的结构化，要高点定位，把握重难点。

（二）读透教材：让认知结构化

读懂教材，往往是着眼于某一个知识点。而读透教材，则不仅要求教师将着眼点放置在知识点上，更要求教师将着眼点放置于单元之中，着眼于整体教材之中，读透教材，要求教师将学生认知结构化。读透教材，不仅要把握知识生长脉络，还要把握教材脉络；不仅要静态地把握教材，还要动态地把握教材；不仅要注重学生认知的阶段性，还要注重学生认知结构的流动性。美国教育心理学家布鲁纳曾说：“学习就是认知结构的组织、重新组织，学习结构就是学习事物是如何联系的。”在教学中，教师要根据学生的具体学情，找准认知起点，明确认知重点，把握认知取向。认知的结构化，要求教师瞻前顾后，如“认识小数”这部分内容，在苏教版数学教材中是分两次展开教学的。第一次是在三年级下册，其课题为“小数的初步认识”，主要让学生认知一位小数，是一种直观的、感性的认知。教材中对于每一个小数，都配备了相关的插图进行诠释；小数的大小比较也仅仅限于一位小数的大小比较。第二次是在五年级上册，是在认识一位小数的基础上展开的，其内容异常丰富，主要包括小数的意义、数位顺序、小数的性质、小数的化简、改写与保留等。瞻前顾后，教师要读透教材，把握每一学段教学目标，既要找准学生的认知起点，又要明确该知识的认知发展意义，从而引导学生自主建构知识体系，让学生的认知结构化。认知结构化是指在学生数学学习心理之间搭建开放性、包容性的认知图式。比如在“小数的认识”这部分内容的教学中，学生认识了小数后，就为进一步认识小数的意义奠定了坚实的基础。相较于知识结构化，认知结构化更牢固，更扎实，更具有迁移力、生命力。

（三）读活教材：让策略结构化

读活教材是指教师的教材解读能融会贯通，进而能将看似不相关的数学知识等关联起来。读活教材，往往能让数学知识产生一种生命活性。在解读教材的过程中，教师要注重教材的灵活应用。作为教师，在教材解读中不仅要关注教材内容的螺旋性，而且要关注数学知识的结构流动性、意义增值性、关联融通性等。读活教材，要致力让策略结构化。所谓策略“结构化”，是指从不同视角思考问题，用不同的方式、方法解决问题。以苏教版数学六年级上册“解决问题的策略——假设”的教学为例，过去有的教师在教学这部分内容时才开始自觉地向学生渗透假设思想。读通教材，要求教师从低年级开始就要渗透、融入；读活教材，就是要求教师在引导学生学习这部分内容时，鼓励学生应用自我的经验，运用不同的方法解决问题。这样，才能将学生已有的假设经验、认知结构盘活起来。如一位教师在教学中，让学生自主探究，结果不少学生都想出了与众不同的方法。有的学生用方程解决问题，将一个未知数量设定为x，另一个数量就用这个x来表示，再根据数量之间的相等关系列出方程；有的学生画出线段图，根据题意直观地解决问题；还有的学生将问题中的两个数量假设成一个数量，进而将另一个数量替换成这个数量，从而有效地解决问题；等等。对于这些不同的策略、方法，教师要引导学生进行比较。通过比较，学生认识到这些策略、方法看似不同，但都是将两个未知量转化成一个未知量。通过沟通及使用不同的策略，学生能更为深刻地感悟到假设问题隐含的数学基本思想方法，从而能灵活地选择策略解决问题。教师只有从更为广阔的视野去引导学生认识问题、解决问题，才能让学生进行深度学习。学生解决问题的策略、方式与方法等，往往有着共通之处。作为教师，不仅要关注学生问题解决的多样性，而且要关注学生问题解决策略的关联，关注问题解决策略的相通之处。在教学中，教师要引导学生进行策略的交流、研讨、展示，从而促使学生解决问题能力的不断提升。读活教材，就是要引导学生沟通问题解决策略、方式、方法的关联，就是要让学生建构问题的方法体系，就是要让学生将解决问题的策略融会贯通，进而走向结构化。读懂教材、读透教材、读活教材是教材解读的三个层次。只有真正将教材激活、盘活、用活，才能有效地借助教材实施教学。解读教材的过程，不仅是对教材内容的梳理，而且是对数学知识的深度耕犁。从某种意义上说，教材解读有助于提升教师的教学力。作为教师，要运筹帷幄，充分地解读教材，发掘教材的诸多功能。只有这样，才能通过教学让学生的数学学习进入思维通透、通达的境界。