2014年秋初二数学竞赛试题

（满分：150分；考试时间：120分钟）

一、选择题（每小题3分，共21分）：每小题有四个答案，其中有且只有一个答案是正确的.答对的得3分，答错、不答或答案超过一个的一律得0分．

1.在实数范围内算术平方根等于它本身的数有（）

A.个

B.个

C.个

D.个

2.下列各数中，属于无理数的是（）

A.B.C.D.3.下列分解因式正确的是（）

A．

B．

C．

D．

4.下列运算错误的是（）

A.B.C.D.5.下列命题正确的是（）

A.三个角对应相等的两个三角形全等

B.三边对应相等的两个三角形全等

C.面积相等的两个三角形全等

D.周长相等的两个三角形全等

6.用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如下图所示，则能说明的依据是()

A．ASA

B．

SSS

C．AAS

D．角平分线上的点到角两边的距离相等

7.若，则的值为（）

A.B.C.D.二、填空题（每小题4分，共40分）：

8.计算：

．

9.写出两个不同的无理数，使这两个无理数的积为有理数，那么

这两个无理数可以是

和

．

10.如果，且，那么

．

11.计算：

．

12.命题：“如果两个角互余，那么这两个角的和为”的逆命题为

．

13.如图，已知在中，是的中点，，垂足分别是、，则图中有

对

全等三角形．

14.若

则__________．

15..如图，在△ABC中，BC边不动，点A竖直向上运动，∠A越来越小，∠B，∠C越来越大，若∠A减少α度，∠B增加β度，∠C增加γ度，则α，β，γ三者之间的等量关系是__________．

16.如图，已知中，是高和的交点，则线段的长度为

．

17.如图，锐角△ABC中，BC＞AB＞AC，小菁依下列方法作图：

①

作∠A的角平分线交BC于D点．

②

作AD的中垂线交AC于E点，交AD于F点．

③

连接．

(1)根据所画的图形，下列正确的是（填序号）；

A．DE⊥AC

B．DE∥AB

C．CD＝DE

D．CD＝BD

(2)若，则__________．

三、解答题（共89分）：

18.（9分）计算：

19.(9分)

计算：

20.(9分)已知，求代数式的值.21.(9分)如图，在中，,，点是的中点，将一块锐角为的直角三角板如图放置，使三角板

斜边的两个端点分别与，重合，连接，.试猜

想线段和的数量及位置关系，并加以证明．

22．(9分)若，求代数式的值．

23.（9分）如图，已知于点，于点，且，相交于点．

求证：(1)当时，；

(2)当时，．

24.（9分）如图，在四边形中，是的平分线，∥，连接、，求证：（1）

（2）是的平分线．

25.（13分）如图，把一张边长为厘米的正方形纸片四角均剪去一个边长为

(<)厘米的小正方形，折合成一个无盖的长方体纸盒．

（1）①用含、的代数式表示纸片（阴影部分）的面积；

②当，时，利用因式分解计算折合后纸盒的表面积；

（2）当，时,求出纸盒的底面积．

26.（13分）已知：如图1，点为线段上一点，都是等边三角形，交于点，交于点.(1)求证：；

(2)求证：为等边三角形；

(3)将绕点按逆时针方向旋转，其他条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断第（1）、（2）两小题的结论是否仍然成立（不要求证明）.初二

数

学

试

题

参考答案及评分意见

说明：

（一）考生的正确解法与“参考答案”不同时，可参照“参考答案及评分意见”的精神进行评分．

（二）如解答的某一步出现错误，这一错误没有改变后续部分的考查目的，可酌情给分，但原则上不超过后面应得的分数的二分之一；如属严重的概念性错误，就不给分．

一、选择题（每小题3分，共21分）

1．C

2．C

3．D

4．A

5．B

6．B

7．A

二、填空题（每小题4分，共40分）

8．　9．不唯一

如：，10．

11．　12．如果两个角的和为，那么这两个角互余.13．

14．　15．α=β+γ

16．4

17．⑴

B

⑵

三、解答题（共89分）

18.解原式……………………………………………6分

…………………………………………………………9分

19.解：原式

…………………………3分

………………………………………6分

……………………………………………………9分

20．解：∵

…………………………………4分

当

即

∴……………………………………9分

21．解：BE＝EC，BE⊥EC

证明：∵AC＝2AB，点D是AC的中点，∴AB＝AD＝CD.∵∠EAD＝∠EDA＝45°，∴∠EAB＝∠EDC＝135°.又∵EA＝ED

∴△EAB≌△EDC

(SAS)

……………………………………………………5分

∴∠AEB＝∠DEC，EB＝EC.∴∠BEC＝∠AED＝90°.∴BE＝EC，BE⊥EC.……………………9分

22．解：由，得：

…………………………………5分

………………………9分

23．证明：(1)∵∠1＝∠2，CD⊥AB，BE⊥AC，∴OE＝OD.∵∠3＝∠4，∠CEO＝∠BDO＝90°，∴△OEC≌△ODB（AAS）

∴OB＝OC.………………………………………………………………４分

(2)∵∠3＝∠4，∠CEO＝∠BDO＝90°，OB＝OC，∴△OEC≌△ODB(AAS)

∴OE＝OD.∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴△OEA≌△ODA(HL)

∴∠1＝∠2.………………………………………………………………９分

24．解：（1）∵是的平分线，∴

又

∴≌(SAS)

∴．

………………………………………5分

（2）∵≌

∴

∴

∵∥

∴

∴

∴是的平分线……………………９分

25．解：（1）①（）.…………………………………（4分）

②

折合后纸盒的表面积=.…………（6分）

当a=6.4，b=1.8时，原式=(6.4+2×1.8)(6.4-2×1.8)=28

…………………………（8分）

（注：没有因式分解得出正确结果，扣1分）

(2)

纸盒的底面积=……………………………………（10分）

当a+2b=8，ab=2时,………………………（13分）

26．证明(1)∵△ACM，△CBN是等边三角形

∴AC=MC,BC=NC,∠ACM=60°,∠NCB=60°…………………2分

∴△CAN绕着C点顺时针旋转60°会与△MCB重合，∴△CAN≌△MCB

∴AN=BM

……………………………………………4分

(2)

∵△CAN≌△MCB

∴∠CAN=∠CMB

又∵∠MCF=180°∠ACM∠NCB=180°60°60°=60°

∴∠MCF=∠ACE

∴△CAE绕着C点顺时针旋转60°会与△CMF重合，∴△CAE≌△CMF……………………………………………………7分

∴CE=CF

∴△CEF为等腰三角形,又∵∠ECF=60°

∴△CEF为等边三角形.……………………………………………(9分)

(3)画图正确

………………………………………………(11分)

结论仍然成立.………………………………………………………(13分)