下载文档北师大版九下数学第3章圆
一、选择题
1.下列说法正确的个数是
①半圆是弧；
②长度相等的两条弧是等弧；
③直径是圆中最长的弦；
④三角形的外心是三角形三条内角平分线的交点．
A．
B．
C．
D．
2.在平面直角坐标系中，圆心为坐标原点，⊙O的半径为
10，则
P-10,1
与
⊙O的位置关系为
A．点
P
在⊙O
上
B．点
P
在⊙O
外
C．点
P
在⊙O
内
D．无法确定
3.如图，AB
是
⊙O的直径，C
是
BAD
上一点（B，D
除外），∠AOD=136∘，则
∠C的度数是
A．
44∘
B．
22∘
C．
46∘
D．
36∘
4.已知
⊙O的半径为
2，直线
l
上一点
P
满足
PO=2，则直线
l
与
⊙O的位置关系是
A．相切
B．相离
C．相离或相切
D．相切或相交
5.如图，AB
为
⊙O的切线，点
A
为切点，OB
交
⊙O
于点
C，点
D
在⊙O
上，连接
AD，CD，OA，若
∠ADC=35∘，则
∠ABO的度数为
A．
25∘
B．
20∘
C．
30∘
D．
35∘
6.如图，△ABC
内接于
⊙O，∠A=50∘，E
是边
BC的中点，连接
OE
并延长，交
⊙O
于点
D，连接
BD，则
∠D的大小为
A．
55∘
B．
65∘
C．
60∘
D．
75∘
7.如图，Rt△ABC的斜边
AB
与量角器的直径恰好重合，B
点与
0
刻度线的一端重合，∠ABC=40∘，射线
CD
绕点
C
转动，与量角器外沿交于点
D．若射线
CD
将
△ABC
分割出以
BC
为边的等腰三角形，则点
D
在量角器上对应的度数是
A．
40∘
B．
70∘
C．
70∘
或
80∘
D．
80∘
或
140∘
8.如图，在同一个圆中作出圆的内接正三角形
ABC
和正八边形
DEFGHIBK，若连接
AD，则
∠ADE的度数是
A．
7.5∘
B．
15∘
C．
20∘
D．
30∘
9.如图所示，点
A，B，C
对应的刻度分别为
0，2，4，将线段
CA
绕点
C
按顺时针方向旋转，当点
A
首次落在矩形
BCDE的边
BE
上时，记为点
A1，则此时线段
CA
扫过的图形的面积为
A．
4π
B．
C．
D．
83π
10.如图，在平面直角坐标系中，点
P
在第一象限，⊙P
与
x
轴、y
轴都相切，且经过矩形
AOBC的顶点
C，与
BC
相交于点
D，若
⊙P的半径为
5，点
A的坐标是
0,8，则点
D的坐标是
A．
9,2
B．
9,3
C．
10,2
D．
10,3
二、填空题
11.如图，⊙O的直径
AB=8 cm，C
为
⊙O
上的一点，∠BAC=30∘，则
BC=
cm．
12.如图，A，B，C
是
⊙O
上的三点，若
△OBC
是等边三角形，则
cosA=
．
13.如图，折扇的骨柄长为
27 cm，折扇张开的角度为
120∘，则图中
AB的长为
cm（结果保留
π）．
14.如图，AB
是
⊙O的直径，PA
切
⊙O
于点
A，线段
PO
交
⊙O
于点
C．连接
BC，若
∠P=36∘，则
∠B=
．
15.如图，⊙O
是正方形
ABCD的内切圆，切点分别为
E，F，G，H，ED
与
⊙O
相交于点
M，则
sin∠MFG的值为
．
16.绿色市场属“三绿工程”之一，是食品安全控制在流通领域的体现．如图是绿色市场认证标志，我们可以用等分圆周的方法，在半径为
30的圆中画出如图所示的图形，则阴影部分的面积为
．
17.如图，矩形
ABCD
中，AB=4，BC=3，F
是
AB的中点，以点
A
为圆心，AD
为半径作弧交
AB
于点
E，以点
B
为圆心，BF
为半径作弧交
BC
于点
G，则图中阴影部分面积的差
S1-S2
为
．
18.在矩形
ABCD
中，AB=6，BC=8，点
O
在对角线
AC
上，圆
O的半径为
2，如果圆
O
与矩形
ABCD的各边都没有公共点，那么线段
AO
长的取值范围是
．
三、解答题
19.下面是小飞设计的“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程．
已知：如图，P
为
⊙O
外一点．
求作：经过点
P的⊙O的切线．
作法：如下图，①连接
OP，作线段
OP的垂直平分线，交
OP
于点
A；
②以点
A
为圆心，OA
长为半径作圆，交
⊙O
于
B，C
两点；
③作直线
PB，PC．
所以直线
PB，PC
就是所求作的切线．
根据小飞设计的尺规作图过程：
(1)
使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）；
(2)
完成下面的证明（说明：括号里填写推理的依据）
证明：如图，连接
OB，OC，∵PO
为
⊙A的直径，∴∠PBO=∠PCO=
（）．
∴PB⊥OB，PC⊥OC．
∴PB，PC
为
⊙O的切线（）．
20.如图，AB
为
⊙O的直径，C，D
为
⊙O
上的两个点，AC=CD=DB，连接
AD，过点
D
作
DE⊥AC
交
AC的延长线于点
E．
(1)
求证：DE
是
⊙O的切线；
(2)
若直径
AB=6，求
AD的长．
21.如图，已知
AB
是
⊙O的直径，C
是
⊙O
上的点，点
D
在AB的延长线上，∠BCD=∠BAC．
(1)
求证：CD
是
⊙O的切线；
(2)
若
∠D=30∘，BD=2，求图中阴影部分的面积．
22.如图，在△ABC
中，AB=AC，以
AB
为直径的⊙O
交
AC
边于点
D，过点
C
作
CF∥AB，与过点
B的切线交于点
F，连接
BD．
(1)
求证：BD=BF；
(2)
若
AB=10，CD=4，求
BC的长．
23.如图，AB
是以
BC
为直径的半圆
O的切线，D
为半圆上一点，AD=AB，AD，BC的延长线相交于点
E．
(1)
求证：AD
是半圆
O的切线．
(2)
连接
CD，求证：∠A=2∠CDE．
(3)
若
∠CDE=27∘，OB=2，求
BD的长．
答案
一、选择题
1.【答案】B
【解析】圆的任意一条直径的端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆，故①正确；
长度相等的弧的度数不一定相等，故②错误；
直径是圆中最长的弦，故③正确；
三角形的外心是三角形中三边垂直平分线的交点，故④错误．
2.【答案】B
【解析】因为点
P的坐标为
-10,1，所以
OP=102+12=101，因为
⊙O的半径为
10，101>10，所以点
P
在⊙O
外．
3.【答案】B
【解析】
∵∠AOD=136∘，∴∠BOD=180∘-136∘=44∘，∴∠C=22∘，故选B．
4.【答案】D
【解析】当
OP
垂直于直线
l，即圆心
O
到直线
l的距离
d=2=r
时，直线
l
与
⊙O
相切；
当
OP
不垂直于直线
l，即圆心
O
到直线
l的距离
d<2=r
时，直线
l
与
⊙O
相切交．
故直线
l
与
⊙O的位置关系是相切或相交．
5.【答案】B
【解析】
∵AB
为圆
O的切线，∴AB⊥OA，即
∠OAB=90∘，∵∠ADC=35∘，∴∠AOB=2∠ADC=70∘，∴∠ABO=90∘-70∘=20∘，故选B．
6.【答案】B
【解析】如图，连接
CD，∵∠A=50∘，∴∠CDB=180∘-∠A=130∘，∵E
是边
BC的中点，∴OD⊥BC，BD=CD，∴BD=CD，∴∠ODB=∠ODC=12∠BDC=65∘．
7.【答案】D
【解析】如图，设
AB
与
CD的交点为
E，∵∠ACB=90∘，∴A，B，C，D
四点共圆．
若
∠ECB=∠ABC=40∘，则点
D
在量角器上对应的度数为
2×40∘=80∘；
若
∠BCE=∠BEC=70∘，则点
D
在量角器上对应的度数为
2×70∘=140∘．
故选D．
8.【答案】A
【解析】如图，连接
OA，OB，OE，OD．
正三角形的中心角
∠AOB=360∘3=120∘，正八边形的中心角
∠DOE=360∘8=45∘，∴∠BOE=3∠DOE=3×45∘=135∘，∴∠AOE=∠BOE-∠AOB=135∘-120∘=15∘，∴∠ADE=12∠AOE=12×15∘=7.5∘．
9.【答案】D
【解析】由题意，知
AC=4，BC=4-2=2，∠A1BC=90∘，由旋转的性质，得
A1C=AC=4，在Rt△A1BC
中，cos∠ACA1=BCA1C=12，∴∠ACA1=60∘，∴
扇形
ACA1的面积为
60×π×42360=83π，即线段
CA
扫过的图形的面积为
83π．
10.【答案】A
【解析】设
⊙O
与
x
轴、y
轴相切的切点分别是
F，E，连接
PE，PF，PD，则
PE⊥y
轴，PF⊥x
轴，延长
EP
与
CD
交于点
G，∵∠EOF=90∘，∴
四边形
PEOF
是矩形，∵PE=PF，∴
四边形
PEOF
为正方形，∴OE=PF=PE=OF=5，∵A0,8，∴OA=8，∴AE=8-5=3，∵
四边形
OACB
为矩形，∴BC=OA=8，易得四边形
AEGC
为矩形，四边形
OEGB
为矩形，∴CG=AE=3，EG=OB，∵PE⊥AO，AO∥CB，∴PG⊥CD，∴CD=2CG=6，∴DB=BC-CD=8-6=2，∵PD=5，DG=CG=3，∴PG=4，∴OB=EG=5+4=9，∴D9,2．
二、填空题
11.【答案】
【解析】
∵AB
为
⊙O的直径，∴∠ACB=90∘．
在Rt△ABC
中，∠BAC=30∘，∴BC=12AB=4 cm．
12.【答案】
【解析】
∵△OBC
是等边三角形，∴∠BOC=60∘，∴∠A=12∠BOC=30∘，∴cosA=cos30∘=32．
13.【答案】
18π
【解析】
AB的长=120⋅π×27180=18πcm．
14.【答案】
27°
【解析】因为
PA
切
⊙O
于点
A，所以
∠OAP=90∘，因为
∠P=36∘，所以
∠AOP=54∘，所以
∠B=12∠AOP=27∘．
15.【答案】
【解析】如图，连接
EG，易知
E，O，G
三点共线，EG⊥CD，∵⊙O
是正方形
ABCD的内切圆，∴DG=12DC=12BC，EG=BC，∴DE=DG2+EG2=52BC，∵∠MFG=∠MEG，∴sin∠MFG=sin∠MEG=DGDE=55．
16.【答案】
900π-13503
【解析】如图，由题意可知
△ABC
为等边三角形，S阴影=6×S阴影ACB-S△ABC=6×60π×302360-34×302=6×150π-2253=900π-13503.17.【答案】
12-13π4
【解析】
∵
在矩形
ABCD
中，AB=4，BC=3，F
是
AB的中点，∴BF=BG=2，AD=BC=3，∴S1=S矩形ABCD-S扇形DAE-S扇形GBF+S2，∴S1-S2=4×3-90×π×32360-90×π×22360=12-13π4．
18.【答案】
103
【解析】在矩形
ABCD
中，∵∠B=90∘，AB=6，BC=8，∴AC=62+82=10．
如图
1，设
⊙O
与
AD
边相切于
E，连接
OE，则
OE⊥AD，∴OE∥CD，∴△AOE∼△ACD，∴OECD=AOAC，∴AO10=26，∴AO=103；
如图
2，设
⊙O
与
BC
边相切于
F，连接
OF，则
OF⊥BC，∴OF∥AB，∴△COF∼△CAB，∴OCAC=OFAB，∴OC10=26，∴OC=103．
∴AO=203．
∴
如果圆
O
与矩形
ABCD的各边都没有公共点，那么线段
AO
长的取值范围是
103
三、解答题
19.【答案】
(1)
补全的图形如图所示．
(2)
90∘；直径所对的圆周角是直角；过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线
20.【答案】
(1)
如图，连接
OD，∵AC=CD=DB，∴∠BOD=13×180∘=60∘，∵CD=DB，∴∠EAD=∠DAB=12∠BOD=30∘，∵OA=OD，∴∠ADO=∠DAB=30∘，∵DE⊥AC，∴∠E=90∘，∴∠EAD+∠EDA=90∘，∴∠EDA=60∘，∴∠EDO=∠EDA+∠ADO=90∘，∴OD⊥DE，∴DE
是
⊙O的切线．
(2)
如图，连接
BD，∵AB
为
⊙O的直径，∴∠ADB=90∘，∵∠DAB=30∘，AB=6，∴BD=12AB=3，∴AD=62-32=33．
21.【答案】
(1)
连接
OC．
∵AB
是
⊙O的直径，C
是
⊙O
上的点，∴∠ACB=90∘，即
∠ACO+∠OCB=90∘．
∵OA=OC，∴∠ACO=∠BAC．
∵∠BCD=∠BAC，∴∠ACO=∠BCD，∴∠BCD+∠OCB=90∘，∴∠OCD=90∘，∴OC⊥CD．
∵OC
是
⊙O的半径，∴CD
是
⊙O的切线．
(2)
∵∠D=30∘，∠OCD=90∘，∴∠BOC=60∘，OD=2OC，∴∠AOC=120∘，∠BAC=30∘．
设
⊙O的半径为
x，则
OB=OC=x，∴x+2=2x，解得
x=2．
如图，过点
O
作
OE⊥AC，垂足为点
E，在Rt△OEA
中，OE=12OA=1，AE=AO2-OE2=22-12=3，∴AC=23
.∴S阴影=S扇形AOC-S△AOC=120×π×22360-12×23×1=43π-3.22.【答案】
(1)
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．
∵CF∥AB，∴∠ABC=∠FCB，∴∠ACB=∠FCB，∵AB
是
⊙O的直径，∴∠ADB=∠BDC=90∘．
∵BF
是
⊙O的切线，∴BF⊥AB．
∵CF∥AB，∴BF⊥CF，∴∠F=90∘．
又
∵BC=BC，∴△BDC≌△BFC，∴BD=BF．
(2)
∵AC=AB=10，CD=4，∴AD=AC-CD=10-4=6．
在Rt△ABD
中，BD2=AB2-AD2=102-62=64．
在Rt△BDC
中，BC=BD2+CD2=64+42=45，即
BC的长为
45．23.【答案】
(1)
如图，连接
OD，BD，∵AB
是半圆
O的切线，∴AB⊥BC，即
∠ABO=90∘．
∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB，∵OB=OD，∴∠DBO=∠BDO，∴∠ABD+∠DBO=∠ADB+∠BDO，∴∠ABO=∠ADO=90∘，∴AD
是半圆
O的切线．
(2)
由（1）得
∠ADO=∠ABO=90∘，∴∠A=360∘-∠ADO-∠ABO-∠BOD=180∘-∠BOD．
又
∠DOC=180∘-∠BOD，∴∠A=∠DOC．
∵∠ODE=90∘，∴∠ODC+∠CDE=90∘．
∵BC
是
⊙O的直径，∴∠ODC+∠BDO=90∘，∴∠BDO=∠CDE，∵∠BDO=∠OBD，∴∠DOC=2∠BDO，∴∠DOC=2∠CDE，∴∠A=2∠CDE．
(3)
∵∠CDE=27∘，∴
由（2）得
∠DOC=2∠CDE=54∘，∴∠BOD=180∘-54∘=126∘．
∵OB=2，∴lBD=126×π×2180=75π．
