专题9：功与功率

参考答案

题型1：对力做功的理解及计算

1．常见的功的计算方法

(1)恒力做功

①对恒力作用下物体的运动，力对物体做的功用W＝Fscos

α求解．该公式可写成W＝F·(s·cos

α)＝(F·cos

α)·s.即功等于力与力方向上位移的乘积或功等于位移与位移方向上力的乘积．

②利用动能定理

(2)变力做功

①用动能定理W＝ΔEk或功能关系W＝ΔE，即用能量的增量等效代换变力所做的功．(也可计算恒力功)

②当变力的功率P一定时，可用W＝Pt求功，如机车恒定功率启动时．

③将变力做功转化为恒力做功

(3)总功的求法

①总功等于合外力的功

先求出物体所受各力的合力F合，再根据W总＝F合scos

α计算总功，但应注意α应是合力与位移x的夹角．

②总功等于各力做功的代数和分别求出每一个力做的功：

W1＝F1s1cos

α1，W2＝F2s2cos

α2，W3＝F3s3cos

α3，…

再把各个外力的功求代数和即：W总＝W1＋W2＋W3＋…

2．功的计算及正负判断思维流程

1.一物体在水平面上，受恒定的水平拉力和摩擦力作用沿直线运动，已知在第1秒内合力对物体做的功为45

J，在第1秒末撤去拉力，其v－t图象如图所示，g取10

m/s2，则()

A．物体的质量为10

kg

B．物体与水平面间的动摩擦因数为0.2

C．第1秒内摩擦力对物体做的功为60

J

D．第1秒内拉力对物体做的功为60

J

解析：由动能定理，45

J＝mv2/2，第1秒末速度v＝3

m/s，解出m＝10

kg，故A正确；撤去拉力后加速度的大小a＝m/s2＝1

m/s2，摩擦力f＝ma＝10

N，又f＝μmg，解出μ＝0.1，故B错误；

第1秒内物体的位移s＝1.5

m，第1秒内摩擦力对物体做的功W＝－fs＝－15

J，故C错误；第1秒内加速度a1＝m/s2＝3

m/s2，设第1秒内拉力为F，则F－f＝ma1，第1秒内拉力对物体做的功W′＝Fs＝60

J，故D正确．

答案：AD

2.分别对放在粗糙水平面上的同一物体施一水平拉力和一斜向上的拉力使物体在这两种情况下的加速度相同，当物体通过相同位移时，这两种情况下拉力的功和合力的功的正确关系是()

A．拉力的功和合力的功分别相等

B．拉力的功相等，斜向拉时合力的功大

C．合力的功相等，斜向拉时拉力的功大

D．合力的功相等，斜向拉时拉力的功小

解析：两种情况下加速度相等，合力相等，位移相等，所以合力的功相等，第一种情况拉力的功W1＝F1s，第二种情况下拉力的功W2＝F2scosθ，由受力分

析F1－f1＝ma，F2cos

θ－f2＝ma，f1＞f2，则F1＞F2cos

θ，即W1＞W2，即斜向拉时拉力的功小．

答案：D

3.如图所示，木板可绕固定水平轴O转动．木板从水平位置OA缓慢转到OB位置，木板上的物块始终相对于木板静止．在这一过程中，物块的重力势能增加了2

J．用N表示物块受到的支持力，用f表示物块受到的摩擦力．在此过程中，以下判断正确的是()

A．N和Ff对物块都不做功

B．N对物块做功为2

J，f对物块不做功

C．N对物块不做功，f对物块做功为2

J

D．N和f对物块所做功的代数和为0

解析：由做功的条件可知：只要有力，并且物块沿力的方向有位移，那么该力就对物块做功．由受力分析知，支持力N做正功，但摩擦力f方向始终和速度方向垂直，所以摩擦力不做功．由动能定理WN－mgh＝0，故支持力N

做功为mgh.答案：B

求力对物体做功问题首先从做功的条件判断力对物体是否做功及做功的正负，一般可以从力和位移的方向关系(恒力做功情况)或力和速度的方向关系(变力做功情况)入手进行分析．求解变力做功，动能定理是最常用的方法.4．沿着高度相同，坡度不同，粗糙程度也不同的斜面向上拉同一物体到顶端，以下说法中正确的是()

A．沿坡度小，长度大的斜面上升克服重力做的功多

B．沿长度大、粗糙程度大的斜面上升克服重力做的功多

C．沿坡度大、粗糙程度大的斜面上升克服重力做的功多

D．上述几种情况重力做功同样多

解析：重力做功只与高度有关，与路径无关，因此，题中所述几种情况重力做功同样多．

答案：D

5.如图所示，用恒力F拉着质量为m的物体沿水平面从A移到B的过程中，下列说法正确的是()

A．有摩擦力时比无摩擦力时F做的功多

B．有摩擦力时与无摩擦力时F做的功少

C．物体加速运动时F做的功比减速运动时F做的功多

D．物体无论是加速、减速还是匀速，力F做的功一样多

解析：由功的公式W＝Fscos

α可得力F对物体m做的功W＝F·s，与有无摩擦无关，与物体是加速、减速还是匀速也无关，因此只有D正确．

答案：D

6.如图所示，质量为m的物体置于倾角为θ的斜面上，物体与斜面间的动摩擦因数为μ，在外力作用下，斜面以加速度a沿水平方向向左做匀加速运动，运动中物体m与斜面体相对静止．则关于斜面对m的支持力和摩擦力的下列说法中错误的是()

A．支持力一定做正功

B．摩擦力一定做正功

C．摩擦力可能不做功

D．摩擦力可能做负功

解析：支持力方向垂直斜面向上，故支持力一定做正功．

而摩擦力是否存在需要讨论．

当a＝gtan

θ时，摩擦力不存在，不做功

当a>gtan

θ，摩擦力沿斜面向下，做正功

当a

θ，摩擦力沿斜面向上，做负功．

综上所述，B是错误的．

答案：B

7．关于摩擦力做功的下列说法不正确的是()

①．滑动摩擦力阻碍物体的相对运动，一定做负功

②．静摩擦力起着阻碍物体相对运动趋势的作用，一定不做功

③．静摩擦力和滑动摩擦力一定都做负功

④．系统内两物体间的相互作用的一对摩擦力做功的总和恒等于0

A．①②③

B．②③④

C．①③④

D．①②③④

8.质量为2

kg的物体，放在动摩擦因数为μ＝0.1的水平面上，在水平拉力F的作用下，由静止开始运动，拉力做的功W和物体发生的位移s之间的关系如图所示，g＝10

m/s2.下列说法中正确的是()

A．此物体在AB段做匀加速直线运动，且整个过程中拉力的最大功率为15瓦

B．此物体在AB段做匀速直线运动，且整个过程中拉力的最大功率为6瓦

C．此物体在AB段做匀加速直线运动，且整个过程中拉力的最大功率为6瓦

D．此物体在AB段做匀速直线运动，且整个过程中拉力的最大功率为15瓦

解析：前3

m位移内的拉力为5

N，根据牛顿第二定律可得加速度a＝1.5

m/s2，末速度为3

m/s，后6

m位移内拉力等于2

N，所以此物体在AB段做匀速直线运动．

答案：D

9.质量为m＝20

kg的物体，在大小恒定的水平外力F的作用下，沿水平面做直线运动.0～2.0

s内F与运动方向相反，2.0

s～4.0

s内F与运动方向相同，物体的速度－时间图象如图5－1－15所示，已知g取10

m/s2.则下列说法错误的是()

A．物体在0～4

s内通过的位移为8

m

B．拉力F的大小为100

N

C．物体与地面间的动摩擦因数为0.2

D．物体克服摩擦力做的功为480

J

解析：根据v－t图象的特点可知，物体在0～4

s内通过的位移为8

m，A正确；0～2

s内物体做匀减速直线运动，加速度为a1＝5

m/s2，a1＝(F＋f)/m,2

s～4

s内物体做匀加速直线运动，加速度为a2＝1

m/s2，a2＝(F－f)/m，又f＝μmg，解得：F＝60

N、μ＝0.2，B错误、C正确；由于摩擦力始终对物体做负功，根据图象可求得物体通过的路程为12

m，由Wf＝μmgx可得物体克服摩擦力做的功为480

J，D正确．

答案：B

题型2：对功率的理解及计算

计算功率的基本思路

1．首先判断待求的功率是瞬时功率还是平均功率．

2．(1)平均功率的计算方法．

①利用.②利用.(2)瞬时功率的计算方法．

P＝Fvcos

θ，v是t时刻的瞬时速度．

10.如图所示，水平传送带正以2

m/s的速度运行，两端水平距离l＝8

m，把一质量m＝2

kg的一个物块轻轻放到传送带的A端，物块在传送带的带动下向右运动，若物块与传送带间的动摩擦因数μ＝0.1，则把这个物块从A端传送到B端的过程中，不计物块的大小，g取10

m/s2，求摩擦力对物块做功的平均功率．

解析：物体刚放到传送带上时，由于与传送带有相对运动，物块受向右的滑动摩擦力，物块做加速运动，摩擦力对物块做功，求出物块在摩擦力作用下的位

移和运动时间．

物块受向右的摩擦力为：f＝μmg＝0.1×2×10

N＝2

N，加速度为a＝＝μg＝0.1×10

m/s2＝1

m/s2

当物块与传送带相对静止时的位移为：s＝m＝2

m.摩擦力做功为：W＝fs＝2×2

J＝4

J

相对静止后物块与传送带之间无摩擦力，此后物块匀速运动到B端，物块由A端到B端所用的时间为：

则物块在被传送过程中所受摩擦力的平均功率为：

.答案：0.8

W

11.图2008年9月6日，残奥会在北京开幕．我国运动员侯斌坐在轮椅上靠自身牵引升空点燃主火炬．该装置可简化为如图5－1－8所示的定滑轮模型．假设侯斌和轮椅的总质量为m，需要上升高度h点燃主火炬，设上升时间为t，不计一切摩擦和细绳质量，则()

A．若侯斌拉绳的拉力为F，则上升的加速度为a＝2F/m

B．若侯斌以速度v匀速向下拉绳，则侯斌拉绳的功率等于mgv

C．若侯斌拉绳先加速后匀速最后减速到零，则在整个上升过程中，侯斌拉细绳的力都一定不小于mg/2

D．若侯斌拉绳先加速后匀速最后减速到零，则在整个上升过程中，侯斌拉细绳做功W＝mgh

解析：若侯斌拉绳的拉力为F，把轮椅和侯斌看作整体，则整体受到向上的拉力为2F，由牛顿第二定律得2F－mg＝ma，则上升的加速度为a＝2F/m－g，选项A错误；若侯斌以速度v匀速向下拉绳，则侯斌拉绳的力F＝mg/2，拉绳的功率P＝Fv＝mgv/2，选项B错误；侯斌自身牵引升空是先加速后匀速最后减速到零，在加速上升阶段，侯斌的拉力大于mg/2，匀速运动阶段，侯斌的拉力等于mg/2，最后减速上升阶段侯斌的拉力小于mg/2，选项C错误；对于整个上升过程，由动能定理得W－mgh＝0，侯斌拉细绳做功W＝mgh，选项D正确．

答案：D

12.(2010·徐州模拟)一辆汽车在平直的公路上以某一初速度运动，运动过程中保持恒定的牵引功率，其加速度a和速度的倒数(1/v)图象如图5－1－10所示．若已知汽车的质量，则根据图象所给的信息，不能求出的物理量是()

A．汽车的功率

B．汽车行驶的最大速度

C．汽车所受到的阻力

D．汽车运动到最大速度所需的时间

解析：由P＝F·v，和F－f＝ma得出：a＝·－0，由图象可求出图线斜率k，由k＝，可求出汽车的功率P，由＝0时，a＝－2

m/s2，得：－2＝－可求出汽车所受阻力f，再由P＝fvm可求出汽车运动的最大速度vm，但汽车做变加速直线运动，无法求出汽车运动到最大速度的时间，故选D.答案：D

13．将一质量为m的小球以初速度v0从倾角为θ的斜坡顶向外水平抛出，并落在斜坡上，那么当它击中斜坡时重力做功的功率是()

A．mgv0cot

θ

B．mgv0tan

θ

C．2mgv0cot

θ

D．2mgv0tan

θ

解析：设小球平抛后经过t击中斜坡，则有tan

θ＝，gt＝2v0tan

θ，小球击中斜坡时重力做功的功率P＝mg·v竖＝mg·gt＝2mgv0tan

θ，故只有D正确．

答案：D

14.汽车在水平路面上从静止开始做匀加速直线运动，t1

s末关闭发动机，做匀减速直线运动，t2

s末静止，其v－t图象如图5－1－13所示．图中α＜β，若汽车牵引力做功为W、平均功率为P，汽车加速和减速过程中克服摩擦力做功分别为W1和W2、平均功率分别为P1和P2，则下列说法错误的是()

A．W＝W1＋W2

B．W1＞W2

C．P＝P1

D．P1＝P2

解析：整个过程动能变化量为零，所以合外力做功为零．A项正确．摩擦力大小相等，第一段位移大，所以B项正确．第一段是加速，故牵引力大于摩擦力，所以P＞P1，C项错．因两段平均速度相等，所以摩擦力的平均功率相等，D项正确．

答案：C

型3：机车的启动方式

机动车辆启动的两种方式

恒定功率启动

恒定加速度启动

过程分析

阶段一：v↑⇒F＝↓⇒a＝

↓阶段二：F＝F阻⇒a＝0⇒P＝F阻·vm

阶段一：a＝不变⇒F不变⇒v↑⇒P＝F·v↑，直到P＝P额＝F·vm′阶段二：v↑⇒F＝↓⇒a＝

↓阶段三：

F＝F阻时⇒a＝0⇒v达最大值vm＝

运动规律

加速度逐渐减小的变加速直线运动(对应下图的OA段)⇒以vm匀速直线运动(对应下图中的AB段)

以加速度a做匀加速直线运动(对应下图中的OA段)⇒匀加速运动能维持的时间t0＝⇒以vm匀速直线运动，对下图中的BC段

P—t图象

v—t图象

15.汽车发动机的功率为60

kW，汽车的质量为4

t，当它行驶在坡度为0.02(sin

α＝0.02)的长直公路上时，如图5－1－5所示，所受摩擦阻力为车重的0.1倍(g＝10

m/s2)，求：

(1)汽车所能达到的最大速度vm；

(2)若汽车从静止开始以0.6

m/s2的加速度做匀加速直线运动，则此过程能维持多长时间？

解析：(1)汽车在坡路上行驶，所受阻力由两部分构成，即

f＝kmg＋mgsin

α＝4

000

N＋800

N＝4

800

N.又因为当F＝f时，P＝f·vm，所以vm＝m/s＝12.5

m/s.(2)汽车从静止开始，以a＝0.6

m/s2，匀加速行驶，由F＝ma，有F′－f－mgsin

α＝ma.所以F′＝ma＋kmg＋mgsin

α＝4×103×0.6

N＋4

800

N＝7.2×103

N.保持这一牵引力，汽车可达到匀加速行驶的最大速度vm′，有vm′＝m/s＝8.33

m/s.由运动学规律可以求出匀加速行驶的时间t＝

s＝13.9

s.答案：(1)12.5

m/s(2)13.9

s

16．一辆汽车保持功率不变驶上一斜坡，其牵引力逐渐增大，阻力保持不变，则在汽车驶上斜坡的过程中()

①．加速度逐渐增大

②．速度逐渐增大

③．加速度逐渐减小

④．速度逐渐减小

A．①②正确

Ｂ．①③正确

Ｃ．②③正确

Ｄ．③④正确

解析：由P＝F·v可知，汽车的牵引力逐渐增大，其上坡的速度逐渐减小，汽车的加速度方向沿坡向下，由牛顿第二定律得：mgsin

θ＋f－F＝ma，随F增大，a逐渐减小，综上所述，③、④正确，①、②错误．

答案：D

17.(2010·龙岩调研)如图在雄壮的《中国人民解放军进行曲》中，胡锦涛主席乘国产红旗牌检阅车，穿过天安门城楼，经过金水桥，驶上长安街，检阅了44个精神抖擞、装备精良的地面方队．若胡锦涛主席乘坐的国产红旗牌检阅车的额定功率为P，检阅车匀速行进时所受阻力为f，在时间t内匀速通过总长为L的44个精神抖擞、装备精良的地面方队，由此可知()

A．在时间t内检阅车的发动机实际做功为Pt

B．检阅车匀速行进的速度为

C．检阅车匀速行进时地面对车轮的摩擦力为滑动摩擦力

D．检阅车的实际功率为

解析：在检阅车检阅时，在水平道路上行进速度很慢，发动机的实际功率一定

小于额定功率，在时间t内检阅车的发动机实际做功一定小于Pt，选项A错误；

由P＝fv计算出的速度为检阅车的最大速度，检阅车匀速行进的速度一定小于，选项B错误；检阅车匀速行进时地面对车轮的摩擦力为静摩擦力，选项C错误；检阅车匀速行进的速度为v＝，牵引力F等于阻力f，检阅车的实际功率为P′＝Fv＝，选项D正确．

答案：D

18.(2009·四川，23)如图为修建高层建筑常用的塔式起重机．在起重机将质量m＝5×103

kg的重物竖直吊起的过程中，重物由静止开始向上做匀加速直线运动，加速度a＝0.2

m/s2，当起重机输出功率达到其允许的最大值时，保持该功率直到重物做vm＝1.02

m/s的匀速运动．取g＝10

m/s2，不计额外功．求：

(1)起重机允许输出的最大功率；

(2)重物做匀加速运动所经历的时间和起重机在第2秒末的输出功率．

解析：(1)设起重机允许输出的最大功率为P0，重物达到最大速度时，拉力F0等于重力．

P0＝F0vm①

F0＝mg②

代入数据，有：P0＝5.1×104

W③

(2)匀加速运动结束时，起重机达到允许输出的最大功率，设此时重物受到的拉力为F，速度为v1，匀加速运动经历时间为t1，有：P0＝Fv1④

F－mg＝ma⑤

v1＝at1⑥

由③④⑤⑥，代入数据，得：t1＝5

s⑦

t＝2

s时，重物处于匀加速运动阶段，设此时速度为v2，输出功率为P，则v2＝at⑧

P＝Fv2⑨

由⑤⑧⑨，代入数据，得：P＝2.04×104

W．⑩

答案：(1)5.1×104

W(2)2.04×104

W

19．(2010·上海浦东区模拟)一辆汽车质量为1×103

kg，最大功率为2×104

W，在水平路面由静止开始

做直线运动，最大速度为v2，运动中汽车所受阻力恒定．发动机的最大牵引力为3×103

N，其行驶过程中牵引力F与车速的倒数的关系如图所示．试求

(1)根据图线ABC判断汽车做什么运动？

(2)v2的大小；

(3)整个运动过程中的最大加速度；

(4)当汽车的速度为10

m/s时发动机的功率为多大？

解析：(1)图线AB段牵引力F不变，阻力f不变，汽车做匀加速直线运动，图线BC的斜率表示汽车的功率P，P不变，则汽车做加速度减小的加速运动，直至达到最大速度v2，此后汽车做匀速直线运动．

(2)汽车速度为v2，牵引力为F1＝1×103

N，v2＝m/s＝20

m/s.(3)汽车做匀加速直线运动时的加速度最大，阻力f＝N＝1

000

N，a＝m/s2＝2

m/s2.(4)与B点对应的速度为v1＝m/s＝6.67

m/s

当汽车的速度为10

m/s时处于图线BC段，故此时的功率最大为Pm＝2×104

W.答案：(1)AB段匀加速　BC段加速度减小的加速运动(2)20

m/s

(3)2

m/s2(4)2×104

W

20．一列火车总质量m＝500

t，机车发动机的额定功率P＝6×105

W，在轨道上行驶时，轨道对列车的阻力f是车重的0.01倍，g取10

m/s2，求：

(1)火车在水平轨道上行驶的最大速度；

(2)在水平轨道上，发动机以额定功率P工作，当行驶速度为v1＝1

m/s和v2＝10

m/s时，列车的瞬时加速度a1、a2各是多少；

(3)在水平轨道上以36

km/h速度匀速行驶时，发动机的实际功率P′；

(4)若火车从静止开始，保持0.5

m/s2的加速度做匀加速运动，这一过程维持的最长时间．

解析：(1)列车以额定功率工作时，当牵引力等于阻力，即F＝f＝kmg时列车的加速度为零，速度达最大vm，则：vm＝＝＝＝12

m/s.(2)当v＜vm时列车加速运动，当v＝v1＝1

m/s时，F1＝＝6×105

N，据牛顿第二定律得：a1＝＝1.1

m/s2

当v＝v2＝10

m/s时，F2＝＝6×104

N

据牛顿第二定律得：a2＝＝0.02

m/s2.(3)当v＝36

km/h＝10

m/s时，列车匀速运动，则发动机的实际功率P′＝fv＝5×105

W.(4)据牛顿第二定律得牵引力F′＝f＋ma＝3×105

N，在此过程中，速度增大，发动机功率增大．

当功率为额定功率时速度大小为vm′，即vm′＝＝2

m/s

据vm′＝at，得：t＝＝4

s.答案：(1)12

m/s(2)1.1

m/s2　0.02

m/s2(3)5×105

W(4)4

s