第一篇：七大积分总结

七大积分总结

一． 定积分

1.定积分的定义：设函数f(x)在[a,b]上有界，在区间[a,b]中任意插入n－1个分点：a=x0

Sf(i)xi

i1n记λ=max{△x1, △x2, △x3„„, △xn},若不论对[a,b]怎样分法，也不论在小区间[xi-1,xi]上点ξi怎样取法，只要当λ→0时，S的极限I总存在，这时我们称I为函数f(x)在区间[a,b]上定积分（简称积分），记做：

baf(x)dxIlimf(i)xi

0i1n其中f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，x称为积分变量，a称为积分下限，b称为积分上限，[a,b]称为积分区间，f()xii0ni称为积分和。

如果f(x)在[a,b]上的定积分存在，则称f(x)在[a,b]上可积。关于定积分的定义，作以下几点说明：

（1）积分值仅与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的字母记法无关，即af(x)dxaf(t)dtaf(u)du。（2）定义中区间的分法与ξi的取法是任意的。

（3）定义中涉及的极限过程中要求λ→0，表示对区间[a,b]无限

bbb细分的过程，随λ→0必有n→∞，反之n→∞并不能保证λ→0，定积分的实质是求某种特殊合式的极限： 例：0f(x)dxlimf()（此特殊合式在计算中可以作为ni11ni1nn公式使用）2.定积分的存在定理

定理一

若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。定理二

若函数f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间上可积。3.定积分的几何意义

对于定义在区间[a,b]上连续函数f(x)，当f(x)≣0时，定积分

baf(x)dx在几何上表示由曲线y=f(x),x=a,x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积；当f(x)小于0时，围成的曲边梯形位于x轴下方，定积分af(x)dx在几何意义上表示曲边梯形面积的负值。若f(x)在区间上既取得正值又取得负值时，定积分的几何意义是：它是介于x轴，曲线y=f(x),x=a,x=b之间的各部分曲边梯形的代数和。4．定积分的性质

线性性质（性质

一、性质二）

性质一

a[f(x)g(x)]dxaf(x)dxag(x)dx 和差的积分等于积分的和差；

性质二

akf(x)dxkaf(x)dx（k是常数）

性质三

对区间的可加性 不管a,b,c相对位置如何，总有等式 bbbbbb baf(x)dxf(x)dxf(x)dx

accb性质四 如果在区间[a,b]上，f(x)≡1，则af(x)dxba 性质五（保号性）如果在区间[a,b]上，f(x)≣0，则af(x)dx0 推论一

设f(x)≢g(x),x∈[a,b]，则af(x)dxag(x)dx 推论二 af(x)dxaf(x)dx(a

性质七（定积分中值定理）设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少有一点ξ使得下式成立：

bbbbbbbbaf(x)dxf()(ba)（本性质可由性质六和介值定理一块证得）

5．积分上限函数及其导数

设函数f(x)在区间[a,b]上连续，若x为区间[a,b]上任意一点，则 f(x)在区间[a,x]上定积分为af(x)dx，此时x既表示积分变量又表示积分的上限，但两者的含义不同，因为定积分与积分变量的激发无关，故可改用其他符号，可用t表示积分变量，则上面的积分可写成

xxaf(t)dt，该积分会随着X的取定而唯一确定，随X的变化而变化。x所以积分af(t)dt是定义在区间[a,b]上关于x的一个函数，记做 Φ(x): Φ(x)=af(t)dt(a≢x≢b)并称该函数为积分上限函数或积分变上限函数，它具有下面定理所指出的重要性质：

定理一 如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则积分上限函数Φ(x)在区间[a,b]上可导，且导数为

xdxΦ(x)=af(t)dtf(x)（a≢x≢b）

dx‘定理二（原函数存在定理）如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则函数Φ(x)就是f(x)在区间[a,b]上的一个原函数。

定理二肯定了连续函数的原函数是存在的，揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系。

定理三

如果函数f(t)在区间I1上连续，a(x),b(x)在区间I2上都可导，并且f[a(x)],f[b(x)]构成I2上的复合函数，则 F(x)=a(x)f(t)dt在I2上可导，且 F‘(x)=db(x)’’f(t)dt=f[b(x)]·b(x)-f[a(x)]·a(x)a(x)dxb(x)6.牛顿-莱布尼茨公式

设函数f(x)在区间[a,b]上连续，函数F(x)是f(x)的一个原函数，则有af(x)dx=F(b)-F(a),这个公式称为牛顿-莱布尼茨公式。次公式揭示了定积分与原函数之间的关系，它表明：一个连续函数在区间[a,b]上的定积分等于它的任意一个原函数在区间[a,b]上的增量，而原函数的全体就是不定积分，故该公式将求定积分与不定积分联系起来了，又叫做微积分基本公式，在计算中常用到。7.定积分的常见积分方法 换元法

如果函数f(x)在区间[a,b]上连续且函数x=(t)满足下列条件：（1）(α)=a,(β)=b;(2)在区间[α,β]上(t)具有连续导数且其值域R[a,b]，则有af(x)dxf[(t)]'(t)dt，此公式称为定积分的换元公式。bb注意：换元必换限，即用x=(t)把积分变量x换成t时，积分限一定要换成相应于新积分变量t的积分限；

另外此公司反过来也可以用：f(t)dtaf[(x)]'(x)dx，其中

(a),(b)

b定积分中的对称奇偶性：

若f(x)在区间[-a,a]上连续，则：（1）当f(x)为奇函数时，af(x)dx=0（2）当f(x)为偶函数时，af(x)dx20f(x)dx 三角函数的定积分公式： 设f(x)在[0,1]上连续，则：

（1）f(sinx)dxf(cosx)dx;(2)0xf(sinx)dx周期函数的定积分公式：

如果T是连续函数f(x)的周期，则a分部积分法

若函数u=u(x)，v=v(x)在闭区间[a,b]上具有连续导数，则有 audvuvaavdu 重要结论：

设In=sinxdxcosnxdx，则 n20202020aaaf(sinx)dx 20aTf(x)dxf(x)dx（a为常数）

0Tbbbn1n331 nn2422n1n3421（2）当n为大于1的正奇数时，In=

nn253（1）当n为正偶数时，In=常用到的不定积分的积分公式： tgxdxlncosxCctgxdxlnsinxCsecxdxlnsecxtgxCcscxdxlncscxctgxCdx1xarctgCa2x2aadx1xalnx2a22axaCdx1axa2x22alnaxCdxxarcsinCa2x2a2ndx2cos2xsecxdxtgxCdx2csc2sinxxdxctgxCsecxtgxdxsecxCcscxctgxdxcscxCaxadxlnaCxshxdxchxCchxdxshxCdxx2a2ln(xx2a2)C2Insinxdxcosnxdx00n1In2n

x2a22xadxxaln(xx2a2)C22x2a2222xadxxalnxx2a2C22x2a2x222axdxaxarcsinC22a22

三角函数的有理式积分：

2u1u2x2dusinx，cosx，utg，dx 22221u1u1u一些初等函数： 两个重要极限：

exex双曲正弦:shx2exex双曲余弦:chx2shxexex双曲正切:thxchxexexarshxln(xx21）archxln(xx21)11xarthxln21x

limsinx1x0x1lim(1)xe2.7***045...xx常见微分公式：

(tgx)sec2x(ctgx)csc2x(secx)secxtgx(cscx)cscxctgx(ax)axlna1(logax)xlna(arcsinx)11x21(arccosx)1x21(arctgx)1x21(arcctgx)1x28.无穷限的广义积分：

设函数f(x)在区间[a,+∞]上连续，取b>a，如果极限limbbaf(x)dx

存在，则此极限为函数f(x)在无穷区间[a,+∞]上的广义积分，记做

af(x)dx，这时也称广义积分af(x)dx收敛，如果上述极限不存在，则称该广义积分发散。

同理也可得函数f(x)在无穷区间[-∞,b]上的广义积分。

对于广义积分：只有在收敛的条件下才可使用上述“定积分中的对称奇偶性”。几条结论：（1）广义积分a1dx，当p>1时收敛，当p≢1是发散。xp（2）广义积分aepxdx当p>0时收敛，当p<0时发散。9.无界函数的广义积分：

设函数f(x)在区间（a,b]上连续，点a为函数f(x)的瑕点，取t>a，如果极限limtabtf(x)dx存在，则称此极限为函数f(x)在(a,b]上的广义

b积分，记做af(x)dx，即af(x)dx=limtabbtf(x)dx。这时也称广义积分收敛，如果上述极限不存在，就称广义积分发散。同理，可得f(x)在区间[a,b）上的瑕积分,即

af(x)dx= limtbbtaf(x)dx

对于无界函数的瑕积分（就是广义积分）的计算，也可以利用牛顿-莱布尼茨公式，如对于f(x)在区间（a,b]上的瑕积分有：

af(x)dx=limtabbtf(x)dx=F(b)-limF(x)=F(x)-F(a+0)

xa小结论： 广义积分011dx当p<1时收敛，当p≣1时发散。px对于无界函数的广义积分（瑕积分）的计算，一般瑕点都会设置在区间(a,b)(或[a,b),(a,b][a,b])的内部一个点上。10.定积分的应用

一、定积分在几何上的应用：

（一）平面图形的面积 1.直角坐标情形: 对于有曲线x=a,x=b,y=f(x),y=g(x)围成的X型的曲边梯形，其面积的计算公式为：A=af(x)g(x)dx（a

对于由曲线y=c,y=d,x=f(y),x=g(y)所围成的Y型的曲边梯形的面积计算公式为：Acf(y)g(y)dy(c

当曲边梯形的曲边f(x)(f(x)≣0,x∈[a,b])由参数方程

x=(t),y=(t)给出时，若()a,()b，且在[a,b]上(t)具有连续导数，y=(t)连续，则由曲边梯形的面积公式及定积分的换元公式可

db得曲边梯形的面积为：A=af(x)dx=(t)'(t)dt 4.极坐标情形：

由曲线()及射线，围成的曲边扇形的面积计算公式为

12 A=()d

2b

（二）立体的体积 1.旋转体的体积

对于由连续曲线y=f(x),直线x=a,x=b及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积计算公式为：V=a[f(x)]2dx

同理可得相似的绕Y轴和Z轴旋转所成的旋转体的体积计算公式。2.平行截面面积已知的空间立体的体积

若一个立体位于平面x=a,x=b之间，且知道过x且垂直于x轴的平面截此物体的截面面积为A(x)，且A(x)为了连续函数，则此立体的体积计算公式是： V=aA(x)dx，同理可得相似的过Y（Z）且垂直于Y（Z）轴的平面截得的立体的体积的计算公式。

（三）平面曲线的弧长 1.参数方程情形

设曲线由参数方程x=(t),y=(t)给出，且(t)，(t)在[，]上具有一阶连续导数，则其弧长的计算公式为： S='2(t)'2(t)dt 2.直角坐标情形

设曲线由直角坐标方程y=f(x)（a≢x≢b）给出，其中f(x)在[a,b]上有一阶连续导数，则此时函数的参数方程可写成：x=x,y=f(x)，故bb其弧长的计算公式为：s=a1y'2dx 3.极坐标情形

设弧线由极坐标方程()()给出，其中()在[,]上具有一阶连续导数，则其参数参数方程可以表示为x=()cos,y=()sin,故弧长为s=2()'2()d

二、定积分在物理上的应用

（一）变力沿直线所做的功 W=aF(x)dx

（二）液体压力 这个就题论题；

（三）引力 这个在计算的时候适当建立直角坐标系，将力分解为X轴和Y州两个方向上分别计算，就题论题；

bb定积分到此结束，在计算的过程中要牢记常见的公式，特别是积分公式，这些都与不定积分有关，上边总结的一些积分公式可能不全，见谅。

二． 二重积分

这里二重积分的引入（阐释了二重积分的几何意义：表示曲顶柱体的体积）和定义及概念就不再总结，只声明：

当被积函数为常数1的时候，二重积分的物理意义是被积函数所围区域的面积，当被积函数是关于积分变量的一个函数时，二重积分的意义有很多，这与二重积分的应用有关。1.二重积分的性质

性质一(线性性质)和差的积分等于积分的和差；

性质二（区域可加性）若区域D由n个不重合的有界闭区域Di(i=1,2,3,„„,n)组成，则f(x,y)df(x,y)d

Di1Din性质四（单调性）若在区域D上恒有f(x,y)≢g(x,y),则

f(x,y)d≢g(x,y)d，特别的有f(x,y)dDDDDf(x,y)d

性质五（估值定理）设M，m分别为f(x,y)在有界闭区域上D上最大、最小值，A为区域D的面积，则 mA≢f(x,y)d≢MA

D性质六（积分中值定理）设函数f(x,y)在有界闭区域D上连续，A为D的面积，则在D上至少存在一点(,)，使f(x,y)d=f(,)A

D2.二重积分的计算（基本思想：将二重积分转化为二次积分）

一、在直角坐标系下计算二重积分

（一）先对Y，后对X的二次积分

设二重积分f(x,y)d的积分区域D可以表示为

Da≢x≢b,(x)1y2(x)的形式，其中1(x)，2(x)在[a,b]上连续，这时程区域D为X型区域，这时二重积分的计算公式为

f(x,y)d=adx(x)f(x,y)dy

D1b2(x）

（二）先对X，后对Y的二次积分

类似上边，若二重积分f(x,y)d的积分区域D可以表示为

Dc≢y≢d,1(y)2(y)的形式，则称区域D为Y型区域，这时二重积分的计算公式为: f(x,y)d=Ddcdy2(y）1(y)f(x,y)dx

二、在极坐标系下计算二重积分

若积分区域D与圆域有关或者被积函数为f(x2y2)，f()，f(xy)等形式，用极坐标计算更简便。

极坐标下的面积微元可以表示为：drdrd()

xrcos,yrsin,而两个坐标系的积直角坐标与极坐标有如下变换：

yx分区域的形状不变，因此有

rf(x,y)df(rcos,rsin)rdrd==drdr

2DDr1()常用的计算技巧：

1.适当的拆分被积函数和积分区域（主要是利用分块积分和对称性）2.对称性质

若区域D关于X轴对称：

（1）若f(x,y)是关于Y的偶函数，则：f(x,y)d=2f(x,y)d

DD1（2）若f(x,y)是关于Y的奇函数，则f(x,y)d=0；

D3.二重积分的一般换元法 设变量变换 uu(x,y),v(x,y)，将Oxy平面上的闭区域D一一对应地变到Ouv平面上的闭区域D‘，如果函数u,v在闭区域D内有连续

uu(u,v)xy偏导数，且≠0 则，(x,y)vvxy(u,v)f(x,y)d=f(x(u,v),y(u,v))dudv DD(x,y)

三、三重积分

三重积分的几何意义（涉及到四维空间，暂不讨论）略去。在特殊情况下，当被积函数恒等于1时，三重积分表示的为被积空间的体积大小。

1． 三重积分的计算

（一）直角坐标系下三重积分的计算

方法一：投影法（又称先一后二法，先化三重积分为定积分，计算完定积分后就化为二重积分了）

设三重积分f(x,y,z)dxdydz的积分区域Ω可表示为：

Ω：z1(x,y)≢z≢z2(x,y),(x,y)∈Dxy

其中Dxy为Ω在Oxy平面上的投影区域，它是Oxy平面上的有界闭区域，z1(x,y)和z2(x,y)都在Oxy上连续，则计算三重积分时，先将x,y看做常数，然后可得：

z2(x,y)dxdyf(x,y,z)dzf(x,y,z)dxdydz= z1(x,y)Dxy=dxdyDxyz2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz先对Z积分，转化成关于X,Y的一个二重积分（事实上还是化为关于X,Y,Z的三次积分来计算了），然后在计算二重积分即可（下面不再叙述）。

若区域Dxy可以再极坐标系下表示，那么可以将上述公式化为先对Z，再对r，后对θ的三次积分。

方法二：截面法（又称先二后一法，事实上是先化三重积分为二重积分，计算完二重积分后就化为一个定积分了）

设空间区域Ω：c1≢z≢c2,(x,y)∈Dz,其中Dz是过点（0,0，z）且平行于Oxy平面的平面截Ω所得的平面区域，则

f(x,y,z)dxdydz=c2c1dzf(x,y,x)dxdy，然后可根据Dz

Dz是坐标系下的X型或Y型区域化X,Y的二重积分为二次积分，然后转化为Z的定积分。

若Dz可以用极坐标系表示，则还可以化为关于先计算r,θ的二重积分（化为二次积分计算），再计算Z的定积分。（由于这里公式繁杂，故不再详细书写，请谅解）3.三重积分的换元法

设变量变换 xx(u,v,w),yy(u,v,w),zz(u,v,w),(u,v,w)'

将Ouvw空间中的闭区域Ω‘一一对应地变换为Oxyz空间中的闭区域Ω，若函数x,y,z在Ω‘内具有连续的偏导数，且 xu(x,y,z)yJ(u,v,w)uzuxxvwyy≠0，则三重积分的换元公式为 vwzzvwf(x,y,z)dxdydz=f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))Jdudvdw

‘4.柱面坐标下三重积分的计算 柱面坐标与直角坐标的变换关系为：

xrcos,yrsin,zz,则易得（代入上边的换元公式中可得）：J=r≠0,所以f(x,y,z)dxdydz=f(rcos,rsin,z)rdrddz，然后计算三重积分。

注：当被积函数含有zf(x2+y2),zf(xy),zf()的形式，或者积分区域由圆柱面（或一部分）锥面、抛物面所围成时，用柱面坐标系计算比较简便。

5.球面坐标下三重积分的计算。

直角坐标和球面坐标之间的转换关系如下：

yxxrsincos,yrsinsin,zrcos，则代入上边的换元法的公式中可得J=r2sin≠0 故

f(x,y,z)dxdydz=2f(rsincos,rsinsin,rcos)rsindrdd ‘注：当积分区域是与球面有关的区域时或者被积函数中含有x2y2z2等形式时，用球面坐标系计算比较简便。

三重积分的对称奇偶性：

若Ω关于Oxy平面对称，则当f为关于z的奇函数时，f(x,y,z)dxdydz=0；当f为关于z的偶函数时，f(x,y,z)dxdydz=2f(x,y,z)dxdydz

16.重积分的应用

一． 计算立体体积 V=dv

二． 计算空间曲面面积

设∑：z=f(x,y)为空间可求面积的曲面，∑在Oxy平面的投影区域为Dxy,任取Dxy上的小区域d，则经过证明可得（证明过程略去，自己看书）：d=dS

11zxzy2222,故

221zzd1zzdS==xyxydxdy,故

S=Dxy1zxzydxdy，然后计算二重积分。2

2三、求质心

这里只介绍公式，推导过程不再叙述，自个儿看书。

设有一个有界闭区域D，它的密度(x,y)在D上连续，下面给出这一平面区域的质心公式：（其中Mx,My分别为质点系对对X，Y轴的静距）。xMyMx(x,y)dDDMxy，M(x,y)dy(x,y)dD (x,y)dD特别的，当区域D的面密度为常值时，其质心坐标计算公式为：

xMyMxdDdDxdDSD，yMxDMdDydydDSD

同理可得空间有界区域Ω的形心的坐标公式：

xx(x,y,z)dv(x,y,z)dv，yy(x,y,z)dv(x,y,z)dv，zz(x,y,z)dv

(x,y,z)dv特别的，当空间区域所代表的例题均匀为时，其形心坐标公式为：

xxdvdvxdvVyydvdvydvVzzdvdvzdvV

补充：

1.若积分区域关于直线y=x对称，则根据轮换对称性可得：

f(x,y)d=f(y,x)d

DD2.在计算重积分的时候，适当的交换积分顺序能帮助解题。3.利用质心、重心公式计算（当且仅当积分区域所代表的图形是均匀的）： 例如：xdxDdxS（此公式是由质心公式变形得到

DD的，使用此公式的前提是已知积分区域的质心坐标）

四、计算转动惯量（公式推导过程略去）

设一个平面区域D，面密度为(x,y)，下面给出其相对于X,Y,Z轴的转动惯量的计算的公式：

IxdIxy2(x,y)d，IydIyx2(x,y)d

DDDD同理也可得到空间区域Ω所代表的例题相对于X,Y,Z轴的转动惯量

222Idx(x,y,z)dv(yz)(x,y,z)dv 分别为：xIyd2y(x,y,z)dv(x2z2)(x,y,z)dv

Izd2z(x,y,z)dv(x2y2)(x,y,z)dv

其中dx,dy,dz分别为点(x,y,z)到x,y,z轴的距离。

五、计算引力（推导过程略去，自个儿看书）

某薄片在平面Oxy上所占区域为D，面密度为(x,y)，下面给出它对点（x0,y0,z0）处单位质点（单位质量的质点）的引力计算公式：（任取D上的小区域d，点M（x,y,z）为d上任意一点）

FxGD(x,y)(xx0)dr3，FyGD(x,y)(yy0)dr3

FzGD(x,y)(zz0)dr3

四、第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）

引入对弧长的曲线积分的时候首先探讨了怎样求曲线构件的质量（此过程不再叙述）。

1.对弧长的曲线积分的定义

设函数f(x,y)在Oxy平面的光滑曲线弧L上有界，将L分成任意的n段，Δsi表示小狐段本身又表示它的长度，点(i,i)是Δsi上任取的一点，令λ=maxΔsi,则定义第一类曲线积分：

Lf(x,y)dslim0i0f(,)siinni，同时可定义在空间中的第一类曲线积分：f(x,y,z)dslim0i0f(,,)s

iiii2.对弧长的曲线积分的性质 性质一 Ldsl，其中l为弧长。

性质二（线性性质）对弧长和差的积分等于积分的和差。性质三（可加性）将曲线弧分成n段补充和的小弧段，则

Lf(x,y)dsf(x,y)ds

i0Lin性质四（单调性）若在曲线弧L上，f(x,y)≢g(x,y),则

Lf(x,y)dsg(x,y)ds，特别LLf(x,y)dsf(x,y)ds

L3.对弧长的曲线积分的计算

对弧长的曲线积分的计算思路就是将其化为定积分。（变量参数化，小值做下限）

设函数f(x,y)在光滑曲线弧L上连续，L的参数方程为 x=(t),y=(t)，(t)，则对弧长的曲线积分在，且

Lf(x,y)ds存Lf(x,y)dsf((t),(t))'2(t)'2(t)dt（α<β）特别的，当曲线弧L的方程为y=(x)，(a≢x≢b)时，可以将x看做参数，故 Lf(x,y)dsf(x,(x)1'2(x)dx

ab同理也可写出将Y看做参数的计算公式。

当曲线弧L有极坐标方程rr()()时，由极坐标与直角坐标的变换关系xr()cos,yr()sin,()，将θ看做参数，则

Lf(x,y)dsf(r()cos,r()sin)r2()r'2()d以x(t),y(t),z(t),(t)上公式都给可以推广到空间曲线弧：上，此时对弧长的曲线积分公式为：

f(x,y,z)dsf((t),(t),(t))'2(t)'2(t)'2(t)dt

五、第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）引例：变力沿曲线做功（在此不再叙述）

1.第二类曲线积分的定义（直接引入定义，不再阐述，实际上阐述过程和前边几种积分很相似）。

向量函数P(x,y)在有向曲线弧L上对坐标X的曲线积分，记做P(x,y)dx，向量函数Q(x,y)在有向曲线弧L上对坐标Y的曲线积分，L记做：LQ(x,y)dy。若力F=（P(x,y),Q(x,y)）,则质点沿曲线弧从起点A到终点B是变力F做功可表示为：W=LP(x,y)dx+LQ(x,y)dy，同理可推广到空间中的光滑曲线弧，故 W=P(x,y,z)dxQ(x,y,z)dyR(x,y,z)dz

LLL2.对坐标的曲线积分的性质

性质一（线性性质）

对坐标的曲线积分具有线性（和差的积分等于积分的和差）

性质二（可加性）对坐标的曲线积分具有积分曲线分段可加性。性质三（有向性）设L为有向光滑曲线弧，记L—为L的反向曲线弧，则L—P(x,y)dxQ(x,y)dyP(x,y)dxQ(x,y)dy，L同理此结论也可推广到空间曲线弧的坐标积分。

3.对坐标的曲线积分的计算（变量参数化，起参值做下限）与对弧长的曲线积分的计算方法一样，对坐标的曲线积分的计算方法也是将其化为定积分。

设函数P(x,y),Q(x,y)在有向光滑曲线弧L上连续，L的参数方程为 x=(t),y=(t)，(t，或(t)，其中(t)，(t)具有连续的一阶导数，又有当t由α变到β时，L上的电从起点变到终点，则对坐标的曲线积分存在，且

P(x,y)dxQ(x,y)dyP((t),(t))'(t)Q((t),(t))'(t)dtL同理也可写出当X或Y作参数时的公式，还可写出曲线弧在极坐标系下时的公式（这里就不再叙述了），且以上公式都可以推广到空间曲线弧中。

注：在计算的时候，一定要特别注意曲线弧的方向和积分参变量的上下限。

3.两类曲线积分之间的联系

设L：x=(t),y=(t)，为从点A到点B的有向光滑曲线弧，其中点A处t=θ1,点B处t=θ2,又P(x,y),Q(x,y)在L上连续，令

'(t)cos'2(t)''2(t)L，cos'(t)'2(t)'2(t)

P(x,y)dxQ(x,y)dyP((t),(t))'(t)Q((t),(t))'(t)dt12=21'2(t)'(t)P((t),(t)Q((t),(t)'2(t)'2(t)dt2222'(t)'(t)'(t)'(t)=LLP(x,y)cosQ(x,y)cosds 同理可得：

LLP(x,y,z)dxQ(x,y,z)dyR(x,y,z)dz

=L(PcosQcosRcos)ds

4.格林公式及其应用 格林公式的定义：

若平面有界闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数P（x,y）,Q(x,y)在D上具有连续的一阶偏导数，则有

QP()dxdy。LPdxQdy（证明略）xyD5.平面上对坐标的曲线积分与路径无关的条件

设D是单连通区域，函数P(x,y),Q(x,y)在D内具有连续的一阶偏导数，则下面四个命题等价：

（1）对D中任一分段光滑闭曲线C，有CPdxQdy0；

（2）对D中任一有向分段光滑曲线L，曲线积分LPdxQdy与路径无关，只与起点、终点有关；

（3）Pdx+Qdy在D内是某一函数u(x,y)的全微分，即在D内du(x,y)=Pdx+Qdy;（4）在D内恒有PQ。（证明略）yx6.第二类曲线积分小结：

（1）对封闭的第二类线积分，应首先考虑格林公式： ① 若D中无奇点（P,Q的骗到不存在的点），则：

QP()dxdy； LPdxQdyxyD② 若D内含有奇点（挖洞法，洞所在区域为D1），则取特殊l（逆时针）：

QP()dLPdxQdylPdxQdyxyD1PQ当时，LPdxQdylPdxQdy yx，特别的（2）对非封闭的第二类线积分，首先考虑积分与路径的关系； ① 若积分与路径无关，则取特殊路径l，（l与L方向一致）； 故PdxQdyPdxQdy

Ll② 若积分与路径有关，但是

PQ，则用封口法，k（k为常数）

yx取特殊路径l与L构成闭合回路（闭合区域为D），则PdxQdykdxdyLDl_PdxQdy。

补充:以上在在选择特殊路径l时，尽量选择折线路径（尽可能使得路径l的各条线段平行于坐标轴，这样能简化计算）。7．求解全微分方程

已知du(x,y)=Pdx+Qdy,求u(x,y)=？ 方法一：曲线积分法

由曲线积分可得，u(x,y)=（0,0）方法二：凑微分法

即依据给定的Pdx+Qdy从形式上凑成u(x,y)的全微分； 方法三：不定积分法 由uP(x,y)两边对X积分得u(x,y)=P(x,y)dx(y)，x（x,y)PdxQdy；

其中(y)待定；再由

uQ(x,y)知，(y)满足： y(P(x,y)dx)'(y)Q(x,y),由此可求出(y),从而求得u(x,y).y

六、第一类曲面积分（对面积的曲面积分）

1． 引入概念及定义：求解空间曲面构件的质量（略去，不再叙述）对面积的曲面积分记做：，当f(x,y,z)f(x,y,z)dS，≡1时，所求对面积的曲面积分的结果就是曲面的面积。2． 对面积的曲面积分的计算（先投影、再代入、最后 基本思路：化为二重积分

曲面∑的方程为z=z(x,y)，设其在Oxy平面上的投影为Dxy,因为被积函数f(x,y,z)在∑上积分，且(x,y,z)满足∑的方程，所以被积函数可写成：f(x,y,z(x,y)),故

f(x,y,z)dS=Dxyf(x,y,z(x,y))1zxzydxdy,同理也可

22以将曲面投影到Oyz,Oxz平面上。（在球面坐标系中，S的微元 dS=Rsindd）

3.计算中也可以用到对称性，轮换对称性、可加性等性质，参照前面几个积分的总结即可。2

第二篇：高等数学积分总结[推荐]

问题引例：曲边梯形的面积、变速直线运动的路程n积分定义：bfxdxlimfxiia0i1b计算方法:fxdxFbFaa一元定积分几何意义:连续曲线与x轴所围曲边梯形面积的代数和物理意义：变力沿直线做功应用几何：平面图形的面积直角坐标、极坐标、体积已知平行截面、旋转体体积平面曲线的弧长直角坐标、极坐标、参数方程、旋转曲面的面积应用物理：水压力、质量与引力、边际成本

一元不定积分：解决定积分的计算问题，将积分问题与求导问题联系起来

问题引例：曲顶柱体的体积、平面薄片的质量n积分定义：fx,ydlimf,iii0i1D计算方法:关键问题是定限，在直角坐标下d=dxdy，在极坐标下d=rdrd二重积分几何意义:以D为底，fx,y为曲顶柱体的体积的代数和物理意义：应用几何：求平面图形的面积dD应用物理问题引例：四维空间中曲顶柱体的体积问题n积分定义：fx,y,zdvlimf,,viiii0i1计算方法:直角坐标 dv=dxdydz柱面坐标xrcos,yrsin,zz,dv=rdrddz三重积分球面坐标xrsincos,yrsinsin,zrcos,dv=r2sindrdd定限的方法参考二重积分 几何意义、物理意义应用几何应用物理

问题引例：曲线形构件的质量nn积分定义：fx,ydslimf,s,fx,y,zdslimf,,siiiiiii00i1i1LL计算方法:用路径函数L化简fx,y,化为一元定积分弧长元素ds=dx2dy22ds=1+y'xdx对弧长的曲线积分2ds=1+x'ydy第一型曲线积分22ds=t+'tdt22ds=r+r'd几何意义、物理意义应用几何应用物理n问题引例:曲面不均匀薄片的质量n积分定义：fx,y,zdSlimf,,Siiii0i1对面积的曲面积分计算方法:

1、投影，2、代入，3、转换22第一型曲面积分fx,y,zdSfx,y,zx,y1zxzydxdyDxy应用几何：计算曲面面积应用物理

Pi,ixiQi,iyi问题引例：变力沿曲线作功Wlim0i1nn

1、定义：如果一阶微分方程Px,ydxQx,ydy0的左端恰好是某一个二元积分定义：Px,ydxlimP,x,Qx,ydylimQi,iyiiiiLL00i1i1函数u的全微分，此时方程的通解为u=C,因此全微分方程的关键就是求u积分的定义可推广到空间的情况，并可简写成Px,ydxQx,ydy

2、求解方法：L对坐标的曲线积分计算方法：本质是将其化为一元定积分用参数方程、将y化为x'全微分方程uu第二型曲线积分①不定积分法：P,uPdxy,PdxyQxy两种曲线积分的关系：②凑微分法PdxQdyPcosQcosds③积分因子法：见笔记PdxQdyRdzPcosQcosRcosds 其中cos，cos，cos是曲线在一点的与有向曲线同向的切向量的方向余弦 问题引例：曲面的侧的定义指明了曲面是有方向的曲面的投影，流体力学中流量问题=vdSn积分定义：limPi,i,iSzyQi,i,iSxzRi,i,iSxyPcosQcosRcosdS0i1对坐标的曲面积分nlimPi,i,iSzyQi,i,iSxzRi,i,iSxyPdydzQdxdzRdxdy第二型曲面积分0i1第一式将定义以第一型曲面积分的形式给出；第二式是我们普遍用的第二型曲面积分两个式子反应的是一个东西，也就阐明了两类曲面积分的联系计算方法：投影、代入、转换应用：流量的计算

QP 格林定理：①曲线正向的定义；②dxdy,L为D的取正向的边界曲线LPdxQdyxyD QP应用格林公式应注意：1曲线L必须封闭；2、在D内每点具有一阶连续偏导；3L为正向曲线 xy

A格林公式曲线积分的路径无关性：概念，积分值只与初始点的坐标有关PdxQdy B 四个等价命题：在一个单连通区域内，函数Px,y、Qx,y在G内有一阶连续偏导 则下面四个命题等价：QP ①=；②PdxQdy0；③PdxQdy与路径无关；④存在函数ux,y,使duPdxQdyLL xy 高斯公式：是闭曲面围成的区域，函数P、Q、R在上具有一阶连续偏导，则PQRPdydzQdzdxRdxdy++dVxyzPQRPcosQcosRcosdS++dV高斯公式通量散度xyz其中是的外侧，cos、cos、cos是点出法向量的方向余弦PQR通量与散度：=AdS,pA++xyz

斯托克斯公式：设是以为边界的有向曲面，的正向与的侧符合右手规则,P,Q,R具有一阶连续偏导  RQQPPRPdxQdyRdzdydzdzdxdxdyL yzzxxy斯托克斯公式环流量与旋度

环流量与旋度：向量场A沿有向闭曲线的曲线积分Ads称为A沿的环流量 RQPRQP旋度：rotA= ikjyzzxxy

积分应用归纳几何应用：

1、求曲边梯形的面积：用一元定积分可做

2、求曲顶柱体的体积：用二重积分可做，用三重积分可做

3、曲面的面积:1dSdS 柱面面积=fx,yds——牟合方盖的表面积Lfy,zds,fx,zdsLL该柱面以L为准线，母线平行于z轴，介于z0与曲面zfx,y之间的部分

4、平面的面积：其实就是曲面面积的特殊情况，用一元定积分可做，用二重积分可做

物理应用：

1、质量平面直线杆一元定积分线状质量线密度长度平面曲线杆对弧长的曲线积分这也就解释了为什么对弧长的积分化为定积分空间曲线杆被积函数为三元函数的对弧长的曲线积分平面面片二重积分面状质量面密度面积空间面片对曲面的面积积分立体快质量体密度体积三重积分解释了为什么对曲面的面积积分化为二重积分=fP;MfPd

2、质心物理重心——质心——几何中心——形心概念解释:物理重心——是在重力场中，物体处于任何方位时所有各组成质点的重力的合力都通过的那一点。规则而密度均匀物体的重心就是它的几何中心。质心——质量中心简称质心，指物质系统上被认为质量集中于此的一个假想点。与重心不同的是，质心不一定要在有重力场的系统中。值得注意的是，除非重力场是均匀的，否则同一物质系统的质心与重心不通常在同一假想点上。形心——面的形心就是截面图形的几何中心，质心是针对实物体而言的,而形心是针对抽象几何体而言的，对于密度均匀的实物体，质心和形心重合。质心的计算：引入了静力矩的概念xx,ydyx,y薄片:xDx,yd,ydDx,yd平面DDxx,ydsyx,曲线杆:xLydsx,yds,yLx,ydsLL3、转动惯量：定义：IMr2Ixy2x,ydDIyx2x,ydDI0x2y2x,yd D



块：xxdv,yydvdvdv空间面片:xxd,yyddd曲杆:xxds,yydsdsds

第三篇：重积分总结

多重积分的方法总结

计算根据被积区域和被积函数的形式要选择适当的方法处理，这里主要是看被积区域的形式来选择合适的坐标形式，并给区域一个相应的表达，从而可以转化多重积分为多次的积分形式．具体的一些作法在下面给出．

一．二重积分的计算

重积分的计算主要是化为多次的积分．这里首先要看被积区域的形式, 选择合适的坐标系来进行处理．二重积分主要给出了直角坐标系和极坐标系的计算方法．我们都可以从以下几个方面把握相应的具体处理过程：1.被积区域在几何直观上的表现（直观描述，易于把握）；2.被积分区域的集合表示（用于下一步确定多次积分的积分次序和相应的积分限）；3.化重积分为多次积分．

1.在直角坐标下：(a)X-型区域

几何直观表现：用平行于y轴的直线穿过区域内部，与边界的交点最多两个．从而可以由下面和上面交点位于的曲线确定两个函数yy1(x)和yy2(x)；

被积区域的集合表示：D{(x,y)axb,y1(x)yy2(x)}； 二重积分化为二次积分：

Df(x,y)dxdydxaby2(x)y1(x)f(x,y)dy．

(b)Y-型区域

几何直观表现：用平行于x轴的直线穿过区域内部，与边界的交点最多两个．从而可以由左右交点位于的曲线确定两个函数xx1(x)和xx2(x)；

被积区域的集合表示：D{(x,y)cyd,x1(x)xx2(x)}； 二重积分化为二次积分：

f(x,y)dxdyDdcdxx2(y)x1(y)f(x,y)dx．

2.在极坐标下：

几何直观表现：从极点出发引射线线穿过区域内部，与边界的交点最多两个．从而可以由下面和上面交点位于的曲线确定两个函数rr1()和rr2()（具体如圆域，扇形域和环域等）；

被积区域的集合表示：D{(r,)12,r1()rr2()}，注意，如果极点在被积区域的内部，则有特殊形式D{(r,)02,0rr2()}； 直角坐标下的二重积分化为极坐标下的二重积分，并表示成相应的二次积分：

Df(x,y)dxdyf(rcos,rsin)rdrddD2r2()1r1()f(rcos,rsin)rdr．

注：具体处理题目时，首要要能够选择适当的处理方法，并能够实现不同积分次序及直角坐标和极坐标的转化．

3.二重积分的换元法：

zf(x,y)在闭区域D上连续，设有变换

xx(u,v)T,(u,v)D yy(u,v)将D一一映射到D上，又x(u,v),y(u,v)关于u, v有一阶连续的偏导数，且

J(x,y)0,(u,v)D (u,v)则有

f(x,y)dxdyf(x(u,v),y(u,v))Jdudv．

DD

二．三重积分的计算

三重积分具体的处理过程类似于二重积分，也分为三个步骤来进行处理． 1.在直角坐标下：

空间区域几何直观表现：用平行于z轴的直线穿过区域内部，与边界曲面的交点最多两个．从而可以由下面和上面交点位于的曲面确定两个函数zz1(x,y)和zz1(x,y)，并把区域投影到xoy面上从而确定(x,y)的范围，记为Dxy；

被积区域的集合表示：V{(x,y,z)(x,y)Dxy,z1(x,y)zz2(x,y)}, 进一步地, Dxy可以表示成X－型区域或Y－型区域;三重积分化为三次积分：

f(x,y,z)dVdxdyVDxybaz2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz

（所谓“二套一”的形式）dyz2(x,y)dxdy2(x)y1(x)z1(x,y)f(x,y,z)dz

（Dxy为X－型）

dycx2(y)x1(y)dxz2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz

（Dxy为Y－型）

注：类似于以上的处理方法，把空间区域投影到 yoz面或zox面又可把三重积分转化成不同次序的三次积分．这时区域几何直观表现，区域的集合表示，以及新的三次积分次序如何？可见，三重积分最多可以对应六种积分次序．这里还有所谓一套二的处理方法，区域的直观表现为：平行于xoy面的截面面积容易求得．作为被积函数最好与x，y无关，即可表示为为f(z)．则区域表示为：

V{(x,y,z)czd,(x,y)Dz}, 其中Dz表示垂直于z轴的截面．此时，三重积分化为：

f(x,y,z)dVVdcdzf(z)dxdy

（所谓“一套二”的形式）

Dz

f(z)SDzdz

cd其中SDz表示截面Dz的面积，它是关于z的函数．

2.在柱坐标下：

柱坐标与直角坐标的关系：

xrcosyrsin,(0r,02,z)zz空间区域几何直观表现：用平行于z轴的直线穿过区域内部，与边界曲面的交点最多两个，从而可以由下面和上面交点位于的曲面确定两个函数zz1(x,y)和zz1(x,y)．空间区域在xoy面上的投影区域易于用参数r和表示范围（具体如圆域，扇形域和环域等），并且zz1(x,y)和zz1(x,y)也易于进一步表示z成关于r,较简单的函数形式，比如x2y2可以看成一个整体（具体如上、下表面为旋转面的情形）；

被积区域的集合表示：

V{(r,)12,r1()rr2(),z1(r,)zz2(r,)}；

直角坐标下的三重积分化为极坐标下的三重积分，并表示成相应的三次积分：

f(x,y,z)dVf(rcos,rsin,z)rdrddzVVd12r2()r1()rdrz2(r,)z1(r,)f(rcos,rsin,z)dz．

3.在球坐标下：

球坐标与直角坐标的关系： xrsincosyrsinsin,(0r,02,0)zcos空间区域几何直观表现：从原点出发引射线穿过区域内部，与边界曲面的交点最多两个，从而可以由下面和上面交点位于的曲面确定两个球坐标函数rr1(r,)和rr2(r,);（具体如球心在原点或z轴上的球形域）

被积区域的集合表示：

V{(r,,)12,12,r1(,)rr2(,)}；

直角坐标下的三重积分化为极坐标下的三重积分，并表示成相应的三次积分：

Vf(x,y,z)dVf(rsincos,rsinsin,rcos)r2sindrdd

V=20dd02r2(,)r1(,)f(rsincos,rsinsin,rcos)r2sindr．如球心在原点半径为a的球形域下：

Vf(x,y,z)dVddf(rsincos,rsinsin,rcos)r2sindr．

000a4.三重积分的换元法：

uf(x,y,z)在闭区域V上连续，设有变换

xx(u,v,w)T:yy(u,v,w),(u,v,w)V zz(u,v,w)将V一一映射到V上，又x(u,v,w),y(u,v,w)和z(u,v,w)关于u, v和w有一阶连续的偏导数，且

J(x,y,z)0,(u,v)V

(u,v,w)则有

f(x,y,z)dVf(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))Jdudvdw．

VV

三．重积分的几何和物理应用 1.几何应用

a)二重积分求平面区域面积；b)二重积分求曲顶柱体体积；c)三重积分求空间区域的体积；d)二重积分求空间曲面的面积．

求曲面的面积A，对应着曲面方程为直角坐标系下的二元函数形式和参数方程形式分别有以下公式：

i)曲面方程 S:zf(x,y),(x,y)D

A1fx2fy2dxdy

Dxx(u,v)ii)曲面参数方程S:yy(u,v),(u,v)Duv

zz(u,v)iA(xuiyujzuk)(xviyvjzvk)dudvxuDuvDuvjyuyvkzududv zvxv注：这里的公式都对函数有相应的微分条件． 2.物理应用

包括求质量、质心、转动惯量和引力等应用，积分是研究物理问题的重要工具．建立物理量对应的积分公式的一般方法是从基本的物理原理出发，找到所求量对应的微元，也就是对应积分的被积表达式了．

以上对多重积分的计算方法做了个小结，关键要在具体的情况下要找到对应的适宜的处理方法．处理重积分计算时从几何形式出发，则易于直观把握．注意选择适当的坐标系，注意被积区域的表达，还要注意函数关于区域的对称性．这种对称性包括奇对称和偶对称，从而可以简化计算过程．

第四篇：导数与积分总结

导数与积分

1．导数的概念

函数y=f(x),如果自变量x在x0处有增量x，那么函数y相应地有增量

y=f（x0+x）－f（x0），比y值xy叫做函数y=f（x）在x0到x0+x之间的平均变化率，即x=

f(x0x)f(x0)x。如果当yx0时，x有极限，我们就说函数y=f(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做f（x）在点x0处的导数，记作f’（x0）或y’|xx0。

f(x0x)f(x0)ylimlimxx0xx00即f（x）==2．导数的几何意义。

函数y=f（x）在点x0处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点p（x0，f（x0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f（x）在点p（x0，f（x0））处的切线的斜率是f’（x0）。相应地，切线方程为y－y0=f`（x0）（x－x0）。

3．几种常见函数的导数:

xnnxn1;(sinx)cosx0;C(cosx)sinx;①②③;

④xxxx(e)e;(a)alna;

⑦⑤⑥

lnx11logaxlogaex;

⑧x.4．两个函数的和、差、积的求导法则

uu'vuv'''''''uv)uv.(uv)uvuv.v‘=v2(（v0）。

复合函数的导数：

单调区间：一般地，设函数

yf(x)在某个区间可导，如果f'(x)0，则f(x)为增函数；如果f'(x)0，则f(x)为减函数；

f'(x)0，则f(x)为常数； 如果在某区间内恒有2．极点与极值：

曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正； 3．最值：

一般地，在区间[a，b]上连续的函数f①求函数ƒ②求函数ƒ

(x)在[a，b]上必有最大值与最小值。

(x)在(a，b)内的极值；(x)在区间端点的值ƒ(a)、ƒ(b)；

(x)的各极值与ƒ(a)、ƒ(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。③将函数ƒ 4．定积分

（1）概念：设函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0

n间长度），把n→∞即△x→0时，和式In的极限叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作：

baf(x)dx，即baff(x)dxlimn＝i1n(ξi)△x。

这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式。基本的积分公式：

1m1x0dx＝C；xdx＝m1＋C（m∈Q，m≠－1）

； m1xdx＝lnxxaexdxexaxdx＋C；＝＋C；＝lna＋C；

cosxdx＝sinx＋C；sinxdx＝－cosx＋C（表中C均为常数）。

（2）定积分的性质 ①babkf(x)dxkf(x)dxabab（k为常数）；

ba②③abf(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dxf(x)dxf(x)dxf(x)dxaccb；

a（其中a＜c＜b。)（3）定积分求曲边梯形面积

由三条直线x＝a，x＝b（a

baf1(x)dxf2(x)dxab。

第五篇：多重积分方法总结

摘要：二重积分和三重积分的概念都有实际的几何或物理的背景，定义分为四个步骤用构造的方法给出，最终表现为“黎曼和”的极限．故多重积分具有极限的基本性质，如唯一性，线性性质等．定义给出了概念的一个准确描述方法，进而从定义出发可以从纯逻辑上考察概念具有的性质以及计算方法． 关键词：二重积分 三重积分

英文题目 Summary of multiple integral method Abstract: The double integral and triple integral concepts are have the real geometry or physical background, definition is pided into four steps with the method of structure are given, finally shown as “Riemann and” limit.So has the limits of the integral multiple basic properties, such as uniqueness, linear properties.Definition of the concept of a given accurate description method, and from the definition from pure logic can be reviews the concept has property and calculation method.Keyword: The double integral triple integral 1.引言：重积分的计算主要是化为多次的积分．这里首先要看被积区域的形式, 选择合适的坐标系来进行处理．二重积分主要给出了直角坐标系和极坐标系的计算方法．我们都可以从以下几个方面把握相应的具体处理过程：1.被积区域在几何直观上的表现（直观描述，易于把握）；2.被积分区域的集合表示（用于下一步确定多次积分的积分次序和相应的积分限）；3.化重积分为多次积分． 2.研究问题及成果 2.1．二重积分的计算 1.在直角坐标下：(a)X-型区域

几何直观表现：用平行于y轴的直线穿过区域内部，与边界的交点最多两个．从而可以由下面和上面交点位于的曲线确定两个函数yy1(x)和yy2(x)；

被积区域的集合表示：D{(x,y)axb,y1(x)yy2(x)}； 二重积分化为二次积分：

Df(x,y)dxdydxaby2(x)y1(x)f(x,y)dy．

(b)Y-型区域

几何直观表现：用平行于x轴的直线穿过区域内部，与边界的交点最多两个．从而可以由左右交点位于的曲线确定两个函数xx1(x)和xx2(x)；

被积区域的集合表示：D{(x,y)cyd,x1(x)xx2(x)}； 二重积分化为二次积分：

Df(x,y)dxdydxcdx2(y)x1(y)f(x,y)dx．

2.在极坐标下：

几何直观表现：从极点出发引射线线穿过区域内部，与边界的交

点最多两个．从而可以由下面和上面交点位于的曲线确定两个函数； rr1()和rr2()（具体如圆域，扇形域和环域等）被积区域的集合表示：D{(r,)12,r1()rr2()}，注意，如果极点在被积区域的内部，则有特殊形式D{(r,)02,0rr2()}；

直角坐标下的二重积分化为极坐标下的二重积分，并表示成相应的二次积分：

f(x,y)dxdyf(rcos,rsin)rdrdDD21dr2()r1()f(rcos,rsin)rdr．

注：具体处理题目时，首要要能够选择适当的处理方法，并能够实现不同积分次序及直角坐标和极坐标的转化．

3.二重积分的换元法：

zf(x,y)在闭区域D上连续，设有变换

xx(u,v)T,(u,v)D yy(u,v)将D一一映射到D上，又x(u,v),y(u,v)关于u, v有一阶连续的偏导数，且

J(x,y)0,(u,v)D (u,v)则有

f(x,y)dxdyf(x(u,v),y(u,v))Jdudv．

DD

二． 三重积分的计算

三重积分具体的处理过程类似于二重积分，也分为三个步骤来进行处理．

1.在直角坐标下：

空间区域几何直观表现：用平行于z轴的直线穿过区域内部，与边界曲面的交点最多两个．从而可以由下面和上面交点位于的曲面确定两个函数zz1(x,y)和zz1(x,y)，并把区域投影到xoy面上从而确定(x,y)的范围，记为Dxy；

被积区域的集合表示：V{(x,y,z)(x,y)Dxy,z1(x,y)zz2(x,y)}, 进一步地, Dxy可以表示成X－型区域或Y－型区域;三重积分化为三次积分：

Vf(x,y,z)dVdxdyDxyz2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz

（所谓“二套一”的形

式）

dxaby2(x)y1(x)dyz2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz

（Dxy为X－型）

dycdx2(y)x1(y)dxz2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz

（Dxy为Y－型）

注：类似于以上的处理方法，把空间区域投影到 yoz面或zox面又可把三重积分转化成不同次序的三次积分．这时区域几何直观表现，区域的集合表示，以及新的三次积分次序如何？可见，三重积分最多可以对应六种积分次序．这里还有所谓一套二的处理方法，区域的直观表现为：平行于xoy面的截面面积容易求得．作为被积函数最好与x，y无关，即可表示为为f(z)．则区域表示为：

V{(x,y,z)czd,(x,y)Dz}, 其中Dz表示垂直于z轴的截面．此时，三重积分化为：

f(x,y,z)dVVdcdzf(z)dxdy

（所谓“一套二”的形式）

Dz

cf(z)SDdz

zd其中SD表示截面Dz的面积，它是关于z的函数．

z2.在柱坐标下：

柱坐标与直角坐标的关系：

xrcosyrsin,(0r,02,z)zz空间区域几何直观表现：用平行于z轴的直线穿过区域内部，与边界曲面的交点最多两个，从而可以由下面和上面交点位于的曲面确定两个函数zz1(x,y)和zz1(x,y)．空间区域在xoy面上的投影区域易于用参数r和表示范围（具体如圆域，扇形域和环域等），并且zz1(x,y)和zz1(x,y)也易于进一步表示

z成关于r,较简单的函数形式，比如x2y2可以看成一个整体（具体如上、下表面为旋转面的情形）；

被积区域的集合表示：

V{(r,)12,r1()rr2(),z1(r,)zz2(r,)}；

直角坐标下的三重积分化为极坐标下的三重积分，并表示成相应的三次积分：

f(x,y,z)dVf(rcos,rsin,z)rdrddzVV

2r2()z2(r,)d1r1()rdrz1(r,)f(rcos,rsin,z)dz．

3.在球坐标下：

球坐标与直角坐标的关系：

xrsincosyrsinsin,(0r,02,0)zcos空间区域几何直观表现：从原点出发引射线穿过区域内部，与边界曲面的交点最多两个，从而可以由下面和上面交点位于的曲面确定两个球坐标函数rr1(r,)和rr2(r,);（具体如球心在原点或z轴上的球形域）

被积区域的集合表示：

V{(r,,)12,12,r1(,)rr2(,)}；

直角坐标下的三重积分化为极坐标下的三重积分，并表示成相应的三次积分：

Vf(x,y,z)dVf(rsincos,rsinsin,rcos)r2sindrdd

V=20dd0r2(,)r1(,)f(rsincos,rsinsin,rcos)r2sindr．

如球心在原点半径为a的球形域下：

Vf(x,y,z)dVddf(rsincos,rsinsin,rcos)r2sindr．

0002a4.三重积分的换元法：

uf(x,y,z)在闭区域V上连续，设有变换

xx(u,v,w)T:yy(u,v,w),(u,v,w)V zz(u,v,w)将V一一映射到V上，又x(u,v,w),y(u,v,w)和z(u,v,w)关于u, v和w有一阶连续的偏导数，且

J(x,y,z)0,(u,v)V

(u,v,w)则有

f(x,y,z)dVf(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))Jdudvdw．

VV

三．重积分的几何和物理应用 1.几何应用

a)二重积分求平面区域面积；b)二重积分求曲顶柱体体积；c)三重积分求空间区域的体积；d)二重积分求空间曲面的面积．

求曲面的面积A，对应着曲面方程为直角坐标系下的二元函数形式和参数方程形式分别有以下公式：

i)曲面方程 S:zf(x,y),(x,y)D

A1fx2fy2dxdy

Dxx(u,v)ii)曲面参数方程S:yy(u,v),(u,v)Duv

zz(u,v)iA(xuiyujzuk)(xviyvjzvk)dudvxuDuvDuvjyuyvkzududv zvxv注：这里的公式都对函数有相应的微分条件． 2.物理应用

包括求质量、质心、转动惯量和引力等应用，积分是研究物理问题的重要工具．建立物理量对应的积分公式的一般方法是从基本的物理原理出发，找到所求量对应的微元，也就是对应积分的被积表达式了．

3.结束语：以上对多重积分的计算方法做了个小结，关键要在具体的情况下要找到对应的适宜的处理方法．处理重积分计算时从几何形式出发，则易于直观把握．注意选择适当的坐标系，注意被积区域的表达，还要注意函数关于区域的对称性．这种对称性包括奇对称和偶对称，从而可以简化计算过程．

参考文献

1.华东师范大学数学系 数学分析 高等教育出版社 2.陈传璋 复旦第二版 数学分析 高等教育出版社