第一篇：大数定理及其证明[大全]

大数定理及其证明

大数定理是说，在n个相同（指数学抽象上的相同，即独立和同分布）实验中，如果n足够大，那么结论的均值趋近于理论上的均值。

这其实是说，如果我们从学校抽取n个学生算其平均成绩，那么当学生数n足够大时，算出的平均成绩就趋近于整个学校学生的平均成绩。

当n等于整个学校的学生数时，平均成绩显然等于整个学校的学生成绩，因为自己等于自己是显然的。

那么要证明这个定理，就只需要证明，在n趋近学校学生数这个过程中，平均成绩趋近于学校所有学生的平均成绩。这也是这个定义的意义所在，当我们不能将总体中的样本一一列出来时，可以用足够多的样本的统计量去估计理论值。

用概率语言描述就是，当实验样本趋于总体时，均值的统计量趋于理论量。

当然这里的总体（即学校的所有学生）是有限个的，即当n→全校学生数，如果总体包含无限个，则可将n扩展为趋近于无穷。

设总体包含样本数为T，用数学语言描述大数定理就是

第二篇：第五章大数定理及中心极限定理

0.***4第五章大数定理及中心极限定理

一、选择题

1.已知的Xi密度为f(xi)(i1,2,,100),且它们相互独立,则对任何实数x, 概率P{Xi

i1100

x}的值为(C).100

A.无法计算B.

xix

i1100

[f(xi)]dx1dx100

i

1C.可以用中心极限定理计算出近似值D.不可以用中心极限定理计算出近似值

2.设X为随机变量,EX,DX2,则P{|X|3}满足(A).A.B.C.D.1

319

3.设随机变量

X1,X2,,X10相互独立,且

EXi1,DXi2(i1,2,,10)，则（C）

A.P{Xi1}1B.P{Xi1}1

22

i110

i1

1010

C.P{Xi10}120D.P{Xi}1202

2

i1

i1

4.设对目标独立地发射400发炮弹,已知每发炮弹的命中率为0.2由中心极限定理,则命中60发～100发的概率可近似为(C).A.(2.5)

B.2(1.5)1C.2(2.5)1D.1(2.5)

5.设 X1,X2,,Xn独立同分布,EXi,DXi2,i1,2,,n,当

n30时,下列结论中错误的是(C).A.Xi近似服从N(n,n2)分布

i1

nn

Xin

近似服从N(0,1)分布

C.X1X2服从N(2,22)分布

D.Xi不近似服从N(0,1)分布

i1n

6.设X1,X2,为相互独立具有相同分布的随机变量序列,且Xii1,2,服从参数为2的指数分布,则下面的哪一正确?(D)

nnXn2Xn

iiA.limPxx;B.limPxx;

nn

nnX2X2

iiC.limPxx;D.limPxx;nn

其中x是标准正态分布的分布函数.二、填空题

1、设n是n次独立重复试验中事件A出现的次数，P(A)p,q1p，nnp[a,b]则对任意区间有limPab＝nnpq

2、设n是n次独立重复试验中事件A出现的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意的0，均有

limP|np|=.nn

3、一颗骰子连续掷4次，点数总和记为

p(10X18)X，估计

4、已知生男孩的概率为0.515，求在1000个新生婴儿中女孩不少于男孩的概率=.

第三篇：大数定理与中心极限定理doc

第五章：大数定律与中心极限定理 一，切贝谢夫不等式：0，有

pXEX

DX



2或PXEX1

n



DX



2二，序列Xn依概率收敛于a；0，有limPXna1 三，大数定理：设X1,X2,....是相互独立的序列：



EXi1、若均存在，且DXil，则有切贝谢夫定理．

DXi

1n1n

PXiEXi1 0，有limnni1ni1

2、若：XBnp，即X

X

i

1n

i

某事件发生的次数，则有

X

Pp 1贝努里大数定律；0，有 limn

n

3、若Xi同分布，且EXia，则有辛钦大数定律

1n

0，有limPXia

1n

ni1

注：小概率原理 四，中心极限定理：

１、李亚普诺定理：相互独立（同分布）的和服从正态分布即：设X1,,Xn相互独立，则X２、拉普拉斯定理：若XBnp,

i

1n

李说

Xi

NE,X DX



则paXpFbFa

 

拉说

例

1、一个螺丝钉重量是个随机变量，期期望是1两，标准差是0.1两，求一盒

（100）个同型号螺丝钉的重量超过10.2斤的概率？

EXi1解：设Xi=“一个螺丝钉的重量” 2DXi(0.1)0.0

1X“一盒螺丝钉的重量”

100EXEXi100100李i1则XXiN(EX,DX) 100i1DXDXi1000.011i1

102100所求P(X102)1P(X102)1F(102)11

1(2)10.977250.022750

例2．美、英战机向基地组织投弹100次，每次命中目标的炸弹数目是一个随机

变量，期数学期望为2，方差为1.69。求在100次轰炸中有180颗到220颗炸弹命中目标的概率？

EXi2解：设Xi=“第次命中目标得得炸弹数”DXi1.69

X“100次命中得 炸弹数”

100EfEfi200100李i1则XXiN(EX,DX)其中100i1DfDfi169i1

所求

220200180200P(180f220)F(220)F(180) 1313

(1.54)(1.54)2(1.54)10.87644

例3．已知某电网10000盏灯，没盏开着得概率为0.7，求有6800—7200盏灯开

着得概率？解：设X“开着得灯数”

EXinp7000则XB(10000,0.7)

 DXinpq45.83

所求为：

7200np6800npP(6800X7200)F(7200)F(6800)拉

=2(4.36)10.99999

例4．一批产品次品率为0.005，求10000件产品中的次品数不大于70的概率？ 解：设X“10000件中的次品数”

EXinp50则XB(10000,0.005)

7.053,拉70np所求为P(X70)F(70)(2.84)0.9977

第四篇：第五章 大数定律和中心极限定理

第五章 大数定律和中心极限定理

一、填空题

1、设随机变量X的数学期望EX，方差DX2，则由切比雪夫不等式有PX3____________。

2、设随机变量X的数学期望EX100，方差DX10，则由切比雪夫不等式，可得P80X120。_________

3、设X1,X2,,Xn是n个相互独立同分布的随机变量，EXi，DXi8，i1,2,,n，对于XXi，写出所满足的切比雪夫不等式_______________；i1nn__。并估计PX4__________

4、设随机变量X和Y的数学期望分别为2和2，方差分别为1和4，而相关系数为0.5，则根据切比雪夫不等式PXY6____________。

5、设随机变量X1,X2,,Xn,相互独立同分布，且EXn0，则nlimPXin_ _____。ni1

二、单项选择题

1、设X1,X2,,Xn,为独立同分布的随机变量序列，其分布函数为Fxaxarctan,b0，则辛钦大数定律对此序列

（）b1A、适用

B、当常数a,b取适当的数值时适用

C、不适用

D、无法判别

2、设X1,X2,,Xn,为独立同分布的随机变量序列，且Xi(i1,2,)服从参数为的指数分布，则

（）

nnXinXinA、limPi1xx

B、limPi1xx

nnnnnnXiXiC、limPi1xx

D、limPi1xx

nnnn 1 x其中x12et22dt。

3、设随机变量X1,X2,,Xn相互独立，SnX1X2Xn，则根据中心极限定理，当n充分大时，Sn近似服从正态分布，只要X1,X2,,Xn

（）

A、有相同的数学期望

B、有相同的方差

C、服从同一泊松分布

D、服从同一连续型分布

三、计算题

1、在每次实验中，事件A发生的概率为0.5，利用切比雪夫不等式估计，在1000次独立重复试验中，事件A发生的次数在400—600之间的概率。

2、设随机变量X服从二项分布Bn,p，试分别用切比雪夫不等式和中心极限定Xnp理，估计满足PnDX99%式中的n。3

3、一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的。假设每箱平均重50千克，标准差为5千克。若用最大载重量为5000千克的汽车承运，试用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.977？

四、证明题

设X1,X2,,Xn独立同分布，已知EXkak(k1,2,3,4)。证明：当n充分大1n2时，随机变量ZnXi近似服从正态分布，并指出该正态分布的分布参数。

ni

1参考答案：

一、填空题 1398111、2、3、PX2；14、5、1 9402n12n

二、单项选择题

1、C2、A3、C

三、计算题 391、2、n30；n83、箱数m98.02，最多装98箱

四、证明题略

 3

第五篇：第五章大数定律和中心极限定理

第五章大数定律和中心极限定理

考试内容

切贝雪夫（Chebyshev）不等式 切比雪夫大数定律 伯努利大数定律 辛钦（Khinchine）大数定律 棣莫弗－拉普拉斯（De Moivre－Laplace）定理 列维－林德伯格（Levy－Lindbreg）定理

考试要求

1.了解切比雪夫不等式．

2.了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律（独立同分布随机变量序列的大数定律）。

3.了解棣莫弗一拉普拉斯定理（二项分布以正态分布为极限分布）和列维一林德伯格定理（独立同分布随机变量序列的中心极限定理）．

重点内容

切比贝夫不等式及其应用，列维一林德伯格中心极限定理及其应用，其余大数定律与中心极限定理。

特别注意切贝雪夫大数定律，伯努利大数定律和辛钦大数定律这三个大数定律成立的条件的异同；注意区分两个中心极限定理。

一、主要内容讲解

1、切贝雪夫不等式设随机变量X的方差存在，则对0，都有P{XEX}DX

2或P{XEX}1DX

22、依概率收敛设有随机变量序列X1,X2,,Xn„和随机变量X〔可以是常数〕，如果对0，满足 limP(XnX)1 n

X(n).则称Xn依概率收敛于X.记作XnP

注意：依概率收敛与函数极限的收敛是不同的；概率是频率的稳定值表达的就是一种依概率收敛关系.3、大数定律X〔随机变量的均值→期望的均值，→依概率收敛〕

切贝雪夫大数定律：设随机变量X1,X2,,Xn„相互独立，均具有有限方差，且有公共上界，即D(Xi)C(i=1,2,„),则对于任意的正数，有

1limPnn



n



i

1Xi

1n

n



i1



E(Xi)1.

特殊情形：若X1,X2,,Xn„具有相同的数学期望E(Xi)，则上式成为

n

1limPnn





i1



Xi1.

伯努利大数定律：设μ是n次独立试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意的正数ε，有



limPp1.nn

伯努利大数定律说明，当试验次数n很大时，事件A发生的频率与概率有较

大判别的可能性很小，即

limPp0.nn

这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。〔切比雪夫大数定律的特殊情形〕

注：如果用X表示n重伯努利试验中事件A发生的次数，p(0

limP{

n

Xn

p}1

辛钦大数定律：设X1,X2,,Xn，„是相互独立同分布的随机变量序列，且

E(Xi)，则对于任意的正数ε有

n

1

limPnn





i1



Xi1.

EX|2}

2例5.1：设随机变量X的方差为2，则根据切比雪夫不等式有估计P{|X

例5.2：设随机变量X和Y的数学期望分别为-2和2，方差分别为1和4，而相关系数为-0.5，则根据切比雪夫不等式有估计P{|XY|6}

112

例5.3：设总体X服从参数为2的指数分布，X1,X2,,Xn为来自总体X的简单随机样本，则当n时,Yn

n

2i

n

n

Xi

依概率收敛于。

i1

分析：n时,Yn

X

n

i12



E(X)，n

2i

i1

n

E(Xi)D(Xi)(EXi)



（)

例5.4：设X1,X2,,Xn，„相互独立同分布，且EXi0，则

nlimPXinn

i1

n

n1limPXinlimP

分析：ni1nn

[1,EXi0]



i1

1

Xi1limP

nn

n



i1



Xi011



n

注：事实上，对0，都有limPXin1.n

i1

例5.5：设X1,X2,,Xn，„是相互独立的随机变量序列，Xn服从参数为n的指数分布（n=1,2, „），则下列中不服从切比雪夫大数定律的随机变量序列是：（A）X1,X2,,Xn，„；（B）X1,22X2,,n2Xn，„〔 B 〕（C）X1,X2/2,,Xn/n，„；（D）X1,2X2,,nXn，„ 分析：E(n2Xn)n2

1n

n,D(nXn)n

1n

n(n)

注：也不服从辛钦大数定律〔不同分布〕。

4、中心极限定理XN(,

n)[→极限分布]

列维－林德伯格定理：设随机变量X1,X2,,Xn„相互独立，服从同一分布，且具有相同的数学期望和方差：E(Xk),D(Xk)变量

0(k1,2,)，则随机

n



Yn

k

1X

k

n

n的分布函数Fn(x)对任意的实数x，有

n

Xnkk1

limFn(x)limPxnn

n



t

12



x



e



dt.此定理也称为独立同分布的中心极限定理。

n

注：即Xk

k1

N(n,n

，再标准化得到标准正态分布。)（近似服从正态分布）

棣莫弗－拉普拉斯定理：设随机变量Xn为具有参数n,p(0p1)的二项分布，则对于任意实数x,有

limFn(x)limPnn



x

Xnp

1x

e



t

dt

注：即二项分布的极限分布是正态分布N(np,npq)，再标准化得到N(0,1).【评注】棣莫弗－拉普拉斯定理是列维－林德伯格定理的特殊情形〔二项分布是独立的服从0-1分布的随机变量之和〕。

例5.6：一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每箱平均重50千克，标准差为5千克。若用最大载重量为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.977。解：令Xi――第i箱的重量，XX1Xn.P(X5000)0.977,XN(50,25n)

P(X

5000n)0.977

.5000

由50

0.977

500050

2n98.例5.7：设X1,X2,,Xn，„是相互独立的随机变量序列，在下面条件下，X12，X

22，„，Xn2，„满足列维－林德伯格中心极限定理的是： 〔A〕

（A）P{Xim}pmq1m,m0,1；

x

（B）P{Xix}



(1t

cm)；

（C）P{Xim}

2,m1,2,，常数c2

m1m

1



；

（D）Xi服从参数为i的指数分布。

分析：（A）Xi01分布，Xi01分布.期望、方差都存在。

（B）柯西分布，期望不存在。（C）EXi不存在〔m（D）不同分布。

5、二项定理：若当N时,CMCNM

C

M

Nk

nk

Cm

不绝对收敛〕E(Xi2)不存在。

MN

p(n,k不变)，则

Cnp(1p)

kknk

(N).即超几何分布的极限分布为二项分布。

例5.8：两只一模一样的铁罐里都装有大量的红球和黑球，其中一罐（取名“甲罐”）内的红球数与黑球数之比为2：1，另一罐（取名“乙罐”）内的黑球数与红球数之比为2：1。今任取一罐并从中取出50只球，查得其中有30只红球和20只黑球，则该罐为“甲罐”的概率是该罐为“乙罐”的概率的(A)154倍(B)254倍(C)798倍(D)1024倍

解：记“任取一罐并从中取出50只球，查得其中有30只红球和20只黑球”为A,30230120C50()()

P(甲）P(AP(AP(甲A)P(甲，A)1024.21P(乙A)P(乙，A)P(乙)P(A(A302030

C50()()

336、泊松定理：若当n时,np0，则

Cp(1p)

kn

knk





k

k!

e



(n).其中k=0，1，2，„，n，„。二项分布的极限分布为泊松分布。

注：由中心极限定理知：二项分布的极限分布亦为正态分布.历年试题分析：

（02，3分）设随机变量X1,X2,,Xn相互独立，SnX1X2Xn，则根据列维-林德伯格（Levy-Lindberg）中心极限定理，当n充分大时，Sn近似服从正态分布，只要X1,X2,,Xn（A）有相同的数学期望。（C）服从同一指数分布。

[C ]

注：(D)不能确定有无期望、方差.（03，4分）设总体X服从参数为2的指数分布，X1,X2,Xn为来自总体X的简单随机样本，则当n时，Yn



i

（B）有相同的方差。（D）服从同一离散型分布。

X依概率收敛于n

i1。

（05，4分）设X1,X2,,Xn,为独立同分布的随机变量列，且均服从参数为

1的指数分布，记x为标准正态分布函数，则（C）

nn

XnXniii1i1

xx（B）limPxx（A）limP

nn

nnnnXnXii

i1i1

xx xx（D）limP（C）limP

nn

nn



分析：XiExp(),EXi

,DXi

,

XiN（n

,n)(n).再标准化即得.6