第一篇：简评“三角函数最值求法”(张辉老师执教)

评课稿

2013年4月22日下午，赴陈经纶中学听张辉老师执教高一数学“三角函数最值求法”习题课。感受颇深，很受启发。觉得张老师采用的是教师引领学生探究式教学，学生参与度高，是一堂培养学生思维能力的成功的习题课。

课堂以求函数最值为主线，选择三个典型的例子作为题材很恰当，虽然还有其他最值形式，但都可以练习的方式渗透、训练。

好的方面不多说，主要有以下两点看法：

1．从课堂引入的问题“求三角函数最值有哪些方法？”

从学生回答看来，学生对这样的问题不好回答，其实，老师想要学生说的东西有些就不是一个方法，似乎是一个“目标模式”。因此，如果把提问调整为“就自己的亲历过的学习、练习、阅读等，谁能说出一些求三角函数最值的目标模式，说多少都可以，其他同学也可以补充。”，我想学生就可以回答的比较具体，虽不一定说得全面，参与的同学多了，典型的目标模式是一定能收集到的。另外，教师这么问，是不是也意味着本节课要讲的方法只是一个综述呢，还是除了学生熟悉的方法，老师还有新方法传授？

2．关于例2，张老师引领学生“完成解答”之后，我觉得她有点急于揭示解法之错误。由于2cos2xcos2y2，而学生跟着老师走过来的解法得到最大值是5，这明显存在有“认知冲突”。因此，如果这时张老师放手让学生交流做“合作交流，题后反思”，学生应该很快发现错误，形成“冲突”之后更有利于学生“求真欲望”，继续放手让学生找到可能出错之处，再让学生合作修复。我觉得对陈经纶中学的学生来说，这些做法在课堂上是可以完成的，哪怕是把例3留作作业也好。这样处理可以使得教师掌控的时间缩短，给学生留下整理反思的时间，教师也能够赢得“小结学生感受收获”的时间。

以上写出了我自己的所思所想。每个做课教师都是下过很大功夫的，通常是几易其稿，最后实施教学。我们听课者通常中午没有休息，听课的时候真的比较困，如果课堂上没有抑制住疲劳，尤其是对课堂索然乏味的时候，既使在评课的时候，也还是很疲劳，精力得不到回复，大脑不听使唤。在这种状态下，教师评课积极性不高是可以理解的。所以，我倡议同仁们，加入到听课后评课中来，以期大家智慧共享，改善我们的课堂教学。

清华附中朝阳学校王慧兴

2013年4月22日星期一

第二篇：不等式证明、最值求法

不等式的证明（论一个不等式的应用）

贵刊2004(11)发表李建新老师《巧用向量求值》一文（以下简称原文），经笔者研究发现，原文中的所有最值问题都可以用下面的一个不等式加以解决，而且相比之下比李老师的向量法在处理上更简单一些，故写此文和大家交流．

x2y222

2定理 若实数a,b,x,y满足221，则ab≥(xy)．

abx2y2b2x2a2y2222222

证明：ab(ab)(22)xy2 2

abab

222

≥xy2xy(xy)，xy

由证明过程易知等号成立的条件是22．

ab

注 这个不等式的条件是一个椭圆方程，故称此不等式为椭圆不等式．

１ 求满足整式方程的未知数的代数式的最值

例１ 已知x,y满足xy2x4y0，求x2y的最值（1988年广东高考题，原文例１）．

(x1)24(y2)2

解：xy2x4y01，依定理有

520

520[(x1)2(y2)]2，即(x2y5)，解得0x2y10，当且仅当2

5x1

y222

(x2y)min0，且xy2x4y0，即xy0时，当x2,y4

时，(x2y)max10．

例２ 已知a,bR，且ab10，求(a2)(b3)的最小值（第10届“希望杯”全国数学邀请赛高二培训题）．

(a2)2(b3)2

1，由定理得： 解：令(a2)(b3)=t，则

tt

2t≥(ab5)2(ab16)236，即t≥18，当且仅当a2b3且ab10

时，即a1,b0时，tmin18，从而(a2)(b3)的最小值为18．

２ 求满足三元一次方程及三元二次方程的未知数的最值

例３ 已知实数x1,x2,x3满足方程x1

111212x2x31及x12x2x33，求x3的232

3最小值（1993年上海市高三数学竞赛试题，原文例3）

(x2)2

x1212111

1解：x1x2x31x1x21x3，x12x2x331

222323233x3(3x3)323

由定理得

111112112121

(3x32)(3x32)(x1x2)23x32(x1x2)23x32(1x3)2x33

323233233311

从而x3的最小值为

21． 11

３ 求满足整式方程的未知数的分式的最值

例４ 如果实数x,y满足等式(x2)y3，求题）．

y的最大值（1990年全国高考试x

y

k，则ykx，由已知等式(x2)2y23可得 x

(2kkx)2(kx)2222，∴由定理得：≥，即≤3，∴≤k≤3，133kk4k2

33k

y

从而的最大值为3。

x

y22

例５ 若实数x,y适合方程xy2x4y10,那么代数式的取值范围

x2

解：令

是（第9届“希望杯”全国数学邀请赛高二第1试）．

y

t，则txy2t0，由已知方程得(x1)2(y2)24，变形得：x2

(txt)2(y2)2

1，∴由定理得：4t24≥(txy2t)2(23t)2，解之得： 2

44t

12y120≤t≤，∴代数式的取值范围是[0，]．

5x25

y122

例６ 已知实数x,y满足方程(x2)y1，求的最小值(第10届＂希望杯＂

x2

解：令

邀请赛数学竞赛高二试题，原文例4)

(kx2k)2(kx2k1)2y122

1，解：设k，则ykx2k1，(x2)y1

k21x2

由定理得k1[(kx2k)(kx2k1)](14k)，解得0k４ 求满足不等式的未知数的最值

例７ 若2xy1，uy2yx6x，则u的最小值等于（）A．

y18，即的最小值为０． 15x2

77141

4B．C．D． 5555

（2003年＂希望杯＂全国数学邀请赛高二试题）

4(x3)2(y1)2

1，依定理及条件有 解：uy2yx6x

4(u10)u10

36142(x3)

当且仅当10，y1且2xy1

554

31114

时，即x,y时，umin，故选(B)．

555

11n

例８ 设abc，且≥恒成立，则n的最大值是（第11

abbcac

5(u10)(2xy5)236，即u

届“希望杯”全国数学邀请赛高二第1试，原文例１１）．

解：令

11112

=t，则=1，从而t(ac)≥(11)4，

t(ab)t(bc)abbc

由已知得ac0，故t≥５ 求无理函数的值域

4114，即≥，∴n的最大值是4． 

abbcacac

1994年上海市高三数学竞赛题，原

例９

求函数y文例５）．

解：由1994x0且x19930得1993x1994，两边平方易得y1，又

1

1994xx1993，由定理得：22，

1y



故函数y６ 求满足分式方程的未知数的代数式的最值

例１０ 设x,y,a,bR，且



ab

1，则xy的最小值为（第11届＂希望xy

杯＂全国数学邀请赛高二培训题）．

解：

依定理有xy，ab

1，即x，xy

x

时，(xy)min2．

例１１ 已知x,y(0,)，且数学竞赛试题，原文例６）．

解：由已知条件和定理有：xy117． 定理的推广 若

1998

1，求xy的最小值（1998年湖南省高中xy

a

i1

n

bi

i

1，则ai≥（i1

n

b)

ii1

2i

n，其中ai与bi同号（i=1，2，． ,n）

证明：由Cauchy不等式及已知条件有：７ 求使多项式函数取最值的未知数的值

a=a.a

i

i1

i1

nnn

bi

i

≥（i1

b)．

2ii12

n

例１２ 求实数x,y的值，使得(y1)(xy3)(2xy6)达到最小值（2001年全国高中数学联赛试题，原文例７）．

1()y2(22x6y)6(2)xy

解：令(y1)(xy3)(2xy6)t，则t4tt

1，由定理的推广得：6t[(1y)(2x2y6)(62xy)]1，即t，当且仅当6

1yxy362xy55

(y1)2(xy3)2(2xy6)2达，即x,y时，

12126

到最小值．

6８ 求满足分式方程的未知数的分式的最值

x2y2z2xyz

例１３ 已知x,y,zR,，求的最2

1x21y21z21x21y21z2



大值（1990年首届＂希望杯＂全国数学邀请赛培训题，原文例８）．

x2y2z2111

2解：由易知1，而 1x21y21z21x21y21z2

x2(y)2z2

()()222222xyz1y21，依定理的推广可有222

1x1y1z

1x21y21z2222xyz2xyz2，即()(2，从222222222

1x1y1z1x1y1z1x1y1z

而

xyz

． 

1x21y21

z2

９ 求无理式的最值

例１４ 如果abc1，（第８届＂希望杯＂全国数学邀请赛高二试题，原文例９）．

解：由条件知(3a1)(3b1)(3c1)6，则

3a13b13c1

1，由定理

666

的推广得：18，且仅当abc

时达到最大值）． 3

M

是多少？N

１０ 求三角函数的最值

例１５的最大值为M，最小值为N，则

（1999年＂希望杯＂数学邀请赛，山西、江西、天津赛区高二试题，原文例12）．

解：由1tanx



N

tanx13tanx



1，由定理得422

2，即M=2，故

M． N１１ 求对数函数的最值

例１６ 已知ab1000,a1,b

1，则的最大值是多少？（第13届＂希望杯＂全国邀请赛高二培训题，原文例13）．

解：由已知易得：(1lga)(1lgb)5，即

1lga1lgb

1，由定理有

10

2

由上我们可以看出，用本文中的定理和定理的推广要比文［１］中用向量解决这些问题

简单的多．当然，这样的例子很多的，这里不再赘述，请读者自行研究，以下是几个练习．

练习

１．设x,y,zR，且xyz1，求队第一轮选拔赛题）．（答案：３６）

２．已知x,y,zR,xyz1，求数学问题1504）．（答案：６４）

３．函数y



149

的最小值（1990年日本IMO代表xyz

118

《数学通报》2004（7），22的最小值（2

xyz

3xx2的最小值为12届“希望杯”全国数学邀请赛高

参 考 文 献

一培训题）．（答案：－２）

１．李建新．巧用向量求值．数学教学，2004，1１．

第三篇：三角函数周期与最值教案

三角函数的周期与最值，授课人：王俊

时间：2017-9-12 授课班级：高三（5）班

授课内容：三角函数的周期与最值 教学目标： 掌握三角函数的最小正周期的求法。掌握能化成形如yAsin(x)b的三角函数的最值的求法。3 有范围限制的三角函数最值的求法

教学重点：把形如yasinxbcosx的三角函数化成yAsin(x)b的形式的方法与技巧。

教学过程：

回顾上节课内容，导入新课

复习上节课三角函数的图像以及求单调区间，对称轴，对称中心。

新课讲授：

一．三角函数的周期（最小正周期）

2(x)b

T=

1.yAsin（w>0）

2 2.yAcos(x)b

T=（w>0）

x)b

T=（w>0）3.yAtan(

二.三角函数的最值

1.形如yAsin(x)b（x∈R）的最值

若A>0时，ymaxA

yminA

若A<0时，ymaxA

yminA 注:有范围限制时需结合图像求值域

2.辅助角公式

yasinxbcosxaba2b2(sinxcosx)

2222ababa2b2sin(x)

(其中cosaab22，sinbab22)yasinxbcosxabcos(x—)22

（其中sinaab22，cosbab22）

三.例题：

1.选择题

x)+1是（）4

A

最小正周期为的奇函数

B

最小正周期为的偶函数

C

最小正周期为的奇函数

D

最小正周期为的非奇非偶函数

2.填空题

sin2xcos2x函数y=的最小正周期

cos2xsin2x

3.解答题

已知函数f(x)=sin2xsinxsin(x)

（1）求f(x)的最小正周期



（2）当x∈﹝0，）时，求f（x）的值域

2函数y=-2cos2（练习题:

求y23sinx2cos(x),x0,的最大值 3

备课组长签字：

第四篇：一类二元函数最值的求法

龙源期刊网 http://.cn

一类二元函数最值的求法

作者：高海燕

来源：《数理化学习·高三版》2013年第05期

点评：解法1和解法2中都用了配方法，但由于配方的目的不同.

第五篇：3、4值域、最值求法

3、4函数的值域、最值

【教学目标】掌握函数值域、最值的求法

【教学重点】五种求法

【教学难点】 基本不等式法、换元法

【教学过程】

一、求法：

1、单调性法

2、配方法

3、基本不等式法

4、换元法

5、数形结合法

二、例题：

1、求下列函数的最值，并求出相应的x的值。

（1）y3x25x2,x[2,6]

（2）yx24x9x

1（4）yx,(x0)x

1,(x2)（5）yxx2（3）yx

x23x52x2x2,(x1)y,(x1)（6）yx1x1

（7）yxx

22、求下列函数的值域

f(x)2x1x2（单调法、换元法）f(x)2x1x2（还能用单调法吗）

3、已知f(x)4x24ax4aa2在区间[0，1]上有最小值5，求实数a的值

【教学后记】