第一篇：1.2 数列极限

第一章函数与极限

第二节 数列极限

教学目标数列极限的定义、数列极限性质、存在准则 教学重点数列极限的定义、数列极限性质、存在准则 教学难点数列极限的定义

教学过程

一、数列 的极限定义

１数列的定义

定义1:按照某一法则,对每个自然数n对应一个确定的实数xn，这些实数xn按照下标n对从小到大排列得到一个序列

x1,x2,,xn,

就叫数列,简记数列为xn

其中,数列中的每一个数叫做数列的项,例１1,1111，，(1)通项为xn 23nn

123nn，,，(2)通项为xn 234n1n1第n项叫做数列通项。

143n(1)n1n(1)n12，，，(3)通项为xn 234nn

2,4,8,,2n,(4)通项为 xn2n

1,1,1,,(1)n1,(5)通项为xn(1)n

1注：1)数列就是自变量取正整数的函数xnf(n),nN函数值按自变量从小到大排列。项数n就是函数xn的自变量，第n项xn就是函数值。

2)微积分对数列研究的重要内容是当项数n无限增大时n,xn是否无限接近某个数值若能够的话，这个数值是什么？

换句话说就是一个数列是否收敛，若收敛极限是什么？

这具有重要的理论和实际意义，如刘徽的割圆术

考察例１中数列的情况

又考察sin1,2sin

111，,nsin,xnnsin，n，xn? 2nn

n(1)n1

1特征 分析已知lim

nn

注意到xn与1的距离是xn1使xn1

11，故欲使xn1只需n100时均成立，欲n100

1110

0n10只需时均成立，对欲使只需即可。nxn1010

即它有特征：

“对0，存在正整数N只要nN就有xn1”（*）通俗地讲就是：“要有多接近，从某项后就有多接近”

反之若对数列xn满足（*），则由于正数的任意性，关键是可任意小，可知当n时，xn越来越接近1。

故一般地若对数列xn满足：“对0，存在正整数N只要nN就有xna”，就有当n时，xn越来越接近a。即数列以a极限。2 数列极限的定义

定义2 若数列xn与及常数 a 有下列关系 :

对0，存在正整数N只要nN就有xna 则称该数列xn的极限为 a ,记作limxna或limxna或xna(n)此时

n

也称数列收敛。若数列不以任何常数为极限，则称数列发散.注（1）定义是说“对a的邻域，都能找到正整数N，使得从第N项以后数列所有项都在a的邻域”

由任意性关键是可任意小，从而使得落在a的邻域项越来越接近a，从而的确反映了数列xn以a为极限是当项数越来越大时项也越来越接近a这一事实。由此定义中正数任意性不可少，关键是可任意小。

（2）定义的精妙之处不是首先看xn随n怎样变化，（A)而是先对极限a取任意邻域,(B)再确定数列从某项开始都在a的给定邻域内。由此可以看到数列xn以极限为 a则必然有

（A)对a取任意邻域，数列有无穷多项在该邻域内。(B)对a取任意邻域，数列只有有限项在该邻域外。思考：由（A)或(B)成立能否得出数列极限为a。

（3）是a的邻域半径;都在a的所给邻域内。

正数任意小不可少。N是分界项数；从第N项以后所有项

通常N的大小与大小有关：“越小N越大”，另外对给定，N的取值不唯一。

故有时正整数N用N表示。

（4）这个定义使得我们有了判断数列xn以a为极限方法: “对0，寻求正整数N，使得当nN时xna”

(),1，在解这可以解通过不等式xna解出nN()，令NmaxN

xna时可以将xna放大。

在证明的书写中必需体现出：对0，取Nmax

N(),1，当nN时

xna。

思考：(1)写出数列xn不以a为极限的定义

00,对任意自然数n,总存在自然数n0n使得

xn0a0

(2)能否说数列xn不以a为极限就意味着数列发散。(3)

若limxna现改变数列xn有限项，得一新数列记为yn，yn是否收敛，n

若收敛极限是什么？

n(1)n,证明数列xn以1为极限 例2.已知xn

n

(1)n

例3.已知xn,证明limxn0.2n(n1)

例4.设q1,证明等比数列1,q,q2,,qn1,的极限为 0.思考题：已知limxna，证明limxna

n

n

思考(1)已知limxna，能否得出limxna或a

n

n

（2）已知limxn0，能否得出limxn0

n

n

二、收敛数列的性质

1.定理 收敛数列的极限唯一.例4.证明数列xn(1)n1(n1,2,)是发散的.2.定理 收敛数列一定有界.注此性质反过来不一定成立.n

1例 数列(1)虽有界但不收敛.

3.收敛数列的保号性.定理 若limxna, limynb,且ab.则存在自然数N，当nN时xnyn

n

n

注1）定理意思是说数列极限越大，则从某项开始项越大。

2）若limxna,且a0(a0)，则存在自然数N，当nN时xn0(xn0)。

n

亦即极限大于零（小于零），则从某项开始项也大大于零（小于零）。

定理存在自然数N，当nN时xnyn，且limxna, limynb,则ab.n

n

注1）从某项开始项越大，则极限也越大。

2）若存在自然数N，当nN时xn0(xn0)，且limxna,则a0.a0

n

3）不能由xnyn得出ab.同理不能由xn0(xn0)得出a0.a0 4.定理收敛数列的任一子数列收敛于同一极限.注由此性质可知若数列有两个子数列收敛于不同的极限 ,例 xn(1)

n

则原数列一定发散.n1

(n1,2,)发散!

n

n

思考题 limxnalimx2na,且limx2n1a

三、极限存在准则 1.夹逼准则

定理(1)ynxnzn(N,nN，)(2)limynlimzna，则limxna

n

n

n

例5.证明limn

n

111

22

n2nnn2

1 

注 利用夹逼准则求极限时关键是对xn进行缩和放：ynxnzn，且要保证新的两个数列极限相同。

2.单调有界数列必有极限(准则2)定理单调有界数列必有极限

n

例6 已知xn(11证明数列xn极限存在.)(n1,2,),例7.设x1

xn1



limxn

n

*3.柯西极限存在准则(柯西审敛原理)

定理 数列xn收敛当且仅当对存在自然数N，当n,mN时有xnxm

内容小结

1.数列极限的 “  – N ” 定义及应用 2.收敛数列的性质:

唯一性;有界性;保号性;任一子数列收敛于同一极限 3.极限存在准则:

夹逼准则;单调有界准则;柯西准则

练习题 1）a

0,求2）求）已知a1求lim

n，4）已知0求an

lim

lgn

n

1)提示 当a

1时，故可设1n

n0于是a1n1nn，从而有

n

0n

a1a1,又lim0，由夹逼定理得limn

0,故lim1n1 nn

当0a

1时，1

n(n1)2n(n1)2n

nnn1n，2)提示

1n，n1n1nn

故0n

n

n(n1)2n

nnn得.思考：为什么不由n1n1nn

3)

提

示

设

n1n1nn

a1

0,则有

an1

n

1n

n(n

212)n(n1)2n2n，故an，故0n 2

2a(n1)

nk

类似得lin0a1,kR，若设a10,a

an11n

n

n(n1)(nk)k1

n故

k1!

k1!nkn(n1)(nk)k1

a，0n

ak1!k1(1)(1)(nk)nn

n

k1k

提示 对n1,有kN使得2n2，故lgnklg2k，从而



n2k12

k



02，lgnk

2

kn

2

第二篇：作业2数列极限

作业2数列极限

1、用数列极限的N定义证明下列极限：

4n

241）lim2nnn

证明：0

4n2442 nnn

14n2

取N1，当nN时，恒有24 nn

44n2

4所以lim2nnn

2）limnn1n0 

证明：0

n1n0

11n1n1n取N2，当nN时，恒有n1n0

所以limnn1n0 

n2

3）limn0 n

3证明：0，无妨设n3

n2n2n2n26n6n0n n332Cn1n2n311n

n2

取N3，当nN时，恒有n0 36

n2

所以limn0。n32、若limunA，证明limunA。并举例说明器逆命题不成立。nn

证明：0，因为limunA，所以存在N0，当nN时，恒有 n

unA

此时恒有

unAunA 所以limunA。n

例：lim11，但lim1不存在。nn

nn

3、设数列un有界，又limvn0，证明：limunvn0。nn证明：因为un有界，所以存在正数M，对任给的n有

xnM

对任给的0，由于limvn0，一定存在N0，当nN时，恒有 n

vn0vn

此时恒有

unvn0unvnM

（注意M也可以取到任意小的正数）

因此limunvn0。n

4、设un,vn两个数列有相同的极限A，求证：若xnunvn，则limxn0。n证明：0，因为limunA，所以存在N10，当nN1时，恒有 n

unA

又因为limvnA，所以存在N20，当nN2时，恒有 n

vnA

取NmaxN1,N2，当nN时

xn0unvnAunAvn2

（注意2也可以取到任意小的正数）

所以limxn0 n

5、若limunA0，n

1）证明存在N0，当nN时有un证明：取A0。2A，因为limunA，所以存在正数N，当nN时有 n2

AunA 2

AAAunAun0 222即有

2）用数列极限的定义证明limun11。nun

证明：0，因为limunA，存在N10，当nN1时有 n

unAA 4

A0 2再由1）可得存在N20，当nN2时有un

取NmaxN1,N2，当nN时，uuuAunA4Aun11n1nn1 AununA4

所以limun11。nun

第三篇：数列极限

《数学分析》教案--第二章 数列极限

xbl

第二章 数列极限

教学目的：

1.使学生建立起数列极限的准确概念，熟练收敛数列的性质；

2.使学生正确理解数列收敛性的判别法以及求收敛数列极限的常用方法，会用数列极限的定义 证明数列极限等有关命题。要求学生：逐步建立起数列极限的 数列发散、单调、有界和无穷小数列等有关概念.会应用数列极限的 并能运用

概念.深刻理解定义证明有关命题，语言正确表述数列不以某定数为极限等相应陈述；理解并能证明收敛数列、极限唯一性、单调性、保号性及不等式性质；掌握并会证明收敛数列的四则运算定理、迫敛性定理及单调有界定理，会用这些定理求某些收敛数列的极限；初步理解柯西准则在极限理论中的重要意义，并逐步学会应用柯西准则判定某些数列的敛散性；

教学重点、难点：本章重点是数列极限的概念；难点则是数列极限的 用.教学时数：16学时

定义及其应

§ 1 数列极限的定义

教学目的：使学生建立起数列极限的准确概念；会用数列极限的定义证明数列极限等有关命题。

教学重点、难点：数列极限的概念，数列极限的N定义及其应用。教学时数：4学时

一、引入新课：以齐诺悖论和有关数列引入——

二、讲授新课：

（一）数列：

1.数列定义——整标函数.数列给出方法: 通项,递推公式.数列的几何意义.-《数学分析》教案--第二章 数列极限

xbl

2.特殊数列: 常数列,有界数列,单调数列和往后单调数列.（二）数列极限: 以 为例.定义(的 “

”定义)定义(数列 收敛的“

”定义)注：1.关于 ：的正值性, 任意性与确定性,以小为贵;2.关于：非唯一性,对只要求存在,不在乎大小.3.的几何意义.（三）用定义验证数列极限： 讲清思路与方法.例1

例2

例3

例4

证

注意到对任何正整数

时有

就有

第四篇：数列极限

若当n无限增大时数列能无限的接近某一个常数a，则称此数列为收敛数列，常数a称为它的极限，不具有这种特性的数列不是收敛数列

收敛数列的特性是随着n的无限增大，数列无限接近一个常数a，这就是说，当n充分大时，数列的通项与常数a之差的绝对值可以任意小

第五篇：数列极限

§2.1 数列极限概念

第二章数列极限

§1 数列极限概念

Ⅰ.教学目的与要求

1.理解数列极限概念并利用定义证明数列是否收敛.2.掌握无穷小数列概念并利用其证明数列是否收敛于指定的常数.Ⅱ.教学重点与难点:

重点: 数列极限概念.难点: 数列极限概念、利用数列极限定义证明数列是否收敛于指定的常数.Ⅲ.讲授内容

若函数f的定义域为全体正整数集合N+，则称

f:NR或f(n), nN

为数列．因正整数集N+的元素可按由小到大的顺序排列，故数列f(n)也可写作

a1,a2,,an,,或简单地记为{an}，其中an，称为该数列的通项．

关于数列极限，先举一个我国古代有关数列的例子．

例1古代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其含义是：一根长为一尺的木棒，每天截下一半，这样的过程可以无限制地进行下去．

把每天截下部分的长度列出如下(单位为尺)： 第一天截下111，第二天截下2，„„，第n天截下n，„„这样就得到一个数列 22

21111,2,,n,．或n.2222

不难看出，数列{11}的通项随着n的无限增大而无限地接近于0．一般地说，对于数2n2n

列{an}，若当n无限增大时an能无限地接近某一个常数a，则称此数列为收敛数列，常数a称为它的极限．不具有这种特性的数列就不是收敛数列．

收敛数列的特性是“随着n的无限增大，an无限地接近某一常数a”．这就是说，当n充分大时，数列的通项an与常数a之差的绝对值可以任意小．下面我们给出收敛数列及其极限的精确定义．

定义1设{an}为数列，a为定数．若对任给的正数，总存在正整数N，使得当，n>N

时有|ana|则称数列

n

{an收敛于a，定数a称为数列{an}的极限，并记作

limana，或ana(n).读作“当n趋于无穷大时，an的极限等于a或an趋于a”．

若数列{an}没有极限，则称{an}不收敛，或称{an}为发散数列．

定义1常称为数列极限的—N定义．下面举例说明如何根据N定义来验证数列极限．

例2证明lim证由于

|

0，这里为正数

nn

110|, nn



1故对任给的>0，只要取N=1



这就证明了lim



1，则当nN时，便有 

111|0|.即nNn

0.nn

例3证明

3n2

3.lim2

nn

3分析由于

3n299

|2(n3).(1)|2

n3n3n

因此，对任给的>o，只要

9，便有 n

3n2

3|,(2)|2

n3

即当n



时，(2)式成立．又由于(1)式是在n≥3的条件下成立的，故应取

Nmax{3,9



证任给0,取Nmax{3,据分析，当nN时有（2）式成立.于是本题得证.9



注本例在求N的过程中，(1)式中运用了适当放大的方法，这样求N就比较方便．但应注意这种放大必须“适当”，以根据给定的E能确定出N．又(3)式给出的N不一定是正整

数．一般地，在定义1中N不一定限于正整数，而只要它是正数即可．例4证明limq=0，这里|q|<1．

n

n

证若q=0，则结果是显然的．现设0<|q|<1．记h我们有

|q0||q|

n

n

1，则h>0． |q|, n

(1h)

并由(1h)n1+nh得到

.(4)

1nhnh1,则当nN时，由（4）式得|qn0|.这对任给的0,只要取Nh

|q|

n

就证明了limq0.n

n

注本例还可利用对数函数ylgx的严格增性来证明(见第一章§4例6的注及(2)式)，简述如下：

对任给的>0(不妨设<1)，为使|qn0||q|n，只要nlg|q|lg即n

lg

（这里也假定0|q|1).lg|q|

于是，只要取N

lg

即可。lg|q|

例5证明lima1=1，其中a>0．

n

证(ⅰ)当a1时，结论显然成立.(ⅱ)当a1时，记a1，则0.由

a(1)1n1n(a1)

1n

1n

n

1n

得a1

a1

(5)n.1n

任给0，由(5)式可见，当n

a1



N时，就有a1，即|a1|.所以

1n

lima1.n

(ⅲ)当0a1时，,1n

１

a

－１则0.由

11

(1)n1n1n1aa

a111a1

得1a（6）1

na1.1n1a1n1a

任给0，由（6）式可见，当n１所以lima1.n

a11



N时，就有1a，即|a1|.1n1n

关于数列极限的—N定义，应着重注意下面几点：

1．的任意性定义1中正数的作用在于衡量数列通项an与定数a的接近程度，愈小，表示接近得愈好；而正数可以任意地小，说明an与a可以接近到任何程度．然而，尽管有其任意性，但一经给出，就暂时地被确定下来，以便依靠它来求出N，又既时任意小的正数，那么

,3或2等等同样也是任意小的正数，因此定义1中不等式



|ana|中的可用,3或2等来代替．同时，正由于是任意小正数，我们可限定

小于一个确定的正数(如在例4的注给出的证明方法中限定<1)．另外，定义1中的|ana｜＜也可改写成|ana|.2．N的相应性一般说，N随的变小而变大，由此常把N写作N()，来强调N是依赖于的；但这并不意味着N是由所唯一确定的，因为对给定的，比如当N=100时，能使得当•n>N时有|ana|，则N=101或更大时此不等式自然也成立．这里重要的是N的存在性，而不在于它的值的大小．另外，定义1中的，n>N也可改写成nN．3．从几何意义上看，“当n>N时有|aa|”意味着：所有下标大于N的项aｎ都落在邻域U(a;)内；而在U(a;)之外，数列{an}中的项至多只有N个(有限个)．反之，任给>0，若在U(a;)之外数列{an}中

N，n

则当n>N时有anU(a,)，即当n>N时有|ana|<．由此，我们可写出数列极限的一种等价定义如下：

定义1任给>0，若在U(a,)之外数列an中的项至多只有有限个，则称数列an

'

收敛于极限a．

由定义1，可知，若存在某０0，使得数列{an}中有无穷多个项落在U(a,0)之外，则{an}一定不以a为极限．

例6证明{n2}和{(1)n}都是发散数列．

证对任何aR，取01，则数列{n}中所有满足na1的项(有无穷多个)显然

都落在U(a;0)之外，故知{n2}不以任何数a为极限，即{n2}为发散数列.至于数列{(1)n}，当a1时取01，则在U(a;0)之外有{(1)n}中的所有奇数项；当a1时取0

|a1|,则在U（a;0)之外有{(1)n}中的所有偶数项．所以2

{(1)n}不以任何数a为极限，即{(1)n}为发散数列．例7设limxnlimyna，做数列{zn}如下：

n

n

{zn}:x1,y1,x2,y2,,xn,yn,.证明limzna.n

证，因limxnlimyna,故对任给的0，数列{xn}和{yn}中落在U(a;)之外

n

n的项都至少只有有限个.所以数列{zn}中落在U(a;)之外的项也至多只有有限个．故由定义1'，证得limzna．

n

例8设{an}为给定的数列，{bn}为对{an}增加、减少或改变有限项之后得到的数列．证明：数列{bn}与{an}同时为收敛或发散，且在收敛时两者的极限相等．

'

证设{an}为收敛数列，且limana．按定义1，对任给的>0，数列{an}中落在n

U(a;)之外的项至多只有有限个．而数列{bn}是对{an}增加、减少或改变有限项之后得到的，故从某一项开始，所以{bn}中落在U(a;)之{bn}中的每一项都是{an}中确定的一项，外的项也至多只有有限个．这就证得limbna．

n

现设{an}发散．倘若{bn}收敛，则因{an}可看成是对{bn}增加、减少或改变有限项之

后得到的数列，故由刚才所证，{an}收敛，矛盾．所以当{an}发散时，{bn}也发散．在所有收敛数列中，有一类重要的数列，称为无穷小数列，其定义如下：定义2若liman0，则称{an}为无穷小数列．

n

由无穷小数列的定义，不难证明如下命题：

定理2.1数列{an}收敛于a的充要条件是：{ana}为无穷小数列．

Ⅳ 小结与提问:本节要求学生理解数列极限概念，利用定义证明数列是否收敛、是否收敛于指定的常数.要求学生课堂上给出limana和liman不存在的“—N”定义.n

n

Ⅴ 课外作业: P２７ 2、3、4、6、7、8.